2015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1）【 2015年福建，理 1，5分】若集合 A i,i 2,i 3,i 4 （ i 是虚数单位） ， B （ A ） 1 （B ） 1 （C ） 1, 1 答案】 C 解析】由已知得 A i, 1, i,1 ，故 A B 1, 1 ，故选 C ． 2）【 2015年福建，理 2，5 分】下列函数为奇函数的是（ （ A ） y x （ B ） 答案】 D 解析】函数 y x 是非奇非偶函数； y sinx ) C) y cosx
3）【2015 年福建，理 3，5 分】若双曲线 y sin x 和 y cosx 是偶函数； 22 E: x y
1的左、右焦点分别为 9 16 1, 1 ，则 A B 等于（ ） （D ） D ） xx y e e x
是奇函数， 故选
D ． F 1,F 2 ，点 P 在双曲线
E 上，且 P
F 1 3 ， 则 PF 2 等于（ ） （ A ） 11 答案】 B 解析】由双曲线定义得 B ） C)5 D ） PF 1 PF 2 2a 6 ，即 3 PF 2 2a 6 ，解得 PF 2 9 ，故选 B ． 随机调查了该社区 5 户家庭， 收入 x （万8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y （万 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
4）【2015年福建，理 4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系， 得到如下统计数据表： 15 万元家
庭年支出为（ （ A ） 11.4 万元 答案】 B B ） 11.8 万元 C ） 12.0 万元 D ）12.2 万元 解析】由已知得
x 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 10 (万元) ， y 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 8 (万元) ，故 55 a 8 0.76 10 0.4，所以回归直线方程为 y 0.76x 0.4 ，当社区一户收入为 15 万元家庭年支出为 y 0.76 15 0.4 11.8 （万元），故选 B ． 5）【 2015年福建，理 5，5 分】若变量 x, y 满足约束条件 x 2y 0 x y 0 ，则 z 2x y 的最 x 2y 2 0 小值等于（ 5 （A ）
2 答案】 A 解析】画出可行域， 如图所示，目标函数变形为 y 2x z ，当 z 最小时，直线 y
2x z 的纵截距最大，
故将 直线 y 2x 经过可行域，尽可能向上移到过点 B 1,1 2 B) 2 C ） D)2
， z 取到最小值，最
小值为
15
z 2 1 ，故选 A ．
22
6）【 2015年福建，理 6，5 分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ （ A ） 2 （ B ） 1 （C ） 0 （ D ）-1
解析】程序在执行过程中 S,i 的值依次为： S 0,i 1；S 0,i 2； S 1,i 3； S 1,i 4；S 0,i 5；
S 0,i 6 ，程序结束，输出 S 0 ，故选 C ．
7）【 2015年福建，理 7，5分】若 l ,m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 ，则“l m ”是“l // ”的（ ） （ A ）充分而不必要条件 （ B ）必要而不充分条件 （ C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
答案】 B 解析】若 l m ，因为 m 垂直于平面 ，则l // 或l ，若l / / ，又 m 垂直于平面 ，则l m ，所以“l m ”
是 “l / / ”的必要不充分条件，故选 B ．
8）【2015 年福建，理 8，5 分】若 a,b 是函数 f x x 2
px q p 0,q 0 的两个不同的零点，且 a,b, 2 这三
个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值等于（ ）
、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20分．把答案填在答题卡的相应位置．
11）【2015年福建，理 11，5分】 x 2 5
的展开式中， x 2
的系数等于 （用数字填写答案） ． 答案】 80
解析】 x 2 5的展开式中 x 2项为 C 52 23 x 2 80，所以 x 2的系数等于 80．
12）【2015 年福建，理 12，5 分】若锐角 ABC 的面积为 10 3，且 AB 5， AC 8，则 BC 等于 答案】 7
（A ）6 答案】 D 解析】由韦达定
理得 a b p
B)7 C)8 D)9 项，故 a b q 4， b ， a b q ，则 a 0,b 0 ，当 a,b, 2 适当排序后成等比数列时， 2 必为等比中 4
当适当排序后成等差数列时， 2必不是等差中项，当 a 是等差中项时， 4
2a 4 2 ，解得 a 1,b 4； a
所以 p q 9 ，故选 D ．
当 4
是等差中项时， 8
a 2 ，解得 a 4,
b 1 ，综上所述， a b p 5 ， aa
9）【2015 年福建，理 9，5 分】已知 AB AC, AB 1, AC t ，若点 p 是 ABC 所
在
AB 4AC
AB 4AC ，则 PB PC 的最大值等于（
平面内一点，且 AP 平面内一点，且 AP AB B ）15 （A ） 答案】 A
13 C)19 D)21
A
B
解析】以 A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则 P 1,4 ，所以 PB 1 1, 4 ， ， C 0,t ， AP 1,0 4 0,1 1,4 ， 11 PC 1,t 4 ，因此 PB PC 1 1 4t 16 17 1
4t tt
B
1
t ,0 t
，因为 1 即 t 1
时取等号， PB PC 的最大值等于 13，故选 A ．
2 10）【2015 年福建，理 10，5分】若定义在 R 上的函数 则下列结论中一定错误的是（ ）
1 1t 4t
2 1t 4t 4，所以当 1t 4t ， 号， f x 满足 f 0 1 ，其导函数 f x 满足 f x k 1 ，
1 （ A ） f 1 kk
答案】 C 解析】由已知条
件，构造函数
1 k1 B ） C) f k 11 k 1 k 1 k 1 D )
f k 1
1 k 1 k 1 k 1 1
0 ，故 g k1 C ，选项 D 不确定；构造函数 h x f x x ，
11 且 1 0 ，所以 h 1 kk g x f x kx ，则 g x f x k 0 ，故函数 1 g x 在 R 上单调递增，且
，所以结论中一定错误的是 g 0 ，所以 f k 1 k 1 则 h x f x 1 0 ，所以函数 h x 在 R 上单调
递增， ， f 1 1 1 ，选项 A ， B 无法判断，故选 C ． kk
h 0 ，即 f k 1 k 1 1
第Ⅱ卷（非选择题 共 100
分）
13 解析】 由已知得 ABC 的面积为 AB ACsin A
20sin A 10 3 ，所以 sin A ， A 0,
22 余弦定理得 BC 2 AB 2 AC 2
2AB AC cos A 49， BC
7．
13）【2015 年福建，理 13，5 分】如图，点 A 的坐标为 1,0 ，点 C 的坐标为 2,4 ，函数 若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等 ． 答案】 5
12
解析】由已知得阴影部分面积为 4 2
x 2
dx 4
7 5
．所以此点取自阴影部分的概率等于 1 3 3 x 6,x 2
14）【2015年福建，理 14，5分】若函数 f x （a 0且 a 1）的值域是
3 log a x,x 2
取值范围是 ．
答案】 1,2
解析】当 x 2 ，故 x 6 4 ，要使得函数 f x 的值域为 4, ，只需 f 1 x 3 log a x x 2 的值域包含于
4, ，故a 1，所以 f 1 x 3 log a 2 ，所以3 log a 2 4，解得1 a 2 ，所以实数 a 取值范围是 1,2 ． 15）【2015年福建，理 15，5分】一个二元码是由 0和1组成的数字串 x 1x 2 x n n N * ，其中 x k k 1,2, ,n 称为第 k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 0 变为 1， x 4 x 5 x 6 x 7 0 或者由 1 变为 0），已知某种二元码 x 1x 2 x 7 的码元满足如下校验方程组： x 2 x 3 x 6 x 7 0 ，其中运算
x 1 x 3 x 5 x 7 0
定义为： 0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0 ，其中运算 定义为： 0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0 ．现 已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用上述校验方程组 可判定 k 等于 __． 答案】 5
【解析】由题意得相同数字经过运算后为 0，不同数字运算后为 1．由 x 4 x 5 x 6 x 7 0 可判断后 4 个数字
出错；由 x 2 x 3 x 6 x 7 0可判断后 2 个数字没错，即出错的是第 4 个或第 5 个；由 x 1 x 3 x 5 x 7 0可判
断出错的是第 5 个，综上，第 5位发生码元错误．
三、解答题：本大题共 6 题，共 80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（16）【2015 年福建，理 16，13分】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将
被锁定， 小王到银行取钱时， 发现自己忘记了银行卡的密码， 但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用 的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝 试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（ 2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X ，求 X 的分布列和数学期望．
解：（ 1）设“当天小王的该银行卡被锁定 ”的事件为 A ，则 P （A ） 5 4 3 1
．
6 5 4 2
（2）依题意得， X 所有可能的取值是 1，2，3，又 P （X 1） 1,P （X 2） 5 1 1,P （X
3） 5 4 1 2
6 6 5 6 6 5 3
所以 X 的分布列为
1
2
3
所以 E （X ） 1 1 2 1 3 2 5 ．
6 6 3 2
（ 17）【 2015年福建，理 17，13分】如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形， AB 平面 BEG ，
BE EC ， AB BE EC 2，G ，F 分别是线段 BE ， DC 的中点． （1）求证： GF / / 平面 ADE ；
（ 2）求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值． 解：解法一：
，所以 A ．由
3
12
4 4, ，则实数 a 的
2
m
2 2
得 0
1
1）如图，取 AE 的中点 H ，连接 HG ， HD ，又G 是BE 中点，所以GH / /AB ，且GH 1
AB 2
取 z=2得 n 2, 1,2 ．从而 cos n,BA | n | | BA | 3 2
BE,BQ,BA 的方向为 x 轴， A
0,0,2 ,B 0,0,0 , E 2,0,0 , F
2,2,1 ， BEC 的法向量，设 n =(x,
y, z) 为平面
2 x 2 z 0
，
2x 2 y z 0 1
又 F 是 CD 中点，所以 DF CD ，由四边形 ABCD 是矩形得， AB / / CD ，
AB CD 2
所以 GH / / DF ．且 GH DF ，从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GF / /DH ， 又 DH 平面 ADE ， GF 平面 ADE ，所以 GF / / 平面 ADE ．
2）如图，在平面 BEG 内，过点 B 作 BQ / /EC ，因为 BE CE ，所以 BQ BE ，因
为 AB 平面 BEC ，所以 AB BE ，AB BQ ，以B 为原点，分别以 y 轴， z 轴的正
方向建立空间直角坐标系，则 因为 AB 平面 BEC ，所以 BA 0,0,2 为平面
n AE 0
AEF 的法向量，又 AE 2,0, 2 ， AF 2,2, 1 ，由 n AF n BA 4 2 ，
，
3
可1）求椭圆 E 的方
程； 解法二：
1）如图，取 AB 中点 M ，连接 MG,MF ，又G 是BE 的中点，
面 ADE, GM 平面 ADE ，所以 GM // 平面 ADE ．在矩形 是 AB ， CD 的中点得 MF / / AD ，又 AD 平面 ADE,MF 平面
ADE ，所以 MF / / 平 面 ADE ，又因为 GM MF M,GM 平面 GMF,MF 平面 GMF ，所以平面 GMF / / 平面 ADF ，因为 GF 平面 GMF ，所以 GF / / 平面 ADE ． 2）同解法一．
GM / / AE ，又 AE 平 ABCD 中，由 M ， F 分别 R 交椭圆 E 于A ，B 两点，判断点 G 9
4,0 与以线段 AB
2)设直线 l : x my 1 m 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
a2 解得 b 2 ，所以椭圆 c2
22 E 的方程为 x + y =
1． 所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 2
3
b2
1)由已知得 c 2
a2 a
2
b 2
c 2 e = 2
e= 2
22
18）【2015年福建，理 18，13分】已知椭圆 E ： x 2+y 2 =1（a>b>0）过点（0, 2），且
离心率为 2 2
所
y
1 +y
2 = m 22 m + 2 ， y 1y 2=m 23+2，从而 y 0
m 2 + 2
m 2
+ 2
所|GH 解法二：
1）同解法
故 |GH |2 5 25
my 0 ．
2 16 2 2 17m 2 2 20 16(m 2 2) 95 |2 ( x 0 )2 y 02 (my 0 )2 y 02 (m 2 1)y 02
44 22 | AB |2 5 2 25 5m 2
my 0 (m 1)y 1 y 2 2 -
4 2 16 2(m 2) 所以 |GH | |AB |，故 G( 9
,0) 在以 由
x my 1
x
2 y 2
，得 (m
2
2) y 2
2my 3 0，
1
42 2）设
点 A(x 1, y 1 ) ， B(x 2,y 2)， AB 中点为 H(x ,y )
2)设点
A(x 1y 1) ， B(x 2,y 2)，则 GA (x 1
,y 1) ，GB (x 2 , y 2)． 9 5 5 2 5 25 x 2 ) y 1y 2 (my 1 )(my 2 ) y 1y 2 ( m
1)y 1y 2 m(y 1 y 2)
4 4 4 4 16
所以 cos GA,GB 0，又 GA,GB 不共线，所以 AGB 为锐角．故点 G( 9,0) 在以 AB 为直径的圆外． 19) 【2015年福建，理 19，13分】已知函数 f x 的图像是由函数 g(x) = cos x 的图像经如下变换得到： 先将 g(x)
图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ，再将所得到的图像向右平移 个单位长度．
2
1) 求函数 f x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；
2) 已知关于 x 的方程 f x g x m 在 0,2 内有两个不同的解 ， ； ( i)求实数 m 的取值范围；
( ii )证明： 2
cos( ) 2m 1 ．
5
解：解法一： (1)将 g (x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变)得到 y = 2cos x 的图像，再
将 y 2cos x 的图像向右平移 个单位长度后得到 y 2cos( x - ) 的图像，故 f (x) 2sin x ，从而函
数 22 f (x) 2sin x 图像的对称轴方程为 x k (k Z) ．
2
2 1 1 2
2)(i) f (x) g(x) 2sin x cosx 5( 2 sin x 1 cosx) 5 sin( x ) (其中 sin 1 ,cos 2
)
5 5 5 5 依题意， sin(x ) m
在区间 [0,2 ]内有两个不同的
解 , 当且仅当 | m
| 1，故 m 的取值范围 55
是 ( 5, 5) ．
ii)因为 , 是方程 5 sin( x ) m 在 [0,2 ]内的两个不同的解，所以 sin( ) m 5 sin( ) m
，当1 m 5时， 2( ) ，即 2( )；
当 51 m 1时， 2(3
) ，即 3 2( ) ，
所以 cos( ) cos2(
) 2sin 2
( ) 1 2( m
)
解法二：
1) 同解法一． 2) (i)同解法一．
(ii )因为 ， 是方程 5sin(x ) m 在区间 [0,2 )内的两个不同的解，所以 sin( ) m ，
s i n ( ) m ，当 1 m 5 时， 2(
) ，即
2( ) ；
当 5 m 1时，
2( 3 ) ，即 3 2( ) ，所以 cos( ) cos( ) 2
于是 cos( ) cos[( ) ( )] cos( )cos( ) sin( )sin( )
2
2 2m
2
1．
5
20) 【2015 年福建，理 20，14分】已知函数 f x ln 1 x ， g x kx k R ．
x my 1
2m 3 由
x
2
y
2
，得 (m 2
2) y 2
2my 3 0，所以 y 1
y 2 22m ， y 1y 2 23
1 m
2 m 2 42
从而 GA GB (x 1 9
4
2
2 1
2m 2 1 ．
5
cos 2 ( ) sin( )sin( ) [1
2
]
(1)证明：当 x>0时， f x x ；
( 2)证明：当 k < 1时，存在 x 0 > 0 ，使得对任意的 x 0,t 恒有 f x g x ；
(3) 确定 k 的所以可能取值，使得存在 t > 0 ，对任意的 x 0,t ，恒有 | f (x) - g(x)|< x 2
． 解：解法一：
1x (1)令 F(x) f(x) x ln(1 x) x,x ［0, ) ，则有 F (x) 1
1 x ，当 x (0, ) 时， F (x) 0， 1 x x 1
所以 F(x)在［0, )上单调递减，故当 x 0 时， F(x) F(0) 0，即当 x 0时， f (x) x ．
2)令 G(x) f(x) g(x) ln(1 x) kx,x [0, ) ，则有
当 k 0 时， G (x) 0，故 G(x)在[0, ) 单调递增， 当 0 k 1时，令 G (x) 0 ，得 x 1 k 1 1 0 kk
从而 G(x)在 [0, ) 单调递增，所以 G(x) G(0) 0，
综上，当 k 1时，总存在 x 0 0 ，使得对任意 x (0,
x 0) ，恒有 f (x) g(x) ． 3) 当 k 1时，由( 1)知，对于 x (0, ),g(x) x
f(x) ，故 g(x) f(x) ．
2
| f (x) g(x)| g(x) f (x) kx ln(1 x)令 M(x) kx ln(1 x) x 2,x [0, ) ，
1
2x 2 (k 2)x k 1 k 2 ( k 2)2 8(k 1)
则有 M (x ) k 2x 故当 x (0,
)时， M (x ) 0，
1 x x 1 4
M(x) 在[0,k 2 (k 2) 8(k 1) )上单调递增，故 M (x) M(0) 0，即 | f(x) g(x)| x 2．所以满
x 0 0，使得当 x (0, x 0 ) 时， f(x) g(x) ，
2
N(x) ln(1 x) kx x 2,x [0, ) ，
所以 H ( x)在［0, ) 上单调递减，故 H(x) H(0) 0，故当 x 0时，恒有 | f (x) g(x)| 此时，任意正实数 t 均满足题意，综上， k 1． 解法二： 1)解法一． 2)解法
二．
3) 当 k 1时，由( 1)知，对于 x (0, ),g(x) x f(x) ， 故| f(x) g(x)| g(x) f (x) kx ln(1 x)
kx x (k 1)x ，令 (k 1)x x 2，解得 0 x k 1． 从而得到，当 k 1时，对于 x (0,k 1)，恒有 | f(x) g(x)| x 2，故满足题意的 t 不存在．
k1
当 k 1时，取 k 1 k 1 ，从而 k k 1 1，由(2)知，存在 x 0 0，使得 x (0,x 0), f(x) k 1x kx g(x)，
2
1 k 1 k
2 1 k 2 此时 | f(x) g(x)| f (x) g(x) (k 1 k)x x ，令 x x 2
，解得 0 x ， f (x) g(x) x 2，
2 2 2 记 x 0与1 k
的较小者为 x 1，当 x (0,x 1)时，恒有 | f (x) g(x)|
1 kx (1 k ) G (x ) k ，
x 1 x 1 G(x) G(0) 0 ，故对任意正实数 x 0均满足题意
1 4 足题意的 t 不存在，当 k 1时，由( 2)知，存在 此时 | f(x) g(x)| f
(x) g(x) ln(1 x) kx ，令
则有
N (x)
1 k 2x
2x (k 2)x 1 k
，当
x ,0(
(k )2 ( k)2 (8 )1 k
)
时，
N (x) 0，
x 1 x 1 4 N(x) 在[0,
(k 2) (k 2) 8(k 1)
) 上单调递增，故 N(x) N(0) 0 ，即 f (x) g(x)
x 2
．
x1
记 x0与
(k 2) (k 2)2
8(k 1) 中的较小者为 4 足题意的 t 不存在．当 k 1时，由( 1)知，
令 H (x) x ln(1 x) x 2
, x [0, )，则有 H (x) x 1，则当 x (0, x 1)时，恒有 | f (x) g(x)|
x 2，故满
0 时， | f (x) g(x)| g(x) f(x) x ln(1
x) ，
2
2
x ，
x2，故满足题意的t不存在．2
当 k 1时，由( 1)知， x 0,| f (x) g(x)| f (x) g(x) x ln(1 x) ，
2 1 2x 2 x
令 M (x) x ln(1 x) x2, x [0, ) ，则有 M (x) 1 2x ，
1x x1
当 x 0时， M (x) 0，所以 M(x)在 [0, ) 上单调递减，故 M(x) M(0) 0． 故当 x 0时，恒有
|f (x) g(x)| x 2 ，此时，任意正实数 t 均满足题意，综上， k 1．
本题设有三个选考题，每题 7分，请考生任选 2 题作答．满分 14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答 时，先用 2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中． 1)求 A 的逆矩阵 A 1 ；
2)求矩阵 C ，使得 AC B ．
2)由 AC B 得(A -1A)C =A -1B ，故 C A 1B =
21) 【 2015 年福建，理 21( 2)，7分】(选修 4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 x 1 3cos t 数方程为 x 1 3cost
(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 y
2 3sin t
O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 2 sin( ) m( m R) ．
4
(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值．
解：( 1)消去参数 t ，得到圆 C 的普通方程为 (x 1)2 ( y 2)2 9，由 2 sin( ) m ，得
4 sin cos m 0 ，所以直线 l 的直角坐标方程为 x y m 0 ．
(2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，即 |1 2 m| 2，解得 m 3 2 2．
2
( 21【) 2015年福建，理 2(1 3)，7分】(选修 4-5：不等式选讲)已知 a 0，b 0 ，c 0，函数 f x x a x b c 的最小值为 4． (1)求 a+b+c 的值；
(2)求 1 a 2 +1b 2 +c 2
的最小值．
49
解：( 1)因为 f (x) | x a | |x b | c |(x a) (x b)| c |a b| c ，当且仅当 a x b 时，等号成
立． 又 a>0,b>0，所以 |a b| a b ，所以 f ( x)的最小值为 a b c ，又已知 f (x)的最小值为 4， 所以 a b c 4 ．
( 2)由(1)知 a b c 4，由柯西不等式得 (1 a 2 1b 2 c 2)(4 9 1) (a 2 b 3 c 1)2 (a b c)2 16， 4 9 2 3
11 a b
c
即 (1a 2 1b 2 c 2) 8 ，当且仅当 2 3 c ，即 a 8,b 18,c 2 时等号成立，
4 9 7 2 3 1 7 7 7
故 1a 2 1b 2 c 2的最小值为
8
． 4 9 7
21)【2015 年福建，理 21(1)，7 分】(选修 4-2：矩阵与变换) 已知矩阵
A 3
,Β
解：(1)因为 |A | 2 3 1 4 2 ，所以 A 1
3 2
4 2 1 2 2 2
3
2
2 2
3 1 11
3 2 2 2
= 2
2 1
01
23
xoy 中，圆 C 的参