三角函数 2018年6月
考纲要求：
基本初等函数Ⅱ（三角函数）
1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念.
（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数
（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出
2
π±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x , y = t a n x 的图象，了解三角函数的周期性.
（3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ??
-
??
?内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式：
sin 2x +cos 2x = 1,
sin tan .cos x
x x
= （5）了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解参数,,A ω?对函数图象变化的影响.
（6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
三角恒等变换
1．和与差的三角函数公式
（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
（十一）解三角形
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2．应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
对于三角函数与三角恒等变换的考查：
1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用.
2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等.
3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合.
对于解三角形的考查：
1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合.
2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题. 3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.
考向一三角恒等变换
样题1 （20XX年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，
它们的终边关于y轴对称.若
1
sin
3
α=，则cos()
αβ
-=___________.
【答案】
7 9 -
样题2 已知
324βαπ<<<π，12cos()13αβ-=，3
sin(),5
αβ+=-则sin 2α=
A
B
C
D 【答案】B
解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.
考向二 三角函数的图象和性质
样题3 （20XX 年高考新课标Ⅰ卷）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π
3
)，则下面结论正确的是
A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D
样题4（20XX 年高考新课标Ⅲ卷）设函数()π
(3
cos )f x x =+，则下列结论错误的是
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()y f x =的图象关于直线8π
3
x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6
x = D ．()f x 在(
π
2
,π)单调递减
【答案】D
样题5 （20XX 年高考浙江卷）已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ． （1）求2(
)3
f π
的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．
考向三 利用正、余弦定理解三角形
样题6 （2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连
接CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．
样题7 （2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，
B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2
3sin a A
.
（1）求sin B.sin C ;
（2）若6cos B.cos C =1，a =3，求ABC △的周长.
样题8 （2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
()2
sin 8sin 2
B A
C +=． （1）求cos B ；
（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．
考向四解三角形的应用
样题9 宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱
B C D）．当返回舱距地
预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为,,
面1万米的P点时（假定以后垂直下落，并在A点着陆），C救援中心测得返回舱位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得返回舱位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．
（1）求,B C两救援中心间的距离；
（2）求D救援中心与着陆点A间的距离．
三角函数本省历年高考题总结
20XX 年
（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则
cos2θ=
（A ）45-
（B ）35- （C ）35 （D ）45
（11）设函数()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ω?ω?ω?=+++><
的最小正周期为π，且
()()f x f x -=，则
（A ）()f x 在0,
2π?? ???单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ
??
???
单调递减 （C ）()f x 在0,2π??
???
单调递增 （D ）()f x 在3,44
ππ??
???
单调递增 20XX 年
（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2
π
π上单调递减。
则ω的取值范围是（ ）
()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1
(0,]2
()D (0,2]
（17）（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c --= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。
20XX 年
15．设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.
17．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.
(1)若PB ＝1
2
，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .
20XX 年 8.设(0,
)2π
α∈，(0,)2
π
β∈，且1sin tan cos βαβ+=
，则 A .32
π
αβ-=
B .22
π
αβ-=
C .32
π
αβ+=
D .22
π
αβ+=
16. 已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且
(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 .
20XX 年
(2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝
(A )2-
(B )2 (C )12- (D )1
2
(8)函数f (x )＝的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为
(A )()，k (b )()，k
(C )()，k (D )()，k
(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 . 20XX 年
12.已知函数()sin()(0),2
4
f x x+x π
π
ω?ω?=>≤=-
，
为()f x 的零点，4
x π
=
为
()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ??
???
，单调，则ω的最大值为
（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 （17）（本题满分为12分）
ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（I ）求C ； （II ）若7,c ABC =33
，求ABC 的周长．
2018年各省三角函数高考题总结
北京卷：（7）在平面直角坐标系中，记d 为点到直线x 的
距离，当
m 变化时，d 的最大值为
（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4 （11）设函数f (x )= ，若f
对任意的实数x 都成立，
则
的最小值为______
（15）（本小题13分）在△ABC 中，a =7,b =8,cos B =-，
（Ⅰ）求∠A ：
（Ⅱ）求AC 边上的高。
江苏卷：7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-
<<的图象关于直线3
x π
=对称，
则?的值是 ． 13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=?，ABC ∠的平分线交AC
于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ． 16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4
tan 3
α=
，5cos()αβ+=．
（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．
17．（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的
地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
全国卷2：6.在
中，cos
=
，BC=1，AC=5，则AB=
A.4
B.
C.
D.2
15.已知sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，则sin （α+β）=________。 16.已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为，SA 与圆锥底面所成角为
45°，若△SAB 的面积为,则该圆锥的侧面积为________。
全国卷3：4.若1
sin 3
a =
，则cos2a = A.89 B.79 C.79- D.89-
9.?ABC 的内角A ，B ，C 的对便分别为a ，b ，c ，若?ABC 的面积为222
4
a b c +-，则C=
A.
2π B.3π C.4π D.6
π
15.函数
36
f x cos x =+π（）（）
在[0，π]的零点个数为 。
天津卷：(6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移
10
π
个单位长度，所得图象对应的函数
(A)在区间35[
,]44
ππ
上单调递增
(B)在区间3[
,]4
π
π上单调递减 (C)在区间53[
,]42
ππ
上单调递增
(D)在区间3[
,2]2
π
π上单调递减 （15）（本小题满分13分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知
sin cos()6
b A a B π=-.
（I ）求角B 的大小； （II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.
浙江卷：5.函数y=
sin2x 的图象可能是
A B C D 13.在?ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a=√7，b=2，A=60°，则sinB=
.c=
.
18.（本题满分14分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （
，
）。
（I）求sin（α+π）的值；
（II）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值。