6.4 根据下列象函数及所标注的收敛域,求其所对应的原序列。 (1)1)(=z F ,全z 平面 (2)∞<=z z z F ,)(3 (3)0,)(1>=-z z z F
(4)∞<<-+=-z z z z F 0,12)(2
(5)a z az z F >-=
-,11
)(1
(6)a z az
z F <-=-,11
)(1
6.5 已知1)(?k δ,a
z z
k a k
-?
)(ε,2
)1()(-?z z k k ε,试利用z 变换的性质求下列序
列的z 变换并注明收敛域。
(1))(])1(1[2
1k k
ε-+ (3))()1(k k k
ε-
(5))1()1(--k k k ε (7))]4()([--k k k εε (9))()2
cos(
)2
1(k k k
επ
6.8 若因果序列的z 变换)(z F 如下,能否应用终值定理?如果能,求出)(lim k f k ∞
→。
(1))3
1
)(21(1
)(2+-+=z z z z F (3))2)(1()(2--=z z z z F
6.10 求下列象函数的双边逆z 变换。
(1)31
,)31)(21(1)(2<--+=
z z z z z F (2)21
,)3
1)(21()(2>--=
z z z z z F (3)2
1,)
1()2
1
()(23
<
--=
z z z z z F
(4)
2 1
3
1
,
)1
(
)
2
1
(
)
(
2
3
<
<
-
-
=z
z
z
z
z
F
6.11 求下列象函数的逆z 变换。 (1)1,1
1
)(2>+=
z z z F (2)1,)
1)(1()(2
2>+--+=z z z z z
z z F (5)1,)
1)(1()(2>--=
z z z z
z F
(6)a z a z az
z z F >-+=,)
()(3
2
6.13 如因果序列)()(z F k f ?,试求下列序列的z 变换。
(1)
)(0
i f a
k
i i
∑= (2)∑=k
i k
i f a
)(
6.15 用z 变换法解下列齐次差分方程。 (1)1)1(,0)1(9.0)(=-=--y k y k y
(3)3)1(,0)0(,0)(2)1()2(===-+-+y y k y k y k y
6.17 描述某LTI 离散系统的差分方程为
)()2(2)1()(k f k y k y k y =----
已知)()(,4
1
)2(,1)1(k k f y y ε==
--=-,求该系统的零输入响应)(k y zi ,零状态响应)(k y zs 及全响应)(k y 。
6.19 图6-2为两个LTI 离散系统框图,求各系统的单位序列响应)(k h 和阶跃响应)(k g 。
6.20 如图6-2的系统,求激励为下列序列时的零状态响应。 (1))()(k k k f ε= (3))()
3
1()(k k f k
ε=
6.23 如图6-5所示系统。
(1)求该系统的单位序列响应)(k h 。
(2)若输入序列)()2
1()(k k f k ε=,求零状态响应)(k y zs 。
6.24 图6-6所示系统, (1)求系统函数)(z H ; (2)求单位序列响应)(k h ;
(3)列写该系统的输入输出差分方程。
6.26 已知某LTI 因果系统在输入
)()2
1
()(k k f k ε=时的零状态响应为
)(])3
1
(2)21(2[)(k k y k k zs ε+=
求该系统的系统函数)(z H ,并画出它的模拟框图。
图6-12
6-29 已知某一阶LTI 系统,当初始状态1)1(=-y ,输入)()(1k k f ε=时,其全响应
)(2)(1k k y ε=;当初始状态1)1(-=-y ,输入)(2
1
)(2k k k f ε=
时,其全响应)()1()(2k k k y ε-=。求输入)()2
1
()(k k f k ε=时的零状态响应。
6.31 如图6-10所示的复合系统由3个子系统组成,已知子系统2的单位序列响应
)()1()(2k k h k ε-=,子系统3的系统数1
)(3+=
z z
k H ,当输入)()(k k f ε=时复合系统的零状态响应)()1(3)(1k k k y ε+=。求子系统1的单位序列响应)(1k h 。
6.33 设某LTI 系统的阶跃响应为)(k g ,已知当输入为因果序列)(k f 时,其零状态响应
∑==k
i zk i g k y 0
)()(
求输入)(k f 。
6.34 因果序列)(k f 满足方程
∑=+=k
i i f k k k f 0
)()()(ε
求序列)(k f 。
6.37 移动平均是一种用以滤除噪声的简单数据处理方法。当接收到输入数据)(k f 后,就将
本次输入数据与其前3次的输入数据(共4个数据)进行平均。求该数据处理系统的频率响应。
6.46 如图6-所示为因果离散系统,)(k f 为输入,)(k y 为输出。 (1)列出该系统的输入输出差分方程。 (2)问该系统存在频率响应否?为什么?
(3)若频响函数存在,求输入)8.302
cos(20)(
+=k k f π
时系统的稳态响应)(k y ss 。
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1 (,)F x y , 2 (,)F x y 及3 (,)F x y . (1) 2222 1x y a b +=;(2) 22 22 1x y a b -=;(3)2 2y px =;(4) 223520; x y x -++= (5)2 226740 x xy y x y -+-+-=.解:(1) 221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ?? ?; 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-;(2) 221 0010 0001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ; 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =-;3 (,)1F x y =-.(3) 0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ; 1(,)F x y p =-;2 (,)F x y y =;3 (,)F x y px =-;(4) 510 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??; 15(,)2F x y x =+ ;2 (,)3F x y y =-;3 5(,)22 F x y x =+;(5)
222420 x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解:详解 略.(1)4k <-;(2)1k =或3k =(3)1k =或5k =;(4) 4924 k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于 何种类型的(1) 22230 x xy y x y ++++=;(2) 22342250 x xy y x y ++--+=;(3)24230xy x y --+=. 解:(1)由2 2(,)20 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1 X Y =-或1:1-且属于抛物型的; (2)由2 2(,)3420 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3 X Y i =-且属于椭圆型的; (3) 由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线,无心曲线还是线心曲线. (1)2 2224630 x xy y x y -+--+=;(2)2 2442210 x xy y x y -++--=; (3)2 281230 y x y ++-=;(4)2 296620 x xy y x y -+-+=.解:(1) 因为2 1110 12I -= =≠-,所以它为中心曲线; (2)因 为2 120 24 I -= =-且121 241-=≠--,所以它为无心曲线; (3)因为2 00002I = =且004 026 =≠,所以它为无心曲线; (4)因为2 930 3 1 I -==-且933312--==-,所以它为线心曲线;
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为: ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且(1)母线平行于x 轴;(2)母线平行于直线c z y x ==,,试求这些柱面的方程。 解:(1)从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ,得到:25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即:02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 (2)取准线上一点),,(0000z y x M ,过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为: ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上,所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到:026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上,所以: ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ,得到:010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解:过 又过准线上一点),,(1111z y x M ,且方向为{ }1,1,1的直线方程为: ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程,并消去t 得到: 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ,母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=,试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为: S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明:对柱面上任一点),,(z y x M ,过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M ',则, v M =' 即 1、求顶点在原点,准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解:设为锥面上任一点),,(z y x M ,过M 与O 的直线为: z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ,即存在t ,使zt Z yt Y xt X ===000,,,将它们代入准线方程,并消去参数t ,得: 0)()(222=-+--y z y z z x 即:02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--,准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ,试求它的方程。
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ,2(,)F x y 及3(,)F x y . (1)22221x y a b +=;(2)22 221x y a b -=;(3)22y px =;(4)223520;x y x -++= (5)2226740x xy y x y -+-+-=.解:(1)221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???;121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-;(2)2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ;121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-;3(,)1F x y =-.(3)0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ; 1(,)F x y p =-;2(,)F x y y =;3(,)F x y px =-;(4)51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??; 15(,)2F x y x =+;2(,)3F x y y =-;35 (,)22 F x y x =+;(5)1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ;11(,)232F x y x y =- -;217(,)22F x y x y =-++;37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.(1)550 x y --=
习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?
(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?
(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5,→→→+-=b a BC 82,)(3→ →→-=b a CD ,证明:A 、B 、D 三点共线. 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线,又∵B 为公共点,从而A 、B 、D 三点共线. 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,证明:三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明: )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点,O 是任意一点,证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知:0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5,设M 是平行四边形ABCD 的中心,O 是任意一点,证明 OA +OB +OC +OD =4OM . [证明]:因为OM = 21 (OA +OC ), OM =2 1 (OB +OD ), 所以 2OM =2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD =4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半. 图1-5
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 (2)∞<<-∞=-t e t f t ,)( (3))()sin()(t t t f επ= (4))(sin )(t t f ε= (5))(sin )(t r t f = (7))(2)(k t f k ε= (10))(])1(1[)(k k f k ε-+= 解:各信号波形为 (2)∞<<-∞=-t e t f t ,)( (3))()sin()(t t t f επ= (4))(sin )(t t f ε= (5))(sin )(t r t f = (7))(2)(k t f k ε= (10))(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 (1))2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε (2))2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f (5))2()2()(t t r t f -=ε (8))]5()([)(--=k k k k f εε (11) )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ (12))]()3([2)(k k k f k ---=εε 解:各信号波形为 (1))2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε (2))2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
(5) )2()2()(t t r t f -=ε (8))]5()([)(--=k k k k f εε (11) )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ (12))]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是,确定其周期。 (2))6 3cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f (5))sin(2cos 3)(5t t t f π+= 解: 1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示,画出下列各函数的波形。 (1))()1(t t f ε- (2))1()1(--t t f ε (5) )21(t f - (6))25.0(-t f (7)dt t df ) ( (8)dx x f t ?∞-)( 解:各信号波形为 (1))()1(t t f ε- (2) )1()1(--t t f ε (5))21(t f -
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程: (1)通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面(2)通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面; (3)已知四点)3,1,5(A ,)2,6,1(B ,)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面,并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解: (1)Θ }1,2,2{21--=M M ,又矢量}2,0,1{-平行于所求平面, 故所求的平面方程为: 一般方程为:07234=-+-z y x (2)由于平面垂直于xoy 面,所以它平行于z 轴,即}1,0,0{与所求的平面平行,又}3,7,2{21-=M M ,平行于所求的平面,所以要求的平面的参数方程为: 一般方程为:0)5(2)1(7=+--y x ,即01727=--y x 。 (3)(ⅰ)设平面π通过直线AB ,且平行于直线CD : }1,5,4{--=,}2,0,1{-= 从而π的参数方程为: 一般方程为:0745910=-++z y x 。 (ⅱ)设平面π'通过直线AB ,且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB , }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行,所以π'的参数式方程为: 一般方程为:0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式:
042:=+-+z y x π. 解: π与三个坐标轴的交点为:)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--, 所以,它的截距式方程为: 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为:}4,0,4{},0,2,4{-, ∴ 所求平面的参数式方程为: 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为: 0=++CZ BY AX . 证明: 不妨设0≠A , 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为: 故其方位矢量为:}1,0,{},0,1,{A C A B --, 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为: ,}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ,求B 点的z 坐标. 解: Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知:0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
一、信号的傅里叶变换对 ?傅氏正变换 ?傅氏反变换 二、欧拉公式 三、常用信号傅里叶变换 1、第1组---时域:模拟单频信号 ?傅里叶变换: ) (ω δ πA A ? t t f F t d e)( ) (jω ω- ∞ ∞ - ?= ω ωωd e) ( 2 1 )(j t F t f?∞∞-π = 00 00 j j j j 1 cos(e e) 2 1 sin(e e) 2j t t t t t t ωω ωω ω ω - - =+ =- []) ( ) ( cos ω ω δ ω ω δ π ω- + + ? t 1 t )(t δ ω t )(t δ 时域单位冲激函数及频谱 t ω t ) (ω δ ) ( 2ω δ πA 时域直流函数及频谱 正弦、余弦函数及频谱
? 频谱图: ? 物理含义:类似于直流信号,都是只含某一个频率的频率分量,所以它们 的密度频谱都是冲激函数。 2、第2组 时域: 数字信号 ? 单位冲激序列函数 为 周期且 波形图 频谱图 ? 单脉冲信号 波形图 频谱图 [] )()(sin 000ωωδωωδπω--+ ?j t t e 0j ωt 0cos ω t 0sin ω∑∞ -∞=-=n T nT t t ) ()(δδ0 2ωπ=T T ∑∑∞ -∞ =∞ -∞=-=-?n n T n n T t ) ()(12)(000ωωδωωωδπδ()a () b ) 2 ( Sa )()(00ωτ τω=?F t f
周期矩形脉冲( 幅度为 1 、宽度为τ、周期为 T ) 的傅立叶变换。 波形图 四、傅里叶变换的几个重要结论(性质) (1)带宽受限于无限 时域受限 频域无限 频域受限 时域无限 (2)时域卷积与频域卷积 )()()()(2121ωωF F t f t f ??* )()()()(2121t f t f F F ??*ωω (3)尺度展缩 ∑∑∞ -∞=∞ -∞=-=-? n n T n n n n T t f )()2(Sa )()2(Sa 2)(00000ωωδτωτωωωδτωπτ 2 τ 2 -2 2
解析几何第四版吕林根 课后习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程: (1)通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面(2)通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面; (3)已知四点)3,1,5(A ,)2,6,1(B ,)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面,并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解: (1) }1,2,2{21--=M M ,又矢量}2,0,1{-平行于所求平面, 故所求的平面方程为: 一般方程为:07234=-+-z y x (2)由于平面垂直于xoy 面,所以它平行于z 轴,即}1,0,0{与所求的平面平行,又 }3,7,2{21-=M M ,平行于所求的平面,所以要求的平面的参数方程为: 一般方程为:0)5(2)1(7=+--y x ,即01727=--y x 。 (3)(ⅰ)设平面π通过直线AB ,且平行于直线CD : }1,5,4{--=,}2,0,1{-= 从而π的参数方程为: 一般方程为:0745910=-++z y x 。 (ⅱ)设平面π'通过直线AB ,且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB , }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行,所以π'的参数式方程为: 一般方程为:0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式: