大题规范练(四)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
1．(本题满分12分)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos A sin A
＝sin B －cos C
cos B ＋sin C ，B 为锐角．
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝2，c ＝1，△ABC 内有一点M ，∠AMB ＝∠BMC ＝∠CMA ＝2π3
，求MA ＋MB ＋MC 的值．
解：(1)由cos A sinA ＝sin B －cos C cos B ＋sin C
，得cos Acos B ＋cos Asin C ＝sin Bsin A －cos Csin A ，sin(A ＋C)＝－cos(A ＋B)，
即sin B ＝cos C ＝sin π2
－C ，∴B ＝π2－C 或B ＋π2－C ＝π，∴B ＋C ＝π2或B －C ＝π2
(与B 为锐角矛盾，舍去)，
∴B ＋C ＝π2，A ＝π2
.(2)如图，设∠MAB ＝θ，则∠MBA ＝π3－θ，由A ＝π2
，a ＝2，c ＝1，得B ＝π
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，∴∠MBC ＝θ，∴△AMB ∽△BMC ，∴BM AM ＝CM BM
＝2，∴BM ＝2AM ，CM ＝2BM ，在△AMB 中，由余弦定理得，AM 2＋(2AM)2－2AM ·2AM cos 2π3＝AB 2
＝1，
得AM ＝77，则BM ＝277，CM ＝477
，∴MA ＋MB ＋MC ＝7. 2．(本题满分12分)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面
ADD 1A 1⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，AA 1＝AD ＝2AB ＝2，∠A 1AD ＝60°，M ，N 分别是BC ，AD 1的中点．
(1)求证：直线MN ∥平面CC 1D 1D ；
(2)求平面A 1CD 与平面DCD 1夹角的余弦值．
解：(1)如图，取DD 1的中点T ，连接NT ，TC ，
在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 为平行四边形，
因为N ，T 分别为AD 1，DD 1的中点，
所以NT ∥AD ，NT ＝12
AD.因为四边形ABCD 为矩形，M 为BC 的中点，
所以CM ∥AD ，CM ＝12
AD ，∴CM 綊NT ，所以四边形CMNT 为平行四边形，
所以MN ∥CT ，
又MN?平面CC 1D 1D ，CT?平面CC 1D 1D ，
所以直线MN ∥平面CC 1D 1D.
(2)取AD 的中点O ，连接A 1O ，
因为AA 1＝AD ＝2，∠A 1AD ＝60°，所以三角形AA 1D 为等边三角形，所以A 1O ⊥AD.因为平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1∩平面ABCD ＝AD ，A 1O?平面ADD 1A 1，所以A 1O ⊥平面ABCD.
以O 为坐标原点，过点O 平行于AB 的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，A 1O 所在直
线为z 轴建立空间直角坐标系，则
A 1(0，0，3)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，D 1(0，2，3)，所以A 1D →＝(0，1，－3)，CD →＝(－1，0，0)，CD 1→＝(－1，1，3)，DC →＝(1，0，0)，设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，