高中数学专题练习:解三角形问题
[题型分析·高考展望]正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等;二是以实际生活为背景，考查解三角形问题;三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点.
常考题型精析
题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题
例1(1)(·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，
cos A＝
3
2且b A.3 B.2 2 C.2 D. 3 (2)(2014·山东)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝ 6 3，B＝A ＋π2. ①求b的值; ②求△ABC的面积. 点评在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断.一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解;在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生. 变式训练1(·课标全国Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC. (1)求sin B sin C; (2)若∠BAC＝60°，求B. 题型二正弦、余弦定理的实际应用 例2如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为 1 260 m，经测量cos A＝12 13，cos C＝ 3 5. (1)求索道AB的长; (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 点评解三角形中的实际问题四步骤： (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、 仰角、俯角、方位角等; (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案. 变式训练2 (·四川)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73) 题型三 解三角形与其他知识的交汇 例3 (·长春模拟)已知向量m ＝(cos x ，－1)，n ＝? ????3sin x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求函数f (x )的最小正周期; (2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝1，c ＝3，且f (A )恰是函数f (x )在??? ???0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积. 点评解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立体几何、数列等知识结合交汇，是近年来高考的新题型，对于这种问题要细心读题，弄清问题实质，一般都以其他知识为载体，主体还是利用正弦、余弦定理解三角形，所以将问题转化为解三角形是关键. 变式训练3(·陕西)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n ＝(cos A，sin B)平行. (1)求A; (2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积. 高考题型精练 1.(·北京改编)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C 等于( ) A.12 B.2 C.1 D. 3 2.(·重庆改编)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1 4，3sin A ＝2sin B ，则c 等于( ) A.2 B.3 C.32 D.4 3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝3 4，b ＝5，则△ABC 的面积为( ) A.1574 B.1572 C.574 D.572 4.(·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A 的 值为( ) A.19 B.13 C.1 D.72 5.(·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是1 2，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( ) A.5 B. 5 C.2 D.1 6.在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最大值为( ) A.21 B.3214 C.212 D.321 7.(·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝1 4a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________. 8.(·江苏)设向量a k ＝? ????cos k π 6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0,1,2，…，12)，则∑k=0 11 (a k ·a k ＋1)的值为________. 9.(·课标全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且 (2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________. 10.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π 3，a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围为________. 11.(·重庆)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝5 2，求cos C 的值; (2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝9 2sin C ，求a 和b 的值. 12.(·南京模拟)如图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B ＝π 2，AB ＝a ， BC ＝3a )地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形(△AMN 和△A ′MN )，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M 点与 B点不重合，A′落在边BC上，设∠AMN＝θ. (1)若θ＝π 3时，绿地“最美”，求最美绿地的面积; (2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN，A′N的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度. 答案精析 解三角形问题 常考题型精析 例1 (1)C [由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×3 2，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4 或b ＝2， 又b (2)解 ①在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝3 3， 又因为B ＝A ＋π 2 ， 所以sin B ＝sin ? ? ???A ＋π2＝cos A ＝63. 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝3×6 3 33＝3 2. ②由B ＝A ＋π 2得 cos B ＝cos ? ? ???A ＋π2＝－sin A ＝－33. 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B ). 所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝ 33×? ???? －33＋63×63＝13 . 因此△ABC 的面积 S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322. 变式训练1 解 (1)由正弦定理得 AD sin B＝ BD sin∠BAD ， AD sin C＝ DC sin∠CAD . 因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以 sin B sin C＝DC BD＝ 1 2. (2)因为C＝180°－(∠BAC＋B)，∠BAC＝60°， 所以sin C＝sin(∠BAC＋B)＝ 3 2cos B＋ 1 2sin B. 由(1)知2sin B＝sin C，所以tan B＝ 3 3， 即B＝30°. 例2解(1)在△ABC中，因为cos A＝12 13，cos C＝ 3 5， 所以sin A＝5 13，sin C＝ 4 5. 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin A cos C＋cos A sin C ＝5 13× 3 5＋ 12 13× 4 5＝ 63 65.由正弦定理 AB sin C＝ AC sin B，得 AB＝ AC sin B×sin C＝ 1 260 63 65 × 4 5＝1 040(m). 所以索道AB的长为1 040 m. (2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m， 所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×12 13 ＝200(37t2－70t＋50)，由于0≤t≤1 040 130，即0≤t≤8， 故当t＝35 37min时，甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理 BC sin A＝ AC sin B， 得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365 ×5 13＝500(m). 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤625 14， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在????? ? 1 25043，62514(单位：m/min)范围内. 变式训练 2 60 解析 根据已知的图形可得AB ＝46 sin 67°.在△ABC 中，∠BCA ＝30°，∠BAC ＝37°，由正弦定理，得AB sin 30°＝BC sin 37°，所以BC ≈2×460.92×0.60＝60(m). 例3 解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋32 ＝ 1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＋3 2 ＝12cos 2x ＋3 2sin 2x ＋2 ＝sin ? ?? ??2x ＋π6＋2. 因为ω＝2，所以最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ? ? ???2x ＋π6＋2， 当x ∈??? ? ??0，π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6. 由正弦函数图象可知，当2x ＋π6＝π 2时，f (x )取得最大值3，又A 为锐角， 所以2A ＋π6＝π2，A ＝π 6. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得1＝b 2＋3－2×3×b ×cos π 6， 所以b ＝1或b ＝2，经检验均符合题意. 从而当b ＝1时，△ABC 的面积 S ＝12×3×1×sin π6＝34; 当b ＝2时，△ABC 的面积 S ＝12×3×2×sin π6＝32. 变式训练3 解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3， 由于0＜A ＜π，所以A ＝π 3. (2)方法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而由a ＝7，b ＝2，A ＝π 3， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c ＞0，所以c ＝3， 故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝33 2. 方法二 由正弦定理，得 7sin π3 ＝ 2sin B ， 从而sin B ＝21 7， 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝27 7， 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ? ? ???B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝321 14. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝33 2. 高考题型精练 1.C [由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝3 4， ∴sin A ＝7 4， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝37 8， ∴sin 2A sin C ＝2×34×74 378 ＝1.] 2.D [由3sin A ＝2sin B ，得3a ＝2b ，∴b ＝32a ＝3 2×2＝3，在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×? ???? －14＝16，解得c ＝4.] 3.A [cos A ＝34，cos C ＝2cos 2A －1＝1 8， sin C ＝37 8，tan C ＝37， 如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ，BD ＝7x . 在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x 5－3x ＝37， 解之得：BD ＝7x ＝372，S △ABC ＝12BD ·AC ＝157 4.] 4.D [∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B sin A ＝b a . ∵3a ＝2b ，∴b a ＝3 2. ∴sin B sin A ＝32. ∴2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2(sin B sin A )2－1＝2×( 32)2－1 ＝92－1＝72.] 5.B [∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝1 2， ∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π 4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意; 当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意.故AC ＝ 5.] 6.B [设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3， 又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A 2， ∴cos A ≥25，∴0 5， ∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为321 4.] 7.－14 解析 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ， 即b ＝32c .又b －c ＝14a ，∴12c ＝1 4a ，即a ＝2c . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ 94 c 2＋c 2－4c 2 2×32c 2 ＝－3 4c 2 3c 2＝－1 4. 8.9 3 解析 ∵a k ＝? ????cos k π 6，sin k π6＋cos k π6， ∴a k ·a k ＋1＝? ????cos k π 6，sin k π6＋cos k π6· ? ????cos k ＋1 6π，sin k ＋16π＋cos k ＋16π ＝cos k π6·cos k ＋16π＋? ????sin k π6＋cos k π6· ? ????sin k ＋1 6π＋cos k ＋16π ＝32cos π6＋12cos 2k ＋1 6π＋sin 2k ＋16π. 故∑k ＝011 a k ·a k ＋1 ＝∑k ＝0 11 ? ????32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π ＝32∑k ＝011cos π6＋12∑k ＝011cos 2k ＋1 6π＋∑k ＝011sin 2k ＋16π. 由∑k ＝011 cos 2k ＋16π＝0，∑k ＝0 11sin 2k ＋1 6π＝0，得 ∑k ＝0 11 a k ·a k ＋1＝32cos π6×12＝9 3. 9. 3 解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，a ＝2， 又(2＋b )(sin A －sin B ) ＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°. ∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60° ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 10.(3,6] 解析 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2， b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 所以b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C ) ＝2(1－cos 2B ＋1－cos 2C ) ＝4－2cos 2B －2cos 2(2π 3－B ) ＝4＋3sin 2B －cos 2B ＝4＋2sin(2B －π 6). 又0 3， 所以－π6<2B －π6<7π 6. 所以－1<2sin(2B －π 6)≤2. 所以3 11.解 (1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝7 2. 由余弦定理得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22 ＋( 52)2－(72)22×2×52＝－ 1 5. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，可得 sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A 2＝2sin C ， 化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C . 因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ， 所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c . 又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6. 由于S ＝12ab sin C ＝9 2sin C ，所以ab ＝9， 从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3. 12.解 (1)由∠B ＝π 2，AB ＝a ，BC ＝3a ， 所以∠BAC ＝π 3. 设MA ＝MA ′＝xa (0 2， 所以x ＝2 3. 由于△AMN 为等边三角形， 所以绿地的面积 S ＝2×12×23a ×23a ×sin π3＝23 9a 2. (2)因为在Rt △ABC 中，∠B ＝π 2，AB ＝a ，BC ＝3a ， 所以∠BAC ＝π3，所以在△AMN 中，∠ANM ＝2π 3－θ， 由正弦定理得AN sin θ＝ AM sin ? ?? ??2π3－θ， 设AM ＝ax (0 x ， 所以x ＝12sin 2θ，即AM ＝a 2sin 2θ， 所以AN ＝a 2sin θsin ? ?? ? ? 2π3－θ. 2sin θsin ? ???? 2π3－θ＝sin 2θ＋3sin θcos θ ＝12＋32sin 2θ－12cos 2θ＝12＋sin(2θ－π 6)， 因为π4<θ<π2，所以π3<2θ－π6<5π6 ， 所以当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AN 的值最小，且AN ＝2 3a ，此时绿地公共走道的长度MN ＝23a .
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