长郡中学2016届高三月考试卷(四)
数学(文科)
一、选择题: 本大题共12小题, 每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}1log |{2<=x x A ,则=A C R ( )D
A .)2,0(
B .]0,(-∞
C .),2[+∞
D .)2[]0,(∞+-∞ 2.已知为虚数单位,复数
i
i
+12在复平面内对应的点位于( )A A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.“函数()2
66f x x mx =-+的减区间为(],3-∞”是“1m =”的( )C
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分又不必要条件
4.若点(1,1)P 为圆2
2
(3)9x y -+=的弦MN 的中点,则弦MN 所在直线方程为( )D A .230x y +-=
B .210x y -+=
C .230x y +-=
D .210x y --=
5.已知曲线2
3ln 2
x y x =-的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为( )A
A .3
B .2
C .1
D .
12
6.已知两个不同的平面αβ、和两条不重合的直线m 、n ,有下列四个命题: ①若//,m n m α⊥,则n α⊥;
②若,,m m αβ⊥⊥则//αβ; ③若,//,m m n n αβ⊥?,则αβ⊥; ④若//,,//m n m n ααβ?=则.
其中正确命题的个数是( )D A .0
B .1
C .2
D .3
7.设不等式组??
?
??-≥≤≥+-24022y x y x 表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点,则此点到
直线+2=0y 的距离大于2的概率是( )A A .
925
B .
825
C .
413 D .513
8.已知函数()sin()f x A x ω?=+(其中π
0,2
A ?><
)的部分图象如右图所示,为了得到x x g 2sin )(=的图象,则只需将()f x 的图象( )A
A .向右平移
π6个长度单位 B .向右平移π
12个长度单位 C .向左平移π6个长度单位 D .向左平移π
12
个长度单位
9.执行右侧的程序框图,输出的结果S 的值为( )C A .2
3-
B .0
C .
2
3
D .3
10.已知“若点),(00y x P 在双曲线:C )0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上,
则C 在点P 处的切线方程为
12020=-b
y
y a x x ”.现已知双曲线112
4:2
2=-y x C 和点)3)(,1(±≠t t Q ,过点Q 作双曲线C 的两条切
线,切点分别为N M ,,则直线MN 过定点( )C A .)32,0(
B .)32,0(-
C .)0,4(
D .)0,4(-
11.已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y -+=的两侧,给出下列命题: ①2310a b -+>; ②0a ≠时,
b
a
有最小值,无最大值; ③存在正实数m m >恒成立 ; ④0a >且1a ≠,0b >时, 则1b
a -的取值范围是12(,)(,)33
-∞-+∞ . 其中正确的命题是( )D A
.①②
B .②③
C .②④
D .③④
12.已知偶函数)(x f y =是定义域为R ,当0≥x 时,??
?
??>+≤≤=-1,1210,2
sin 3)(2x x x x f x π.函数)(12)(22R a a ax x x g ∈-+-=.若函数))((x f g y =有且仅有6个零点,则实数a 的取值
范围为( )B A .]2,1( B .)2,1(
C .]3,2(
D .)3,2(
二、填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.
13.某校从高一年级学生中随机抽取100名学生,将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段:后得到频率分布直方图(如图所示).则分数在[70,80)内的人数是_____.30
14.已知ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且2a =,
3b =,4cos 5
B =
,则sin A 的值为__________.2
5
15.如右图,设A 、B 、C 、D 为球O 上四点,若AB 、AC 、AD 两两互相垂直,且
6==AC AB ,2=AD ,则球O 的体积为 .
3
2π
16.已知)2,2(),0,4(),1,1(C B A -.平面区域
D
由所有满足
)1,1(b a ≤<≤<+=μλμλ的点),(y x P 组成.若区域D 的面积为8,则的b a 4+最小值为 .9
三、解答题: 本大题共6小题, 共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在等比数列{}n a 中,a 2=4,368a a =. (1)求n a ;
(2)令n n a b 2log =,求数列}1
{
1
+?n n b b 的前n 项和n T .
【解析】(1)设数列{}n a 的公比q ,则??
?==2
15
1184q
a q a q a ,解得21=a ,2=q
∴)(2*N n a n n ∈=; ……………6分
(2)由(1)知,n b n n ==2log 2,
∴
)111()4131()3121()211()1(1431321211+-++-+-+-=+?++?+?+?=
n n n n T n 1
111+=+-
=n n
n 即
1
+=
n n
T n ……………12分
18.(本小题满分12分)为了了解学生的校园安全意识,某学
校在全校抽取部分学生进行了消防知识问卷调查,问卷由三道选择题组成,每道题答对得5分,答错得0分,现将学生答卷得分的情况统计如下表:
已知被调查的所有女生的平均得分为8.25分,现从所有答卷中抽取一份,抽到男生的答卷且得分是15分的概率为10
1
. (1)求y x ,的值;
(2)现要从得分是15分的学生中用分层抽样的方法抽取6人进行消防知识培训,再从这6人中随机抽取2人参加消防知识竞赛,求所抽取的2人中至少有1名男生的概率. 【解析】(1)因为被调查的所有女生的平均得分为8.25分,
∴
25.860
302060
1510305=+++?+?+x x ,解得90=x ,
从所有答卷中抽取一份,共有结果y y +=+++++++270)60309020()352510(种,
∴,抽到男生且得分是15分的概率
10
1
270=+y y ,解得30=y ,
因此90=x , 30=y ; ……………4分 (2)从得15分的学生中,用分层抽样方法抽取6人,则抽样比为
15
1906=,
∴女生抽4人,记4321,,,A A A A ,男生抽2人,记为21,B B ,
现从这6人中随机抽取2人,则所有可能结果为:1A 2A ,1A 3A ,1A 4A ,1A 1B ,1A 2B ,2A 3A ,
2A 4A ,2A 1B ,2A 2B ,3A 4A ,3A 1B ,3A 2B ,4A 1B ,4A 2B ,1B 2B 共15种,
设“取出的2人中至少有一名男生”为事件A ,则A 包含的基本事件有: 1A 1B ,1A 2B ,
2A 1B ,2A 2B ,3A 1B ,3A 2B ,4A 1B ,4A 2B ,1B 2B 共9种,∴5
3
159)(==
A P , 因此所抽取的2人中至少有1名男生的概率为5
3
. ……………12分
19.(本小题满分12分)如图1,由正四棱锥ABCD P -和正四棱柱1111D C B A ABCD -所组成的几何体的三视图如图2. (1)求证:⊥PC 平面BD A 1; (2)求点P 到平面BD A 1的距离.
【解析】(1)如图,连接AC 交
BD 于O ,并连接PO 、O A 1. 正四棱锥ABCD P -, ∴BD PC ⊥,
又由三视图知,2=PO ,2==BC AB ,∴22=AC ,故PC PA ⊥,
又易知21=
=AA PO 且1//AA PO ,∴四边形A POA 1为平行四边形,∴1//OA PA ,故
PC OA ⊥1,又O BD OA = 1,
因此⊥PC 平面BD A 1; ……………6分
(2)由(1)知1//OA PA ,故点P 到平面BD A 1的距离即为点A 到平面BD A 1的距离,
又易知平面⊥O AA 1平面BD A 1,且平面?O AA 1平面
O A BD A 11=,故过A 作⊥AE O A 1,垂足为E ,则⊥AE 平面BD A 1,AE 即为点A 到平面BD A 1的距离,
又由已知,21=
=AA AO ,∴21=O A ,故111
=?=
O
A AA AO AE ,
因此点P 到平面BD A 1的距离为1.
……………12分
20.(本小题满分12分)设点M G ,分别是ABC ?的重心和外心,)0,1(-A ,)0,1(B ,且
A
1
A P
1
B 1
C 1
D D
B
C
1
图2
图
A
1
A P
1
B 1
C 1
D D
B
C
o
//.
(1)求点C 的轨迹E 的方程;
(2)已知点)0,2
1
(-D ,是否存在直线,使过点)1,0(并与曲线E 交于Q P ,两点,且PDQ ∠为钝角.若存在,求出直线的斜率k 的取值范围;若不存在,说明理由. 【解析】(1)设)0)(,(≠y y x C ,则)3,3(y x G ,AC 的中点)2
,21(
y
x F -,又//,则)3
,0(y M ,
又M 是ABC ?的外心,所以0=?AC MF ,即
06
)1(21=?++?-y y
x x , 化简得,)0(1322
≠=+y y x ,即点C 的轨迹E 的方程为)0(13
22
≠=+y y x ……………5分
(2)假设存在满足条件的直线,并设其方程为1+=kx y ,则
联立??
???+==+113
2
2kx y y x 消去y 得022)3(2
2=-++kx x k ,则024122>+=?k , 设),(),,(2211y x Q y x P ,则32321+-=+k k
x x ,3
23
21+-=?k x x , 由
PDQ
∠为钝
角
,
有
)1)(1()2
1
)(21()21)(21(21212121+++++=+++kx kx x x y y x x
04
5))(21()1(21212
<+++++=x x k x x k
整理得,074112>-+k k ,解得1- 7 >k , (10) 分 又当1=k 时,直线过点)0,1(-A ,而A 不在曲线E 上,此时直线与曲线E 只有一个交点,不符合题意,故舍去, 因此,综上可知符合条件的直线存在,且其斜率的取值范围为1- 111 7 < ……………12分 21.(本小题满分12分)已知函数2ln 2)(x x x f -=. (1)求函数)(x f y =在区间],1 [e e 的最值;(e 为自然对数的底数) (2)如果函数ax x f x g -=)()(的图象与x 轴交于两点)0,(),0,(21x B x A 且210x x <<,求证: 0)2 ( 2 1/<+x x g . 【解析】(1)函数)(x f 的定义域为),0(+∞,且求导得:x x x x x x f )1)(1(222)(/ +-=-= , 则当]1,1 [e x ∈时,0)(/>x f ,当],1[e x ∈时,0)(/ 即)(x f 在]1,1[e 上单调递增,在],1[e 单调递减, 又 1)1(,2)(,1 2)1(22-=-=--=f e e f e e f ,且)()1(e f e f > 因此,当1=x 时,)(x f 取得最大值1-, 当 e x =时, ) (x f 取得最小值 22e - ……………………………5分 (2)方程0)(=-ax x f 有两个不等实根21,x x ,则有?????=--=--0 ln 20 ln 222 2212 11ax x x ax x x , 两式相减得,)() ln (ln 2212 121x x x x x x a +---= , 又由已知a x x x g --=22)(/, 则)]() ln (ln 2[)(4)(4)2( 2121212121212121/ x x x x x x x x x x a x x x x x x g +----+-+=-+-+=+ 即2 1212121/ ) ln (ln 24)2(x x x x x x x x g --- +=+; 因 此 , 0)2( 21/<+x x g )0(ln ln )(20)ln (ln 2421212 121212121x x x x x x x x x x x x x x <<->+-?<---+? 2 12 12 1 ln 1) 1( 2x x x x x x >+-? 令)1,0(,ln 1)1(2)(∈-+-=t t t t t h ,则0)1()1(1)1(4)(2 22/ <+--=-+=t t t t t t h ,即函数)(t h 在)1,0(上递减, 所以,当)1,0(∈t 时,0)1()(=>h t h ,即 )10(ln 1 ) 1(2<<>+-t t t t , 因此,当210x x <<时, 2 12 12 1 ln 1) 1( 2x x x x x x >+-成立,即0)2(21/<+x x g 成 立. ………………………12分 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,∠BAC 的平分线与BC 和外接圆分别相交于D 和E ,延长AC 交过D 、 E 、C 三点的圆于点 F . (1)求证:EA ED EF ?=2 ; (2)若6=AE ,3=EF ,求AC AF ?的值. 【解析】(1)如图,连接CE ,DF . ∵AE 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在圆内又知∠DCE=∠EFD,∠BCE=∠BAE.∴∠EAF=∠EFD 又∠AEF=∠FED, ∴ΔAEF∽ΔFED , ∴EF AE ED EF =,∴EA ED EF ?=2 ……………5分 (2)由(1)知EA ED EF ?=2 ,∵EF =3,AE =6, ∴23 = ED ,2 9=AD ∴272 9 6=?=?=?AE AD AC AF ……………………………………10分 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中,直线的参数方程为?? ?+=+-=α α sin 1cos 3t y t x (为参数).取原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 2sin 4cos ρθθ=. (1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线C 的形状; (2)若直线经过点)4,0(,点P 是曲线上任意一点,求点P 到直线的距离的最小值. 【解析】(1)曲线C 直角坐标方程的直角方程为:x y 42 =, ∴曲线C 是顶点为)0,0(O ,焦点为)0,1(F 的抛物线; ……………………5分 (2)直线的参数方程为?? ?+=+-=α α sin 1cos 3t y t x (为参数),故直线过点)1,3(-; 又若直线经过点)4,0(,∴直线的普通方程为:04=+-y x , 由已知设)4,4(2t t P ,则点P 到直线的距离2 | 3)21 (4|2|444|22 +-= +-=t t t d , 所以当21= t ,即点)2,1(P 时,d 取得最小值2 2 3, 因此点P 到直线的距离的最小值为2 2 3. ……………………10分 24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲: 已知函数|1|)(-=x x f ,)(|3|)(R a a x x g ∈++-=. (1)当6=a 时,解关于x 的不等式)()(x g x f <; (2)若函数)(2x f y =的图象恒在函数)(x g y =的图象的上方,求实数a 的取值范围. 【解析】(1)当6=a 时,不等式)()(x g x f >即为6|3||1|<++-x x ; ①当3- 因此,综上可知所求不等式的解集为)2,4(-; ………………………5分 (2)函数)(2x f y =的图象恒在函数)(x g y =的图象的上方, 故0)()(2>-x g x f 恒成立,即|3||1|2++- 令?? ? ??≥+<≤-+--<--=++-=1,1313,53 ,13|3||1|2)(x x x x x x x x x h ,则)(x h 在]1,(-∞上递减,在),1[+∞上递 增,