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数学中的四个“心”

在数学中几何等等题目中经常出现外心，内心，重心，垂心，这些名词在我们的题目中出现的频率很高，所以我们有必要把这四个“心”单独列出来，彻底的弄清楚。

.外心：指三角形三条边的垂直平分线的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

性质：到外心到三角形的三个顶点距离相等

内心：内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

性质：内心到三边的距离相等。

重心：重心是三角形三边中线的交点。

性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

垂心：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

性质：1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.

2、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

(专题精选)初中数学三角形全集汇编及答案

（专题精选）初中数学三角形全集汇编及答案一、选择题 1．如图，正方体的棱长为6cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（） A ．9 B ．310 C ．326+ D ．12 【答案】B 【解析】【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．【详解】解：如图，AB=22(36)3310++= ．故选：B ．【点睛】此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了． 2．如图，在?ABCD 中，E 为边AD 上的一点，将△DEC 沿CE 折叠至△D ′EC 处，若∠B ＝48°，∠ECD ＝25°，则∠D ′EA 的度数为（）

A．33°B．34°C．35°D．36° 【答案】B 【解析】【分析】由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°， ∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°， ∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°. 故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键． 3．等腰三角形两边长分别是 5cm 和 11cm，则这个三角形的周长为（） A．16cm B．21cm 或 27cm C．21cm D．27cm 【答案】D 【解析】【分析】分两种情况讨论：当5是腰时或当11是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．【详解】解：当5是腰时，则5+5<11，不能组成三角形，应舍去；当11是腰时，5+11＞11，能组成三角形，则三角形的周长是5+11×2=27cm．故选D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质, 三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质, 三角形三边关系是解题的关键． 4．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是() A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【答案】D 【解析】【详解】 A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误； B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误； C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误； D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．

(易错题精选)初中数学三角形经典测试题及答案

（易错题精选）初中数学三角形经典测试题及答案一、选择题 1．如图，在ABC ?中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ??= A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】【分析】根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论. 【详解】题干中作图方法是构造角平分线，①正确； ∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30° ∴∠ADC=60°，②正确 ∵∠DAB=∠B=30° ∴△ADB 是等腰三角形 ∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a 在△ADB 中，DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?，13(CD+DB)22 BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=，④正确故选：D 【点睛】本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.

2．AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（） A ．4 B ．3 C ．6 D ．2 【答案】B 【解析】【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．【详解】解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线， ∠EAD=∠FAD DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ， ∴DF=DE ，又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4， 11742222 AC ∴=??+?? ∴AC=3. 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键. 3．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cm A ．6 B ．8 C 5 D ．5 【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C ＝x+2x+3x ＝180°，解得x ＝30°，

经典初中数学三角形专题训练及例题解析

知识点梳理考点一、三角形 1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2、三角形的分类. ?????钝角三角形直角三角形锐角三角形 ??? ????) (等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 4、三角形的重要线段 ①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心 ②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心 ③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同) 5、三角形具有稳定性 6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 7、多边形的外角和恒为360° 8、多边形及多边形的对角线 ①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． ②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。 ③多边形的对角线的条数: A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。三角形 (按角分) 三角形 (按边分)

边形共有 2)3 ( n n 条对角线。 9、边形的内角和公式及外角和 ①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n≥3)。 ②多边形的外角和等于360°。 10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。 ①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。 ②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。 2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 3、全等变换只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 2、三角形中的中位线

初中数学三角形经典测试题及解析

初中数学三角形经典测试题及解析一、选择题 1．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=600，那么∠DAE等于（） A．45°B．30 °C．15°D．60° 【答案】C 【解析】【分析】先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果．【详解】解：∵ABCD是长方形， ∴∠BAD=90°， ∵∠BAF=60°， ∴∠DAF=30°， ∵长方形ABCD沿AE折叠， ∴△ADE≌△AFE， ∴∠DAE=∠EAF=1 2 ∠DAF=15°．故选C．【点睛】图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量． 2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B 【解析】【分析】根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD .得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求

【详解】 ∵ BD 是∠ABC 的平分线， ∴ ∠ABD ＝∠EBD . 又∵ ∠A ＝∠DEB ＝90°，BD 是公共边， ∴ △ABD ≌△EBD (AAS)， ∴ AD ＝ED ，AB ＝BE ， ∴ △DEC 的周长是DE ＋EC ＋DC ＝AD ＋DC ＋EC ＝AC ＋EC ＝AB ＋EC ＝BE ＋EC ＝BC ＝10 cm. 故选B. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 3．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( ) A ．2cm ，3cm ，5cm B ．7cm ，4cm ，2cm C ．3cm ，4cm ，8cm D ．3cm ，3cm ，4cm 【答案】D 【解析】【详解】 A ．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误； B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误； C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误； D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．故选D ． 4．如图，在ABC V 中，AB AC =，30A ∠=?，直线a b ∥，顶点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若1145∠=?，则2∠的度数是（） A ．30° B ．35° C ．40° D ．45° 【答案】C

问题是数学的心脏

"问题是数学的心脏",这是数学家哈尔莫斯说的一句名言。所以我们认为培养学生解决数学问题的能力就是学生数学学习的核心。古人有云：“言为心声，言乃说，心乃思。”说的是语言是思维的工具，也是思维的结果。而数学学习活动主要是思维的活动，培养学生运用准确的数学语言表述思维过程和结果，既可以使知识得到巩固，又能促进思维过程的发展。所以对于低年级学生来讲，加强学生“说”的训练，是培养和发展学生的思维能力，也是培养他们数学问题解决能力的有效途径。以下就谈谈我的一点点看法：一、创设情景，激发学生说的兴趣如：教学一年级上册“比较大小”这一课时，有步骤地创设了如下的问题情景：小猴过生日了，邀请了小兔和小熊来做客。热情好客的小猴拿出了家里的所有水果来请他的好朋友。出示课件，师：小猴先拿出了哪种水果啊，有几个？学生：小猴拿出了4个梨子。这时，老师提出问题了：不过，在分水果的时候，小猴遇到困难了，它不知道每个人分一个梨子够不够分？你们能帮帮小猴吗？通过创设这样一些“问题情境”，使学生在一种愉悦的氛围中，把自己的想法说了出来。从而进入最佳的学习状态，为主动探究新知识凝聚动力，也让学生的思维活跃起来，提高课堂有效性。二、说题意，提高解决问题能力低年级学生由于年龄特点，教材运用了大量孩子喜闻乐见，丰富多彩的图画，但由于只有大量的图而缺少了文字的叙述，所以我们首先要做的就是让学生理解图意，说出图意，也就是培养学生“看图说数学”的习惯，也为孩子最后的解决问题打下良好的基础。一开始，对于低年级学生，特别是刚入学不久的学生，让他们看图说话，他们也许并没有感受到其中的数学内容，只是看到什么说什么。所以我们作为老师就要适时的引导，通过老师的引导，使学生懂得按一定的顺序观察，数数。比如最常用的一句话：“现在我们就用数学的眼睛来看看，观察下图上到底藏了那些数学信息。”通过这样一句话，就可以把孩子的兴趣引导数学上来，通过多次引导，让孩子懂得如何看图说数学。当学生会用简单的数学语言说

人教版初中数学三角形经典测试题含答案

人教版初中数学三角形经典测试题含答案一、选择题 1．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（） A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=1 2 ∠ADC D．∠ADE= 1 3 ∠ADC 【答案】D 【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得， ∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以 1 3 x y ，即∠ADE= 1 3 ∠ADC．故答案选D．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理． 2．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）

A．13B．5C．22D．4 【答案】A 【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°． ∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD1=13．故选A. 考点: 1.旋转；2.勾股定理. 3．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（） A．30 B．36 C．45 D．72 【答案】B 【解析】【分析】由CA=CB，可以设∠A=∠B=x．想办法构建方程即可解决问题；【详解】解：∵CA=CB， ∴∠A=∠B，设∠A=∠B=x． ∵DF=DB， ∴∠B=∠F=x， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x， ∴x+2x+2x=180°， ∴x=36°，

数学中乘法心算法

数学中乘法心算法一、两位数乘两位数。 1.十几乘十几：口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。例：12×14 =？解:1×1 = 1 2 + 4 = 6 2 × 4 = 8 12 × 14 = 168 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 2.头相同，尾互补(尾相加等于10)：口诀：一个头加１后，再头乘头，尾乘尾。例：23 × 27 =？解：2 + 1 = 3 2 × 3 = 6 3 × 7 = 21 23 × 27 = 621 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 3.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加１后，再头乘头，尾乘尾。例：37×55=？解：3+1=4 4×5=20 7×5=35

37 × 55 = 2035 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 4.几十一乘几十一：口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。例：21×41=？解：2×4=8 2+4=6 1×1=1 21 × 41 = 861 5.11乘任意数：口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。例：11×23125 =？解：2+3=5 3+1=4 1+2=3 2+5=7 2和5分别在首尾 11 × 23125 = 254375 注：和满十要进一。 6.十几乘任意数：口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。例：13×326 =？解：13个位是3

3×3+2=11 3×2+6=12 3×6=18 13 × 326 = 4238 注：和满十要进一。二、平方速算（“-”表示一个“0”） 1、求11～19 的平方底数的个位与底数相加，得数后添0为前积，底数的个位乘以个位，得数为后积，再两个和相加例：17 × 17 17 ＋ 7 = 24- 7 × 7 = 49 即：240 + 49 = 289 17 × 17 = 289 注：和满十要进一。参阅乘法速算中的“十位是1 的两位相乘” 2、个位是1 的两位数的平方底数的十位乘以十位（即十位的平方），得为前积，底数的十位加十位（即十位乘以2），得数为后积，再在个位加1。例：71 × 71 7 × 7 = 49-- 7 × 2 = 14- 71 × 71 = 5041 参阅乘法速算中的“个位数是1的两位数相乘

初中数学相似三角形的经典综合题

初中数学相似三角形的性质与应用经典试题一、知识体系： 1．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等； ②相似三角形的对应边成比例； ③相似三角形对应边上的高之比，对应边上的中线之比，对应角的角平分线之比都等于相似比； ④相似三角形的周长之比等于相似比。 ⑤相似三角形的面积之比等于相似比的平方（2 k ）。二、典型例题：例1：若△ABC∽△A′B′C′，且,, 3 4AB A B ，△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（） A ．18 B ．20 C ．154 D ．80 3 针对练习： 1．已知△ABC∽△DEF，且△ABC 的三边长为3、4、5，若△DEF 的周长为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是（） A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．3 2．一直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值为（） A ．7 B ．5 C ．7或5 D ．无数个例2：（2014江苏南京，3）若△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1:2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（） A ．1:2 B ．2:1 C ．1:4 D ．4:1 针对练习： 1．两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的面积之差为322 cm ，那么小三角形的面积为（） A ．102 cm B ．142 cm C ．162 cm D ．182 cm 2．如图，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 面积之比是 ▲ 。 3．如图，平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE ，若△DEF 的面积为a ，则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ （用a 的代数式表示）。 4．如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上的一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ，若△ABE 的面积为3，△ECD 的面积为1，则△BCE 的面积为 ▲ 。

人教版初中数学全等三角形证明题经典50题

人教版初中数学全等三角形证明题（经典50题）（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD? 解析：延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE =∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2 ∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ，所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝ 180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝ ∠FAC 又因为AC ＝AC 所以 △ADC ≌△AFC （SAS ）所以 AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝ AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中， AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。证明:在BC 上截取BF=BA,连接 EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则 ⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则 ∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 证明：AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF 全等于三角形DCB ，所以:∠C=∠F C D B D C F E A B A C D F 2 1 E

三角形几个心(重心、垂心、内心、外心)

三角形的重心：含义：是三角形三条中线的交点。性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为 ((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) 在空间直角坐标系中，横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点三角形的外心：含义：是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合

4.OA=OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 6.S∠ABC=abc/4R 三角形的内心：含义：是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt∠ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 6.S∠=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

经典--初中数学三角形专题训练及例题解析

经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形 1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2、三角形的分类. ?? ? ??钝角三角形直角三角形锐角三角形 ???????) (等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 4、三角形的重要线段 ①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心 ②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心 ③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同) 5、三角形具有稳定性 6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 7、多边形的外角和恒为360° 8、多边形及多边形的对角线 ①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． ②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。 ③多边形的对角线的条数: A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。三角形 (按角分) 三角形 (按边分)

B.n 边形共有 2)3 ( n n 条对角线。 9、边形的内角和公式及外角和 ①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n≥3)。 ②多边形的外角和等于360°。 10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。 ①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。 ②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。 2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 3、全等变换只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

做个“数学中”的有心人

做个“数学中”的有心人看完2013年度《中国好声音》后，回想起音乐导师们对音乐追梦者耐心而又专业的指导与评价，我深吸了一口气：数学与音乐的教与学不也有异曲同工之妙吗？各种元素做到“融会贯通”才是精髓所在呀!我理了理自己这近十年的初中数学教学的思路：教师授课要做到数学知识点之间的“融会贯通”，学生学习要达到数学学习思路的“融会贯通”；这样，教师才能更好地培养学生驾驭数学知识的能力。数学教师不是武侠小说中身怀绝技、盖世神功的大师，而应是数学教学中知识点的结合﹑数学思想的融合﹑综合解题的整合﹑生活中数学的连接能“一体化”的普通人！有教育家说过“知识是‘生长’出来的”。学习过程是知识不断积累和能力不断提高的过程，新知识的学习是在原有基础上进行的。下面是我的几段教学实施：一．数学概念的衔接：要顺水推舟教师讲解数学概念、定理时学生还能听得通，独立做题时却不会做。究其原因，学生是没有真正理解知识，学生理解知识不一定一步到位，也不是一次性可以学成，而是逐步深入，逐级递进，不断深化，只有理解透彻知识，才能运用自如，才有效地提高数学思维能力。七年级上册的内容有数扩充引入了负数﹑有理数﹑相反数﹑绝对值等新的概念，并要准确理解，这会使那些认为“数学就是解题算得数”的学生望而生畏。事物的发展总是有一个有低级到高级的过程。人们认识事物也是一个从特殊到一般的过程。教学也应该遵循这种事

物发展的客观规律，要充分发挥学生已有知识的优势，使之产生正迁移，从而达到掌握新知识的目的。小学数学教材之中，已渗透了许多七年级代数的基础知识，在教学中，要抓好衔接点。如在学习负数这一内容是时，学生遇到的就是引进负数的问题，可引导学生回顾小学中整数和分数的产生过程，然后通过实例，说明客观世界中有种种具有相反意义的量，使学生直观认为负数的引进是必然的，负数是他们所熟悉的事物中数量关系的反映。数的范围扩充到了有理数，进而引导学生按“整”、“分”和按“正、负、零”进行分类，使学生对有理数有一个完整清晰的概念，接着，在算术数的大小比较基础上，借助数轴进行有理数大小的比较。这样，学生理解新的数学概念很清晰了，才能自如进行运算，才能做到数学学习初步的融会贯通！二．数学思想的衔接：要顺理成章从旧知识向新知识过渡，把旧知识迁移到新知识中来，教师在讲授新课中运用类比的数学思想，效果会更好一些。与其硬教学生数学解题方法，还不如教学生学习数学的思想。学生领悟了数学思想，自然他们的思维品质也就得以培养了，也符合“螺旋上升的数学思想”原理。这样，数学课堂从“有效”向“优效”转变了，也相应地“活”起来了，数学课堂的艺术性也就有所体现。理解了新旧知识的内在联系，梳理了知识结构的思路，学习数学的思想也就好把握了。九年级学习《二次根式》时，感受颇深。一般地，我们把形如a

问题就是数学的心脏

问题就是数学的心脏问题就是数学的心脏。课堂教学是师生在“问”与“答”的多边活动中整合前行的，有效教学的很重要的一点，就是要围绕课堂教学目标构建有效系统的“问题场”。一堂数学课，问题提得好不好，直接影响到课堂教学效果。一位教育学家曾言：中小学教师若不谙熟发问，他的教学是不易成功的。美国的一些教育学家也认为“提问得好即教得好”。所以，教师要注意自己的提问内容和提问方式，首先讲究“精当”，问到点子上，使问题具有针对性，让学生能够听得懂；其次，讲究“精深”，问到底子里，使问题具有挑战性，让学生能够想得深。在我们的教学中，往往不缺少“好问”的教师，但缺少“问好”的教师。如果教师的提问缺乏思考价值，就等同于浪费学生的感情和浪费教学的时间，最终失去的将会是问题应有的启思、理思、深思等教学功能。愿我们的教师个个都能成为既“好问”又“问好”的教师。在教学设计时，精心进行问题的设计，用问题推进课堂的进程，用问题深入知识的本质，用问题提升学生的思维品质。同时，在课结束时，不忘问学生一声：还有什么问题吗？培养学生提问题的能力。 MathType 6.7版-2012最新数学公式编辑器-简体中文破解版.rar

学数学要一丝不苟我们常听到同学说：“老师，我这题只错了一个符号，怎么算全错7”或者说：“小数点错了一位，为什么扣那么多的分？”看来，有些同学对数学学科的一个特点——准确性，缺乏足够的认识。一篇作文，主题明确，中心突出，构思严谨，文字优美，虽说有一两个错例字，是缺点，但也无伤大雅。仍不失为一篇好文章。数学则不然，不仅解题思路要正确，具体解题过程也不能出错，差之毫厘，往住失之千里。这里介绍两则真实的故事。 1962年，美国发射了一艘飞往金星的“航行者一号”大空飞船。根据预测，飞船起飞 44分以后， 9800个太阳能装置会自动开始工作； 80天后电脑完成对航行的矫正工作； 10天以后，飞船就可以环绕金星航行，开始拍照。可是，出人意科的是，飞船起飞不到四分钟，就一头栽进大西洋里。这是什么原因呢？后来经过详细调查，发现当初在把资料输电脑时，有一个数据前面的负号给漏掉了，这样就使得负数变成了正数，以致影响了整个运算结果，使飞船计划失败。一个小小的负号，竟使得美国航天局白白浪费了一千万美元、大量的人力和时间、从前，医生常推荐儿童和康复的病人多吃菠菜，据说它里面含有大量的铁质，有养血、补血的功能。可是几年前，前联邦德国化学家劳尔

初中数学三角形经典测试题

初中数学三角形经典测试题一、选择题 1．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在AD CD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB ，则EFGH 的面积是( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．12 【答案】B 【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC ＝∠ACD ＝45°，由四边形EFGH 是正方形，推出△AEF 与△DFH 是等腰直角三角形，于是得到DE ＝ 22EH ＝22EF ，EF ＝22AE ，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD 中，∠D ＝90°，AD ＝CD ＝AB ， ∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°， ∵四边形EFGH 为正方形， ∴EH ＝EF ，∠AFE ＝∠FEH ＝90°， ∴∠AEF ＝∠DEH ＝45°， ∴AF ＝EF ，DE ＝DH ， ∵在Rt △AEF 中，AF 2＋EF 2＝AE 2， ∴AF ＝EF 2AE ，同理可得：DH ＝DE ＝ 22EH 又∵EH ＝EF ， ∴DE ＝22EF ＝22×22 AE ＝12AE ， ∵AD ＝AB ＝6，

∴DE＝2，AE＝4， ∴EH＝2DE＝22， ∴EFGH的面积为EH2＝（22）2＝8，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键． 2．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是() A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【答案】D 【解析】【详解】 A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误； B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误； C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误； D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．故选D． 3．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（） A．115°B．120° C．145°D．135° 【答案】D 【解析】【分析】由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°， ∵∠1=45°（已知）， ∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理）， ∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义）， ∵EF∥MN（已知）， ∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．故选D．

(人教版)初中数学《三角形》经典例题题目学习资料

A D 初中数学《三角形》经典例题 1、如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ．（2）图（2）中的点A 向下移到BE 上时，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E ）有无变化。说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C 向上移到BD 上时（1），求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E ）有无变化。说明你的结论的正确性． 2、（1）阅读理解：如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360° （2）延伸探究： 6、已知：如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题：（1）在图中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P 的度数；（写出解答过程）（2）如果图中∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D 、∠B 之间数量关系．（直接写出结论即可）变式、（1）已知：如图1，△ABC 中，D 是AB 上除顶点外的一点.，求证：AB+AC>DB+DC ；（2）已知：如图2，△ABC 中，D 为AB 边上一点，求证：AB+AC ≥DB+DC; （3）如图3，点P 为△ABC 内任一点，求证：PA+PB+PC>2 1 (AB+BC+AC); D C B A 图2 P C B A 图3 E D C B A 图4

2F 2 E 2E 2 D 2 D 2 D 2C 2C 2 C 2 C 2 B 2 B 2 B 2 B 1F 2 A 2A 2A 2 A 1 E 1 E 1 D 1 D 1 D 1C 1 C 1 C 1 C 1B 1B 1 B 1 B 1 A 1 A 1 A 1A 第26题(1) 第26题(3) 第26题(2)第26题(4) K 变式.如图，（1）在图（1）中，猜想：=∠+∠+∠+∠+∠+∠222111 C B A C B A 度；（2）试说明你猜想的理由. （3）如果把图1称为2环三角形，它的内角和为222111 C B A C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠；图2称为2环四边形，它的内角和为22221111 D C B A D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠；图3称为2环5五边形，它的内角和为22211111 C B A E D C B A ∠+∠++∠+∠+∠+∠+∠+∠ 22E D ∠+∠+…………请你猜一猜，2环n 边形的内角和为度（只要求直接写出结论） 1、如图甲，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ．（1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE= ；（2）若∠C ﹣∠B=30°，则∠DAE= ；（3）若∠C ﹣∠B=a （∠C ＞∠B ），求∠DAE 的度数（用含a 的代数式表示）；（4）如图乙，当∠C ＜∠B 时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定：角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负．例如：∠DAE=﹣18°，则∠EAD=18°，作出上述规定后，上述结论还成立吗？ _________ ；若∠DAE=﹣7°，则∠B ﹣∠C= _________ °． 2、已知：如图1，△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 是△ABC 的角平分线，点P 是AD 上的一点，过点P 画PH ⊥BC 于H （1）求证：∠DPH=（∠B ﹣∠C ）；（2）如图2，当点P 是线段AD 的延长线上的点时，过点P 画PH ⊥BC 于H ，上述结论任然成立吗？请你作出判断并加以说明．

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