2014年北京高考数学（理科）试题
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.已知集合2
{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D
2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）
.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+
3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+??=+?
（θ为参数）的对称中心（ ） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上
.C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上
4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）
.7A .42B .210C .840D
5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）
.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件
.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件
6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥??-+≥??≥?
且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）
.2A .2B - 1.2C 1.2
D -
7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）
（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠
（C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠
8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，
他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9.复数211i i +??= ?-??________. 10.已知向量a r 、b r 满足1a =r ，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r ，则λ=________.
11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2
214
y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.
12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n
项和最大.
13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种
14. 设函数)sin()(?ω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[
ππ上具有单调性，且 ??
? ??-=??? ??=??? ??6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）
15. （本小题13分）如图，在ABC ?中，8,3==
∠AB B π，点D 在BC 边上，且7
1cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin
（2）求AC BD ,的长
16. （本小题13分）.
李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率.
（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一
场不超过6.0的概率.
（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明
在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）
17.（本小题14分）
如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,.
（1）求证：FG AB //；
（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.
已知函数
()cos sin ,[0,]2
f x x x x x π=-∈， （1）求证：()0f x ≤；
（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.
19.（本小题14分）
已知椭圆22:24C x y +=，
（1）求椭圆C 的离心率.
（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.
20.（本小题13分）
对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L ，记111()T P a b =+，
112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤L ，其中
112max{(),}k k T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a +++L 两个数中最大的数，
（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.
（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.
（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）A （3）B （4）C
（5）D （6）D （7）D （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）-1 （10（11）22
1312
x y -= 2y x =± （12）8 （13）36 （14）π
三、解答题（共6小题，共80分）
解：（I ）在ADC ?中，因为17
COS ADC ∠=
，所以sin ADC ∠=。 所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠
sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠
=14
33237121734=?-?。 （Ⅱ）在ABD ?中，由正弦定理得
8sin 3sin AB BAD BD ADB ?∠===∠， 在ABC ?中，由余弦定理得
2222cos AC AB BC AB BC B =+-??
22185285492
=+-???= 所以7AC =
（16） (I)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.
（Ⅱ）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。
则C=AB AB U ，A,B 独立。 根据投篮统计数据，32(),()55
P A P B ==. ()()()P C P AB P AB =+
33225555
=?+? 1325
= 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，
一场不超过0.6的概率为1325
. （Ⅲ）EX x =.
（17）（共14分）
解：（I ）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE 。
又因为AB ?平面PDE ，
所以AB ∥平面PDE ，
因为AB ?平面ABF ，且平面ABF I 平面PDF FG =，
所以AB ∥FG 。
（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE,所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.
如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ,(2,1,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)F , BC uuu r (1,1,0)=.
设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则 0,0,n AB n AF ??=???=??u u u r u u u r 即0,0.x y z =??+=?
令1,z =，则1y =-。所以(0,1,1)n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为a,则
1sin cos ,2n BC a n BC n BC
?===u u u r u u u r u u u r 。 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6
π
设点H 的坐标为(,,).u v w 。 因为点H 在棱PC 上，所以可设(01),PH PC λλ=u u u r u u u r p p ，
即(,,2)(2,1,2).u v w λ-=-。所以2,,22u v w λλλ===-。 因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AB ?=u u u r ，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-?-=。 解得23λ=，所以点H 的坐标为422(,,).333
。
所以2PH == （18）（共13分）
解：（I ）由()cos sin f x x x x =-得
'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-。
因为在区间(0,)2π上'()f x sin 0x x =-p ，所以()f x 在区间0,2π??????
上单调递减。 从而()f x (0)0f ≤=。
（Ⅱ）当0x f 时，“sin x a x f ”等价于“sin 0x ax -f ”“sin x b x
p ”等价于“sin 0x bx -p ”。 令()g x sin x cx =-，则'()g x cos x c =-，
当0c ≤时，()0g x f 对任意(0,)2x π
∈恒成立。 当1c ≥时，因为对任意(0,)2x π∈，'()g x cos x c =-0p ，所以()g x 在区间0,2π??????
上单调递减。从而()g x (0)0g =p 对任意(0,
)2x π∈恒成立。 当01c p p 时，存在唯一的0(0,)2x π
∈使得0'()g x 0cos x c =-0=。
()g x 与'()g x 在区间(0,
)2π上的情况如下：
因为()g x 在区间00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g =f 。进一步，“()0g x f 对 任意(0,)2x π
∈恒成立”当且仅当()1022g c ππ=-≥，即20c π
≤p ， 综上所述，当且仅当2c π≤时，()0g x f 对任意(0,)2x π∈恒成立；当且仅当1c ≥时， ()0g x p 对任意(0,)
2
x π∈恒成立。 所以，若sin x a b x p p
对任意(0,)2x π∈恒成立，则a 最大值为2π
，b 的最小值为1.
（19）
解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为22
142
x y +=。 所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=。因此2,a c ==
故椭圆C 的离心率c e a =
=。 （Ⅱ） 直线
AB 与圆222x y +=相切。证明如下：
设点A,B 的坐标分别为0
0(,)x y ，(,2)t ，其中0
0x ≠。
因为OA OB ⊥，所以0OA OB ?=u u u r u u u r ，即0020tx y +=，解得002y t x =-。 当0x t =时，2
02
t y =，代入椭圆C 的方程，得t =， 故直线AB 的方程为x =O 到直线AB
的距离d = 此时直线AB 与圆222x y +=相切。
当0x t ≠时，直线AB 的方程为0
022()y y x t x t
--=--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=，
圆心0到直线AB 的距离
d =
又220024x y +=，00
2y t x =-故
d =
== 此时直线AB 与圆222x y +=相切。
（20）
解：（I ）1()257T P =+=
{}11()1max (),24T P T P =++{}1max 7,6=+=8
（Ⅱ）2()T P {}max ,a b d a c d =++++
2(')T P ={}max ,c d b c a b ++++. 当m=a 时，2(')T P ={}max ,c d b c a b ++++=c d b ++ 因为c d b c b d ++≤++，且a c d c b d ++≤++，所以2()T P ≤2(')T P 当m=d 时，2(')T P {}max ,c d b c a b =++++c a b =++ 因为a b d ++≤c a b ++，且a c d c a b ++≤++所以2()T P ≤2(')T P 。 所以无论m=a 还是m=d ，2()T P ≤2(')T P 都成立。 （Ⅲ）数对序列:P （4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的5()T P 值最小， 1()T P =10， 2()T P =26， 3()T P =42， 4()T P =50， 5()T P =52