〖圆的定义〗
几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗
圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.149323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗
圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d
扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S
〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。
【圆的平面几何性质和定理】
〖有关圆的基本性质与定理〗
圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗
一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
〖有关切线的性质和定理〗
圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。
切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。
〖有关圆的计算公式〗
1.圆的周长C=2πr=πd
2.圆的面积S=πr2
3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr2/360=rl/2
5.圆锥侧面积S=πrl
弦切角定义
顶点在圆上，一边和圆相交，另
图示
一边和圆相切的角叫做弦切角。
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC(∠PCA为弦切角）。
弦切角定理
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）
弦切角定理证明：
证明一：设圆心为O，连接OC，OB,连接BA并延长交直线T于点P。
∵∠TCB=90-∠OCB
∵∠BOC=180-2∠OCB
此图证明的是弦切角∠TCB
∴,∠BOC=2∠TCA（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）
∴∠TCA=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）
证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC 所夹的弧.
求证：（弦切角定理）
证明：分三种情况：
（1）圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径，AB切⊙O于A，
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角
B点应在A点左侧
（2）圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,
若在优弧m所对的劣弧上有一点E
那么，连接EC、ED、EA
则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴∠CEA=∠CAB
∴（弦切角定理）
（3）圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴（弦切角定理）
弦切角推论:若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
举例: 例1：如图，在中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.
解：连结OA，OB.
∵在中, ∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=1/2a(ＲＴ△中30°角所对边等于斜边的一半）
例1：如图，在中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.
解：连结OA，OB.
∵在中, ∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=1/2a(ＲＴ△中30°角所对边等于斜边的一半）
例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.
求证：EF∥BC.
证明：连DF.
AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
证明：∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B，
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD，
即AC平分∠MCD，
同理：BC平分∠NCD.
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
如图中，切线长AC=AB。
∵∠ABO=∠ACO=90°
BO=CO=半径
AO=AO公共边
∴RtΔABO≌RtΔACO（H.L）
∴AB=AC
∠AOB=∠AOC
∠OAB=∠OAC
切线长定理推论：圆的外接四边形的两组对边的和相等
切线长的概念．如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
推广：连接BC，BC⊥AO
相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
相交弦说明
几何语言：
若弦AB、CD交于点P
则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P，
则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）
编辑本段如何证明
证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB ＝PC·PD
注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）
推导圆的面积公式 教学目标 1.学生通过观察、操作、分析和讨论，找出拼前圆形和拼后图形各部分之间的联系，从而推导出圆的面积公式。能够利用公式进行简单的面积计算。 2.渗透转化思想，初步了解极限思想。培养学生的观察能力和动手操作能力。 3.培养学生集体观念。利用小组合作学习，使学生养成互相合作、互相帮助的好品质。 教学重点和难点 1.学生通过自己的观察、操作，找出拼前圆的各部分与拼后图形各部分之间的联系。 2.用不同的方法推导出圆的面积公式。 教学用具 每组两个同样大的等分成16份的圆。 教学过程设计 （一）复习引课 1.投影一个圆，引出课题。 问：（1）你都知道圆的哪些知识？ （2）已知直径怎样求圆的周长？ 板书：C=πd （3）已知半径怎样求圆的周长？ （4）已知半径怎样求圆周长的一半？ （5）你还想学习圆的什么知识？ 师：这节课我们就来满足你们的愿望。一起研究圆的面积。（投影复合出圆的面积。） 板书：圆的面积 2.质疑引趣。 师：老师家里想买一个茶叶筒。老师看上两种不同的样式（拿出实物），一个是正方形形状的，一个是圆柱体形状的。可老师家桌面很小，想买一个占桌面面积小的，我应该选哪一个
呢？谁能帮老师拿个主意？为什么你们都没有确切的把握？这个问题与什么知识有关？上完这节课后，看谁能帮老师解决实际问题。 3.复习旧知。 问：（1）以前我们学过哪几种平面图形的面积？ （2）想一想，我们用什么方法推导出平行四边形面积公式的？（投影过程） 质疑：圆的面积公式能不能也用分割拼摆的方法把圆转化成学过的图形推导出来呢？ 问：（1）圆与我们以前学过的平面图形有什么不同？ （2）如何能把曲线转化成近似的线段呢？这就是我们首先要研究的问题。 （二）新授教学 问：圆的大小与谁有关？ 师：沿半径把圆平均分成若干份，剪开拉直，你会发现什么？ 投影：把3个等圆分别平均分成4份、8份、16份。拉开，看曲线的变化。 问：继续分，32份、64份，你发现了什么规律？ 生：平均分的份数越多，曲线越趋近于直的线段。 师：这个问题解决了，我们试着把圆分割、拼摆，转化成以前学过的什么图形？ 2.学生剪拼。 问：把圆平均分成若干份，沿着圆的什么分？为什么这么分？ （1）每组有两个等分成16份的圆，只剪一个圆。组长先剪成4份，每人再剪，看哪组快。师：每人拿起其中一份。圆的周长是C，这个近似三角形的底是多少？
九年义务教育第十一册第94页 圆的面积计算公式的推导 江油市世纪奥桥小学吴琼 设计意图： 拓展学生的思路，培养学生的创新能力，多角度来推导圆的面积计算公式。教学目标： （一）知识与技能 1．知道圆面积的含义。 2．理解和掌握圆面积的计算公式。 （二）过程与方法 1. 通过公式推导培养操作、观察、比较、分析、判断、推理、归纳概括能力，发展空间观念。 2．培养学生迁移类推能力。 （三）情感态度价值观 1.通过对圆面积公式的推导，认识到事物在一定条件下可以互相转化，渗透转化和极限的思想和方法。 2.运用转化思考方法解决实际问题， 探究过程： 1．回忆学过的图形面积公式的推导过程。 2．推导圆面积的计算公式。 （1）教师指导转化。
将已分成16等份的圆用剪刀把每一份剪开，用这些近似等腰三角形的小纸片依次横着拼起来，并用固体胶粘在纸上，看能拼成什么图形？ （2）学生动手操作。 按照老师的示范，请同学们动手剪拼一下，看到底能拼成什么图形。（学生动手操作。） 谁能向大家汇报一下，你把圆拼成了一个什么图形？（生答：拼成了一个近似的平行四边形。请把你拼好的图形放在实物投影上展示给大家看。） （3）课件演示过程。 把圆分成16等份，这些小纸片可以拼成一个近似的平行四边形；把圆分成32等份，可以拼成一个近似的长方形；如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。） （4）推导面积公式。 拼成的长方形与圆有什么联系？同位讨论。 学生汇报讨论结果。生答师继续演示课件。 生：拼成的长方形的面积与圆的面积相等。 师：这个长方形的长和宽与圆的周长和半径有什么关系？ 生：长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径。 因为长方形的面积＝长×宽 所以圆的面积＝周长的一半×半径 S＝πr×r S＝πr2 [设计意图：动手操作是学生学习数学的重要方式，让学生经历公式的推导过程，
推导圆面积计算公式的三种教法评介 发表时间：2011-12-27T16:51:29.107Z 来源：《数学大世界——教学导向》2011年第6期供稿作者：夏忠 [导读] 让学生自学课本中推导圆面积计算公式的过程。 福建省寿宁县鳌阳小学夏忠 教学圆面积公式的推导，我曾听过三种不同的教法，现分别简介过程及稍作评点。 〔第一种教法〕 （１）复习长方形面积计算公式。 （２）让学生自学课本中推导圆面积计算公式的过程。 （３）教师边用教具演示，边要求学生回答： ①拼成的图形近似于什么图形？想一想，如果等分的份数越多，拼成的图形会怎么样？ ②拼成的图形与原来圆的面积相等吗？ ③这个近似长方形的长相当于圆的什么？它的宽相当于圆的什么？ （４）教师要求学生说出由长方形面积计算公式，推导出圆面积计算公式的方法（可按课本说）。 （５）揭示圆的面积公式。 〔评：这种教法，看起来是引导学生自学，并结合演示让学生回答问题，似乎学生学得较主动，实际上学生未有实践、思考的过程，只是“依样画葫芦”，对其中的道理不能弄懂、弄通，这属于机械的学习。〕 〔第二种教法〕 １、导入新课。 教师让学生回忆一下，以前学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算时，是用什么方法推导它们的计算公式的。（用割、拼法拼成长方形或平行四边形进行计算，教师出示割、拼教具分别作简单的演示。）接着，出示一张圆形硬纸片，问：“怎样计算它的面积呢？”（揭示课题）教师指出：我们仍可用以前学过的割、拼法，把圆转化为已学过的图形，运用此图形的面积计算方法，推导出圆面积的计算方法。 ２、实际操作。要求学生拿出圆面积的割拼图形学具，在教师的指导下，边操作，边回答以下问题： ①把一个圆平分成两半，每一个半圆形的哪一部分长度相当于圆周长的１／２？再把每一个半圆形平均分成８等份（如课本的切割图），那么哪一段的长度相当于圆的半径？ ②想一想：能不能把这些等分出的图形，拼成近似于我们以前学过的图形？怎样拼？（要求学生动手实践，并指名演示拼出的几种不同的图形。如：长方形、平行四边形、梯形等。） ③所拼出的图形面积与原来圆面积相等吗？ ３．推导公式。 先以拼出的近似长方形的图形为例，教师引导学生弄清，若平分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。进而，教师要求学生据图回答：割拼后的长方形的长相当于圆的哪一部分长度？宽相当于圆的哪一部分的长度？从而由长方形的面积＝长× 宽↓ ↓得圆的面积＝ π ｒ× ｒ＝ π ｒ［２］。 然后，出示拼出的近似的平行四边形或梯形，再次推导看能否得出上面的圆面积公式（略）。这样就得到了证实，使学生确信无疑。 〔评：这种教法比第一种教法有很大的改进，教师首先通过复习旧知，提出解决问题的办法，把新旧知识有机结合起来，明确了本课中心内容，然后让学生亲手操作割拼成几种学过的图形，引导学生观察、思考、比较、推导，其间不囿于课本中的推导方法，让学生思维得以发散，从而强化了转化思想，多渠道地推得圆面积计算公式。学生在学习过程中，始终处于积极主动的状态，这种学习是有意义的学习，不仅使他们“学会” ，而且使他们“会学”，且有助于发展学生的智能。〕 〔第三种教法〕 １、引入新课。 教师开导：圆在日常生活、生产实践及科学实验中，有着广泛的应用。上节课我们学习了圆的周长计算，但仍不够，还要学会计算圆的面积。如计算一个雷达圆形屏幕的面积，一个圆形花圃的面积等。怎样才能算出它的面积呢？ （揭示、板书课题）。 ２、创设情境。 教师用几张相等的圆纸片，运用折纸、剪纸的方法，分别折剪成正四边形、正八边形、正十六边形，然后再分别与原来的图纸片叠在一起，见下图：折四等份剪成折八等份剪成折十六等份剪成正四边形正八边形正十六边形引导学生观察、对比三个内接正多边形与圆的面积差（阴影部分）谁大谁小，并启发学生归结出：折成的等份数越多，剪成的正多边形边数越多，它就越接近圆。其中正多边形的每等份（三角形）就越接近圆的每等份。 ３、推导公式。 师：同学们现在要计算圆的面积，选用哪种正多边形为好？为什么？生［，１］：选正十六边形为好，因为它较接近圆。生［，２］：选边数越多的正多边形更好，因为它更接近圆。 师：回答得很好，根据现有的右图，怎样计算圆的面积呢？请大家思考以下问题： （１）圆的面积相当于多少个三角形面积之和？ （２）这些三角形的底边之和相当于圆的什么？ （３）每个三角形的高相当于圆的什么？ 学生边回答，教师边板书：正十六边形的面积＝Ｓ［，三角形］× １６↓＝底边× 高÷ ２× １６＝底边× １６× 高÷ ２↓ ↓圆的面积＝２πｒ × ｒ ÷ ２＝ π ｒ［２］
圆的面积公式推导教案 教学目标; 1、通过操作，使学生理解圆的面积公式推导过程，掌握圆的面积的方法并能正确计算。 2、激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。 3、渗透转化的数学思想和极限思想 教学重点： 1、理解圆的面积公式的推导过程。 2、掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。 教学难点：理解圆的面积公式的推导过程。 教具准备：多媒体课件，圆片，剪刀。学具准备：分成十六等分的圆硬片，剪教学过程： 一、故事导入 【设计意图】引起学生学习兴趣，同时也让学生明白这个故事与所要学习的内容有联系。【出示课件1、2】 二、出示学习目标【出示课件3】 【设计意图】让学生清楚学习的重点，难点是什么？也提醒老师要有的放矢。 三、学习新知 （一）、定义： 1、摸一摸哪里是圆的面积？圆所占平面的大小就是圆的面积。【出示课件4】（二）、小组交流【出示课件5】 圆与以前我们研究的平面图形有什么不同？ 不同之处：圆是由一条封闭曲线围成的平面图形，而以前学过的平面图形都是由几条线段围成的封闭图形。 如何化曲为直呢，推导出它的面积公式呢？ （三）复习旧知，渗透极限思想【出示课件6】
1、还记得这些平面图形的面积计算公式吗？ 2、平行四边形的面积公式推导过程还记得吗？（我们是通过剪拼的方法把它转化成长方形的。）【出示课件7、8】 小结：把圆转化成哪一个我们学过的平面图形，从而得到它的面积公式。（四）小组合作学习【出示课件9、10、11、12、13、14】 （1)老师引导学生将圆化曲为直，先将圆沿直径剪开，然后沿半径再把圆平均分成偶等份。然后把剪成多份并用拼的方法将其转化成学过的规则图形。 (2)请学生观察四组图。随着份数的不断增加，有何发现？【出示课件15】 （3）转化后的图形面积与圆的面积有什么关系？【出示课件16】 （4）长方形各部分相当于圆的什么？【出示课件17】 (5）试着推导出圆的面积公式。【出示课件18】 （五）风采展示 1、学生汇报推导过程。 2、学生齐读圆面积公式。并说一说圆的面积大小与什么有关系？ 【设计意图】这两个环节是在教师的引导和启发中，每个学生都动口，动手，动脑，培养学生学习的主动性和积极性。 （六）当堂测试与应用 1、做课件图示，求半径为2分米的圆的面积【出示课件19】 2、做课前出示的圆形花坛的面积。【出示课件20】 3、根据下面所给的条件，求圆的面积。【出示课件21】 （1）、半径2分米 （2）、直径10厘米 4、一个雷达屏幕的直径是40厘米，它的面积是多少平方厘米？ 5、判断对错： （1）圆的半径越大，圆所占的面积也越大。（） （2）圆的半径扩大3倍，它的面积扩大6倍。（） 【设计意图】在当堂测试与应用中设计了基本练习与综合练习。基本练习主要是加强学生对圆面积的认识，并能计算圆的面积。综合练习是培养学生的综合应用
圆面积公式的各种证明方法刘晓丽李小龙 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
圆面积公式的各种证明方法证明方法1：转化（小学段） （1）拼成平行四边形，4份，8份，16份。 （2）拼成长方形。 近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 长方形的面积 = 长×宽 圆的面积 = πr × r 所以，圆的面积公式是：S =πr2 （3）拼成两层平行四边形（两层） 近似平行四边形的面积 = 底×高 圆的面积 = 1 2 C × 2r = 1 2πr × 2r 所以，圆的面积公式是： S =πr2（4）用三角形（小）拼 三角形的面积 = 1 2×底×高 圆的面积 = 1 2×（ 1 16× C ）× r ×16 所以，圆的面积公式是：S =πr2（5）拼成梯形 梯形的面积 = 1 2（上底+下底）×高 圆的面积 = 1 2×（ 5 16 + 3 16）× C × 2r 所以，圆的面积公式是：S =πr2
拼成三角形（大） （6）三角形的面积 = 1 2底×高 圆的面积 = 1 2×（ 1 4× C ）× 4r 所以，圆的面积公式是：S =πr2 证明方法2： 半径为r的圆的圆周长为2πr 1.先将圆周等分成n份:每份长为2πr/n. 2.连接每个分点与圆心,并且连接各个分点,组成三角形. 3.那么,根据三角形面积公式,该圆的面积近似等于:(n-1)·r·(2πr)/n/2.(因为在n充分大时,各个三角形的高近似等于r,并且有n-1个三角形,所以有该公式) 取极限:l im (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2,因为lim(n→+∞)(n-1)/n=1 所以lim (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2=πr^2 证明方法3：极限法（高中段: 以圆的正n边形表示圆的面积: 设圆的半径为r,内接一个正n边形,它的任意一边所对的圆心角为2π/n,先算出其中一个三角形的面积(用两边夹角的公式S=(1/2)a*b*sinC),然后得到这个正n六边形的面积: Sn=(n/2)r2sin(2π/n) 当n无限增大时,内接正n边形的形状无限接近于圆,它的面积也无限接近圆的面积.求这个极限要用一高等数学中一个重要的极限公式(函数的极限): 当x→0时,lim[(sinx)/x]=1 [题外话:这个极限的几何意义是,当x无限减小时,y=sinx的图象与直线y=x是重合的,在这种情况下,我们可以用x的值来代替sinx,以在某些领域做近似计算]
学习目标： 1.通过动手操作，让学生能推导出圆面积的计算公式，并能运用公式解答一些简单的实际问题。 2.激发学生学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。 3.渗透转化的数学思想。 学习内容： 《新课程标准》指出：要让学生经历探索物体与图形基本性质、变换、位置关系的过程，掌握圆的基本性质。 圆的面积是本单元的教学重点，也是今后进一步学习圆柱、圆锥等知识的基础。本课是在学生已经掌握长方形面积的基础上，通过直观演示，把圆分割成若干等份，再拼成一个近似的长方形，然后由长方形面积公式推导出圆面积的计算公式。通过本节课的教学，不仅要使学生掌握圆面积的计算公式的推导，而且还能应用公式进行有关圆的面积计算。 教学重点： 利用圆面积计算公式正确计算圆的面积。 教学难点： 圆面积计算公式的推导。 教具学具准备： 多媒体课件、圆的面积公式 学情分析： 本课是在学生已经掌握长方形面积的基础上，通过直观、演示，把圆分割成若干等份，再拼成一个近似的长方形，然后由长方形面积公式推导出圆面积的计算公式。
圆的面积是本单元的教学重点，也是今后进一步学习圆柱体，圆锥体等知识的基础，本节课的教学目的要求是： １．通过学生操作、观察推导出圆面积的计算公式，并能运用公式正确计算圆的面积。 ２．通过教学培养学生初步的空间观念。 ３．渗透转化数学思想。本节课的教学重点是观察操作总结圆面积公式。难点是理解公式的推导过程。关健是弄清圆与转化后的近似长方形之间的关系。本课教学，采用直观演示和学生动手操作等方法，充分运用电教媒体辅助教学，由圆转化为近似的长方形，总结出圆的面积公式，并能在实际中加以运用。 教学过程 一、导入明标： 1、复习导入： 为了激发兴趣，课件出示图片：一片草地中间拴着一只小狗，这只小狗的最大活动范围有多大?让学生明白小狗的最大活动范围就是一个圆。这个圆所占平面的大小又叫什么？ 2、板书课题："圆的面积"。 3、出示学习目标： 二、自学质疑： 独立阅读课本并自学例１，自己尝试完成圆的面积公式推导。并利用推导出的圆的面积计算公式做例题1。 三、小组交流： 小组4人交流圆的面积公式推导过程，并说说各字母所代表的意义。 四、展示点拨：
圆面积公式的三种推导方法 圆是个封闭的曲线图形，用面积单位度量求面积是行不通的，要么用初等数学中的剪拼的方法把圆转化为学过的简单图形计算面积，要么用高等数学定积分的方法求解。笔者就初等方法谈几点粗浅的认识，对于提高数学思维能力不无裨益。下面就将圆分别剪拼成三角形、平行四边形（长方形）、梯形来计算面积的方法作具体详细的分析。 在剪拼的过程中，图形的大小没有发生变化，只是形状改变了。圆的面积等于拼成的近似图形的面积。 一、将圆剪拼成三角形的方法 把圆平均分成四份，得到四个小扇形，再把小扇形如下图拼成一个近似三角 形。若圆的半径为r ，近似三角形的底可以看作两个扇形的弧长之和r π24 2?，高可以看作是两个半径r 2，则近似三角形的面积为22)24 2(21r r r S ππ=???=，即圆的面积为2r π。 把圆平均分的份数越多，拼成的图形就越近似于三角形。要拼成三角形，分的份数只能是2n （22≥n 的整数）份，将圆2n 等份后，拼成的三角形叠了n 层扇形，最后一层有12-n 个扇形 ，其中扇形的顶点向上的是n 个扇形，向下的是 1-n 个扇形，故近似三角形的底为n r n r n ππ222=?，高为nr ，则近似三角形的面积为2221r nr n r S ππ=??=，即圆的面积为 2r π= S 。下面是把圆9等份的剪拼图示，
二、将圆剪拼成平行四边形的方法 把圆平均分成四份，得到四个小扇形，再把小扇形如图拼成一个近似平行四边形。同样，圆的半径为r ，近似平行四边形的底可以看作2个扇形并成的为r π24 2?，高可以看作是小扇形的半径r ，则近似平行四边形的面积为222r r r S ππ=??=，即圆的面积为2r π= S 。 同样的把圆平均分的份数越多，拼出来的图形越接近平行四边形，当分的份 数无限大时，拼出的图形也可以看作是长方形。要拼成平行四边形，分的份数只能是n 2（2≥n 的自然数）份，将圆n 2等份后，拼成的平行四边形（叠了一层） 的底为n r n 22π?，高为半径r ，则平行四边形的面积为222r r n r n S ππ=??=，即圆的面积2r π= S 。 同样可以考虑叠2层，3层等。下面是把圆8等份后，由两层扇形拼成平行四边形的图示；
数学有形思想无痕 ——圆的面积公式的探索 董文华 一、在折剪中悟“极限” 师：在前几节课的学习中，我们知道了圆是最美丽的平面图形。现在我们举行一个“小巧手”比赛，每小组都备有纸和剪刀，想办法剪一个圆，比一比谁剪的最漂亮（小组活动后交流） 小组1：（举起两个纸片）我们小组先是随意剪，怎么也剪不圆。对折一次再剪，剪了半圈，这次剪得好多了，但是仍不太圆。 小组2：我们小组把纸对折了两次，剪了圆弧的四分之一，剪起来比较接近圆。 小组3：（举着剪好的像花瓣一样的纸片）我们小组遇到了麻烦，把纸对折三次，剪了一刀展开后像一朵花一样。 师：其他小组有没有这种情况 小组4：我们小组刚开始也出现了这些问题，试了几次后发现了窍门，纸片折好后应该尽量剪直线，这样才能避免剪出花瓣形状。 师：这个发现很重要，大家可以再尝试着剪一剪。 （学生再次尝试，不断发出惊喜的声音。每个小组纷纷把最得意的作品展示在黑板上。）
师：想一想，圆是个曲线图形，为什么要“直着剪”展开后才会更圆 学生1：受刘徽的“割圆术”的启示，正多边形最接近圆，“直着剪”其实就是剪了一个圆内的正多边形。 学生2：剪的时候，要尽量的多对折，剪出的边越多越接近圆。 师：认真观察黑板上我们的作品，你有什么发现 学生1：我们刚才剪“圆”时，对折时留下了许多折痕，其实就是圆的半径，和圆弧围成了许多近似的小三角形，折的次数越多的作品越接近三角形。 学生2：圆其实可以看成是由一些近似的等腰三角形组成的。 二、在探究中巧“转化” 师：如何求圆的面积能不能像推导三角形、平行四边形的面积公式那样推导出圆的面积计算公式 （小组活动后交流） 小组1：我们把圆对折三次平均分成8个小三角形，三角 形的底是圆周长的1 8，三角形的高也就是圆的半径r，推出 圆的面积公式：1 8×2∏r×r÷2×8＝∏r2； 小组2：折的次数越多分的份数就越多，我们可以这样想
圆的面积公式的证明 山东省莱芜市陈毅中学初四八班郑康杰作 设f(x)= r 2?x 2(r>0) 证明之前，我们需要明确f(x)= r 2?x 2(r>0)的图形一定是一个半径为r 半圆，为什么是个半圆？这么基础的问题你们就自己考虑吧。 我们只需要证明| f x dx|=πr 22r ?r 即可（为什么积分的上下限分别为r 和-r ，想想这个函数与x 轴的两个交点的 坐标），我们想要计算定积分 f x dx r ?r ，就必须要计算出F(x),使得 F ’(x)=f(x),怎么计算呢？用不定积分去计算即可，计算过程： 设x=rsint f x dx = r 2?x 2dx = r 2? rsint 2d(rsint)= r 1? sint 2d(rsint) = rcost d rsint = r ?cost ?rcost dt = r 2? cost 2dt =r 2? cost 2dt =r 2? 1+cos 2t dt =r 2? 1+cos2t dt =r 2? 1 dt + cos2t dt =r 2? t +sin 2t =r 2t +r 2?sin 2t （为了计算简便，我省去了常数C ） ∵x=rsint ∴sint=x r ∴t=arcsin(x r ) 将t=arcsin(x r )代入r 2t 2+r 2?sin 2t 4得， ∴F x =r 2arcsin(x r )2+r 2 ?sin2?arcsin(x r )4 接下来，再用微积分基本定理计算 f x dx r ?r 即可。 f x dx r ?r =F r ?F ?r = r 2arcsin r r 2+r 2?sin 2?arcsin r r 4 ? r 2arcsin ?r r 2+r 2?sin 2?arcsin ?r r 4