第2章《直线与圆的位置关系》单元提升培优测试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1﹒如图，∠APB ＝30°，O 为P A 上一点，且PO ＝6，以点O 为圆心，半径为OB 的位置关系是（ ）
A ﹒相离
B ﹒相切
C ﹒相交
D ﹒以上三种情况均有可能
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2﹒如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AE 是⊙O 的切线，A 为切点，连结BC 并延长交AE 于点D .若∠AOC ＝80°，则∠ADB 的度数为（ ）
A ﹒20°
B ﹒40°
C ﹒50°
D ﹒60° 3﹒如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于
E ，
F ，
G 三点，过点D 作⊙O 的切线DM ，交BC 于M ，切点为N ，则DM 的长为（ ）
A ﹒
133 B ﹒92 C D ﹒4﹒如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm 和3cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，则劣弧AB 的长为（ ）
A ﹒2π
B ﹒4π
C ﹒6π
D ﹒8π 5﹒如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径.若∠P ＝40°，则∠BAC 的度数为（ ）
A ﹒20°
B ﹒25°
C ﹒30°
D ﹒40°
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6﹒如图，如果等边△ABC 的内切圆⊙O 的半径为2，那么△ABC 的面积为（ ）
A ﹒
B ﹒
C ﹒
D ﹒7﹒如图，以半圆O 中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ， 若
AD ＝2
，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）
A﹒
B﹒
C﹒
D﹒4
8﹒如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC 的中点，连结DO，DE.则下列结论中不一定正确的是（）
A﹒DO∥AB B﹒△ADE是等腰三角形C﹒DE⊥AC D﹒DE是⊙O的切线9﹒如图，在△ABC中，∠BCA＝60°，∠A＝40°，AC＝
经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点
M，N，则线段MN长度的最小值是（）
A﹒3B﹒
C﹒
D
10.如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，
在CF上取一点E，使DE＝CD，连结AE.给出以下结论：
①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③ BD＝ AD；④AE为
⊙O的切线，其中正确的结论是（）
A﹒①②B﹒①②③
C﹒①④D﹒①②④
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，0），⊙A的半径为1，若直线y＝mx－m
（m≠0）与⊙A相切，则m的值为_______________.
12.已知：在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O和M分别为Rt ABC的外心和内
心，则线段OM的长为_____________.
13.如图，AB是⊙O的直径，OA＝1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点
D.若BD
－1，则∠ACD＝__________.
第13题图第14题图第16题图
14.如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是 CF
的中点，弦CF交AB于点E.若⊙O的半径为2，则CF＝__________.
15.已知：点P是半径为1的⊙O外一点，P A切⊙O于点A，且P A＝1，AB是⊙O的弦，
AB
PB，则PB＝_______________.
第10题图
第9题图
相交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ＝1；②PQ
BQ
＝
3
2
；③S△PDQ＝
1
8
；④cos∠ADQ
＝3
5
，其中正确结论是_________________.（只填写序号）
三、解答题（本题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.(6分)如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，
连结BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连结AC.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD＝OB＝4，求弦AE的长.
18.(8分)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是
AD的中点，AE交⊙O于点B.
（1）当AD是多少时，四边形BCOE是平行四边形？
（2）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
19.(8分)如图，已知直线y+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P是反比例函
数y（x＜0）图象上的一动点，PH⊥x轴于点H，若以点P为圆心，PH为半径作⊙O，当⊙O与直线AB恰好相切时，求此时OH的长.
20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上一点O为圆心的半圆与AB切于点
D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝2
3
.
（1）求⊙O的半径OD长；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图两部分阴影面积的和.
21.(10分)已知，AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP＝OB＝2，点Q在⊙O
上，连结PQ.
（1）如图1，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；
（2）如图2，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC＝CQ，连结OQ，交AC于点D.
①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；
②求线段PQ的长.
图1 图2
22.(12分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于
点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH EA；
（3）若⊙O的半径为5，sin A＝3
5
，求BH的长.
23.(12分)如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在
点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y＝3
4
x+4，与x轴相交于点
D，以点C为顶点的抛物线过点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离.
参考答案
Ⅰ﹒答案部分： 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
B
A
B
A
D
A
C
A
D
二、填空题
11. 3
. 1213. 112.5°.
1415 16. ①②④． 三、解答题 17.解答：（1）证明：连结OE ， ∵CD 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥CD ，
∴∠CEO ＝90°，
∵BE ∥OC ，∴∠AOC ＝∠OBE ，∠COE ＝∠OEB ， ∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠AOC ＝∠COE ，
又∵OA ＝OE ，OC ＝OC ， ∴△AOC ≌△EOC （SAS ）， ∴∠CAO ＝∠CEO ＝90°，即AC ⊥OA ， ∴AC 是⊙O 的切线；
（2）在Rt △DEO 中，BD ＝OB ， ∴BE ＝
1
2
OD ＝OB ＝4， ∵OB ＝OE ，
∴△BOE 是等边三角形， ∴∠ABE ＝60°，
∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，
∴AE ＝BE tan60°＝18.解答：（1）如图，连结BD ，∵DE 是⊙O 的直径， ∴∠DBE ＝90°，
假设四边形BCOE 是平行四边形，则BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1，
在Rt △ABD 中，C 为AD 的中点， ∴BC ＝
1
2
AD ＝1，∴AD ＝2， ∴当AD ＝2时，四边形BCOE 为平行四边形； （2）BC 与⊙O 相切，理由如下：
∴四边形BCDO为平行四边形，
∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，∴平行四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
19.解答：作PC⊥AB于C，连结AP，
∵直线y+3分别与x轴、y轴交于A、B，
当y＝0时，x x＝0时，y＝3，
∴A0），B（0，3），
∵∠AOB＝90°，tan∠OAB
∴∠OAB＝60°，
∵以P为圆心，PH为半径的圆与直线AB相切，∴PH＝PC，
∴AP平分∠OAB，
∴∠P AH＝1
2
∠OAB＝30°，
设OH＝x，则AH＝x
∵PH⊥x轴，
∴∠PHA＝90°，
∴tan∠P AH＝PH AH
，
∴PH＝AH tan30°＝（x，
∵点P是y（x＜0）的图象上一点，
∴PH OH(x x
解得：x（负值舍去），
∴OH.
20.解答：（1）∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝BD
OD
＝
2
3
，
∴OD＝3；
（2）连结OE，
∵AE＝OD＝3，AE∥OD，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为⊙O的半径，∴AE为⊙O的切线；（3）∵OD∥AC，
∴BD
AB
＝
OD
AC
，即
2
23
+
＝
3
AC
，
∴AC＝7.5，
∴EC＝AC﹣AE＝7.5﹣3＝4.5，
∴S阴影＝S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG
＝1
2
×2×3+
1
2
×3×4.5﹣
2
903
360
π?
＝3+27
4
﹣
9
4
π
＝399
4
π
-
．
21.解答：（1）如图1，连结OQ，
∵PQ切⊙O于点Q，∴OQ⊥PQ，
又∵BP＝OB＝OQ＝2，
∴PQ
（2）OQ⊥AC，理由如下：如图②，连结BC，∵BP＝OB，
∴点B是OP的中点，
又∵PC＝CQ，
∴BC是△PQO的中位线，
∴BC∥OQ，
又∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OQ⊥AC；
（3）如图②，连结AQ，
∵四边形ABCQ内接于⊙O，∴∠PCB＝∠P AQ，又∵∠P＝∠P，∴△PCB∽△P AQ，
∴PC
PA
＝
PB
PQ
，即PC PQ＝PB P A，
∴1
2
PQ2＝2×6，解得PQ＝
22.解答：（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，
∴∠ABC +∠DBF ＝90°，即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ，
∴BD 是⊙O 的切线；
（2）证明：连结AC ，∵OF ⊥BC ，
∴ BE
＝ CE ， ∴∠CAE ＝∠ECB ，
∵∠CEA ＝∠HEC ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴
CE EH ＝EA
CE
，∴CE 2＝EH EA ； （3）解：连结BE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， ∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝
3
5
， ∴AB ＝10，BE ＝AB sin ∠BAE ＝10×
3
5
＝6，
∴EA ＝8，
∵ BE
＝ CE ， ∴BE ＝CE ＝6，
∵CE 2
＝EH EA ，∴EH ＝268＝92
，
在Rt △BEH 中，BH 15
2
．
23.解答：（1）如图，连结AE ，由已知得：AE ＝CE ＝5，OE ＝3，
在Rt △AOE 中，由勾股定理得：OA ＝4， ∵OC ⊥AB ，
∴由垂径定理得：OB ＝OA ＝4， ∴OC ＝OE +CE ＝3+5＝8， ∴A （0，4），B （0，－4），C （8，0）， ∵抛物线的顶点为C ，
设抛物线的解析式为：y ＝a (x －8)2，
将点B 的坐标代入上解析式得：64a ＝－4，
解得a ＝－
116，∴y ＝－1
16
(x －8)2， ∴抛物线的解析式为y ＝－1
16x 2+x －4；
3316
∴点D 的坐标为（－163，0），∴OD ＝163
， 当x ＝0时，y ＝4， ∴点A 在直线l 上，
在Rt △AOE 和Rt △DOA 中，∵OE OA ＝34，OA OD ＝3
4
， ∴
OE OA ＝OA
OD
， ∵∠AOE ＝∠DOA ＝90°，∴△AOE ∽△DOA ， ∴∠AEO ＝∠DOA ， ∵∠AOE +∠EAO ＝90°， ∴∠DAO +∠EAO ＝90°，即∠DAE ＝90°， ∴直线l 与⊙O 相切于A .
（3）过点P 作直线l 的垂线段PQ ，垂足为Q ，过点P 作PM ⊥x 轴，交直线l 于点M ，
设M (m ，3
4
m +4)，P (m ，－
116x 2+x －4)，则PM ＝34m +4－(－116x 2+x －4)＝116(m －2)2+314， 当m ＝2时，PM 取得最小值314，此时，P （2，－9
4
），
对于△PQM ，∵PM ⊥x 轴，
∴∠QMP ＝∠DAO ＝∠AEO ， 又∠PQM ＝90°，
∴△PQM 的三个内角固定不变，
∴在动点P 运动的过程中，△PQM 的三边的比例关系不变， ∴当PM 取得最小值时，PQ 也取得最小值，
∴PQ 最小值＝PM 最小值 sin ∠QMP ＝PM sin ∠AEO ＝314×45＝315
， ∴当抛物线上的动点P 的坐标为（2，－94）时，点P 到直线l 的距离最小，其最小距离为31
5
. Ⅱ﹒解答部分：
1﹒如图，∠APB ＝30°，O 为P A 上一点，且PO ＝6，以点O 为圆心，半径为OB 的位置关系是（ ）
A ﹒相离
B ﹒相切
C ﹒相交
D ﹒以上三种情况均有可能 解答：过点O 作OC ⊥PB 于点C ，∵∠APB ＝30°，
∴OC ＝
1
2
PO ＝3，
∵3＜
∴半径为OB 的位置关系是相交， 故选：C .
长交AE 于点D .若∠AOC ＝80°，则∠ADB 的度数为（ ）
A ﹒20°
B ﹒40°
C ﹒50°
D ﹒60° 解答：∵AB 是⊙O 直径，A
E 是⊙O 的切线，
∴∠BAD ＝90°， ∵∠B ＝
1
2
∠AOC ＝40°， ∴∠ADB ＝90°﹣∠B ＝50°， 故选：B ．
3﹒如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线DM ，交BC 于M ，切点为N ，则DM 的长为（ ）
A ﹒
133 B ﹒92 C D ﹒解答：连接OE ，OF ，ON ，OG ，
在矩形ABCD 中，∵∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4，
∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点， ∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°， ∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形， ∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2，∴DE ＝3， ∵DM 是⊙O 的切线，
∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG ， ∴CM ＝5﹣2﹣MN ＝3﹣MN ，
在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2+CM 2， 即(3+NM )2＝(3﹣NM )2+42， 解得：NM ＝43，∴DM ＝3+43＝133
， 故选：A ．
4﹒如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm 和3cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，则劣弧AB 的长为（ ）
A ﹒2π
B ﹒4π
C ﹒6π
D ﹒8π 解答：如图所示，连结OA ，OC ， ∵弦AB 切小圆于点C ，∴OC ⊥AB ，
∵OA ＝6，OC ＝3，∴OC ＝
1
2
OA ，∴∠A ＝30°， ∴∠AOC ＝60°，同理，∠BOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°， ∴劣弧AB 的长＝
1206180
π
?＝4π， 故选：B .
的度数为（ ） A ﹒20° B ﹒25° C ﹒30° D ﹒40° 解答：连结BC ，OB ，
∵P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，
∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°， 又∠P ＝40°， ∴∠AOB ＝180°－∠P ＝140°， ∴∠BOC ＝40°， ∴∠BAC ＝
1
2
∠BOC ＝20°， 故选：A .
6﹒如图，如果等边△ABC 的内切圆⊙O 的半径为2，那么△ABC 的面积为（ ）
A ﹒
B ﹒
C ﹒
D ﹒解答：连结OB ，OD ，OA ，
∵⊙O 是等边△ABC 的内切圆， ∴∠OBD ＝30°，∠BDO ＝90°， ∴OB ＝2OD ＝4，
由勾股定理得：BD
同理，CD ＝BC ＝BD +CD ＝ ∵△ABC 是等边三角形，A ，O ，D 三点共线， ∴AD ＝6，
∴S △ABC ＝1
2
BC AD ＝ 故选：D .
7﹒如图，以半圆O 中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ， 若
AD DB ＝2
3
，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）
A ﹒
B ﹒
C ﹒
D ﹒4 解答：如图，∵
AD DB ＝2
3
，且AB ＝10， ∴AD ＝4，BD ＝6，
作AB 关于直线BC 的对称线段A′B ，交半圆于D′，连接AC 、CA′，
可得A 、C 、A′三点共线，
∵线段A′B 与线段AB 关于直线BC 对称， ∴AB ＝A′B ，
∴AC ＝A′C ，AD ＝A′D′＝4，A′B ＝AB ＝10． 2
又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，
∴CB＝
故选：A．
8﹒如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC 的中点，连结DO，DE.则下列结论中不一定正确的是（）
A﹒DO∥AB B﹒△ADE是等腰三角形C﹒DE⊥AC D﹒DE是⊙O的切线解答：连接OE，
∵D为AC的中点，O为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴DO∥AB，故选项A正确；
∴∠COD＝∠B，∠DOE＝∠OEB，∠CDO＝∠A，∠EDO＝∠DEA，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠B，
∴∠COD＝∠DOE，
在△COD和△EOD中，
OC OE
COD EOD OD OD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△COD≌△EOD（SAS），
∴∠OED＝∠OCD＝90°，∠CDO＝∠EDO，∴DE为⊙O的切线，故选项D正确；
∵∠A＝∠DEA，
∴△AED为等腰三角形，故选项B正确，
则不一定正确的为DE⊥AC．
故选：C.
9﹒如图，在△ABC中，∠BCA＝60°，∠A＝40°，AC＝
C且与边AB相切的
动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（）
A﹒3B﹒
C﹒
D
解答：如图，作CF⊥AB于点F，以CF为直径作⊙O，与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN的长最小，
∵⊙O的直径是点C到AB距离最小的，此时∠MON为定值，
∴线段MN此时长最小，
∴∠CF A＝90°，
∵∠A＝45°，AC＝
∴CF
O
作OE⊥MN于点E，连结OM，ON，则∠MOE＝1
2
∠MON，
∴∠MOE＝60°，∴ME＝OM sin60°＝3 2
∴MN＝2ME＝3，
故选：A.
10.如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，
在CF上取一点E，使DE＝CD，连结AE.给出以下结论：
①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③ BD＝ AD；④AE为
⊙O的切线，其中正确的结论是（）
A﹒①②B﹒①②③C﹒①④D﹒①②④
解答：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，而AB＝CB，∴AD＝DC，故①正确；
∵AB＝CB，∴∠1＝∠2，
而CD＝ED，∴∠3＝∠4，
∵CF∥AB，∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴△CBA∽△CDE，故②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴ BD与 AD不能确定相等，故③错误；
∵DA＝DC＝DE，
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴∠AEC＝90°，∴CE⊥AE，
而CF∥AB，∴AB⊥AE，
∴AE为⊙O的切线，故④正确，
故选：D．
二、填空题
11.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，0），⊙A的半径为1，若直线y＝mx－m
（m≠0）与⊙A相切，则m的值为_______________.
解答：如图所示，设直线y＝mx－m（m≠0）与x轴相交于点C，与y轴交于点D，
令y＝0，则mx－m＝0，解得：x＝1，
令x＝0，则y＝－m，故B（0，－m），C（1，0），
∴OB＝m
＝m，
∵直线y＝mx－m与⊙A相切，
∴易得△ACD∽△BCO，∴DC：OC＝AD：OB，
1＝1：m，解得：m＝，
心，则线段OM 的长为_____________.
解答：如图，作△ABC 的内切圆⊙M ，过点M 作MD ⊥BC 于D ，ME ⊥AC 于E ，MN ⊥AB
于N ，
在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，
∴AB 10， ∵点O 为外接圆的外心，∴AO ＝
1
2
AB ＝5， 设⊙M 的半径为R ，则MD ＝ME ＝R ， 又∵∠MDC ＝∠MEC ＝∠C ＝90°， ∴四边形MECD 是正方形，
∴CE ＝CD ＝R ，AE ＝AN ＝6－R ，BD ＝BN ＝8－R ， ∵AB ＝10，∴8－R +6－R ＝10，解得：R ＝2， ∴MN ＝R ＝2，AN ＝6－R ＝4， 在Rt △OMN 中，∵∠MNO ＝90°，ON ＝AO －AN ＝1，
∴OM
13.如图，AB 是⊙O 的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点
D .若BD －1，则∠ACD ＝__________.
解答：如图，连结OC ，∵OC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥DC ，
∵BD 1，OA ＝OB ＝OC ＝1，
∴OD ，∴CD 1， ∴OC ＝OD ，∴∠DOC ＝45°， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝
1
2
∠DOC ＝22.5°， ∴∠ACD ＝∠OCA +∠OCD ＝22.5+90°＝112.5°， 故答案为：112.5°.
14.如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是 CF
的中点，弦CF 交AB 于点E .若⊙O 的半径为2，则CF ＝__________. 解答：连结OC ，
∵DC 切⊙O 于点C ，∴∠OCD ＝90°，
∵BD ＝OB ，∴OB ＝
1
2OD ， ∵OC ＝OB ，∴OC ＝1
2
OD ，
∵AB 为⊙O 的直径，点B 是 CF
的中点， ∴CF ⊥OB ，CE ＝EF ，
∴CE ＝OC sin60°＝2
∴CF ＝
故答案为：
15.已知：点P 是半径为1的⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，且P A ＝1，AB 是⊙O 的弦，
AB PB ，则PB ＝_______________.
解答：分两种情况：
（1）如图1，连结OA ，∵P A ＝AO ＝1，OA ＝OB ，P A 是⊙O 的切线， ∴∠AOP ＝45°，
∵OA ＝OB ，∴∠BOP ＝∠AOP ＝45°，
又∵OP ＝OP ，∴△POA ≌△POB （SAS ）， ∴PB ＝P A ＝1；
（2）如图2，连结OA ，与PB 交于点C ， ∵P A 是⊙O 的切线，
∴OA ⊥P A ，而P A ＝PO ＝1，∴OP
∵AB OA ＝OB ＝1，
∴AO ⊥BO ，∴四边形P ABO 是平行四边形， ∴PB 与AO 互相平分， 设AO 交PB 于点C ，则OC ＝12OA ＝12
，
∴BC ，∴PB
故答案为：1
16.如图，正方形ABCD 的边长为1，以AB 为直径作半圆，点P 是CD 的中点，BP 与半圆相交于点Q ，连结DQ ，给出如下结论：①DQ ＝1；②
PQ BQ ＝32；③S △PDQ ＝1
8
；④cos ∠ADQ ＝
3
5
，其中正确结论是_________________.（只填写序号） 解答：①连结OQ ，OD ，如图1所示，
易证四边形DOBP 是平行四边形，∴DO ∥BP ．
∵OQ ＝OB ，∴∠AOD ＝∠QOD ，∴△AOD ≌△QOD ，
②连接AQ ，如图2．
则CP ＝
1
2
，BP
易证Rt △AQB ∽Rt △BCP ，
运用相似三角形的性质可求得BQ
则PQ ， ∴
PQ BQ ＝3
2
．故②正确； ③过点Q 作QH ⊥DC 于H ，如图3．
易证△PHQ ∽△PCB ，
运用相似三角形的性质可求得QH ＝35
， ∴S △DPQ ＝12DP QH ＝12×12×35＝3
20
，故③错误；
④过点Q 作QN ⊥AD 于N ，如图4．
易得DP ∥NQ ∥AB ， 根据平行线分线段成比例可得
DN AN ＝PQ BQ ＝32
， 则有
1DN DN -＝32，解得：DN ＝3
5
．
由DQ ＝1，得cos ∠ADQ ＝
DN DQ ＝3
5
，故④正确． 综上所述：正确结论是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题
17.如图，以线段AB 为直径作⊙O ，CD 与⊙O 相切于点E ，交AB 的延长线于点D ，连结BE ，过点O 作OC ∥BE 交切线DE 于点C ，连结AC . （1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若BD ＝OB ＝4，求弦AE 的长. 解答：（1）证明：连结OE ，
∵CD 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥CD ， ∴∠CEO ＝90°，
∵BE ∥OC ，∴∠AOC ＝∠OBE ，∠COE ＝∠OEB ， ∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠AOC ＝∠COE ，
∴△AOC ≌△EOC （SAS ）， ∴∠CAO ＝∠CEO ＝90°，即AC ⊥OA ， ∴AC 是⊙O 的切线；
（2）在Rt △DEO 中，BD ＝OB ， ∴BE ＝
1
2
OD ＝OB ＝4， ∵OB ＝OE ，
∴△BOE 是等边三角形， ∴∠ABE ＝60°，
∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，
∴AE ＝BE tan60°＝18.(8分)如图，已知⊙O 的半径为1，DE 是⊙O 的直径，过点D 作⊙O 的切线AD ，C 是AD 的中点，AE 交⊙O 于点B .
（1）当AD 是多少时，四边形BCOE 是平行四边形？ （2）试判断BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由. 解答：（1）如图，连结BD ，∵DE 是⊙O 的直径， ∴∠DBE ＝90°，
假设四边形BCOE 是平行四边形，则BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1，
在Rt △ABD 中，C 为AD 的中点， ∴BC ＝
1
2
AD ＝1，∴AD ＝2， ∴当AD ＝2时，四边形BCOE 为平行四边形； （2）BC 与⊙O 相切，理由如下： 连结OB ，∵BC ∥OD ，BC ＝OD ， ∴四边形BCDO 为平行四边形， ∵AD 切⊙O 于点D ，
∴OD ⊥AD ，∴平行四边形BCDO 为矩形， ∴OB ⊥BC ，
∴BC 是⊙O 的切线.
19.(8分)如图，已知直线y +3分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 是反比例函
数y （x ＜0）图象上的一动点，PH ⊥x 轴于点H ，若以点P 为圆心，PH 为半径作
⊙O ，当⊙O 与直线AB 恰好相切时，求此时OH 的长. 解答：作PC ⊥AB 于C ，连结AP ，
∵直线y +3分别与x 轴、y 轴交于A 、B ，
当y ＝0时，x x ＝0时，y ＝3；
∴A0），B（0，3）；
∵∠AOB＝90°，tan∠OAB
∴∠OAB＝60°，
∵以P为圆心，PH为半径的圆与直线AB相切，∴PH＝PC，
∴AP平分∠OAB，
∴∠P AH＝1
2
∠OAB＝30°，
设OH＝x，则AH＝x
∵PH⊥x轴，
∴∠PHA＝90°，
∴tan∠P AH＝PH AH
，
∴PH＝AH tan30°＝（x，
∵点P是y（x＜0）的图象上一点，
∴PH OH(x x
解得：x（负值舍去），
∴OH.
20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上一点O为圆心的半圆与AB切于点
D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝2
3
.
（1）求⊙O的半径OD长；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图两部分阴影面积的和.
解答：（1）∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝BD
OD
＝
2
3
，
∴OD＝3；
（2）连结OE，
∵AE＝OD＝3，AE∥OD，
∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x =于点M，BC边交x轴于点N（如图）. （1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数； （3）设MBN ?的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析 【解析】 试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数； （3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子． 试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°， ∴OA旋转了45°． ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 2 452 3602ππ ? =． （2）∵MN∥AC， ∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°． ∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN． 又∵BA=BC，∴AM=CN． 又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN． ∴∠AOM=∠CON=1 2（∠AOC-∠MON）= 1 2 （90°-45°）=22.5°． ∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化． 证明：延长BA交y轴于E点， 则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM， ∴∠AOE=∠CON． 又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
直线与圆的位置关系 题型培优 一、考点·方法·破译 1. 理解掌握圆的切线、割线的概念，懂得直线与圆的三种位置关系及判别依据； 2. 理解掌握切线的性质定理、判定定理，能熟练运用会根据需要添加辅助线； 3. 理解掌握切线长定理，能利用切线相关定理进行推理论证。 二、经典· 考题· 赏析 题型1（泉州）已知直线y =kx （k ≠0）经过点（3,-4），（1）求k 的值；（2）将该直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到直线与半径为6的⊙O 相离（点O 为坐标原点），试求m 的取值范围 【变式题组】 1.（辽宁）如图，直线y = 3 3 x +3 与 x 轴、y 轴分别相交 于A,B 两点，圆心P 的坐标为 （1,0），⊙P 与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相交时， 横坐标为整数的点P 有个 2.（永州）如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，A 点的坐标为（-3,0），经过A 、O 两点作半径为5 2的⊙O ，交 y 轴的负半轴于点B （1）求B 点的坐标； （2）过B 点作⊙C 的切线交x 轴于点D ，求直线BD 的解析式 题型2（襄樊）如图所示，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上， DC 切⊙O 于C ，若∠A =25°，则∠D 等于（ ） A. 40° B.50° C.60° D.70° 【变式题组】 3.（徐州、南京）如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为（ ） A .4cmB . 5cmC . 6cmD .8cm 4.（南充）如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线P A 、PB ，切点分别是A ，B,若P A =8cm ，C 是AB 上的一个动点（点C 与A 、B 两点不重合），过点C 作⊙O 的切线，分别交P A 、PB 于点D 、E ，则△PED 的周长是 . 5.（徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C =18°，则∠CDA =. 6.（荆门）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8,则△ABC 的内切圆半径r =. 题型3（日照）如图，⊙O 的直径AB =4，C 为圆周上一点，AC =2,过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点E （1）求∠AEC 的度数; （2）（2）求证：四边形OBEC 是菱形 【变式题组】
位置与方向测试题
位置与方向试题 1. 填一填。 （1）学校在小丽家南偏_________的方向上，距离是_________米。 （2）医院在小丽家_________偏_________的方向上，距离是_________米。（3）工厂在小丽家_________偏_________的方向上，距离是_________米。（4）超市在小丽家_________偏_________的方向上，距离是_________米。 2. 画一画。 在平面图上标出台球桌上各个球所在的位置。 （1）1号球在白球东偏北30°方向10厘米处。 （2）7号球在白球北偏西25°方向50厘米处 （3）11号球在白球南偏西45°方向30厘米处。 （4）14号球在白球东偏南60°方向40厘米处。
10厘米 北白球 3. 量一量，填一填。 以学校为观测点。 （1）刘丰家在学校_________偏_________方向上，距离是_________米。（2）老师家在学校_________偏_________方向上，距离是_________米。（3）马林家在学校_________偏_________方向上，距离是_________米。
（4）王强家在学校_________偏_________方向上，距离是_________米。（5）李丽家在学校____________________方向上，距离是_________米。 ［活动乐园］ 有一天，丁同学要去贾同学家玩，贾同学打电话告诉丁同学怎样去他家。贾同学说：“你从家出发，朝你家北偏东30°的方向走100米，到文具店。帮我买一支中性笔，再从文具店出发，朝文具店东偏南45°的方向走300米就到我家楼下了。”根据贾同学的叙述，你能找到他家吗？试着画出来。 东 试题答案 1. 填一填。
—、选择。 1．太阳( )是东升西落。 A．一定 B．不一定 C．不会 2．与北极星相对的方向是( ) 。 A．东 B.南 C.西 3．小明座位的西南方向是张强的座位，那么小明在张强的( )方向。 A．东南 B.西北 C．东北 4．三(1)班教室的黑板在教室的西面，那么老师讲．课时面向( )面。 A．东 B．南 C．西 D.北 5。张丽面向南站立，当她向后转之后，她的左面是( )，右面是( )。 A．东 B．西 C.北 二、填空。 1．把手表平放在桌面上，用数字12 正对着北方。正对着南方的是数字( )； 数字3 正对着 ( )方。 2．小铃面向西站立，向右转动两周半，面向( )；向左转动l周半，面向( )。 3．下图是某小区的平面图，请根据平面图填空。 (1)1号楼在中心花园的( )方向；3号楼在中心花园的( )方向；4号楼在中心花园的 ( )方向。
(2)4号楼在2号楼的( )方向；1号楼在2号楼的( )方向。 (3)中心花园在( )的北面，( )的西北面，2号楼的( )方向。 (4)( )在( )北面。 (5)5号楼的西面有( )号楼和( )号楼。 三、算一算，分分类。 (1)把得数小于50的写在西面。 (2)把得数在50～100的写在东面。 (3)把得数在100—200的写在北面。 (4)把得数在200以上的写在南面。 四、判断，对的画“√”，错的画“×”。 L人的影子在西方，太阳应在东方。( ) 2．和西北相对的方向是西南。( ) 3．在森林中可以利用树叶的疏密来识别方向。( ) 4．面对早晨的太阳，你的右手边是南方。( ) 五、应用题。 1．小强的家门面向东，放学回家后站在门前，面向家门，他的前后左右分别是什么向?
直线与圆的位置关系、切线》 培优训练 参考答案与试题解析 一.选择题（共12小题） 1. （2013杨浦区二模）00的半径为R,直线I与OO有公共点，如果圆心到直线I的距离为d ,那么d与R的大小关系是（B ） A d >R B d WR C d >R D d v R 考点：直线与圆的位置关系. 专题：探究型. 分析：直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可. 解：???直线I与O0有公共点， 解答： ??直线与圆相切或相交，即d W R. 故选B. 点评： 本题考查的是直线与圆的位置关系，即判断直线和圆的位置关系：设O0的半径为r,圆心O 到直线I的 距离为d ,当d v r时，直线I和OO相交；当d=r时，直线I和00相切；当d > r 时，直线I和O0相离. 2. （2014?嘉定区一模）已知OO的半径长为2cm ,如果直线I上有一点P满足PO=2cm ,那么直线I与00的位 置关系是（D ） A相切B相交C相离或相切D相切或相交
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考点：直线与圆的位置关系? 分析： 情据讨线与相位置关系熠直线l和判断直线和?圖的位置分JOP垂直于直直线l和G OP相垂直直线r；（两直解答：解：当0P垂直于直线I时，即圆心0到直线I的距离d=2=r ,00与I相切； 当OP不垂直于直线I时，即圆心O到直线I的距离d v 2=r , 00与直线I相交. 故直线I与00的位置关系是相切或相交. 故选D. 点评：本题考查直线与圆的位置关系 .解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定. 3. （2013宝应县二模）在平面直角坐标系中，以点（3, - 5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1,则圆的半径r的取值范围是（D） A r >4 B 0v r v 6 C 4 < r V D 4 v r v 6
位置与方向练习题 一、填空。 1．当你面向北时，你的后面是（）面，左面是（）面，右面是（）面。 2．小亮正在滑冰，这时的小亮正在向（）面滑，她返回来的时候向（）面滑。 3. 吹南风时,烟囱里冒出的烟向( )飘；刮北风时,小柳树向( )面弯腰。 4. 聪聪，明明，亮亮排队上操，亮亮在最东边，聪聪在最西边，聪聪的右手是东，那么亮亮的脸朝（）面，后背朝（）面。 二、填一填、画一画。 1． 2．跳棋游戏。（棋子跳到什么地方画出路线） 三、选择正确答案的序号填在（）里。 1．张洪站在家门前，面向南方，他向右转面向（）面。 ①东②南③西④北 2．的家在的东面，在家的西面，那么家在家的 （）面。 ①东②南③西④ 四、小小邮递员。 （1）邮递员叔叔从邮局出发向东行驶（）米到商店，再向（）行驶（）米到公园。 （2）小芳从家出发向（）走（）米到幼儿园，再向（）走（）米到电影院，然后向西走60米到（），最后向（）走（）米到超市。
（3）邮递员叔叔从邮局出发，第一封信是送到小学，请你写出邮递员叔叔的行走路线和米数。 （4）邮递员叔叔从邮局出发，到小芳家，全程走了（）米。 五、识别地图，回答问题。 （1）_______________大致在北京的东北方向。 （2）_______________大致在北京的西南方向。 （3）________大致在________的东北面；________大致在________的西南面；________大致在________的西北面；________大致在________的东南面。 一、填空。 1.早上，当你面对东升的太阳时，你身后是（）面，你的左边是（）面，你的右边是（）面。 2.小红家在小芳家的东北面，小芳家在小红家的（）面。 3. 风也是有方向的，风向指的是风吹来的方向， 例：风从东方吹来就叫东风。 聪聪向南走顶风，这时刮的是（）风。 二、选择正确答案的序号填在（）里。 1．学校在小明家的西北面，放学小明回家，他应该向（）面走。 ①东北②西南③东南④西北 2．聪聪、明明和静静住在相邻的三个房间里。聪聪住在明明的东面，静静与聪聪不相邻，你知道静静住在（）个房间。 三、看北京市地图填空。 （1）北京市区位于地图的中部，它的东南方是（）和（）；
第2章《直线与圆的位置关系》单元提升培优测试题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1﹒如图，∠APB ＝30°，O 为P A 上一点，且PO ＝6，以点O 为圆心，半径为OB 的位置关系是（ ） A ﹒相离 B ﹒相切 C ﹒相交 D ﹒以上三种情况均有可能 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2﹒如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AE 是⊙O 的切线，A 为切点，连结BC 并延长交AE 于点D .若∠AOC ＝80°，则∠ADB 的度数为（ ） A ﹒20° B ﹒40° C ﹒50° D ﹒60° 3﹒如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于 E ， F ， G 三点，过点D 作⊙O 的切线DM ，交BC 于M ，切点为N ，则DM 的长为（ ） A ﹒ 133 B ﹒92 C D ﹒4﹒如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm 和3cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，则劣弧AB 的长为（ ） A ﹒2π B ﹒4π C ﹒6π D ﹒8π 5﹒如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径.若∠P ＝40°，则∠BAC 的度数为（ ） A ﹒20° B ﹒25° C ﹒30° D ﹒40° 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 6﹒如图，如果等边△ABC 的内切圆⊙O 的半径为2，那么△ABC 的面积为（ ） A ﹒ B ﹒ C ﹒ D ﹒7﹒如图，以半圆O 中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ， 若 AD ＝2 ，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）
位置与方向练习题 一：填一填: 1:早晨起来，面向太阳，前面是____,后面是____,左面是____，右面是____。2:我们所熟知的八大方向分别是：____,____,____,____,____,____,____,____。3:绘制地图是按照____,____,____,____来绘制的。 4:南风是从____吹向____的风 二:想一想,标一标,画一画 1、在花园小区的东面70米的地方有一所中学，西边30米的地方有一家超市，请你用☆标出中学的位置，用○标出超市的位置。 2、按要求涂色 (1)在■的东南面画“○”。(2)在■的东北面画“△”。 (3)在■的西南面画“☆”。(4)在■的西北面画“◇”。 3、走进汽车展览大门，在收费厅的正北面有“夏力”屋，南面有“红旗”屋。在收费厅的东南面有“金杯”屋，西南面有“奥迪”屋。在收费厅的东北面有“奥拓”屋，西北面有“捷达”屋。请你根据上面的描述，把这些屋名填在适当的位置上。
4: 从公园回家，明明先向南走，再向东走到家；丽丽先向北走，再向西走到家；芳芳先向北走，再向东走到家；东东先向西走，再向南走到家。请你标出他们各自的家。 5、在佳和园小区的东边40米的地方有一所幼儿园，西边60米的地方有一个银行，东边50米的地方有一超市，南边40米的地方有一家饭店。请你分别标出幼儿园、银行、超市和饭店的位置。 6、请你帮助小动物找到自己的
(1)熊猫住在森林公园的北面，小鹿住在森林公园的南面。 (2)羊住在森林公园的东面，小牛住在森林公园的西面。 (3)森林公园的东北角住着小花猫，东南角住着小兔，西北角住着小猪,西南角住着小狗。 7、 (1)．北京城区的西南地区下雨，用“☆”在图上表示出下雨的位置。 (2)．北京城区东北方向受到冷空气袭击，用○在图上表示出受冷空气袭击的位置。 (3)．北京城区西面气温最高，用□在图中标出气温最高的位置。 8、
六年级上册圆培优题 圆 ?易错题 1、两个圆的半径比是2:3，他们的直径比是（ ），周长比是（ ）。 2、一个圆的直径扩大到原来的2倍，它的半径就扩大到原来（ ）倍，它的周长扩大到原来的（ ）倍。 3、一座石英钟的时针长6cm ，经过6小时，这时针的尖端所走的路程是（ ）cm ，经过12小时，这时针的尖端所走的路程是（ ）cm 4、周长相等的正方形，长方形和圆，面积最大的是（ ），最小的是（ ）。 5、将一个圆，沿半径剪开，得到若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长是圆的（ ），宽是圆的（ ）。如果这个长方形的宽是3cm ，那么这个长方形的长是（ ）cm,周长是（ ）cm ，面积是（ ）平方厘米。如果拼成的长方形的长为12.56dm ，那么原来圆的面积是（ ）cm 2 6、小圆的半径是大圆半径的3 1，小圆的面积是大圆面积的（ ）。 7、一张正方形的周长是16分米，把它剪成一个最大的圆，剪去部分的面积是（ ）平方分米。 8、有一半圆的周长是25.7cm ，它的面积是（ ）平方厘米。 9、在一块直径是1.2米的圆形桌布周围缝在一条花边，接头处长6厘米，这条花边长（ ）米。 10、用一根12.56dm 长的铁丝弯成一个圆形铁环，这个铁环的直径是（ ）dm ，面积是（ ）dm 2 求阴影部分的面积与周长
例1、求下面图形中阴影部分的面积与周长。 练2、.如图，四个扇形的半径相等， 3、如图所示，正方形的面积是18dm2，求阴影部分的面积。(单位:厘米) 求圆的面积。
4、.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米求阴影部分的面积。 5、求阴影部分的面积。(单位:厘米) 半圆的周长 例1、有一个半圆形的零件如图所示，周长是25.7厘米，求这个半圆形零件的面积。 练1、如图所示，这个四分之一园的周长是17.85厘米，求它的面积。
位置和方向练习题 一、在（ 二、按要求画图形，并填一填 2 的西面画 。 3。 4在的（ 的（ ）面。 三、口算 35÷7＝ 6×9＝ 30＋90＝ 40＋70＝ 24÷ 4＝ 120－20＝ 20＋300＝ 5×8＝ 45÷8＝ 60＋900＝ 40＋40＝ 7×8＝ 800－700＝ 69－9＝ 63÷9＝ 3×6＝ 50＋300＝ 80＋50＝ 50÷7＝ 260－200＝ 230－30＝ 四、看路线图填空 北 北
红红从甜品屋出发到电影院，她可以有下面几种走法。请把红红的行走路线填完整。 ⑴从甜品屋出发，向北走到（ ），再向（ ）走到电影院 ⑵从甜品屋出发，向（ ）走到街心花园，再向（ ）走到电影院。 ⑶从甜品屋出发，向（ ）走到花店，再向（ ）走到书店，再向北走到电影院。 五、测一测，填一填 365＋138＝ 247＋156＋342＝ 七、看图填空 1． 在 的（ ）面。 在 的（ ）面。 的（ ）面是 。 的（ ）面是 。 在 的（ ）面。 北
在 的（ ）面。 2． 小猪要到小猴家玩，它可以怎么走？ ⑴小猪从家出发，向南走到（ ）家，再向（ ）走到小猴家。 ⑵小猪从家出发，向（ ）走到小狗家，再向（ ）走到小猴家。 ⑶小猪从家出发，向（ ）走到小兔家，再向（ ）走到小猴家。 ⑷在上面三种走法中，你觉得小猪怎样走，到小猴家会近些？ ⑸算一算，小猪从家出发，经过小鹿家到小猴家要走多少米。 ⑹小狗从家出发，到小鹿家去玩。你觉得它怎样走近些？ 八、画一画，填一填 的位置。 ）面。 北
九、想一想，填一填 1． ⑴乐乐从家出发，向（ ）走到人民路，再向（ ）走到书店。 ⑵乐乐的爸爸在游乐场工作，爸爸从家出发，向（ ）走到人民路，再向（ ）走到游乐场。 ⑶太平路在人民路的（ ）面，长白街在人民路的（ ）面。 ⑴2路车从（ ）开往（ ）。 3路车从（ ）开往（ ） ⑵小明从汽车站出发到书城，应乘（ ）路车，乘（ ）站。 ⑶小亮从文化宫出发到游乐场，应先乘（ ）路车到（ ）站下车，再乘（ ）路车到游乐场。 ⑷从花园小区到公园可以怎样乘车？ 北 太 平 人 民 路
位置与方向 教材基础知识针对性训练与基本能力巩固提高 一、选择。 1．地图上的方向规定是( )。 A．上南B．上北C．上西 2．早上太阳从( )方升起，从( )方落下。 A．东 B.南 C.西D．北 3．旗杆的影子在西面，那么太阳在( )。 A．东面B．南面 C.西面D．北面 4．聪聪从家到学校，先向北走了一段路，再向东走了一段路，然后向南走了—段路才到学校，聪聪走的路线应该是( )。 二、填空。 1．小明下午放．学回家，面向太阳，他的前面是( )；后面是( )；左面是( )；右面是( )。 3．下图中，小象在狮子的( )面，在小猪的( )方向；小牛在小兔的( )面，在狮子的( )方向。 三、判断，对的画“√”，错的画“×”。 1．面朝南方时，你的左手边是西方。( ) 2．明明沿直线向东走100米，再向西走100米，又向南走100米，这时他在出发点北100米.( ) 3．秋天大雁从北方飞向南方。( ) 4．北京的冬天刮的是西北风。( ) ． 四、填一填。
“走进服装城大门，正北面是假山石和童装区，假山的东边是男装区，西边是女装区。女装区的北面是中老年服装区”。根据以上的描述请你把服装城的序号标在适当的位置上。 ①童装区②男装区③女装区④中老年服装区 五、应用题。 1．小明的学校在小明家的东南方向550米处，他每天中午都回家吃饭，请问小明在上学和放学的路上一天一共走多少米? 2．学校向东第四个点处是小军家，圈出小军家的位置，小军家距离学校有多少米? 3．兰兰家在学校的南面500米处，方方家在兰兰家北面200米处，请问学校在方方家什么方向的多少米处? 探究拓展能力强化训练与应用综合能力的养成 1．(开放题)游乐场。 小娟玩完滑梯后要去玩秋千，至少写出三种行走路线，并计算所走的距离。(从转椅一边走到转椅的对面约40米)
C O A B P 第6讲： 与圆有关的位置关系 一、建构新知 1.判别直线是圆的切线有两种方法，如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心，证这条线段垂直于直线即可；如果直线与圆没有直接的联系，则过圆心作直线的垂线段，证垂线段等于圆的半径即可。 2.求线段的长度有以下常用的方法： （1）用勾股定理，适用于已知两边的直角三角形中； （2）用相似三角形，适用于有相似三角形的图形中； （3）面积法，适用于有直角三角形的图形中有高的存在。 3.圆的切线性质、判定，与圆有关的基本性质，直角三角形相关知识等.在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”． 4.圆的切线垂直于过切点的半径，可以把直线和圆的位置关系问题转化为直角三角形的问题解决；根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题． 5. 从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法. 二、经典例题 例1. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，且OP ∥BC ，∠P ＝∠BAC ． （1）求证：P A 为⊙O 的切线； （2）若OB =5，OP =25 3 ，求AC 的长．
例2. 如图AB 是⊙O 的直径，AC 、 DC 为弦，∠ACD =60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD =30°. (1)求证：DP 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积. 例3.如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF =∠ABC . （1）求证：AB =AC ； （2）若AD =4，cos ∠ABF =5 4 ，求DE 的长.
小学数学《方向与位置》练习题（含答案） 【知识要点】 1.我们在描述物体的位置时经常用东、南、西、北，东北、东南、西北、西南八个方向来描述。在地图上我们规定了上北、下南、左西、右东的识记方向的方法，在地图上给出一个方向，可以辩认其余的七个方向，能用词语描述物体所在的方向。 2.我们可以用数对来表示，会看简单的路线图，并能描述行走的路线。 【解题指导】 【例1】看图回答问题。 （1）以车站为观察点，小强家在什么位置？ （2）以车站为观察点，小刚家在什么位置？ （3）图中每一小格边长表示300米，从车站到学校是多少米？ 【思路点拨】根据我们学习的方向在东和北之间的方向称为东北方向，在西和北之间的方向称为西北方向，所以在描述物体方向时角度要和标示的方向一致。所有描述都要以固定的参照物为观察点。 【解题过程】（1）以车站为观察点，小强家的位置是东偏北35°。 （2）以车站为观察点，小刚家的位置是西偏北65°。 （3）从车站到学校的距离是：300×5=1500（米）。 总结：在东和北之间的方向称为东北方向，在西和北之间的方向称为西北方，在东和南之间的方向称为东南，在西和南之间的方向称为西南。 【变式题1】根据图形回答下面的问题。 （1）以学校为观测点，小红家在偏，方向上，距离学校米。
小丽家在偏，方向上，距离学校米。 （2）小娟从家到学校，每分走80米，需要多少分？ （3）以小红家为观测点，小娟家大致在什么方向？ 【例2】有一艘巡逻艇先从船港出发向东偏北30°方向行驶，15千米，然后从该处向西偏北45°行驶了20千米，在此处停留5分钟后，再西偏南60°行驶30千米。根据描述在下图中画出这艘巡逻艇的路线图。 【思路点拨】在本题中观察点在变化。所以我们可以在变化的观察点位置画出坐标轴，帮助判断。画角度时，以横轴为起始边。 【解题过程】 总结：是图上线段长度表示的实际距离，在这幅图上的1厘米表示5千米。【变式题2】
《圆》的专项培优练习题 1．如图一，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图二，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线． 直线与圆的位置关系的培优 1、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于D，E是AC上一点。（1）、若E是AC的中点，则DE是⊙O的切线，为什么？ （2）、若DE是⊙O的切线，则E是AC的中点，为什么？ 2. 如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE 平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？ 3．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连AC交⊙O于D，过D作⊙O的切线EF，交BC于E点.求证：OE//AC. 切线相关拓展 1. 已知正三角形的边长为6，则该三角形的外接圆半径，内切圆的半径各为____________。 N 2、三角形的三边长分别为5㎝、12㎝、13㎝，则三角形的内切圆的面积为________ 3、已知三角形的内切圆半径为3cm ，三角形的周长为18cm ，则该三角形的面积为 。 4．已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（ ） A ．三条中线交点 B ．三条高的交点 C ．三条角平分线交点 D ．三条边的垂直平分线的交点 5．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是 6.如图,PA,PB 是⊙O 的两条切线PA=8,过AB 弧上一点C,作切线分别交PA,PB 于D,E,若∠P=40°,求∠DOE .三角形PDE 的周长等于 7．如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O 的半径. 8、在Rt △ABC 中，∠A ＝900，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为（ ） A 、ab B 、 ab b a + C 、b a ab + D 、2 b a + . . . . 圆培优竞赛 1．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（） A 5 13 12 ． 12 5 C 3 13 5 D 2 13 3 【答案】B． 【解析】 试题分析：如答图，连接PO，AO，取AO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E， ∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90o. ∵△PCD的周长等于3r，∴PA=PB=3 r 2 . ∵⊙O的半径为r，∴在Rt△APO中，由勾股定理得 2 2 313 PO t r 2 ?? =+= ? ?? . ∴ 13 GO=. ∵∠OHA=∠OAP=90o, ∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP. ∴AH OH OA PA OA OP ==,即 AH OH 3r13 r r 2 == ∴ 313213 AH OH=.∴ 13213513 GH GO OH =--. ∵∠AGH=2∠APO=∠APB, ∴ AH12 tan APB tan AGH G 313 13 513 r H5∠=∠===. 故选B． 考点：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用. 2．如图，以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R、r的值可能是( ). =5，r=2 =4，r=3/2 =4，r=2 =5，r=3/2 【答案】D 【解析】 本题考查圆和勾股定理的综合应用，在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中，看是否满足条件。 做圆心O 和正方形中心O。设正方形边长为a。设AB中点为H，连接OH并延长，交大圆于点J 一、填空 1.丽丽面向北站立，向右转40°后所面对的方向是（）；丁丁面向西站立，向左转40°后所面对的方向是（）；豆豆面向南站立，向左转40°后所面对的方向是（）；齐齐面向东站立，向右转40°后所面对的方向是（）。 考查目的：确定方向，并能用正确、规范的语言表述。 答案：北偏东40°；西偏南40°；南偏东40°；东偏南40°。 解析：引导学生通过画图的方式得出结果。可对“南偏东40°”与“东偏南40°”这两个答案提出质疑：“它们表示的方向是否相同？”再利用图示比较分析，加深理解。 2.以学校为观测点。 （1）邮局在学校（）方向，距离是（）米； （2）书店在学校（）偏（）（）°的方向上，距离是（）米； （3）图书馆在学校（）偏（）（）°的方向上，距离是（）米； （4）电影院在学校（）偏（）（）°的方向上，距离是（）米。 考查目的：根据平面示意图，用方向和距离描述某个点的位置。 答案：（1）东北，1000；（2）西，北，30，800；（3）南，西，15，400；（4）东，南，20，600。 解析：本题给出了角度，并用一条线段表示200 m，要求学生以学校为参照点，说出其他几个地方的确切位置。通过练习，考查学生运用知识的熟练程度。 3.下面是雷达站和几个小岛的位置分布图，以雷达站为观测点。 （1）A岛的位置在（）偏（）（）方向上，距离雷达站（）km； （2）B岛的位置在（）偏（）（）方向上，距离雷达站（）km； （3）C岛的位置在南偏西35°方向上，距离雷达站60 km处。请在图中画出C 岛的准确位置。 考查目的：用方向和距离描述某个点的位置；并能根据描述在图上确定点的位置。 答案：（1）东，北，30°，48；（2）北，西，20°，60；（3）见下图。 《直线与圆的位置关系、切线》 培优训练 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．（2013?杨浦区二模）⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，如果圆心到直线l的距离为d，那么d与R的大小关系是（B） A．d≥R B．d ≤R C．d＞R D．d ＜R 考点：直线与圆的位置关系． 专题：探究型． 分析：直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可． 解答：解：∵直线l与⊙O有公共点， ∴直线与圆相切或相交，即d≤R． 故选B． 点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，即判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r， 圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时，直线l和⊙O相交；当d=r时，直线l和⊙O相切；当 d＞r时，直线l和⊙O相离． 2．（2014?嘉定区一模）已知⊙O的半径长为2cm，如果直线l上有一点P满足PO=2cm，那么 直线l与⊙O的位置关系是（D） A．相切B．相交C．相离或相切D．相切或相交 考点：直线与圆的位置关系． 分析：根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l论．和⊙O相切?d=r； ③直线l和⊙O相离?d＞r．分OP垂直于直线l，lOP和⊙不垂直直线O相交?dl＜两种情况讨r；②直线解答：解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切； 当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交． 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交． 故选D． 点评：本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 3．（2013?宝应县二模）在平面直角坐标系中，以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是（D） A．r＞4 B．0 ＜r＜6 C．4≤r＜6 D．4 ＜r＜6 位置与方向（二）测试题 一、用心思考，认真填空。 １、将“南”、“东”、“西”、“东北”、“西北”、“东南”、“西南”填在右图的括号中。 ２、看右图，填一填。 以学校为观测点。 （1）邮局在学校的（）的方向上，距离是（）米。 （2）书店在学校的（）偏（）（）゜的方向上。距离是（）米。（3）图书馆在学校的（）偏（）（）゜的方向上，距离是（）米。（4）电影院在学校的（）偏（）（）゜的方向上，距离是（）米。３、看下图，填一填。 （1）从小刚家出发，向（）偏（）（）゜走（）米到达广场。（2）从银行出发，向（）偏（）（）゜走（）米到超市。（3）从公园出发，向（）偏（）（）゜走（）米到达超市。（4）从银行出发，向（）偏（）（）゜走（）米到达广场。4、看图填一填。 如果一个小正方形的对角线长 10m，则： （1）点（4，1）东偏北? 45方向 30m处是点（）； （2）点（9，0）北偏西方向? 45方 向40m处是点（）； （3）点（0，6）东偏南? 45方向 20m处是点（）； （4）点（）南偏西? 45方向20m处是点（3，4）。 二、反复比较，慎重选择。10分 1、小明家在体育馆的东偏南? 30方向上，则体育馆在小明家（）方向上。 A、南偏东? 30B、西偏北? 30 C、北偏西? 30 2、下面图（）表示出“超市在学校北偏西? 30 方向上，距离200m。（每段表示100m） A、B、 C、 3、在图中，如果每条线 段代表200m，则500m 画（）段。A 、2B 、2.5C 、34、对下图中的路线，描述错误的是（ ）。 A 、游泳馆距离学校600m 。 B 、学校在小明家北偏东?20的方向上。 C 、邮局在小明家南偏西?40 的方向上。 5、对下列图中的路线描述错误的是（ ）。 A、从小红家出发，向北偏东?30的方向走600米到达展览馆。B 、从图书馆出发，向西偏北?30的方向走400米到达展览馆。C 、从展览馆出发，向西偏南?30的方向走600米到达小红家。 三、注意审题，解决问题。34分１、石没勘探队在A 城北偏东?40方向上，约45km 处打出一口油井。 请你在平面图上确定油井的位置。2、根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。 （1）文化广场在电视塔的东偏北 ?30方向1km 处。 （2）体育场在电视塔西偏南?45方向2500m 处。 （3）博物馆在电视塔的西偏北 ?40方向2km 处。 （4）动物园在电视塔的北偏东 ?20方向1500m 处。3、1路公共汽车从起点站向西偏北?40行驶3km 后向西行驶4km ，最后 南偏西?30行驶3km 到达终点站。”（10分） （1 ）根据上面的描述，把公共汽车行驶的路线图画完整。 专题23 圆与圆的位置关系 【阅读与思考】 两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质. 解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有： 1.相交两圆作公共弦或连心线； 2.相切两圆作过切点的公切线或连心线； 3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形. 熟悉以下基本图形和以上基本结论 . 【例题与求解】 【例1】 如图，大圆⊙O 的直径a AB cm ，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形3241O O O O 的面积为________cm 2 . （全国初中数学竞赛试题） 解题思路：易证四边形3241O O O O 为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长. B A 【例2】 如图，圆心为A ，B ，C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切.若⊙A ，⊙B ， ⊙C 的半径分别为a ，b ，c （b a c <<<0），则a ，b ，c 一定满足的关系式为（ ） A .c a b +=2 B .c a b +=2 C . b a c 1 11+= D . b a c 111+= （天津市竞赛试题） 解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线. 【例3】 如图，已知两圆内切于点P ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，PC 的延长线交大圆于点D .求证： （1）∠APD =∠BPD ； （2）CB AC PC PB PA ?+=?2. （天津市中考试题） 解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC ·BC =PC ·CD 入手. P B C D A 【例4】 如图⊙O 1和⊙O 2相交于点A 及B 处，⊙O 1的圆心落在⊙O 2的圆周上，⊙O 1的弦AC 与⊙O 2交于点D .求证：O 1D ⊥BC . （全俄中学生九年级竞赛试题） 解题思路：连接AB ，O 1B ，O 1C ，显然△O 1BC 为等腰三角形，若证O 1D ⊥BC ，只需证明O 1D 平分∠B O 1C .充分运用与圆相关的角. 六年级数学培优提高-圆与组合图形(含答案) 圆与组合图形 一、思想方法和方法归纳 数量代换法。有些图形，数量关系比较隐蔽，可以利用题中数量间的关系，相互代换，求出其中一个数量，把未知条件转化成已知条件。 旋转平移变形法。面积的大小具有恒定性，有时图形的位置或方向不利于解题，可以把某一部分能力旋转平移来使条件之间有关联，从而为解题创造条件。 等积变形法。在三角形中，如果两个三角形（或平行四边形）等底等高，则这两个三角形（或平行四边形）面积相等。除去这两个图形的公共部分，则它们剩余部分面积相等。我们经常要用到这种思想方法。 等腰直角三角形的特殊性。在等腰直角三角形中，两直角边相等。斜边上的高等于斜边的一半。斜边上的高恰好是等腰直角三角形的对称轴。 二、经典例题 例1、已知正方形ABCD的对角线AC长为10厘米，求阴影部分的面积。 例2、如图，已知下图中阴影部分面积为200平方厘米，求两圆之间的环形面积。 62.8平方厘米 例3、如图，已知大正方形边 长为10分米，求阴影部分的面积。 A B C D E F G H 例4、如图，已知等腰直角三 角形ABC 的面积为12平方厘米，求阴影部分的面积。 A B C 例5、如图是个对称图形，求 阴影部分的面积。 巩固练习 1、 如图，已知三角形ABC 为等腰 直角三角形，BC 为圆的直径且 BC=12厘米，求阴影部分的面积。 A B C 2、 已知正方形的边长为10厘米， 求阴影部分的面积。 3、 已知直角三角形ABC ，其中 AC=20厘米。求阴影部分的面积是多少。 A B C D 4、 如图，已知阴影部分的面积为 30平方厘米，求圆环的面积。直线与圆的位置关系的培优.
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