→+∞
→均存在，且0>?M ，当M x >时，
有)()(x g x f ≤，则)(lim )(lim x g x f x x +∞
→+∞
→≤。
(6)四则运算法则 若)(lim ),(lim x g x f x x +∞
→+∞
→均存在，则g
f
g f g f ,
,?±［仅除法还要求0)(lim ≠+∞
→x g x ］在+∞→x 时极限也存在，且有
)
(lim )(lim )()(lim ),
(lim )(lim )()(lim ),
(lim )(lim ))()((lim x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x x x x x x x x x +∞
→+∞
→+∞→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞→=?=?±=±
(7)归结原则 设函数f 在),[+∞a 上有定义，则?=+∞
→A x f x )(lim 对任何
+∞→+∞∈n n x a x ),,[，都有A x f n n =∞
→)(lim ，其中A 为有限数。
推论 设f 在),[+∞a 上有定义，则)(lim x f x +∞
→存在?对任何),[+∞∈a x n ，
+∞→n x ，)(lim n n x f ∞
→均存在。
注5 归结原则与数列情形之“数列极限与其子列极限关系定理”类似，均是在揭示整体与部分的关系这一意义上而言的。
(8)绝对值性 若A x f x =+∞
→)(lim ，则A x f x =+∞
→)(lim ，且
0)(lim 0)(lim =?=+∞
→+∞
→x f x f x x
3、无穷小量与无穷大量
(1)无穷小量 若0)(lim 0
=→x f x x ，则称当0x x →时f 为无穷小量。
无穷小量的四则运算性质：
(i)两个无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。 (ii)无穷小量与有界变量之积为无穷小量。
(iii)两个无穷小量之商的极限为下述四种情形之一：有限实数
,,0,0∞≠a 不存在，此即无穷小量的阶的比较。
无穷小的阶的比较，是考察它们收敛于零的速度的快慢。 设0x x →时，g f ,均为无穷小量，则
???
??
?
?→∞→→≠=→不存在时的低阶无穷小（当为比称时的高阶无穷小（当为比称时为同阶无穷小（当与称),)
,0),0)
()(lim 0000x x g f x x g f x x g f a x g x f x x 其中，当1=a 时，又称f 与g 为等价无穷小(当0x x →时)，记作
))((~)(0x x x g x f →。
若0)
()
(lim
≠=→l x g x f n
x x ，l 为有限数，0>n ，则称 f 为关于基本无穷小g 的n 阶无穷小，n 通常为正有理数。
注 6 在应用极限运算的四则运算法则时，初学者会写出“0=∞-∞1,
=∞
∞
”等式子。这是不对的。出现这类“错误”的主要原因是将符号“∞”误认为一个常数，对它施行了数的运算法则。事实上，“∞”不是一个常数，而是表示绝对值无限增大的变量，记号“∞-∞”表示两个绝对值无限增大的变量之差，仍是一个变量。同样地，记号“∞
∞
”表示两个绝对值无限增大的变量之商，仍是一个变量。
问题2 下面的极限运算对吗？［3］
01
sin lim lim 1sin
lim 02020
=?=→→→x
x x x x x x
答：结果正确，表达错误，这是因为x
x 1
sin lim 0
→不存在，不能利用积的
极限运算法则，则可以这样表达：因为0lim 20
=→x x ，11
sin
≤x
，所以01
s in lim 20=→x
x x 。 问题 3 如果数列{}n a 收敛，数列{}n b 发散，那么数列{}n n b a 是否一定收敛？如果数列{}n a 和{}n b 都发散，那么数列{}n n b a 的收敛性又怎样？［3］
答：在两种题设情形下，数列{}n n b a 的收敛性都不能肯定，现分析如下：
情形1、数列{}n a 收敛，数列{}n b 发散。
若0lim ≠∞
→n n a ，则数列{}n n b a 必定发散，这是因为若数{}n n b a 收敛，且
0lim ≠∞
→n x a ，则由等式n
n
n n a b a b =
及商的极限运算法则立即可知数列{}n b 收敛，与假设矛盾。
若0lim =∞
→n x a ，则数列{}n n b a 可能收敛，也可能发散。例如，
(1))(1),(,1++∈=∈==N n b a N n n b n
a n n n n ，于是数列{}n n
b a 收敛。
(2) )()1(),()1(,1++∈-=∈-==N n b a N n n b n
a n n n n n n ，于是数列{}n n
b a 发散。
情形2 数列{}n a 和{}n b 都发散。
若数列{}n a 和{}n b 中至少有一个是无穷大，则数列{}n n b a 必定发散。这是因为若数列{}n n b a 收敛，而数列{}n a 为无穷大，从等式n
n
n n a b a b =便推得01
lim
lim lim ==∞→∞
→∞
→n
n n n n n n a b a b ，与假设矛盾。 若数列{}n a 和{}n b 都不是无穷大，则数列{}n n b a 可能收敛，例如，(3))(1),()1(++∈=∈-==N n b a N n b a n n n n n ，于是数列{}n n b a 收敛。
(4))(1)1(),(,)1(1,)1(++∈--=∈--=-=N n b a N n b a n n n n n n n ，于是数列{}n n b a 发散。
4、几个关系
(1)函数极限与数列极限的关系——归结原则 (2)单侧极限与极限的关系
)(lim )(lim 0
x f A x f x x x x +→→?=与)(lim 0
x f x x -→均存在相等，均为A 。
(3)无穷大量与无穷小量的关系(倒数) (二)重要极限
()e x e x x x x x x
x x =+=??
?
??+=→∞→→1001lim ,11lim ,1sin lim 。 前者为0
型的未定式的极限，后两式为∞1型的未定式的极限。 问题4 讨论函数极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？［3］ 答：一般说来，讨论函数)(x f 在0x 点的极限，都应先看一看单侧极限的情形。如果当0x x →时，)(x f 在0x 两侧的变化趋势一致，那么就不必分开研究；如果)(x f 在0x 两侧的变化趋势可能有差别就应分别讨论记左、右极限。例如，求分段函数在分段点处的极限时，必须研究左、右
极限；有些三角函数在特殊点的左、右极限不一样。例如，x tan 在2
π
=
x 的左右极限不一样；有些反三角函数、指数函数也有类似情形，例如，
x e x
1
,1
arctan 在0=x 处的左、右极限都不一样。
(三)函数的上极限与下极限
1、概念 设函数f 在0x 的某个空心临域),(00δx U 内有定义，则定义
{}M x f x f x U x x x ==∈→→+)
,(0
000
)(sup lim )(lim δδ，{}m x f x f x U x x x ==∈→→+)
,(0
000
)(inf lim )(lim δδ
其中m M ,为有限数或∞+或∞-，特别当f 在),(00δx U 内有界时，m M ,均为有限数。
［1］ 2、性质 (1)上极限性质
设M M x f x x ,)(lim 0
=→为有限数，则(I),0,0>?>?δε当δ<-<00x x 时，
有ε+?ε，在0x 的每一个空心临域内，必有x '，使得
ε->'M x f )(
(2)下极限性质
设m m x f x x ,)(lim 0
=→为有限数，则(I)0,0>?>?δε，使当δ<-<00x x 时，
有ε->m x f )(；(II)0>?ε，在0x 的每一空心临域内，必有x '，使得
ε+<'m x f )(。
3、函数上(下)极限与函数值数列上(下)极限的关系。
定理 设函数f 在0x 的某空心临域内有定义，
{}n x 为此邻域内的任意点列，)(0∞→→n x x n ，则对应于一切这种点列{}n x ，β=∞
→)(lim n n x f 所成数
集{}β必有最大值(包括∞+或∞-)，α=∞
→)(lim n n x f 所成数集{}α必有最小值
(包括∞+或∞-)，f 在0x 的上(下)极限即为这最大(小)值。
4、上(下)极限与极限的关系。
l x f x f l x f x x x x x x ==?=→→→)(lim )(lim )(lim 0
，l 为有限数或∞+或∞-。
(四)Stolz 定理的推广定理
定理 设(i)函数f ，g 定义于),[+∞a ，且均在),[+∞a 的任意子区间有界。
(ii)对一切)()(),,[x g T x g a x >++∞∈，其中T 为一正常数， (iii)+∞=+∞
→)(lim x g x ，
(iv)l x g T x g x f T x f x =-+-++∞
→)()()()(lim
(有限数或∞+或∞-)，则l x g x f x =+∞→)
()
(lim 。［5］
可见，(ii)、(iii)两条是stolz 第二定理之“+∞↑n b ”的推广，(iv)是“l b b a a n n n n n =----∞→1
1
lim
”之推广。
而此stolz 定理的推广定理与罗比达法则不同点是：后者为
∞
∞
型及)
()
(lim
x g x f x ''∞
→存在，而在这里，f 只要定义于),[+∞a ，且在),[+∞a 上的任意子区间上有界，)()(+∞→+∞→x x g ，及l x g T x g x f T x f x =-+-++∞
→)
()()
()(lim
即可。
二、习题类型与其解题方法归纳
关于函数极限的习题类型大致有：
(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限。 (二)根据极限定义与极限性质证题。 (三)求函数极限。
(四)判断函数极限存在与不存在。
此外，还有诸如无穷小(无穷大)的阶的比较等，本文将不涉及。 关于上述四种类型习题的解题方法在下文给出。 (一) 根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。
这里是指根据24个定义证明函数的正常极限与非正常极限的方法，属根据定义证题术——扣住定义而证，解题思路均是：0>?ε(或0>?G )，找0>δ(或0>M )，使当满足自变量的变化趋势刻划时，有因变量变化趋势之刻划，解题关键是找δ或M ，找法如下。
1、当f 以具体形式给出时，扣住 因变量变化趋势之刻划
G
x f G x f G x f A x f >>-><-)()()(,)(ε，分析并对)
()()(,)(x f x f x f A x f --进行恒等变形或加强不
等式，使之变成)()(x y A x f ≤-，
()()
x z x f x z x f x z x f ≥≥-≥)()()
()(，其中y 为正无穷小量，z 为正无穷大量，令ε<)(x y ，或G x z >)(；再扣住 自变量变化趋势之刻划。M
x x x M x x x M
x x x ><-<>-<-<><-<,0,0,0000δδδ对不
等式ε<)(x g 或不等式G x z >)(，关于0x x -解之，解得)
()()
(000εφεφεφ<-<-<-x x x x x x ，取
)(εφδ=或关于x x x -，解之，解得)
()()
(G x G x G x φφφ>>->，取)(G M φ=。
2．抽象论证找δ或找M 法
当f 是以抽象形式给出时，与1类似，对)
()()
(,)(x f x f x f A x f --进行恒等变
形或加强不等式，使之变成)()(x y A x f ≤-，)
()()()()
()(x z x f x z x f x z x f ≥≥-≥，其中y 为已知
正无穷小量，z 为已知正无穷大量，利用此y 或z 确定抽象的δ或M 。确定δ或M 的具体方法与技巧是：(I)根据已知极限或无穷大量确定δ或M 。(II)根据已知极限的性质或无穷大量确定δ或M 。(III)三角不等式及其它。
可见，与数列的此部分方法完全类似，只是比之更复杂些，下面举一些例子。
例1、设f 在任一有限区间上Riemann 可积，且A x f x =+∞
→)(lim ，证明
A dt t f x x x =?+∞→0
)(1lim ，(上海交大1987)。 分析 要证：0,0>?>?M ε，当M x >时，有ε<-1=?x
A dt t f x I 0
)(，
而????-≤-=-=x
x x x dt A t f x dt A t f x Adt x dt t f x I 0
000)(1))((11)(1；由A x f -)(不
难联想到已知A t f t =+∞
→)(lim ，于是0,001>?>?M ε当0M t >时，有
1)(ε<-A t f ，而，由于)(01+∞→→x I ，则012,0M M ≥?>?ε，当1M x >时，
有21ε
111εε<=?x dt x I ，再考虑要证ε
取1M M =。
证明：0>?ε，因A t f t =+∞
→)(lim ，则00>?M ，当0M t >时，有
2
)(ε
<
-A t f 。
因f 任一有限区间上Riemann 可积，则
?
-0
)(M dt A t f 为定数，于是
0)(1
lim 0
=-?
+∞→M x dt A t f x
，因而0M M ≥?，当M x >时有
2
221)(1,
2
)(10101000
ε
εεε
<-?=≤-=
≤
-=
???
x M x dt x dt A t f x I dt A t f x I x
M x
M M
由此有：当M x >时，
ε
ε
ε
=+
<
+=-≤-=-=-?????2
2
)(1))((11)(1)(121000
00I I dt A t f x dt A t f x Adt x dt t f x A dt t f x x
x x
x x 即A dt t f x x
x =?+∞→0
)(1lim ——抽象法证找M 法(利用已知极限分段处理)。 (二)根据定义与极限性质证题的方法
这里是指根据24个定义和48个性质等证题，其方法为：遇到正常极限与非正常极限符号，就用δδε--G ,等语言表达出来；深入分析题目，联想相关性质；再将之有机结合起来而找到证题方法。
例2 设f 在()+∞,0内满足)()(2x f x f =，且有
)1()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+∞
→→+
。
证明：+∞<<≡x f x f 0),1()(。
分析 证明恒等问题，首选反证法，如何找矛盾？扣住已恬
)()(2x f x f =，不难得到：当1>x 是，)(2+∞→+∞→n x n
，当10<而找矛盾。
证明 反正法
假设)1()(f x f ≠，则至少存在一点()+∞,00x ，使)1()(0f x f ≠，则
)1()(0f x f >或)1()(0f x f <，且显然10≠x ，下面只证)1()(0f x f <的情形，
)1()(f x f >的情形同理可证。
(I)当10f x f x =+→，则对01,0)()1(0>>?>-=δεx f f ，
当δ<)(020
∞→→n x n ，则对0>δ，??????=?0ln ln 2log x N δ
，当N n >时，有δ<x 200；不妨取10+=N n 及取0
20n x x =，则显然δ<=<0
2
0n x x ，于是由(1)知)()()()(020
00
x f x
f x f x f n ==<矛盾。
(II)当10>x 时，因)1()(lim f x f x =+∞
→，则对01),()1(0>>?-=M x f f ε，当
M x >时，有ε+<<)1()()(0f x f x f (2)因)(20
∞→+∞→n x
n ，则对
0>M ，??
???
?
=?0
ln ln 2log x M
N ，当N n >时，有0
20n x x =M <，不妨取10+=N n 及取0
20
n x x =，则M x x n >=0
2
，于是由(2)知)()()()(02000x f x f x f x f n ==<，矛盾。
综上即得证+∞<<≡x f x f 0),1()(。 (三)求函数极限方法
1、根据定义证明函数以A 为极限，即已求得了函数的极限。
2、用函数极限的四则运算法则、不等式性、绝对值性及无穷大量的四则运算等性质，根据已知极限求极。
3、根据公式与不等式求极限。
4、用两边夹定理求极限。
5、用stolz 定理的推广定理求极限。
6、用罗比达法则求极限。
7、用罗比达法则与微积分学基本定理、含参量积分求极限，用牛顿——莱布尼兹公式求极限。
8、用函数的连续性求极限。 9、用泰勒公式、导数定义等求极限。 10、用函数的上、下极限求极限。 11、用左极限与右极限求极限。 12、用归结原则求极限。
13、用函数项级数理论，如函数项级数收敛的必要条件或函数项级数的和函数求极限。
14、其它，诸如反证法、变量代换等等。
下面在罗比达法则和泰勒公式的选用上，微积分学基本定理与罗比达法则的运用上，两边夹定理，stolz 定理的推广定理的运用上重点举几例。
例3 设f 在0x 可导，求20400cosh 1)
()(lim --+=→x f h x f I h 。 解 24
40400c o s h
1)()(lim -?-+=→h h x f h x f I h )
(22sinh 4lim
)(023
00x f h h x f h '=?'=→
——用导数定义、罗比达法则、已知极限、极限四则运算法则求极限。
例4 求),2,1,0(,lim 12
1
n i a n a
a a I i x
x n
x x
x =>???
?
?
?+++=+∞→。
分析 本题为0∞型未定式，用罗比达法则试解之。不难发现，用罗比达法则两次之后，所得函数表达式已变得更为复杂，因而用罗比达法则解决不了，需改用它法。考虑到n a a ,,1 为有限个正数，因而必有最大值与最小值，于是联想到用与不等式有关的两边夹定理。
解 令{}n a a a k ,,,max 21 =，则
k n nk n a a a n k n k
x
x
x
x n
x x x
x
x =???? ??≤?
??
? ?
?+++≤???? ??=112111 ， 由于1lim 01lim
1===+∞→+∞
→n n
n x x
x x 。
因而k n
k x
x =+∞
→1lim
，
由两边夹定理知：{}n x
x
n
x x a a k n a a I ,,max lim 111 ==???
?
??++=+∞→ 例5 设f 在[]B A ,上连续，B b a A <<<。
证明：)()()
()(lim 0
a f
b f dx h
x f h x f I b
a h -=-+=?
→
分析 要证)()()
()(lim 0
a f
b f dx h
x f h x f b
a
h -=-+?
→，只要求出极限值为
)()(a f b f -，即已证得，于是归结到求极限问题。显然积分号下不能取极
限；而已知f 连续，则显然?b
a
dx x f )(与?+b
a
dx h x f )(均可由其原函数在两端
点b a ,处的函数值所给出，于是极限问题不难解决。
解 因为f 在[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有原函数)()(,x f x F F ='，由牛顿——莱布尼兹公式知：
?
-+=→b
a
h dx h
x f h x f I )
()(lim 0
())()()()()
()(lim
)()(lim
)]()()()([lim |)(|)(1lim
)()(1lim 000
00a f b f a F b F h a F h a F h b F h b F a F b F h a F h b F x F h x F h
dx x f dx h x f h h h h b
a b a h b
a b
a h -='-'=-+--+=--+-+=-+=???
? ??-+=→→→→→??
——用原函数存在定理、牛顿——莱布尼兹公式、导数定义等求极限。
例6 求2
11lim x x x x e I ??
?
?
?+=-∞
→(中国科技大学)
分析 令2
11)(x x x e x f ??
? ?
?+=-，分析)(x f 之结构，
易知当+∞→x 时，)(,11,0x f x e x +∞→??
? ?
?
+→-为∞?0型未定式；
当-∞→x 时，)(,011,2
x f x e x x →??
? ?
?++∞→-为0?∞型未定式，按通常方
法，将其化为00型或∞∞型去解决，于是有x x e
x
x f 2
11)(?
?
?
??+=，其为
∞
∞
型。(当+∞→x 时)或00型(当-∞→x 时)分子之导数为??
????+-???
??+??? ??+x x x x x x 111ln 2112
，比2
11x x ??
? ?
?+复杂得多，且求导不易，因而此法不可取；另想别法，只得将
2
11x x ??
?
??+按幂指函数法处理如下。
x
x x e
x f -??
? ??+=11ln 2)(，只求出x x x x -??
? ?
?-∞
→11ln lim 2即可，易见
x x x L -??
?
??1+=1ln 2为∞-∞型未定式，需化为00型或∞∞型，于是可用罗比达
法则解之，当然将??
? ?
?+x 11ln 展成泰勒公式，也可解之。
解法一 由罗比达法则知
212)1(111lim )1(1111ln lim 111ln lim
111ln lim 11ln lim 3
2
22
1
2-=+---?+=-+-
???
??+=-??? ??+=??????-??? ??+=???
??
?-??? ??+-∞→-∞→-∞→∞→∞→x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x 则2
1
11ln lim 2-
??
????-??? ??+==∞→e e
I x x x x
——用幂指数函数处理法与罗比达法则求极限。
解法二 令x
y 1
=，由泰勒公式知)(2)1ln(22y y y y +-=+，
则
)0(21)(01211)1ln(12
2
2→-→?+-=-+y y y y y y
， 因而2
1
11ln lim 2-
??
?
???-??? ??+==∞→e e I x x x x
——用幂指数函数处理法与泰勒公式求极限。 例6解题方法小结：
1°某些问题，看似用罗比达法则解之，但较麻烦；用泰勒公式解之，
高等数学函数极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
新人教版六年级上册数学重要章节知识点归纳总结
新人教版六年级上册数学各单元知识点总结 第一单元：分数乘法 一、分数乘法 （一）分数乘法的意义： 1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。 例如： 98×5表示求5个9 8的和是多少？ 2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。 例如： 98×4 3表示求9 8的4 3是多少？ （二）、分数乘法的计算法则： 1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 （三）、规律：（乘法中比较大小时） 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。 一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。 一个数（0除外）乘1，积等于这个数。 （四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
（五）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 乘法交换律： a × b = b × a 乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c ) 乘法分配律：（ a + b ）×c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）×c 二、分数乘法的解决问题 （已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 1、画线段图： （1）两个量的关系：画两条线段图；（2）部分和整体的关系：画一条线段图。 2、找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”“相当于”的后面 3、求一个数的几倍：一个数×几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数×几 。 几 4、写数量关系式技巧： （1）“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“ = ”（2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量（3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1 分率）=分率对应量 第二单元：位置与方向 1、位置是相对的，要指出一个物体的位置，必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。 2、东偏北30。也可说成北偏东60。，但在生活中一般先说与物体所在方向
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数
这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理
第一章 函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<六年级知识点归纳总结汇总
六年级知识点归纳总结 第一单元分数乘法 1．分数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。2．分数乘整数的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 （为了计算简便，能约分的要先约分，然后再乘。） 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 3．一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4．分数乘分数的计算法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 5．整数乘法的交换律、结合律和分配律，对分数乘法同样适用。 乘法交换律： a × b = b × a 乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c ) 乘法分配律：（ a + b ）×c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）×c 6．乘积是1的两个数互为倒数。 7．求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。 1的倒数是1。0没有倒数。 真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。 注意：倒数必须是成对的两个数，单独的一个数不能称做倒数。 8．一个数（0除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。 9．一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。 10．一个数（0除外）乘以一个带分数，所得的积大于它本身。 11．分数应用题一般解题步骤。 （1）找出含有分率的关键句。
（2）找出单位“1”的量（以后称为“标准量”）找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“是”、“占”、“比”、“相当于”的后面 （3）画出线段图，标准量与比较量是整体与部分的关系画一条线段即可，标准量与比较量不是整体与部分的关系画两条线段即可。（4）根据线段图写出等量关系式：标准量×对应分率=比较量。求一个数的几倍：一个数×几倍； 求一个数的几分之几是多少：一个数×几 几 。 写数量关系式技巧： （1）“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“ = ” （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量 （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1 分率）=分率对应量（5）根据已知条件和问题列式解答。 12．乘法应用题有关注意概念。 （1）乘法应用题的解题思路：已知一个数，求这个数的几分之几是多少？单位“1”×对应分率=对应量 （2）找单位“1”的方法：从含有分数的关键句中找，注意“的”前“是、比、相当于、占、等于”后的规则。 （3）甲比乙多几分之几？计算方法是：（甲－乙）÷乙= 甲÷乙－1甲比乙少几分之几？计算方法是：（甲－乙）÷甲 = 1－乙÷甲 （4）“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的意思，“减少”、“下降”、“裁员” 等蕴含“少”的意思，“相当于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。 （5）当关键句中的单位“1”不明显时，要把关键句补充完整,补充成“谁是谁的几分之几之几”或“甲比乙多几分之几”、“甲比乙少几分之几”的形式。（6）乘法应用题中，单位“1”是已知的。 （7）单位“1”不同的两个分率不能相加减，加减属相差比，始终遵循“凡是
实变函数论主要知识点.docx
实变函数论主要知识点 第一章集合 1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan公式；上极限和下极限； 练习：①证明（A-B）-C = A-（BUC）； ②证明E[f>a]=QE[f>a + -]； ?=i n 2、对等与基数的定义及性质； 练习：①证明（0,1）□口； ②证明（0,1）0 [0,1]； 3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合 的基数； 练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个； ②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ?Q =________ ； ④[0,1 ]中有理数集E的相关结论； 4、不可数集合、连续基数的定义及性质； 练习：?（0J）= _______ ； ②卩= ________ （P为Cantor集）；
第二章点集 1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念 度量空间(Metric Space),在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。 n维欧氏空间：设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若V上定义着正定对称双线性型g (g称为内积)，则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间)。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系： ⑴ g(x,y)=g(y,x)； (2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； (3) g(kx,y)=kg(x,y)； (4) g(x,x)>=0,而且g(x,x)=O当且仅当x=0时成立。 这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。 2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法)；开核，导集，闭包的概念、性质及判定(求法); 聚点:有点集E,若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。内点:如果存在点P的某个邻域U(P)eE,则称P为E的内点。 3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造; 4、Cantor集的构造和性质； 5、练习：?P=__________ , P' = ______ , P= ________
人教版六年级数学下册知识点归纳总结
人教版六年级数学下册知识点归纳总结1、负数的由来： 为了表示相反意义的两个量（如盈利亏损、收入支出……）.光有学过的0 1 3.4 2/5……是远远不够的。所以出现了负数.以盈利为正、亏损为负；以收入为正、支出为负 2、负数：小于0的数叫负数（不包括0）.数轴上0左边的数叫做负数。 若一个数小于0.则称它是一个负数。 负数有无数个.其中有（负整数.负分数和负小数） 负数的写法：数字前面加负号“-”号.不可以省略例如：-2.-5.33.-45.-2/5 正数：大于0的数叫正数（不包括0）.数轴上0右边的数叫做正数 若一个数大于0.则称它是一个正数。正数有无数个.其中有（正整数.正分数和正小数） 正数的写法：数字前面可以加正号“+”号.也可以省略不写。 例如：+2.5.33.+45.2/5 4、0 既不是正数.也不是负数.它是正、负数的分界限 负数都小于0.正数都大于0.负数都比正数小.正数都比负数大 5、数轴： 6、比较两数的大小： ①利用数轴： 负数＜0＜正数或左边＜右边 ②利用正负数含义：正数之间比较大小.数字大的就大.数字小的就小。负数之间比较大小.数字大的反而小.数字小的反而大 1/3＞1/6 -1/3＜-1/6 第二单元百分数二 （一）、折扣和成数 1、折扣：用于商品.现价是原价的百分之几.叫做折扣。通称“打折”。
几折就是十分之几.也就是百分之几十。例如：八折=8/10=80﹪. 六折五=6.5/10=65/100=65﹪ 解决打折的问题.关键是先将打的折数转化为百分数或分数.然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。 商品现在打八折：现在的售价是原价的80﹪ 商品现在打六折五：现在的售价是原价的65﹪ 2、成数：几成就是十分之几.也就是百分之几十。例如：一成=1/10=10﹪八成五=8.5/10=85/100=80﹪ 解决成数的问题.关键是先将成数转化为百分数或分数.然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。这次衣服的进价增加一成：这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪ 今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的85﹪ （二）、税率和利率 1、税率（1）纳税：纳税是根据国家税法的有关规定.按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。 （2）纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。（3）应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。（4）税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。 （5）应纳税额的计算方法：应纳税额=总收入×税率收入额=应纳税额÷税率 2、利率（1）存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。 （2）储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社.储蓄起来.这样不仅可以支援国家建设.也使得个人用钱更加安全和有计划.还可以增加一些收入。（3）本金：存入银行的钱叫做本金。（4）利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。（5）利率：利息与本金的比值叫做利率。（6）利息的计算公式： 利息＝本金×利率×时间利率＝利息÷时间÷本金×100％ （7）注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税）.则： 税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率) 税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率) 购物策略： 估计费用：根据实际的问题.选择合理的估算策略.进行估算。 购物策略：根据实际需要.对常见的几种优惠策略加以分析和比较.并能够最终选择最为优惠的方案 学后反思：做事情运用策略的好处 第三单元圆柱和圆锥
实变函数与泛函分析要点
实变函数与泛函分析概要 第一章集合基本要求： 1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。 2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、会求已知集合的并、交、差、余集。 4、了解对等的概念及性质。 5、掌握可数集合的概念和性质。 6、会判断己知集合是否是可数集。 7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。 第二章点集基本要求： 1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。 2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、会求己知集合的开集和导集。 5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、了解Peano曲线概念。 主要知识点：一、基本结论： 1、聚点性质§2 中T1聚点原则： P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞） 2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3 T2：设A?B，则A ?B ，· Ａ? · Ｂ， － Ａ? － Ｂ。 T3：（A∪B）′=A′∪B′. 3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、 4、5） T1：对任何E?R?，?是开集，E′和― Ｅ都是闭集。（?称为开核，― Ｅ称为闭包的理由也 在于此） T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。 T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，?是一开集族{Ui}i?I 它覆盖了F（即Fс ∪ ｉ?ＩUi），则?中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们
函数极限与连续
函 数 1.1.1 函数及其性质 1.函数的概念 引例 汽车以60千米/小时的速度均速行驶，那么行驶里程与时间有什么关系 设行驶路程为s 千米，行驶时间为t 小时，依题意可得()600s t t =<<+∞.变量s 和t 的这种对应关系，即是函数概念的实质. 定义 设x 和y 是两个变量，D 是一个非空实数集，如果对于数集D 中的每一个数x 按照一定的对应法则f 都有唯一确定的实数y 与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，其中D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量． 如果对于确定的0x D ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的实数0y 与之对应，则称0y 为)(x f y =在0x 处的函数值，记作00()y f x =.集合{} (),Y y y f x x D ==∈称为函数的值域. 2.函数的表示法 （1）解析法：用一个等式来表示两个变量的函数关系.如一次函数y kx b =+ （,k b 为常数，且0k ≠）. （2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系.如三角函数表. （3）图像法：用函数图像表示两个变量之间的函数关系.如二次函数图像. 3.函数的两个要素 函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.函数的对应法则通常由函数的解析式给出，函数的值域由定义域和对应法则确定.函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的全体.在实际问题中，函数的定义域要由问题的实际意义确定.在求函数的定义域时，应注意：分式函数的分母不能为零；偶次根式的被开方式必须大于等于零；对数函数的真数必须大于零；反正弦函数与反余弦函数的定义域为[]1,1-等，如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集. 两个函数只有当定义域和对应法则都相同时，才是同一个函数. 例如函数 y =y x =是相同的函数；而函数()2lg f x x =与()2lg f x x =因定义域不
函数的极限及函数的连续性典型例题
函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知
的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ②
要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知
小学六年级数学知识点归纳总结
小学六年级数学知识点归纳总结 六年级上册 知识点概念总结 1.分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。 2.分数乘法的计算法则： 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。 3.分数乘法意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4.分数乘整数：数形结合、转化化归 5.倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。 6.分数的倒数 找一个分数的倒数，例如3/4把3/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/3。3/4是4/3的倒数，也可以说4/3是3/4的倒数。 7.整数的倒数 找一个整数的倒数，例如12，把12化成分数，即12/1，再把12/1这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是1/12，12是1/12的倒数。 8.小数的倒数： 普通算法：找一个小数的倒数，例如0.25，把0.25化成分数，即1/4，再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/1 9.用1计算法：也可以用1去除以这个数，例如0.25，1/0.25等于4，所以0.25的倒数4，因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。
10.分数除法：分数除法是分数乘法的逆运算。 11.分数除法计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 12.分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。 13.分数除法应用题：先找单位1。单位1已知，求部分量或对应分率用乘法，求单位1用除法。 14.比和比例： 比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以用一句话概括：比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b）；比例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：a:b=c:d）。 所以，比和比例的联系就可以说成是：比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。表示两个比相等的式子叫做比例,是比的意义。比例有4项,前项后项各2个. 15.比的基本性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数。比值不变。 比的性质用于化简比。 比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和后项。 比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。 16.比例的性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。比例的性质用于解比例。
(完整版)大一高数第一章函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
六年级下册知识点归纳总结
第一单元主题是“人生感悟”。五篇课文从不同的角度阐明了人生的哲理。 《文言文两则》表达了学习应该专心致志和看待事物应该有不同角度的道理； 《匆匆》表达了作者对时光飞逝的惋惜和无奈，渗透着珍惜时间的意识； 《桃花心木》借物喻人，说明人的成长应该经受考验，学会独立自主。 《顶碗少年》蕴含着“失败乃成功之母”的哲理。 《手指》阐明“团结就是力量”的道理。 第一课《文言文两则》 1.背诵课文，默写。 2.知识点： 《学弈》选自《孟子.告子》，《学弈》这个故事，说明了学习应专心致志，不可三心二意的道理； 《两小儿辩日》选自《列子.汤问》，这个故事体现了两小儿善于观察，说话有理有据以及孔子实事求是的态度，同时告诉我们看待事物可以有不同的角度和学无止境的道理。 3.注释 （１）字、词： 弈：下棋。通国：全国。诲：教导。惟弈秋之为听：只听弈秋（的教导）。鸿鹄：天鹅。援：引，拉。俱：一起。弗：不。矣：了。为：因为。其：他的，指后一个人。 重点文中几个“之”的意思 辩斗：辩论，争论。以：认为。去：离。日中：正午。及：到。沧沧凉凉：形容清凉的感觉。沧沧：寒冷的意思。探汤：把手伸向热水里。意思是天气很热。汤：热水。决：判断。孰：谁。汝：你。 （２）句子： 为是其智弗若与？曰：非然也。 （译）难道是因为他的智力不如别人好吗？我说：不是这样的。 我以日始出时去人近，而日中时远也。 （译）我认为太阳刚出来的时候离人近一些，中午的时候离人远一些。 孰为汝多知乎？ （译）谁说你的知识渊博呢？ （３）译文： 《学弈》
弈秋是全国的下棋高手。他教导两个学生下棋，其中一个学生非常专心，只听弈秋的教导；另一个学生虽然也在听弈秋讲课，心里却一直想着天上有天鹅要飞过来，想要拉弓引箭把它射下来。虽然他俩在一块儿学习，但是后一个学生不如前一个学得好。难道是因为他的智力不如别人好吗？我说：不是这样的。 《两小儿辩日》 有一天，孔子到东方游学，看到两个小孩为什么事情争辩不已，便问是什么原因。 一个小孩说：“我认为太阳刚出来的时候离人近一些，中午的时候离人远一些。” 另一个小孩却认为太阳刚出来的时候离人远些，而中午时要近些。 一个小孩说：“太阳刚出来的时候像车盖一样大，到了中午却像个盘子，这不是远的时候看起来小而近的时候看起来大的道理吗？” 另一个小孩说：“太阳刚出来的时候有清凉的感觉，到了中午却像把手伸进热水里一样，这不是近的时候感觉热而远的时候感觉凉的道理吗？” 孔子也不能判断是怎么回事。 两个小孩笑着说：“谁说你的知识渊博呢？” 第二课《匆匆》（散文） （写作特色：作者运用设问、比喻、排比、拟人等句式将不易察觉的时光匆匆，一去不复返写得形象生动，富有感染力） １.背诵课文。 ２.知识点： 《匆匆》的作者是著名散文大师朱自清（本文是他24岁时所写），他的散文名篇有《匆匆》、《背影》、《荷塘月色》等。本文紧扣“匆匆”二字，细腻地刻画了时间流逝的踪迹，表达了作者对时光流逝的无奈和惋惜。 ３.理解句子： （１）燕子去了，有再来的时候；杨柳枯了，有再青的时候；桃花谢了，有再开的时候。但是，聪明的，你告诉我，我们的日子为什么一去不复返呢？ 用排比的句式，表明大自然的枯荣是时间飞逝的痕迹。“我们的日子为什么一去不复返呢？”看似在问，实际上表达了作者对时光逝去而无法挽留的无奈和对已逝日子的深深留恋。 仿写：太阳落了，有再升起的时候；月亮缺了，又再圆的时候；潮水退了，有再涨的时候。 （２）像针尖上一滴水滴在大海里，我的日子滴在时间的流里，没有声音，也没有影子。
实变函数论主要知识点
实变函数论主要知识点
实变函数论主要知识点 第一章 集 合 1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限； 练习： ①证明()()A B C A B C --=-U ； ②证明1 1[][]n E f a E f a n ∞=>=≥+U ； 2、 对等与基数的定义及性质； 练习： ①证明(0,1):?； ②证明(0,1)[0,1]:； 3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数； 练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个； ②证明平面上坐标为有理数的点的全体 所成的集合为一可数集； ③Q = ； ④[0,1]中有理数集E 的相关结论； 4、 不可数集合、连续基数的定义及性质； 练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；
第二章点集 1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念 度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。 n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V 上的二元实值函数，满足如下关系： （1）g(x,y)=g(y,x)； （2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； （3）g(kx,y)=kg(x,y)； （4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0
时成立。 这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。 2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）； 聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。 内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。 3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造； 4、Cantor集的构造和性质； 5、练习：①P=o，P'=，P=； ②11 1,,,, 2n ' ?? ?? ?? L L= ； 第三章测度论 1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）； 2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数
函数极限与连续知识梳理
知识梳理函数极限内容网络图 内容提要与释疑解难内容提要与释疑解难
一、函数极限的概念 1. 。 2. 把1中“”换成“”。 3．把1中“”换成“”。 定理且 4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A， ，都有。 5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A， 时，都有。 此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数 ，当时，都有。此时也可用或 表示右极限。因此可写成。 定理且 该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 7．时，都有。此时称 时，是无穷大量。 而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 8.。当时，都有。
读者同理可给出定义。 注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 9．。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。 定理。 其中。 10．若时，都有，称时是有界量。 二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系 设， （这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思） （1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作 。 （2）若，称时是的同价无穷小量。 （3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。 （4）若，称时是的k阶无穷小量。 由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入 若。记作， 如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如
函数、极限与连续复习题参考答案Word版
函数、极限与连续 复习题 一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x +
3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是 三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→
人教版六年级数学下册知识点归纳总结
第一单元负数 1、负数的由来： 为了表示相反意义的两个量（如盈利亏损、收入支出……），光有学过的0 1 3.4 2/5……是远远不够的。所以出现了负数，以盈利为正、亏损为负；以收入为正、支出为负 2、负数：小于0的数叫负数（不包括0），数轴上0左边的数叫做负数。 若一个数小于0，则称它是一个负数。 负数有无数个，其中有（负整数，负分数和负小数） 负数的写法：数字前面加负号“-”号，不可以省略例如：-2，-5.33，-45，-2/5 正数：大于0的数叫正数（不包括0），数轴上0右边的数叫做正数 若一个数大于0，则称它是一个正数。正数有无数个，其中有（正整数，正分数和正小数） 正数的写法：数字前面可以加正号“+”号，也可以省略不写。 例如：+2，5.33，+45，2/5 4、0 既不是正数，也不是负数，它是正、负数的分界限 负数都小于0，正数都大于0，负数都比正数小，正数都比负数大 5、数轴： 6、比较两数的大小： ①利用数轴：
负数＜0＜正数或左边＜右边 ②利用正负数含义：正数之间比较大小，数字大的就大，数字小的就小。负数之间比较大小，数字大的反而小，数字小的反而大 1/3＞1/6 -1/3＜-1/6 第二单元百分数二 （一）、折扣和成数 1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折”。 几折就是十分之几，也就是百分之几十。例如：八折=8/10=80﹪， 六折五=6.5/10=65/100=65﹪ 解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。 商品现在打八折：现在的售价是原价的80﹪ 商品现在打六折五：现在的售价是原价的65﹪ 2、成数：几成就是十分之几，也就是百分之几十。例如：一成=1/10=10﹪八成五=8.5/10=85/100=80﹪ 解决成数的问题，关键是先将成数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。这次衣服的进价增加一成：这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪ 今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的85﹪ （二）、税率和利率
实变函数学习心得
实变函数学习心得 实变函数课在我国高等学校数学系的教学计划中属于专业基础课,是一门承上启下的课。下面是为大家准备的实变函数学习心得体会，希望大家喜欢! 实变函数学习心得体会范文篇1 学习实变函数这们课已经一个学期了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与实变函数这门课了。我们用的教材难度比较大，所以根据我自己学习这门课的心得与方法，有以下几点： 1、复习并巩固数学分析等基础课程。学习实变函数这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。 2、课前预习。实变函数是一门比较难的课程，龙老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。 3、上课认真听讲，认真做笔记。龙老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，实变函数这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入听、记、思相结合的过程。 4、课后复习,做作业，做练习。我们作为大三的学生，我们要学
会抓住零碎的时间复习实变函数课堂的学习内容，巩固学习。复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某些定理证明的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，理解并掌握其证明思路。做作业、做练习时，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。 所以，我们学习实变函数总的来说要把握课前、课时与课后的任务，学习内容要多下功夫掌握基本概念和原理及其证明思路，尽可能地掌握作业题目，在记忆的基础上理解，在完成练习中深化理解，在比较中构筑知识结构的框架，是提高学习实变函数课程效率的重要途径。 实变函数学习心得体会范文篇2 古语有云：微机原理闹危机，汇编语言不会编，随机过程随机过，量子力学量力学，实变函数学十遍。其它的不好说，这实变函数确实要多看几遍的。虽然我曾旁听过这门课，但是对于其中的种种总感觉模模糊糊，不甚明了。前几日在网上down了一个完整的教学视频，便想着把这门课重新来过，遂借着这片地方留下一些印记，好督促自己万不可半途而废。 1、集合列的极限有上下极限之分，只有当上下极限相等时，才称集合列存在极限。对于上极限可以这样定义： {x|x属于无穷多个An}.无穷多是用文字语言来进行形象的描述，那么转换成数学的语言应该是怎样的呢?类比数学分析中的聚点原理，我们可以假设若x属于某个Am，那么一定可以找到mm,使得x也属于m，如若不然，x就属于有限个集合，而不是无穷多个了。上述
