排列组合解题策略
2.A、36种B、120种C、720种D、1440种
前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C
3.把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为()
（A）510515A A （B）3355510515A A
A A （C）1515A （D）3355510515A A A A ÷答案：C
4.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
解：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法.
5.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？4
9C 解：从0、0、0、1、2、3…100中插入三个隔板即可3103C 。
7.某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。
解：在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种
8.有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？
解：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有1202
16=C 种。
9.(a+b+c+d)15有多少项？
解：当项中只有一个字母时，有种（即 a.b.c.d 而指数只有15故；当项中有2个字母时，有
而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即；当项中有3个字母
时指数15分给3个字母分三组即可；当项种4个字母都在时
四者都相加即可．10.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个
中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
解：1、先从4个盒子中选三个放置小球有3
4C 种方法；2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有23C 、24C 、25C 种方法；3、由分步计数原理可得34C 23C 24C 25C =720种。
11.用不同的5种颜色分别为ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）第11题第12题第13题第14题
12.四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84）
13.某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．（120）
秒杀秘籍：合并单元格解决染色问题
例3.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同
一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。
解：分情况讨论:
(ⅰ)当3、4颜色相同且1、5颜色不同时，将3、4合并成一个单元格，此时不同的
着色方法相当于4个元素的全排列数4
4A （ⅱ）当3、4颜色不同且1、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得44A 种着色法．
（ⅲ）当3、4与1、5分别同色时，将3、4，1、5分别合并，这样仅有三个单元格,从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有3334A C 种方法．由加法原理知：不同着色方法共有3
334442A C A +=48+24=72（种）
例4.将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端
点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.
解：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题,如图，
若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任
选两种涂A、B、C、D 四点，此时只能A 与C、B 与D 分别同色，故有125460C A =种方法。
(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B，由于A、B 颜色可以交换，故有24A 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C，而D 与C，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240C A C C =种方法。
(3)若恰用五种颜色染色，有55120A =种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。54321
14.将一四棱锥(图)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（420）15.将3种作物种植在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，1234
5
不同的种植方法共种（以数字作答）（72）
4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法17.号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3
8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
18534111235244544
253412454412354445=+++++C C C C C C C C C C C C C C C C 19.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第7120.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（
）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个
A ．48个
B ．36个
C ．24个
D ．18个
解：由题意知本题是一个分步计数问题，大于20000决定了第一位只能是2，3，4，5共4种可能，偶数决定了末位是2，4共2种可能。当首位是2时，末位只能是4，有A 33=6种结果，当首位是4时，同样有6种结果，当首位是3，5时，共有2×2×A 33=24种结果，总上可知共有6+6+24=36种结果，故选B ．22.在由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，比32145大的数共有（）A ．63个B ．64个C ．61个D ．66个
解：由题意知本题是一个分类计数问题，要求数字比32145大，∴首位是4，5时合题意，有C 21A 44=48，当首位是3，第二位是4，5时，符合题意，有C 21A 33=12，当首位和第二位是32第三位是1，只有一个32154符合题意，∴根据分类计数原理知，共有48+12+1=61种结果，故选C ．
23.编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）A 10种B 20种C 30种D 60种答案：B
（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种
解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，（2）乙取c 或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理，一共有3129?+=()种分配方式。故选B
25.五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有()
（A）60种（B）44种（C）36种（D）24种答案：B
26.编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为（）A ．120B ．119C ．110D ．109
解：若5个人的编号与座位的全部一致，只有1种方法．若只有4个人的编号与座位号一致，只有0种方法．若只有3个人的编号与作为号码一致，只有35C =10种方法．而所有的情况共有55A =120种，故至多有两个号码一致的坐法种数为120﹣1﹣0﹣10=109，故选D ．
27.一个楼梯共18级台阶，一步可以登一级或两级台阶，若12步登完，共有多少种不同走法？答案：924
612=C 28.一个楼梯共10级台阶，一步可以登一级或两级台阶，若8步登完，共有多少种不同走法？答案：36
2818=+C C 29.某区有7条南北向街道，5条东西向街道，如图，（1）图中共多少矩形？
（2）从A 点到B 点最近有多少种走法？
答案：210,210
30.欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共
有()
（A）34种（B）55种（C）89种（D）144种答案：（C）秒杀秘籍：标号排位问题（不配对问题）
例7．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）
A、6种
B、9种
C、11种
D、23种
解：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
秒杀秘籍：走楼梯问题（分类法与插空法相结合）
例8．小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台
阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
解：插空法解题：考虑走3级台阶的次数：1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有1
66C =种（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有2615C =种走法。
4）有3次（不可能）5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种125515C C +=走法；6）有5次（不可能）故总共有：1+6+15+15=37种。