《多边形的密铺》教案（一）
一、.学习目标
知识目标：1.让学生认识平面图形的密铺，掌握平面图形密铺的条件。
2.了解平面图形密铺在生活中的应用，能利用平面图形的密铺进行一定的图案
设计。
能力目标：经历探索平面图形密铺条件的过程，进一步发展学生的动手实践能力、合情推理能力以及团结合作的意识\
情感目标：1.经历生活中平面图形密铺的观察、分析、欣赏等过程，感受几何构图的简单美、和谐美。
2.在探索性活动中，开发、培养学生的创造性思维，使其感受数学来源于生活
又应用于生活的辩证唯物主义观点。
二.重难点预见
重点：探索、发现多边形密铺的条件。
难点：运用三角形、四边形、正六边形进行简单的密铺设
三.教学过程
一、情境导入
1、从生活中“铺地砖”引出密铺（正方形）。
我们教室的地面是由正方形的地砖铺成的，可见正方形能够没有重叠、没有空隙地铺在平面上。
2、教学、理解密铺的概念。
像正方形这样，一种或几种图形，能够没有重叠、没有空隙地铺在平面上，叫做密铺。（强调：密铺中的同一种图形必须是完全相同的图形）
3、列举生活中密铺的现象，展示丰富多彩的密铺的图案。通过密铺形成的图案相当丰富多彩，而且非常美观，奥妙无穷。下面我们就来欣赏几组密铺的图
（3）（4）
观察这些图案中的拼接图形有哪些特点？
（第一幅和第二幅图是由大小相同的正方形和正六边形组成。第三幅和第四幅由几种形状、大小相同的图形组合而成，没有空隙。）
定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺（又称做平面图形的镶嵌）。
小组合作讨论平面图形密铺的特点：
(1)用一种或几种全等图形进行拼接。
(2)拼接处不留空隙、不重叠。
(3)连续铺成一片。欣赏
二、探索常见的多边形的密铺问题
1、刚才我们已经知道正方形能够密铺，那么除了正方形能密铺外，还有哪些我们学过的常见的多边形也能密铺呢？
并给出：正三角形、长方形、等腰梯形、正五边形
（1）猜想
先请大家凭你的感觉猜想一下，上面哪几种图形能够密铺？
（2）小组合作，动手操作
下面我们就来验证一下大家的猜想。请同学们以小组为单位，拿出老师课前发给大家的信封，用信封里的多边形拼一拼，并思考：
a、利用多边形的纸片铺一铺。看看哪些多边形能够密铺；
b、观察能够密铺的多边形，思考：这些多边形为什么能密铺？
c、再想一想：能够密铺的规律是什么？
（3）小组反馈，师生探讨、交流
a、正三角形、长方形、等腰梯形能够密铺
b、因为用这几种图形各若干个，都能做到围绕某一点拼成360度，从而没有重叠，也没有空隙。
c、一种或几种图形围绕某一点可以拼成360度，那么这种或这几种图形就能密铺。
（4）小结
a、板书密铺的规律；
b、课件展示这四种图形能否密铺（突出解释正五边形不能密铺的理由，加深对密铺规律的理解。）
2、探索任意三角形与四边形都能密铺
刚才我们已经探讨得出正三角形、正方形、正六边形.长方形与等腰梯形都能密铺，那么下面请大家运用密铺的规律思考一下，任意三角形与四边形能否密铺？
（1）、师生探讨、交流
（2）、小结：因为三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，用6个这样的三角形，4个这样的四边形，都能围绕某一点拼成360度，说明“任意三角形与任意四边形都能密铺”。
（3）、展示密铺的图形。
3、探索哪些正多边形能够密铺
下面再请大家思考一个问题：在所有的正多边形中，除了我们已经得出的正三角形、正方形能够密铺外，你能否说出所有能密铺的正多边形，并说明你的理由。
（1）、师生探讨、交流；
（2）、小结：因为360在小于180这一范围内的约数，除了正三角形的内角60度，正方形的内角90度外，还有正六边形的内角120度。所以，在所有的正多边形中，能够密铺的只有这三种.
（3）、展示密铺的图形。
4、探索运用多种多边形进行密铺的问题、
（1）用两种正多边形密铺问题
用正三角形和正方形密铺，在一个顶点处各需要多少个？
设需要ｍ个正三角形，ｎ个正方形，则由每个正三角形的内角为
60°，每个正方形的内角为90°，得
60ｍ+90ｎ=360， 整理，得2ｍ+3ｎ=12，
因为ｍ、ｎ为正整数，故满足条件的ｍ，ｎ的值只有ｍ=3，ｎ=2．这表明用正三角形和正方形密铺，在一个顶点处需要正三角形3个，正方形2个，其示意图如图2所示．
（２）．用正三角形和正六边形密铺，在一个顶点处各
需多少个？
设需要正三角形ｍ个，正六边形ｎ个，则
60ｍ+120ｎ=360，
解得ｍ=4，ｎ=1；或ｍ=2，ｎ=2．此即表明：用正三
角形和正六边形密铺，在一个顶点处需正三角形4个，正六边形1个；或正三角形2个，正六边形2个．其示意图如图
（1）提出问题：
那么能用三种不同的多边形进行密铺吗？若能，请你选择以上多边形中的三种，列举一个例子，并说出一种密铺的方案。
（提示：可选用正多边形）
展示几种多边形组合成的密铺图案。
5、作品展示，欣赏评价
6、应用设计：
用2分钟的时间独立完成一个密铺设计，看谁设计得漂亮美观！
（完成后展台展示有代表性的作品，启发学生欣赏他人的优秀创作，分析他人设计的思路，提高自己的审美情趣及思维水平，然后展示教师的艺术设计）
三．全课总结
1、能够单独进行密铺的任意多边形有哪些？
2、能够单独进行密铺的多边形有哪些？
3、密铺时应注意哪些问题？
4、介绍有关密铺的历史知识 课件展示
教学反思
图３
图２
青岛版数学初一下册 教学课题：15.3 多边形的密铺 教师寄语：身边处处存在美，我们应有发现美的眼睛。 学习目标：1、经历探索多边形密铺条件的过程，进一步发展学生的合理推理 能力、合作交流意识，进一步体会平面图形的密铺在现实生活 中的广泛应用。 2、通过探索图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边 形可以密铺，并运用这几种图形进行简单的密铺设计。 3、通过简单的密铺设计，提高学生的审美情趣，增强创造意识。预习要求（工欲善其事，必先利其器） 1.不知同学们是否曾留意过我们周围的墙面和地面是用什么形状的 板砖拼铺而成的？ 2.预习教材P156-- P158的内容。用硬纸板制作若干个边长为3厘米的 正三角形、正方形、正五边形、正六边形。 3.了解密铺的概念、条件。 4.知道哪些正多边形可以密铺，哪些正多边形不可以密铺。 学习过程 前置准备： 1、三角形的内角和是，四边形的内角和是。 2、正n边形的内角和是，每个内角的是度。 自主学习合作共建 任务一：观察图形 的三个图形。 观察教材P 156 1、在生活中你见过这样的图案吗？你还见过哪些类似的图案？有条件的可上网 (https://www.doczj.com/doc/2b17627883.html,/i?tn=baiduimage&ct=201326592&lm=-1&cl=2&fr =ala0&word=%C3%DC%C6%CC%CD%BC%D0%CE)欣赏美丽的密铺图案。 2、如此美丽的图案，这些图案分别有什么图形拼接而成的？ 图（1）是，图（2）是，图（3）是。 3、它们的共同点是。任务二：正多边形的密铺 的拼接方法，用同一种正多边形拼接成一个图案。 1、在小组内仿照P 157 2、通过小组活动，你发现能拼接成平面图案的多边形是 ，不能拼接成平面图案的多边形是。 3、什么是密铺？
15.3 多边形的密铺（1） 一、教案背景 1、面向学生：□中学□小学2，学科：数学 2、课时：1 3、预习要求（工欲善其事，必先利其器） 预习教材P 156-- P 158 的内容。用硬纸板制作若干个边长为3厘米的正三角形、正 方形、正五边形、正六边形。 了解密铺的概念、条件。 知道哪些正多边形可以密铺，哪些正多边形不可以密铺。 二、学习目标： 1、经历探索多边形密铺条件的过程，进一步发展学生的合理推理能力、合作交流意识，进一步体会平面图形的密铺在现实生活中的广泛应用。 2、通过探索图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺，并运用这几种图形进行简单的密铺设计。 3、通过简单的密铺设计，提高学生的审美情趣，增强创造意识。 三、教材分析 “多边形的密铺”是青岛版七年级数学下册第15章第3节内容，是在学生理解并掌握图形的平移、旋转及多边形的内角和与外角和等几何概念的基础上，把数学知识应用于实际生活之中。体现了多边形在现实生活中的应用价值，也是开发、培养学生创造性思维的一个重要渠道。 四、教学方法 本节课主要采用观察、发现、思考、探究、应用等方式方法进行教学，利用学习小组进行合作探究、交流。 五、教学过程 前置准备： 1、三角形的内角和是，四边形的内角和是。 2、正n边形的内角和是，每个内角的是度。 自主学习合作共建 任务一：观察图形 观察教材P 156 的三个图形。 1、在生活中你见过这样的图案吗？你还见过哪些类似的图案？ https://www.doczj.com/doc/2b17627883.html,/i?ct=503316480&z=0&tn=baiduimagedetail&word =%C3%DC%C6%CC%CD%BC%D0%CE&in=1110&cl=2&lm=-1&st=&pn=0&rn=1&di=6807 1991655&ln=1048&fr=&fm=rs3&fmq=1329964686734_R&ic=&s=&se=&sme=0&ta b=&width=&height=&face=&is=&istype=2 2、如此美丽的图案，这些图案分别有什么图形拼接而成的？ 图（1）是，图（2）是，图（3）是。 3、它们的共同点是。任务二：正多边形的密铺 1、在小组内仿照P 157 的拼接方法，用同一种正多边形拼接成一个图案。 2、通过小组活动，你发现能拼接成平面图案的多边形是 ，不能拼接成平面图案的多边形是。 3、什么是密铺？
多边形与密铺 【基本知识】 1．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的多边形分凸多边形和非凸多边形，本节如不特别说明都是指凸多边形。 2． 叫做正多边形。 3．任意n 边形的内角和等于 ，外角和等于 。 4．正n 边形的每个内角的度数是 ，每个外角的度数是 。 5．从n 边形的一个顶点出发可以作 条对角线，任意n 边形都有 条对角线。 6．用形状、大小完全相同的 平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平在图形的 ． 【经典例题】 例1．（1）某凸多边形的内角和与某一个外角的度数之差为2100°,求这个多边形的边数。（2）某凸多边形的一个内角的补角与其他内角的和恰为500°，求这个多边形的边数。（3）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形，它的内角和是?2520，求原多边形的边数． 例2．已知ABCDE 是正五边形，O 是平面内的一点，△DOE 是等边三角形，求∠AOC 的度数。 例3．一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最大的是?140，最小的是?100，求这个多边形的边数．
例4．一个n边形，有且只有三个内角是钝角，求n的最大值． 例5．已知六边形ABCDEF，如图它的每个内角都相等，且AB=1，BC=CD=DE=9，求这个六边形的周长． 例6．（1）用边长相同的正三角形和正方形两种平面图形是否能进行密铺？如果能，请画出草图，说明铺法：如果不能，请说明理由．（2）用边长相同的正八边形和正方形两种平面图形是否能进行密铺？如果能，请画出草图，说明铺法；如果不能，请说明理由． 多边形与密铺练习 一、填空： 1、正八边形的内角的度数是＿＿＿＿。 2、用多边形铺满一个点及其附近区域的本质是要满足，铺在一起的各个角的度数之和为． 3、已知：如图，五角星中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝． 4、四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°，∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3，则∠A ＝． 5、多边形的外角和是，若边数为n，则每个外角为 . 6、多边形每增加一条边，那么它的内角和增加，外角和 . 7、多边形的内角中，最多有个锐角。 8、已知：多边形内角和与外角和的和是2160°，则这个多边形的边数是 . 9、已知：多边形的每个内角都相等，且等于144°，则这个多边形的边数是；另一
平面图形密铺的特点 (1)用一种或几种全等图形进行拼接。 (2)拼接处不留空隙、不重叠。 (3)连续铺成一片。 能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360o，并使相等的边互相重合. 问题1：用形状大小完全相同的正三角形能否密铺？观察每个拼接点处有几个角？他们之间有什么关系？ 用大小完全相同的正三角形可以密铺，每个拼接点处有六个角，他们的和为360度所以，用6个这样的三角形就可以组合起来密铺成一个平面。 问题2：用同一种正方形可以密铺吗？观察每个拼接点处有几个角？他们之间有什么关系？ 拿出自制的正方形演示拼接，观察分析，小组交流探讨出结论。也可以密铺，每个拼接点处有四个角，他们的和也是360度。 问题3：正五、六边形能否密铺？正七、八边形呢？请简述你的理由。 通过上面的长方形、正方形的学习的方法学生很快就会知道：正六边形能密铺。因为正六边形的每个内角都120度,在每个拼接点处，恰好能容纳下3个内角，而且相互不重叠，没有空隙。而正五边形的每个内角都是108°，360不是108的整数倍。在每个拼接点处，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和又大于360°。 在每个拼接处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个角时，必定有重叠现象. 通过实际的拼摆、探究看一看得出:要用正多边形密铺成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个
内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺。 只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺，其他正多边形不可以密铺吗？探究二：用一种任意多边形密铺 问题1：用任意几个全等的三角形能否密铺？观察每个拼接点处有几个角？他们与这种三角形有什么关系？(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导) 结论：任意全等的一种三角形可以密铺，每个拼接点处有六个角（其中有三组分别相等）这六个角的和是360 。 问题2：用任意几个全等的四边形呢？（通过学生动手的拼摆，讨论等多种形式得出结论）结论：任意全等的一种四边形也可以密铺，在每个拼接点处有四个角，这四个角的和是360度。 师：通过以上几种图形的拼摆你能总结出什么规律吗？ 从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360 。 单独使用正方形,等边三角形可以密铺. 单独使用不规则四边形可以密铺. 结论：1.任意全等的三角形能密铺,在每个拼接点处有六个角，而这六个角的和恰好是这个三角形的内角和的两倍，也就是它们的和为360o。 2.任意全等的四边形能密铺,在每个拼接点处有四个角，而这四个角的和恰好是这个四边形的内角和，也就是它们的和为360o。
《密铺》教学设计 教学内容：北师大版数学四年级下册数学好玩之《密铺》。 教材分析：这是一节根据有关平面图形特点进行观察、操作、思考和简单设计的实践活动。教材分三部分安排：第一部分，通过观察生活中常见的用砖铺成的地面或墙面，初步理解什么是图形的密铺。第二部分通过动手操作和思考，探索三角形和四边形能否进行密铺。并了解能够进行密铺的平面图形的特点，知道有些平面图形可以密铺，而有些则不能；从而在活动中进一步体会密铺的含义，更多地了解有关平面图形的特征。第三部分，通过欣赏和设计简单的密铺图案，进一步感受图形密铺的奇妙，获得美的体验。并能够对自己在活动中的表现进行自我评价和反思。 学情分析： （1）知识水平：学生已经学习了图形的平移、旋转及多边形的内角和等知识；具有了相关的知识经验； （2）能力和方法水平：学生已经具备一定的推理能力，能初步运用“猜想——验证——归纳”的数学思想方法来探究问题； （3）心理水平：该阶段的学生虽然已经具备一定的知识经验，但是还是有较强的好奇心，也有较强的表现欲； （4）思维水平：学生的思维以直接经验为主，间接经验相对较少。在学习过简单平面图形的基础上，学生已经对平面图形有了初步的印象，并能准确的认识各种简单平面图形。对于密铺，学生已经有了较为直观的生活体验，只是还未形成系统的理论知识。 在此基础上进行密铺理论知识的学习和活动设计，符合学生认知发展规律，是对学生生活经验的提炼和再加工，从而形成较为系统的初步抽象的理论知识。在这个知识系统的帮助下，可以进一步让学生认识到数学的美，激发对数学学习的兴趣，是对学生进行的一次头脑风暴，对于培养学生的数学应用意识有很大的帮助。基于以上认识，本课的设计重点放在让学生动手操作、探究，从而获得丰富的知识经验和积极的情感体验。学习过程中充分发挥小组长作用，小组内进行充分的交流讨论，通过经历与组内同伴动手拼图以及设计密铺图形等活动过程，知道三角形、四边形、正六边形可以密铺，并知道有些图形是不能密铺的。在整个活动中，教师参与到组内讨论，并指导。最后在学生活动和交流的基础上，教师组织学生进行评价、自我评价和反思，内化知识经验与知识
《平面图形的密铺》教学设计 □温州实验中学南赛月 【教材分析】 《平面图形的密铺》是北师大版数学教材八年级上册第四章的一节活动课，它是在学生学习了“四边形、特殊四边形的基本性质”和“多边形内角和、外角和定理”等知识的基础上，进一步解决生活中的实际问题。 【教学目标】 1．知识目标：通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形、正六边形可以密铺，能运用这几种图形进行简单的密铺设计，培养学生的创造性思维。 2．能力目标：促使学生在活动中，勇于探索图形间的相互关系，培养学生的空间观念，发展学生的合情推理能力。提高分析问题、解决问题能力的同时渗透数形结合的思想。 3．情感目标：开发、培养学生的创造性思维，使其理论联系实际。培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用。 【教学重难点】 1．教学重点：探索、发现多边形密铺的条件。 2．教学难点：运用三角形、四边形、正六边形进行简单的密铺设计。 【教学过程】 一、创设情景，引入课题 师：大家知道我手里拿的是什么吗？对，拼图！玩过拼图吗？（手拿一幅拼图） 生：玩过！ 师：在拼图过程中，你是如何判断两块拼板是否拼接的？ 生：从颜色一致及拼接时没有缝隙，可以连成一片来判断。 师：每当我们完成一幅拼图，我们会发现每一块拼板彼此之间不留缝隙。只要大家仔细观察，生活中也有许多的拼接图案，如： 师：观察这些图案中的拼接图形有哪些特点？ 生：第一幅和第二幅图是由大小相同的六边形和正方形组成。第三幅和第四幅由几种形
状、大小相同的图形组合而成。 师：这些图形在拼接时有什么特点？ 生：密密麻麻铺成一片，没有空隙。 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。 二、走入生活，提出问题 师：前几天，我去一位朋友家做客，发现他们家装潢得很漂亮。（展示图片） 客厅浴室阳台 师：在生活中，我们经常能见到各种花色和品种各异的地砖。仔细观察，就能发现这些墙壁和地面通常是用几种多边形砖铺砌成美丽的图案。如果你是房子的主人，你想用什么形状的地砖来设计你的房子。 生：三角形、四边形、五边形、六边形…… 师：可以想象，同学们的设计一定会很独特，但你们的设计是否都合理？下面，我们一起来探讨。 三、合作交流，解决问题 1.活动一：正六边形能否进行密铺？ 材料：若干个形状相同的正六边形。 形式：由学生代表板演密铺过程。 目的：通过学生动手实践、独立思考，解决简单密铺问题。 师：这个图案看起来十分熟悉，大家觉得它像什么？
密铺的定义与正多边形密铺 密铺的定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。 正多边形的密铺 正六边形可以密铺，因为它的每个内角都是120度，在每个拼接点处恰好能容纳3个内角；正五边形不可以密铺，因为它的每个内角都是108度，而360不是108的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象；除正三角形、正四边形和正六边形外，其它正多边形都不可以密铺平面。 我们都知道，铺地时要把地面铺满，地砖与地砖之间就不能留有空隙。如果用的地砖是正方形，它的每个角都是直角，那么4个正方形拼在一起，在公共顶点处的4个角，正好拼成一个360度的周角。正六边形的每个角都是120度， 3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的3个角度数的和正好也是360度。除了正方形、长方形以外，正三角形也能把地面密铺。因为正三角形的每个内角都是60度，6个正三角形拼在一起时，在公共顶点处的6个角的度数和正好是360度。 正因为正方形、正六边形拼合以后，在公共顶点上几个角度数的和正好是360度，这就保证了能把地面密铺，而且还比较美观。 因为只有正三角形、正方形、正六边形的内角为360°的约数，因此正多边形中仅此三者可以密铺。 密铺的示例 生活中的密铺 由于密铺可以无限地覆盖整个平面，因而常用来进行大面积的装饰。 如：地板、墙纸、街道两旁的地砖，等等。 街道两旁的道路常常用一些几何图案的砖铺成，地砖的形状往往是正方形的，也有长方形的，我们还见过正六边形的地砖。无论是正方形、长方形、还是正六边形的地砖，都可以将一块地面的中间不留空隙、也不重叠地铺满，这就是密铺。 可密铺的组合
综合与实践：《多边形的密铺》 教学目标： 1.通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形、正六边形可以密铺，能运用这几种图形进行简单的密铺设计。 2.促使学生在活动中，勇于探索图形间的相互关系，培养学生的空间观念，发展学生的合情推理能力，获得一些研究问题的方法和经验，同时渗透数形结合、分类的数学思想。 3.通过合作学习、动手实践，感受学习数学的乐趣，发展学生的合作意识。 教学重点：通过实验探究、讨论交流发现密铺的条件。 教学难点：用多边形进行密铺的原理。 教学准备：多媒体、实验报告单，正三角形、正方形、正六边形、正五边形、任意三角形、任意四边形纸片6—8张。 教学过程： 一、设计情景，引入课题 1.生活中常见的地板、墙面铺设。 定义：由若干个多边形既无空隙、又不重叠地拼接，将平面完全覆盖，称为多边形的密铺，这就是平面图形的密铺。 二、实践与探究，合作发现 活动1：探究只用一种多边形进行密铺。 请同学们拿出准备好的正多边形纸片，以小组为单位，试一试，用同一种正多边形（如正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）能否密铺成平面图案。如果能，共有几种正多边形能密铺成平面图案？请完成以下实验报告单。 实验一、探究只用一种正多边形进行密铺
【结论】一种正多边形能进行密铺的条件：如果一种正多边形可以进行密铺，那么它的一个内角的k 倍__________360°。 思考：除了上述三种正多边形外，还有没有其他的正多边形？只有同样大小的这种正多边形就可以进行密铺？ 解：设正多边形的边数为n ，在拼接点处有k 个角，则有： 360180)2(=?-?n n k n n k 2)2(=- 24 224)2(222-+ =-+-=-= n n n n n k 又n ≥3，且n 为正整数。 ∴n -2为4的约数 ∴n -2= 1或2或4 ∴n = 3或4或6 结论：只有正三角形、正方形、正六边形三种图形可以密铺。 活动2：用两种正多边形进行密铺。 1.用正三角形与正方形结合拼图，能否密铺成平面图案？请你试一试。 2.还有没有其他用两种正多边形镶嵌的图案？请完成以下实验报告单。 实验二：探究用两种正多边形进行密铺 (实验材料：边长为3cm 的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形纸片若干) 【结论】如果用两种正多边形进行密铺，在拼接点处的各内角的度数和一定等于_________。两种正多边形的边长_______________。 思考：用几个正三角形与正六边形可以密铺？ 解：设一个顶点周围有m 个正三角形、n 个正六边形，则有方程： m ×60°＋n ×120°=360° ∴ m +2n =6，又m 、n 为正整数，解得m =2，n =2，或者m =4，n =1。 即用两个正三角形和两个正六边形或者用四个正三角形和一个正六边形可以密铺。 延伸：用正四边形与正八边形能否密铺？若能，则在一个顶点处有_____个正方形_____个正八边形。
图形的密铺 教学目标 1、通过观察生活中常见的密铺现象，初步理解密铺的含义， 2、在探究多边形密铺条件的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。进一步发展学生的合情推理能力，能运用几种图形进行简单的密铺设计。 3、通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，使学生体会到图形之间的转换，充分感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程来激发学生学习数学的兴趣。教学重点与难点 教学方法 小组探究式学习，提前做好四个以上全等的三角形，全等的正多边形，全等的等腰梯形，一般梯形学具，组内分工，人人都做一部分 教学过程 一．引课 像地面、墙面一般都是用长方形或正方形砖密铺而成的，我们还学过许多平面图形，这些平面图形是不是都能密铺呢？ 1、选一选 请你在学过的图形中选一选你认为可以密铺的图形。 师：大多数同学都认为平行四边形，等边三角形，等腰梯形，正五边形都是能够密铺的。怎么没有人选择圆呢？为什么？ 生：圆在铺的时候出现空隙。 2、铺一铺 师：是这样吗？这些都只是你们的猜想。（板书：猜想） 这些猜想都正确么？我们还需要~验证。我们怎么来验证呢？ 二，新课（板书：验证） 如果你4个图形全部验证完了，可以和同桌交流下怎么验证的，你的结论是什么。 （1.）平行四边形： 你们认为平行四边形可以密铺么？为什么？ 我们来看下这两位同学的。他们是不是没有空隙，也不重叠？她们的拼法有区别吗？ 小结：无论是对齐铺还是错开铺，她们都没有缝隙，没有重叠所以我们能证明密铺。 师：再看这两位同学，她们都没有铺满一屏，也能证明平行四边形是能密铺的么？请这位同学说说你的想法。
师：同学们能想象得出来么？大家闭上眼睛，想象下，继续往左铺，往右铺，往上铺。我们来看下视频，和你想的一样么？还能继续铺么？ 这位同学由部分的拼，想到了整体的密铺。很简洁地证明了平行四边形是可以密铺的。 这里用到了我们数学学习中的一个非常重要的方法：局部——整体。板书（局部—整体） (2)等边三角形： 等边三角形可以密铺吗？ 这位同学将两个完全一样的三角形转化成平行四边形。因为平行四边形已经证明是能够密铺的，所以他认为等边三角形也能密铺。这里，他用到了我们数学学习中一个非常重要的思想——转化推理。。板书：转化推理 （3）等腰梯形： 聚焦一个局部——整体，一个转化 老师看到同学们主要有这样的两种方法，你能看懂吗？ 谁来说说看。 小结：在刚才几位同学的交流中，我们看到大家在研究时都用到了局部——整体，和转化推理的方法。 （4）正五边形： A:很多同学都发现在拼的过程中有缝隙，所以不能密铺。 B：这位同学拼起来没有缝隙，那是不是就说明正五边形能密铺呢？ 生：不能。（动画演示整体） 所以我们一定要从局部想到整体。 小结：刚才我们通过大胆的猜想，然后动手进行验证，现在得到什么结论了呢？学生说一说。在研究过程中你们有哪些收获呢？这些数学思想方法可以让我们的验证更加简洁。。（板书：结论） 三．引深 刚才我们研究的是等边三角形、等腰梯形能够密铺的，是不是就说明任意三角形和任意梯形都能密铺么？我们的研究一般都是由特殊到一般。老师给大家提供了任意三角形和任意梯形，你们也像刚才一样猜想、验证一下，在研究过程中也可以运用转化、推理的方法。试试看。 （1）任意三角形 （2）任意梯形 聚焦：展示同学们拼的任意三角形和任意梯形。基本都是用转化的方法，转化成平行四边形。 小结：课后，同学们还可以用这些方法，继续研究六边形、七边形、八边形等等，看看他们能不能密铺。