【题型3】二次根式的加减乘除混合运算
1.计算
（1）（8+3）6? （2）22)6324(÷-
（3）)53(2+
（4） 5)4080(÷+
（5）（6）（
（7）（8）)4831375(12-+
2.计算
（1））（
（2）)3225)(65(-+
（3）)57)(32(-+
（4））32)(232(-+
（5）)26)(32(++ （6）)3)((b a b a -+
3.计算
（1）2)23(+ （2）2)252(- （3）2)534(+
（4）2)336(- （5）2）6-
75（ （6）2）
354（+
4.计算
（1）（4+)74)(7- （2）)26)(26(-+
（3）（2+1）（2－1） （4）
（5） （6）)2332)(2332(-+
5.计算
（1）12315）520（?-
÷+ （2）×+3×2
（3）
﹣4+÷ （4）（1﹣）（1+）+（1+）2
（5）÷﹣×+ （6）3+（﹣）+÷
（7）（﹣）×+3 （8）﹣×
（9）（7+4
）（2﹣）2+（2+）（2﹣）
（10）（π﹣3.14）0+|
﹣2|﹣+（）﹣2
（11）（）2﹣20+|﹣| （12）+﹣（﹣1）0
《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例１】下列各式 其中是二次根式的是＿_＿_＿＿_＿_（填序号). 举一反三: １、下列各式中,一定是二次根式的是( ） A B C D 2__＿＿__个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .［来源:学*科＊网Z*X*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ) A 、x ＞3 ??B 、ｘ≥３ C 、 x>4 ??Ｄ 、x ≥３且x ≠４ 有意义的ｘ的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 Ｃ、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y ＝ 举一反三： 2 ()x y =+,则x -ｙ的值为( )
A ．-1 B ．1 Ｃ.2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且ｙ＝4x 233x 2+-+-,求x ｙ的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 1 2+ 的值． 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 ２、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A ．３ ? B ．– ３? C.1? Ｄ．– 1 ３、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜ｘ2－4｜+652+-y y =０，则第三边长为＿__＿＿＿. ４、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 （公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、０ Ｃ、2a —4 D 、4
二次根式的乘除（一） 1.使等式ab =b a ?成立的条件是（ ） >0，b>0 <0，b<0 ≥0，b≥0 ≥0 2.计算32?的结果是（ ） A.5 B.6 C.32 D.23 3.下列各式成立的是（ ） A.585254=? B.5202435=? C.572334=? D.6202435=? 4.化简二次根式6)2(-2?的结果是（ ） | A.62 B.62- 5.化简5 45?的结果是（ ） A.5 2 C.2 D.52 6.下列各式计算正确的是（ ） A.525±= B.127-33= C.9218=? D.62 324=? 7.在下列各数中，与3的积为有理数的是（ ） A.2 B.13+ C.3- D.6 8.计算：218? = . | 9.化简：=?1832 ;=?)27(-)15(- . 10.计算下列各式： （1）82?; （2）123?; （3）2 162? ; （4）12149?; （5）y 4; （6）3216c ab ;
% （7）10253?; （8）15106??; (9)54332??. 11.若等式33)3)(3(-?+= -+x x x x 成立，则x 的取值范围是 . 12计算22)2-3()23(?+的结果是（ ） C.2-3 D.23+ 13.将a a 1根号外的部分移到根号内，正确的是（ ） } A.a B.a - C.a - D.a -- 14.设矩形的长和宽分别为a 、b ，根据下列条件求面积S. (1)8,12==b a ; (2)482 1,243==b a . 15.比较下列各组中两个数的大小. ) （1）2472和 （2）2332--和. 16.计算： （1）3122y x xy ? （2）n m m n m 2 23233? ； 17.先化简，再求值：1 2)113( 2--÷--+x x x x x , 其中23=x .
二次根式50道典型计算题 6. ))((36163--?- ； 7. 633 1 2?? ； 8. )(102 132531 -??； 9. z y x 10010101??-． 12. 5 2 1312321 ?÷； 13. )(b a b b a 1 223÷?． 16. 已知：24 20-= x ，求2 21x x +的值．
18. 化简： ()2 ()3a - 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x - 20. (231 ?++ ?
22.. (()2 771+-- 23. ((((2 2 2 2 1111++- 24. 2 2 - 27. a b a b ??+--
28. 已知：x y ==3243223 2x xy x y x y x y -++的值。 29. 已知：1 1a a +=221 a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简： 3y - 31. 已知 ()1 1 039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。
32（1）－645×（－448）；（2）（－64）×（－81）； （3）1452－242；（4）3c 2ab 5c2 ÷ 3 2 5b 2a 33. 化简： （1）2700；（2）；（3）16 81 ；（4） 8a2b c2 ． 34.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。 35. 若最简二次根式是同类二次根式，则______ a=。 36. 已知x y ==33_________ x y xy +=。
二次根式乘除法练习 题63617
二次根式的乘除法练习题 一、选择题 1．下列各式属于最简二次根式的是（ ） A ．8 B ．12+x C ．3y D ．2 1 2==== ） A ．①②③④ B ．①② C ．3y ③④ D ．①②③ 3．下列各式中不成立的是（ ） 2x = 32= 54199=-=- Ｄ．4= 4. 当x ≤2时，下列等式成立的是（ ） A ．2)2(2-=-x x ． B ．3)3(2-=-x x ． C ．x x x x -?-=--32)3)(2(． D ．x x x x --=--2323． 5 ．有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，算一算，能放入的细木条的最大长度是( ) A 、cm 41 B 、cm 34 C 、cm 25 D 、cm 35 二、填空题 6. 2.449== （精确到0.01）． 7．若｜a －21｜+(b +1)2=0，则a 3×b -2÷ab -的值是 ． 8= ，计算：= ． 9=x y ，满足的条件为 ．
10．把根号外的因式移到根号内:当b ＞0时，x x b ＝ ；a a --11)1(＝ ． 三、解答题 11．计算：（1）12506?÷ （2）641449169? 12．计算：（1） 11904032÷ （2）42623x x x ?? 13 ．若x ,y 为实数，且134124312+-++-+= x x x x y ，求2x xy x y ++的值． 四、中考链接 14 ．(2008 湖北省鄂州市) 已知 211a a a --=，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．0a < C ．01a <≤ D ．0a > 15 . (2008 广东省广州市) 实数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示． 化简222()a b a b -+-． 1 1
二次根式计算练习题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 214181 22 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6. ))((36163--?-； 7. 63312??； 8. )(102132531- ??； 9. z y x 10010101??-．
10. 20245-； 11. 144 25081010??..； 12. 521312321 ?÷； 13. )(b a b b a 1223÷?． 14. 2712135272 2-； 15. b a c abc 4322-． 16. 已知：2420-= x ，求221x x +的值． 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b f f
()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 20. 21.. ( 231 ?+ ? 22.(()2771+-- 23.((((2222 1111+-
24. 22 - 28. 已知： x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。
29. 已知：11a a +=+221 a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且3y p ，化简： 3y -- 31. 已知11 039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）；
二次根式的乘除法习题课 教学设计 冯毅 教学目标：1、通过练习巩固二次根式的乘、除法法则. 2、能根据式子的特点，灵活运用乘积、商的算术平方根的性质和分 母有理化等手段进行二次根式的乘、除法运算. 3、进一步培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 教学重点：二次根式乘除法法则及运算. 教学难点：能正确运用性质、法则灵活进行有关二次根式乘除法的计算. 教学过程： 一、 复习 1、 填空： （1）二次根式的乘法法则用式子表示为 . （2）二次根式的除法法则用式子表示为 . （3）把分母中的 化去，叫做分母有理化. 将式子 22a 分母有理化后等于 . （4）44162+?-=-x x x 成立的条件是 . （5）x x -=-2)2(2成立的条件是 .
（6）2121+-=+-x x x x 成立的条件是 . （7）化简： =24 . =?1259 . =-222129 . =c b a 324 . =499 . =9 44 . =224c b a . （8）计算： =?1510 . =?x xy 1312 . =÷6 5321 . 2、 判断题：下列运算是否正确. （ ）（1）ππ-=-14.3)14.3(2 （ ）（2）767372=? （ ）（3）636)9()4(94==-?-=-- （ ）（4）5 125432516925169=?=?= （ ）（5）5.045.16= （ ）（6）73434342222=+=+= + （ ）（7）22 8= （ ）（8） 32 123=
3、你能用几种方法将式子m m （ m ＞0 ）化简? 二、讲解新课： 1、运用乘法分配律进行简单的根式运算. 例1 计算 （1）)2732(3+ （2）24)654(- 解: (1)原式=273323?+? =273332?+? =2 2932+ =6+9 =15 (2)原式=2462454?-? =2462454?-? =4666496??-??? =2222226236?-?? =2222226236?-?? =6×3×2-6×2 =24 归纳小结：1、在有理数范围内，乘法分配律是： a （b+c ）=ab+ac 这个运算律在实数范围内也适用. 2、在运律过程中要注意符号. 练习一、 计算 (1) )82(2+ (2) a a a 5)5320(+ (3) ab ab b a a b ab ?--+)12( 2、比较两个实数的大小. 前面我们已经学过比较两个无理数大小的方法,就是先求无理数的近似值，转化为比较有理数的大小，从而得出两个无理数的大小. 下面我们介绍比较两个无理数大小的另一种方法.
二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意 义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等 于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没 有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即 0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或 0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平 方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，， 而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无 意义，而.
第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3)
例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54
16.2.2 二次根式的除法 一. 选择题 1.1 32 ( ) A. 6 B. 6 C. 6 D. 62.下列二次根式是最简二次根式的是( ) A 3 x 8x 36x 21x + 3.计算362 3x x ( ) A ．2x B. 3 2 x C. 2x D. 223 x 4.11 22 a a a a ++= ++成立的条件是( )A.1a >- B.2a >- C.1a ≥- D.2a ≥- 5.32 27 的结果是( ) A ．23- B. 3 C. 63- D. 2- 6.小红的作业本上有以下四道题:（142 164a a =；(2) 32 262 a a ==； (3) 211(0)a a a a a a =?=>（4663 42 4a a ==.其中做错的题数为( ) A ．1 B.2 C.3 D.4 7.23,a b ==用含a 、b 0.54，下列表示正确的是( ) A ．0.3ab B. 3ab C. 0.1ab 2 D. 0.1a 3b 8.5026 2 的值，估计应在( ) A.4和5之间 B.5和6之间 C. 6和8之间 D.8和9之间 9. 已知5252a b ==-+227a b ++的值为（ ）A.5 B.6 C.3 D.4 10. 下列计算正确的是（ ） A.91 10.77402 -+= B.32 525y xy y y x = C.1 15 335 ÷= 211(6)76749 xy xy -=- 11．下列根式中最简二次根式的个数有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2 2x y 2ab 35xy 22y 225()a b -3375x y 22x y +．
二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 21．2 二次根式的乘除 第一课时 教学内容 （a≥0，b≥0（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标 a≥0，b≥0（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简 a≥0，b≥0）并运用它进行计算；? （a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键 a≥0，b≥0（a≥0，b≥0）及它们的运用． a≥0，b≥0）． 关键：要讲清（a<0,b<0）=b，如=或 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空 （1=______； （2=_______． （3． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． × 2．利用计算器计算填空 （1，（2 （34， （5． 老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知 （学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 a≥0，b≥0） 反过来: （a≥0，b≥0） 例1．计算 （1（2（3（4 分析：a≥0，b≥0）计算即可． 解：（1 （2 （3= （4 例2 化简 （1（2（3 （4（5 （a≥0，b≥0）直接化简即可． 解：（1×4=12 （2×9=36 （3×10=90 （4 （5 三、巩固练习 （1）计算（学生练习，老师点评） ①②×2 (2) 化简:; 教材P11练习全部 四、应用拓展 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1 （2=4 解：（1）不正确． ×3=6 （2）不正确． ＝ 五、归纳小结 本节课应掌握：（1=（a≥0，b≥0（a≥0，b ≥0）及其运用． 六、布置作业 1．课本P151，4，5，6．（1）（2）． 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1，?那么此直角三角形斜边长是（）． A．cm B．cm C．9cm D．27cm 二次根式与一元二次方程经典练习题aa??aa??A、、 B 、D、 ??2 C一、选择题ba,对于所有实数），下列等式总能成立的是（8. ）1．下列式子一定是二次根式的是（ 22b?b??aaba?ba??22x2x??2?x2?x B. A. ．AD． B ． C ． ??22??2222b?aa?b?1?m3b?aa??b D. C. ）m有意义，则2能取的最小整数值是（．若 m=3 ．m=0 A．Bm=1 ．DC．m=2 29x?），以下说法中不正确的是（ 9. 对于二次根式2xx? A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数的结果是（）3．若x<0，则x3 它的最小值为 D. C. 它是最简二次根式 2 2 ．—C．0D．2 或—B 0 A．227?5?2b?aa??b10. 下列式子中正确的是（）A. ?? B. ( 4．下列说法错误的是）28?649a?6a?是二次根式B.A．是最简二次根式 2?3?4?3?x??bxba?ax D. C. 222216?xb?a4 D.的最小值是．C 是一个非负数二、填空题22nn24?5)?(2?)(?0.3D.2 C.6 B.5 A.4 5．是整数，则正整数的最小值是（）；②11.①。 yx?a3311??aa?9?计算。12．化简：计算= ________13．的结果为（）．化简6ay?x365 ??21xx??2x133011。14．化简：的结果是113033030．B ．A ．C ．D3030 2?? _____________??1x?5x?时，。5x1 15．当≤＜1?????20012000．把．7a 根号外的因式移入根号内的结果是（）______________33???22a．16。 二次根式加减乘除运算 上次课程检测： 1.下列二次根式中与8不是同类二次根式的是（ ） A . 21 B. 50 C. 81 D . 54 2．（24-315+2223 ）×2的值是（ ）． A ．20 33-330 B ．330-233 C ．230-2 33 D ．20 33-30 3.计算： （1）1312248233??-+÷ ? ?? （2）101200925206-??-+-- ??? 4.当715+=x ,715-=y ,求22y xy x +-的值. 5.如图1，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有多少米. 新授 一、选择题： 1.估计4 18?的运算结果应在（ ） A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间 2．等式2111x x x +-=-g 成立的条件是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1 3.设a ＞0，b ＞0，则下列运算错误的是（ ） A . b a ab ?= B . b a b a +=+ C . a a =2)( D . b a b a = 图1 4. ①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243 =22，其中错误的有 （ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 5.下列判断⑴12 3 和13 48 不是同类二次根式；⑵145 和125 不是同类二次根式； ⑶8x 与8x 不是同类二次根式，其中错误的个数是（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 6.如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） A 、 a B 、 1a 2 C 、3－a D 、－a 2 7．如图1，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ） A.S 1＝S 2 B.S 1＜S 2 C.S 1＞S 2 D.无法确定 8．如图2，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A ．521 B ．25 C ．1055+ D ．35 图2 图3 图4 二、填空 1．如图3，从点()02A ， 发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 ． 2．如图4，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 3、二次根式外（内）的因式移到根号内（外） （1）化简a a 1-的结果是________． （2）已知a 《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例1】下列各式 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 2中是二次根式的个数有______个 【例2 有意义，则x 的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式4 3--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 举一反三： 1 2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。 已知a b 是1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1 2+ 的值. 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三： 1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿. 4、若 1 a b -+互为相反数，则 ()2005 _____________ a b -=。 （公式)0()(2≥=a a a 的运用） 【例5】 化简：2 1a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 举一反三： 1、 在实数范围内分解因式: 2 3x -= ；4244m m -+= 429__________,2__________x x -=-+= 2、 1 3、 ，则斜边长为 （公式的应用）???<-≥==) 0a (a ) 0a (a a a 2 12． 6 二次根式的乘除法 知识回顾 :： 1、（1） 4 9 = = ； 4 9 = = ； （ 2） 9 16 = = ； 9 16 = = ； （ 3） a b ab （ a ≥0， b ≥0）． 2、（1） 49 =_________；（ 2） 4 a 9 81 =_________;（3） b （a ≥0， b ＞0）． 目标解读 :： 1.理解并掌握二次根式乘法和除法法则，并会进行简单的二次根式的乘除法运算 . 2.理解最简二次根式的意义及条件，把所给的二次根式化为最简二次根式 . 3.理解分母有理化的意义，并会进行分母有理化 . 基础训练 : 一、选择题 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） Ａ． 8 Ｂ． 1 Ｃ． 6 Ｄ． 3a 2 2 2. 化简 3 时，甲的解法是： 3 3( 5 2) 5 2 ，乙的解 2 5 2 ( 5 2)( 5 5 2) 法是： 3 ( 5 2)( 5 2) 5 2 ，以下判断正确的是（ ） 2 5 2 5 Ａ．甲的解法正确，乙的解法不正确 Ｂ．甲的解法不正确，乙的解法正确 Ｃ．甲、乙的解法都正确 Ｄ．甲、乙的解法都不正确 3. 已知 a 1 2 ， b 1 2，则 a 2 b 2 7 的值为（ ） 5 5 Ａ． 5 Ｂ． 6 Ｃ． 3 Ｄ． 4 1 x 1 x 成立的条件是（ ） 4. 式子 x x Ａ． x 1且 x 0 Ｂ． x 0 且 x 1 Ｃ． 0 x ≤ 1 Ｄ． 0 x 1 5. 式子 2x 2x 成立时， x ， y 满足的条件为（ ） 3 y 3y 二次根式的乘除法 二. 重点、难点： 1. 重点： （1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算； （2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简； （3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。 2. 难点： （1）理解最简二次根式的概念； （2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。 三. 知识梳理： 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数； （2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。 （3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0； （2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）； （3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 3. 最简二次根式 一个二次根式如果满足下列两个条件： （1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母。 这样的二次根式叫做最简二次根式。 说明： （1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式； （2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简； （3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。 【典型例题】 例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。 （1） （2） 二次根式50道典型计算题 6. - 3、(—16)(—36)； 8.工23 C1 10)；9. 10X 10, y 100Z . 12.再冲3也；13. 16.已知:X= ,求X2χ2的值. (3).J^a T -a 2 F a 20. _ _ f 1 ） 21。。 ,48 — 54 2 3— 3 i 1 -二 22。. 7 43 7 —4、3 - ^5-1 ” 18.化简: 19..把根号外的因式移到根号内: (1哑 2 . 1-x 2.12 3. 1； 一 2 一 2 一2 。一2 23。V 。2 V 。3 1-、2 a — b a b -2 “ ab 〉L a - J b y。：a - b χι。. y - y χ y、χ X y χ?y y X y χ _x. y 27。a 2 ? ab b a - b b —4ab J b+ >fab 25. 3 2 X —χy 的 4 3 2 2 3 1 X y 2x y X y 29。已知:a 1 = 。10，求a 2 厶 的值 a a 30。已知：χ，y 为实数，且y ?。d 「订「3 ，化简: y — 3 — —8 y +16。 28.已知: 罷+返 爲- V 2 求 亠迈， y=t 2，求 31.已知 JX -3y +∣χ2 9 =°,求活的值 32（ 1） — 6 45× (— 4 48); (2） ’ （ — 64）×（— 81)； 34。 一个三角形的三边长分别为8cm, . i2cm ，、、18cm ，则 它 的周长是 Cm . 35. 若最简二次根式3—?。 4a~1与2—?. 6a 2二1是同类二次根 2 3 式，贝H a = ___ 。 (3) ‘1452 — 242; 33.化简： (1) (2)； (3) 16 、、 (4) 8a b 已知X=' , 38. 2001 最新初中数学二次根式经典测试题含答案 一、选择题 1．-中，是最简二次根式的有 ( ) A．2个B．3个C．4个D．5个 【答案】A 【解析】 ，不是最简二次根式； -，不是最简二次根式； 是最简二次根式. 共有2个最简二次根式.故选A. 点睛：最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2．在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0； 易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 在实数范围内有意义， ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】 解：由数轴可知：0a <，0b >， ∴0a b -<， ∴()()2 2a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键． 4．已知实数a 满足20062007a a a --=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值． 【详解】 ∵a-2007≥0， ∴a ≥2007， ∴20062007a a a --=可化为a 2006a 2007a -+-=， 20072006a -=， ∴a-2007=20062， ∴22006a -=2007． 故选C ． 【点睛】 本题考查了绝对值的意义、二次根式有意义的条件，求出a 的取值范围是解答本题的关键． 5．下列各式计算正确的是( ) A ．2＋b ＝2b B 523= C ．(2a 2)3＝8a 5 D ．a 6÷ a 4＝a 2 二次根式的乘除法习题课 教学目标：1、通过练习巩固二次根式的乘、除法法则. 2、能根据式子的特点，灵活运用乘积、商的算术平方根的性质和分 母有理化等手段进行二次根式的乘、除法运算. 3、进一步培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 教学重点：二次根式乘除法法则及运算. 教学难点：能正确运用性质、法则灵活进行有关二次根式乘除法的计算. 教学过程： 一、 复习 1、 填空： （1）二次根式的乘法法则用式子表示为 . （2）二次根式的除法法则用式子表示为 . （3）把分母中的 化去，叫做分母有理化. 将式子 22a 分母有理化后等于 . （4）44162+?-=-x x x 成立的条件是 . （5）x x -=-2)2(2成立的条件是 . （6）2121+-=+-x x x x 成立的条件是 . （7）化简： =24 . =?1259 . =-222129 . =c b a 324 . =499 . =9 44 . =224c b a . （8）计算： =?1510 . =? x xy 1312 . =÷6 5321 . 2、 判断题：下列运算是否正确. （ ）（1）ππ-=-14.3)14.3(2 （ ）（2）767372=? （ ）（3）636)9()4(94==-?-=-- （ ）（4）5 125432516925169=?=?= （ ）（5）5.045.16= （ ）（6）73434342222=+=+= + （ ）（7）22 8= （ ）（8）32 123= 3、你能用几种方法将式子 m m （ m ＞0 ）化简? 二、讲解新课： 1、运用乘法分配律进行简单的根式运算. 例1 计算 （1）)2732(3+ （2）24)654(- 解: (1)原式=273323?+? =273332?+? =2 2932+ =6+9 =15 (2)原式=2462454?-? 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 二次根式典型计算题 一. 化简： （1）2700 = （2）202－162 = （3） 16 81 = （4）8a 2b c 2 = ()) 10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 二、计算 () 1 () 2 3 20 245-； 4. 2484554+-+ 5. 233232 6-- 6. 633 1 2?? ； 7. ))((36163--?- 8. 3)154276485(÷+- ()5 10. 21 4 181 22 -+- 11. )(102 132531 -??； 12. 144 25081 010??..； 13. 5 2 1312321?÷； 14. 27121352722-； 15、 1452－242； 16、－645×（－448）； 17.（－64）×（－81）； 18. 3c 2ab 5c 2÷325b 2a 19. 20. ( 231 ? + ? 21. ( () 2 771 +-- 22. ((((2 2 2 2 1111++ ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b 25. )(b a b b a 1223÷? 26. b a c abc 4 3 22 -． ()6?÷ ? 29、 22 - 30. 31. 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* - 三、 把根号外的因式移到根号内： ( )1.-()( 2.1x -四、化简求值 1. 已知：11a a + =+221a a +的值。 2. 已知：24 20-= x ，求221 x x + 的值． 3. 已知()1 1 039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。 4. 已知：x y ==3243223 2x xy x y x y x y -++的值。 5. 已知：,x y 为实数， 且13y x -+ ，化简：3y - 2017二次根式的乘除法练习题 1、（1） 94?= = ；94?= = ； （2）169?= = ；169?= = ； （3）b a ? ab （a ≥0，b ≥0）． 2、（1） = 949=_________；（2） = 814=_________;（3） = b a （a ≥0， b ＞0）． ． 4．下列运算不正确的是（ ） A ×0.6=1.2 B ×6=12 C ==（a ≥0） 5．计算： （1（ （2×（3）（4）-1 2（ 6．计算：（1）- 1 2 （2=_____． 7．计算：（1（2） 1 3=______． 8．若)2)(1(21--=-?-x x x x ．则x 的取值范围是（ ） A ．x>1 B ．x ≥2 C ．x>2 D ．x ≥1 9-12 ; 二次根式的乘除法同步练习题 一. 填空题： 1. =成立的条件是 . 2. 计算：（1）25·16 ；（2 = .（3 = ； （4 ） = . 3. 化简：（1 ＝ ； （2 = . 4. 计算：（1 ）＝ ； （2 = . 二. 选择题： 5. ） C. 3 D. 6. 下列计算中，正确的是（ ） A. = == 1317 4520=+= ==7. =-a 的取值范围是（ ） A. 0a ≥ B. 02a ≤≤ C. 20a -≤≤ D. 2a ≤- 8. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） 三. 解答题： 9. 计算：（1 （2 （3）4021 ·9031 （4）155 ·3 （5 （6） 1 .133·7.2- 10. 化简： （1 ）（2 ）（3 （4 11. 已知： 1.69,x = 求2x 的值。 八年级数学二次根式加减练习题 计算：125455 1 520+-- 1827122+- 32+3－2 2－33 505 1122 1832++- + 9654+ 5 4 540290+- )27 1 31( 12-- 27–45–20+75八年级数学下册《二次根式乘除》
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