2020届河北省石家庄二中高三（3月份）高考热身数学（文）
试题
一、单选题 1．已知复数21i
z i
=+（i 为虚数单位），则z z ?=（ ）
A B ．2
C ．1
D ．
12
【答案】B
【解析】求出复数的模，利用复数的性质即可求解. 【详解】
由题意知21i z i =
==+ 利用性质2
z z z ?=，得2z z ?=， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了复数的模、复数的性质，考查了基本运算能力，属于基础题.
2．已知集合{
|A x Z y =∈=，{B a =，1}，若A B B =，则实数a 的
值为（ ） A ．2 B ．3 C ．1或2或3 D ．2或3
【答案】D
【解析】求出集合A 中的元素，再根据集合的运算结果可得B A ?，进而可求出实数a 的值. 【详解】
解：{}2
{|430}{|13}1,2,3A x Z x x x Z x =∈--≥=∈≤≤=，且{},1B a =，
由A B B =，知B A ?，则实数a 的值为2或3.
故选：D ． 【点睛】
本题考查根据集合的运算结果求参数值，考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，属于基础题.
3．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】
∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ?log a b ＜1， log a b ＜1?a ＞b ，
∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 4．已知0a b >>，1c >，则下列各式成立的是（ ） A ．sin sin a b > B ．a b c c > C ．c c a b <
D ．
11
c c b a
--<
【答案】B
【解析】根据指数函数(1)x
y c c =>为增函数可得. 【详解】
解：因为1c >，x
y c =为增函数，且a b >，所以a b c c >， 故选：B. 【点睛】
本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属于基础题. 5．若3
cos()45
π
α-=，则sin 2α=（ ） A ．
7
25
B ．15
C ．15-
D ．7
25
-
【答案】D
【解析】试题分析：2
237cos 22cos 12144525ππαα????????
-=--=?-=-
? ? ????
??????? ， 且cos 2cos 2sin 24
2ππααα??????
-=-=
???????????，故选D.
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：
（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
6．某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，该几何体的外接球的体积等于（ ）
A ．43π
B ．
323
π C ．4π D ．
82
3
π 【答案】A
【解析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面是边长为2的三角形. 【详解】
由三视图知该几何体的直观图放在正方体中是如图所示的三棱锥A BCD -， 其外接球就是正方体的外接球．设外接球的半径为R ，
因为正方体的棱长为2，其体对角线为外接球的直径，即223R =，
所以外接球的体积()
3
344
34333
V R ππ
π===．
故选：A ．
【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则.
7．数列{}n a 是等差数列，11a =，公差[1d ∈，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为（ ）
A．7 2
B．
53
19
C．
23
19
-D．
1
2
-
【答案】D
【解析】利用等差数列通项公式推导出
1318
19
d
d
λ
-
=
+
，由[1
d∈，2]，能求出实数λ取最大值.
【详解】
数列{}n a是等差数列，11
a=，公差[1
d∈，2]，且
41016
15
a a a
λ
++=，
13(19)11515
d d d
λ
∴+++++=，
解得
1318
19
d
d
λ
-
=
+
，
[1
d∈，2]，
131815
2
1919
d
d d
λ
-
==-+
++
是减函数，
1
d
∴=时，实数λ取最大值为
13181
192
λ
-
==-
+
.
故选：D.
【点睛】
本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
8．已知x，y满足条件
{
20
x
y x
x y k
≥
≤
++≤
(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝()
A．－16 B．－6 C．-
8
3
D．6
【答案】B
【解析】【详解】
由z＝x＋3y得y＝－
1
3
x＋
3
z
，先作出
{
x
y x
≥
≤
的图象，如图所示，
因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得
C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.
9．正三角形ABC P 在其外接圆上运动，则AP PB ?的取值范围是（ ） A ．33,22??
-
???
? B ．31,22??
-
???
? C ．13,22??
-
???
? D ．11,22??
-
???
? 【答案】B
【解析】设正三角形ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，则1R =，且120AOB ∠=?，由题意可得()
1
2
AP PB OP OA OB ?==?+-
，设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且1
2
OM =
，设OM 与OP 的夹角为θ，利用向量的数量积即可求解. 【详解】
设正三角形ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，则1R =，且120AOB ∠=?． 由题意知()()
AP PB OP OA OB OP ?=-?-
2
OP OB OP OA OB OA OP =?--?+?
111cos120OP OB =?--???OA OP +?
()
1
2
OP OA OB =?+-．
设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且12
OM =， 设OM 与OP 的夹角为θ， 则1122cos 22
AP PB OM OP OM OP θ?=?-
=- 11121cos cos 222
θθ=???-=-．
又因为[]0,θπ∈，所以AP PB ?的范围为31
,22??-????
．
故选：B 【点睛】
本题考考查了向量的数量积的运算，考查了数量积在几何中的应用，属于中档题. 10．已知点F 是抛物线()2
:20C x py p =>的焦点，若点()01,M y 在抛物线C 上，
且0
54
y MF =
，斜率为k 的直线l 经过点()1,3Q -，且与抛物线C 交于A ，B （异于M ）两点，则直线AM 与直线BM 的斜率之积为（ ）
A ．2
B ．-2
C ．
12
D ．12
-
【答案】B
【解析】根据抛物线的焦半径公式||12
p
MF =+
，即可求出p 的值，求出()1,1M ，设直线l 方程与抛物线方程联立，求出,A B 两点的坐标关系，再将直线AM 与直线BM 的斜率之积用,A B 坐标表示，化简即可证明结论. 【详解】
由抛物线的定义知02p
MF y =+
，则00524
p y y +=，解得02y p =， 又点()01,M y 在抛物线C 上，代入2
:2C x py =，得021py =，得01y =，1
2
p =
， 所以()1,1M ，抛物线2
:C x y =，
因为斜率为k 的直线l 过点()1,3Q -，所以l 的方程为()31y k x -=+，
联立方程得()2
31y k x x y
?-=+?
=?，即230x kx k ---=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系得1212
3x x k
x x k +=??=--?，
则直线AM 的斜率2111111AM
x k x x -==+-，直线BM 的斜率2
222111
BM x k x x -==+-，()()121212111312AM BM k k x x x x x x k k =++=+++=--+=-.
故选：B ． 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题. 11．若1
201x x ，则（ ）
A ．2121ln ln x
x
e e x x ->- B ．2
121ln ln x x e
e x x -<-
C ．1221x
x
x e x e > D ．1221x
x
x e x e <
【答案】C
【解析】令()x e f x x
=，(01)x <<，()()ln 01x
g x e x x =-<<，求出函数的导数，
通过讨论x 的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】
令()x e f x x =，(01)x <<，则2
(1)
()0x e x f x x
-'=<， 故()f x 在(0,1)递减，若1
201x x ，则12()()f x f x >，
故1212
x x e e x x >，即1221x x
x e x e >，故C 正确，D 不正确； 令()()ln 01x
g x e x x =-<<，则11()x x
xe g x e x x
-'=-=，
令()1x
h x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，
且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =， 则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减， 当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增， 所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.
二、填空题
12．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：2：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有18件，那么此样本的容量n =________. 【答案】60
【解析】先求出总体中中A 种型号产品所占的比例，是样本中A 种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量． 【详解】
解：由题意知，总体中A 种型号产品所占的比例是33
23510
=++，
因样本中A 种型号产品有18件，则3
1810
n ?=，解得60n =． 故答案为：60 【点睛】
本题考查了分层抽样的定义应用，即保证样本结构与总体结构一致按一定的比例进行抽取，再由条件列出式子求出值来，属于基础题．
13．某公司105位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，105x ，其均值和方差分别为3800和500，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这105位员工下月工资的均值和方差分别为________． 【答案】3900；500
【解析】根据样本同时加上一个数对均值和方差的影响，求得下个月工资的均值和方差. 【详解】
依题意，本月工资均值3800x =，方差2500S =.
从下个月起每位员工的月工资增加100元，则这105位员工下月工资的均值为
10038001003900x +=+=，方差为2500S =.
故答案为：3900；500 【点睛】
本小题主要考查样本均值和方差的性质，属于基础题.
14．设偶函数()f x 满足()()240x
f x x =-≥，则满足()20f a ->的实数a 的取值
范围为________． 【答案】()
(),04,-∞+∞
【解析】由题可知数()f x 在[)0,+∞上为增函数，不等式可化为()()22f a f ->，
利用单调性可得22a ->，解出即可.
【详解】
∵偶函数()f x 满足()()240x
f x x =-≥，
∴函数()f x 在[)0,+∞上为增函数，且()20f =，
∴不等式()20f a ->等价为()()22f
a f ->，
∴22a ->，即22a ->或22a -<-，解得4a >或0a <．
故答案为：()(),04,-∞+∞.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，1
(1)262n
n n n
S a n =-+
+-且1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是__.
【答案】723,44??
-
??
?. 【解析】由1(1)262n
n n n S a n =-+
+-，可得111
42
a a =-+-，解得1a ，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，化为：111
[1(1)](1)22
n n n n n a a +-+-=--+，对n 分类讨论，利用数列
的单调性、不等式的性质即可得出. 【详解】
1
(1)262n n n n
S a n =-+
+-， 111
42a a ∴=-+
-，解得174
a =-， 当2n ≥时，
1
111
11(1)26[(1)2(1)6]22n n n n n n n n n a S S a n a n ----=-=-+
+---++--， 化为：111[1(1)](1)22n n
n n n a a +-+-=--+，
当2n k =（*k N ∈）时，1122
n n
a -=-+
，即212122k k a -=-+，21221
22k k a ++=-+. 当21n k =-（*k N ∈）时，化为11
222n n n
a a -=--
+， 222121
1222k k k a a ---∴=-+-
，22121
21122622
k k k k a a ++=-+-
=-
， 1()()0n n a p a p +--<恒成立，
∴当2n k =（*k N ∈）时，212()()0k k p a p a +--<，
2221
1
2622
k k p +∴-+
<<-
， 11
261616
p ∴-+<<-；
当21n k =-（*k N ∈）时，221()()0k k p a p a ---<，
2211
2622k k p ∴-+
<<-
. 72344p ∴-<<，
则实数p 的取值范围是：723
(,)44
-. 故答案为：723,44??
- ???
. 【点睛】
本题考查了递推关系、分类讨论方法、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
三、解答题
16．已知锐角ABC 面积为S ，A ∠，B ，C ∠所对边分别是a ，b ，c ，A ∠，C ∠平分线相交于点O
，b =
222
)4
S a c b =+-．求： （1）B 的大小；
（2）AOC △周长的最大值． 【答案】（1）3
B π
=
；（2
）4+【解析】（1
）由222
()4
S a c b =
+-
结合三角形的面积公式和余弦定理可得1csin 2cos 2a B a B =，从而可求出B 的大小； （2）设AOC △周长为l ，OAC α∠=，则,124ππα??
∈
??
?
，由正弦定理可得sin sin sin 33OA OC παα==??- ???
4sin 4sin 3l παα??
=+-+ ???
，再用三角恒等
变换公式化简，结合三角函数的性质可得答案 【详解】 （1）
∵)222S a c b =
+-，
∴)22
21sin 2ac B a c b =+-，
故：
1csin 2cos tan 23
a B a B B B π
=?==．
（2）设AOC △周长为l ，OAC α∠=，则
,124ππα??
∈ ???
， ∵OA 、OC 分别是A ∠、C ∠的平分线，3
B π
=，
∴23
AOC π∠=
． 由正弦定理得23
sin sin sin 33OA OC ππαα==
??- ?
??
所以4sin ,4sin 3OC OA παα??
==-
???
所以4sin 4sin 233l παα??=+-+ ???，,124ππα??
∈ ???
4sin 233πα?
?=++ ??
?．
∵,124ππα??
∈ ???
，∴57,31212πππα??+∈ ???，
当6
π
α=
时，AOC △周长的最大值为423+．
【点睛】
此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题
17．对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如下.
（1）求0y ，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取20个元件，元件寿命落在
100~300之间的应抽取几个？
（2）从（1）中抽出的寿命落在100~300之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个元件寿命落在100~200之间，一个元件寿命落在 200~300之间”的概率. 【答案】（1）5；（2）
3
5
. 【解析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1可得0y ，分层抽样是按比例抽取，所以根据比值可求得件寿命落在100~300之间的抽取个数；
（2）分别求出落在100~200之间和落在200~300之间的元件个数。人后用例举法将寿命落在100~300之间的元件中任取2个元件的所有事件一一例举出来，再将“恰好有一个元件寿命落在100~200之间，一个元件寿命落在200~300之间”的事件一一例举，最后根据古典概型概率公式可求其概率。 【详解】
（1）根据题意：00.00110021000.0021000.0041001y ?+?+?+?=， 解得00.0015y =， 设在寿命落在100300之间的应抽取x 个，
根据分层抽样有：(0.0010.0015)100,20
x
=+? 解得：5x = 所以寿命落在100
300之间的元件应抽取5个；
（2）记“恰好有一个寿命落在100200之间，
一个寿命为200
300之间”为事件A ，
易知，寿命落在100200之间的元件有2个，分别记12,a a ，
落在200
300之间的元件有3个，分别记为：123,,b b b ，
从中任取2个元件，有如下基本事件：
()()()()()()()12111213212223,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b ，
()()()121323,,,,,b b b b b b 共有10个基本事件，
事件A “恰好有一个寿命落在100200之间，
一个寿命为200
300之间”有：
()()()()()()111213212223,,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b a b
共有6个基本事件，∴63()105
P A =
=. ∴事件“恰好有一个寿命落在100200之间，
一个寿命为200
300之间”的概率为3
5
.
18．如图1，正方形ABCD 的边长为22，E 、F 分别是DC 和BC 的中点，H 是正方形的对角线AC 与EF 的交点，N 是正方形两对角线的交点，现沿EF 将CEF △折起到PEF 的位置，使得PH AH ⊥，连接PA ，PB ，PD （如图2）
（1）求证：BD AP ⊥； （2）求三棱锥-A BDP 的高． 【答案】（1）证明见解析；（22.
【解析】（1）首先根据题意易证PH ⊥平面ABFED ，从而得到PH BD ⊥，再根据
BD AH ⊥，利用线面垂直的判定证明BD ⊥平面APH ，从而得到BD AP ⊥.
（2）利用等体积转化法，根据A BDP P ABD V V --=即可得到三棱锥-A BDP 的高. 【详解】
（1）∵E 、F 分别是CD 和BC 的中点，∴EF
BD ．
又∵AC BD ⊥，∴AC EF ⊥，故折起后有PH EF ⊥． 又∵PH AH ⊥，=AH
EF H ，∴PH ⊥平面ABFED ．
又∵BD ?平面ABFED ，∴PH BD ⊥， 又∵BD AH ⊥，AH PH
H ?=，∴BD ⊥平面APH ，
又∵AP ?平面APH ，∴BD AP ⊥． （2）∵正方形ABCD 的边长为2
∴4AC BD ==，2AN =，1NH PH ==，PE PF =， ∴PBD △是等腰三角形，连接PN ，如图所示：
则PN BD ⊥，222PN NH PH =+=．
∴PBD △的面积11
422222
PBD
S
BD PN =
?=?=设三棱锥-A BDP 的高为h ，则三棱锥-A BDP 的体积为
12233
A BDP PBD h V S h -=?=
△． 由（1）可知PH 是三棱锥P ABD -的高， ∴三棱锥P ABD -的体积为1114
222213323
P ABD ABD V S PH -=
?=??=△． ∵A BDP P ABD V V --=，即24
33
h =，解得2h =-A BDP 2． 【点睛】
本题第一问考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时考查了线面垂直的证明，第二问考查等体积法求三棱锥的高，属于中档题.
19．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，点3(1,)2在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点F 作互相垂直的两条直线1l ，2l ，其中直线1l 交椭圆于P ，Q 两点，直线2l 交直线4x =于M 点，求证：直线OM 平分线段PQ .
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）证明见解析. 【解析】（1）根据条件运用离心率公式和点在曲线上的条件，求出a ，b ，即可求椭圆
C 的标准方程；
（2）当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程，求出点PQ 的中点坐标，再求出点M 的坐标，求出直线OM 的方程，根据点在直线OM 上，即可
证明. 【详解】 （1）由1
2
c e a =
=得2a c =，所以223b c =， 由点3
(1,)2
在椭圆上得22
9
14143c c +=解得1c =
，b == 所求椭圆方程为22
143
x y +=.
证明：（2）当直线1l 的斜率不存在时，直线OM 平分线段PQ 成立， 当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 方程为(1)y k x =-，
联立方程得22(1)14
3y k x x y =-???+=??，消去y 得2222
(43)84120k x k x k +-+-=，
因为1l 过焦点，所以
0>恒成立，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，
则2122843
k x x k +=+，2122412
43k x x k -=+， 则12121226(1)(1)(2)43
k
y y k x k x k x x k +=-+-=+-=-
+，
所以PQ 的中点坐标为22243(,)4343
k k
k k -++，
直线2l 方程为1
(1)y x k =--，(4,)M M y ，可得3(4,)M k
-，
所以直线OM 方程为3
4y x k
=-
， 则22243(,)4343
k k k k -++满足直线OM 方程，即OM 平分线段PQ ，
综上所述，直线OM 平分线段PQ . 【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系是应用，利用直线和椭圆方程联立转化为一元二次方程问题是解决本题的关键.考查学生的计算能力，运算量较大，综合性较强. 20．已知函数1
()(,0)e kx
kx f x k k k -=
∈≠R ．
（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当1x 时，ln x f x k ??
???
，求k 的取值范围． 【答案】（1）详见解析（2）k 0<或1
k e
≥
【解析】（1）将函数求导并化简，对k 分成0,0k k ><两种情况，讨论函数()f x 的单调性.（2）原不等式即
1
ln x
x x ke -≤（1x ≥），当k 0<时，上述不等式显然成立.当0k >时，将不等式变为1ln 0x x k x e --≤，构造函数()()1
ln 1x x g x k x x e
-=-≥，利用
导数研究函数的单调性，由此求得k 的取值范围. 【详解】
解：（1）()()()
211'kx kx kx
ke kx ke f x k e --=? 2kx kx e -= 2kx
k x k e ??-- ???=． ①若0k >，当2,x k ??∈-∞ ???时，()'0f x >，()f x 在2,k ?
?-∞ ??
?上单调递增；
当2,x k ??∈+∞
???时，()'0f x <，()f x 在2,k ??
+∞ ???
上单调递减． ②若0k <，当2,
x k ?
?∈-∞ ??
?时，()'0f x <，()f x 在2,k ?
?-∞ ??
?上单调递减；
当2,x k ??∈+∞
???时，()'0f x >，()f x 在2,k ??
+∞ ???
上单调递增． ∴当0k >时，()f x 在2,
k ?
?-∞ ?
?
?上单调递增，在2,k ??
+∞ ???
上单调递减； 当0k <时，()f x 在2,
k ?
?-∞ ???上单调递减，在2,k ??+∞ ???
上单调递增． （2）1
ln x x x f x k ke -??=≤
???
（1x ≥）
， 当0k <时，上不等式成立，满足题设条件； 当0k >时，1
ln x x x f x k ke -??=≤
???
，等价于1ln 0x x k x e --≤， 设()()1ln 1x x g x k x x e -=-≥，则()2'x x k g x e x -=- 22x
x
x x ke xe
--=，
设()2
2x
h x x x ke =--（1x ≥），则()()'210x
h x x ke =--<，
∴()h x 在[
)1,+∞上单调递减，得()()11h x h ke ≤=-． ①当10ke -≤，即1
k e
≥
时，得()0h x ≤，()'0g x ≤， ∴()g x 在[
)1,+∞上单调递减，得()()10g x g ≤=，满足题设条件； ②当10ke ->，即10k e
<<
时，()10h >，而()2
20h ke =-<， ∴()01,2x ?∈，()00h x =，又()h x 单调递减， ∴当()01,x x ∈，()0h x >，得()'0g x >，
∴()g x 在[
)01,x 上单调递增，得()()10g x g ≥=，不满足题设条件； 综上所述，0k <或1
k e
≥． 【点睛】
本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数图像，进而得出导数取得正、负的区间，从而得到函数的单调区间.
21．已知曲线C 的参数方程为22x t
y t =??=?
（t 为参数）
，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线1l 、2l 相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点（不同于点O ），且1l 的倾斜角为锐角α. （1）求曲线C 和射线2l 的极坐标方程；
（2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时α的值．
【答案】（1）C 的极坐标方程为2
cos 4sin ρθθ=，[或2
4sin cos θ
ρθ
=
]；2l 的极坐标方程为2
π
θα=+
；（2）16，4
πα=
【解析】（1）消去参数t ，求得曲线C 的普通方程，再转为极坐标方程.射线2l 过原点，根据角度直接写出2l 的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得,OA OB 的表达式，求得三角形OAB 面积的表达式，利用三角函数的的最值求得三角形OAB 面积的最小值，
同时求得α的值. 【详解】
解：（1）由曲线C 的参数方程，得普通方程为24y x =， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得2
2
4sin cos ρθρθ=，
所以曲线C 的极坐标方程为2
cos 4sin ρθθ=，[或24sin cos θ
ρθ
=
] 2l 的极坐标方程为2π
θα=+
；
（2）依题意设(),,,
2A B A B π
ραρα??
+ ??
?
，则由（1）可得24sin cos A αρα=， 同理得24sin 2cos 2B παρπα?
?+ ?
?
?=??+ ??
?，即2
4cos sin B αρα=， ∴11
22OAB A B S OA OB ρρ?=?=? 228sin cos cos sin αααα
?=
? ∵02
π
α<<
∴0απ<<，∴8cos sin OAB S αα?=
? 16
sin2α
= 16≥，
△OAB 的面积的最小值为16，此时sin21α=， 得22
π
α=
，∴4
π
α=
．
【点睛】
本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考查三角函数求最值，属于中档题. 22．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()225f x x =+-. （1）解不等式：()|1|f x x ≥-；
（2）当1m ≥-时，函数()()||g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数
m 的取值范围.
【答案】（1）(][),82,-∞-?+∞（2）{}3,412???-????
【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可按不等中两个绝对值式的零点将实数集分为三部分进行分段求解，然后再综合其所得解，从而求出所求不等式的解集；
（Ⅱ）由题意，可将m 的值分为1m =-和1m >-进行分类讨论，当1m =-时，函数
()315g x x =+-不过原点，且最小值为5-，此时满足题意；当1m >-时，函数()37,13,133,x m x g x x m x m x m x m -+-≤-??
=+--<≤??-->?
，再由函数()g x 的单调性及值域，求出实数m 的范围，
最后综合两种情况，从而得出实数m 的范围. 试题解析：（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于
12251x x x ≤-??---≥-?或112251x x x -<≤??+-≥-?或12251x x x >?
?
+-≥-?
， 解得8x ≤-或?或2x ≥，
综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][
),82,-∞-?+∞. （Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++ 315x =+-， 此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：
当1m >-时，()225g x x x m =+-+- 37,1
3,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-??
=+--<≤??-->?
，
则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增. 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，
则()()140
230
g m g m m ?-=-
=-≥??，解得342m ≤<；
综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412
???-????
.