高中数学-递推数列的通项的求法练习
1．(·海南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )项．( )
A ．16
B ．24
C ．26
D ．28 答案 C
解析 设题中数列{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C.
2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
，则a 8的值为( )
A ．15
B ．16
C ．49
D ．64
答案 A
解析 a 1＝S 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2
＝2n －1(n≥2)．a 8＝2×8－1＝15.故选A.
3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 017等于( )
A ．2 017×2 018
B ．2 016×2 017
C ．2 015×2 016
D ．2 017×2 017
答案 B
解析 累加法易知选B.
4．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2
x n
(n≥2)，则x n 等于( )
A ．(23)n －1
B ．(23)n
C.n ＋12
D.2
n ＋1
答案 D
解析 由关系式易知??????
1x n 为首项为1
x 1＝1，d ＝12的等差数列，1
x n ＝n ＋12，所以x n ＝2
n ＋1
.
5．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n≥2)，则a n ＝( )
A ．2－(12)n －1
B ．(12)n －1
－2
C ．2－2n －1
D ．2n －1
答案 A
解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c)，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －1
，所以选A.
6．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( )
A ．2(n 2＋n ＋1)
B ．2·3n
C ．3·2n
D ．3n ＋1
答案 B
解析 a n ＝S n －S n －1，可知选B.
7．(·云南玉溪一中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n≥2)，则a 6的值为( )
A ．2 2
B ．4
C ．8
D ．16
答案 B
解析 因为正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n≥2)，所以a n 2－a n －12＝a n ＋12－a n 2(n≥2)，所以数列{a n 2}是以1为首项，a 22－a 12＝3为公差的等差数列，所以a n 2＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a 62＝16.又因为a n >0，所以a 6＝4，故选B.
8．(·华东师大等四校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n∈N *，a n ＋1＝72
a n (1－a n )，则a 1 413－a 1 314＝( )
A ．－27
B.27 C ．－37
D.37 答案 D
解析 根据递推公式计算得a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37
，…，可以归纳通项公式为：当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n ＝37.故a 1 413－a 1 314＝37
.故选D. 9．(·湖南衡南一中段考)已知数列{a n }，若a 1＝2，a n ＋1＋a n ＝2n －1，则a 2 016＝( )
A ．2 011
B ．2 012
C ．2 013
D ．2 014 答案 C
解析 因为a 1＝2，故a 2＋a 1＝1，即a 2＝－1.又因为a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋a n －1＝2n －3，故a n ＋1－a n －1＝2，所以a 4－a 2＝2，a 6－a 4＝2，a 8－a 6＝2，…，a 2 016－a 2 014＝2，将以上1 007个等式两边相加可得a 2 016－a 2＝2×1 007＝2 014，所以a 2 006＝2 014－1＝2 013，故选C.
10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）
，则通项公式a n ＝________． 答案 4－1n
解析 原递推式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1
， 则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13
， a 4＝a 3＋13－14，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1n
. 逐项相加，得a n ＝a 1＋1－1n .又a 1＝3，故a n ＝4－1n .
11．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n
3a n
＋1(n∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．
答案 a n ＝1
3n －2
解析 由已知，可得当n≥1时，a n ＋1＝a n
3a n
＋1.
两边取倒数，得1
a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n
＋3.
即1
a n ＋1－1a n ＝3，所以{1
a n }是一个首项为1a 1
＝1，公差为3的等差数列．
则其通项公式为1
a n ＝1a 1
＋(n －1)×d＝1＋(n －1)×3＝3n －2.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1
3n －2.
12．在数列{a n }中，a 1＝1，当n≥2时，有a n ＝3a n －1＋2，则a n ＝________．
答案 2·3n －1－1
解析 设a n ＋t ＝3(a n －1＋t)，则a n ＝3a n －1＋2t.
∴t ＝1，于是a n ＋1＝3(a n －1＋1)．∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．
∴a n ＝2·3n －1－1.
13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1
(n ≥2)，则a n ＝________．
答案 (2n －1)·2n
解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n≥2)，
∴a n 2n ＝a n －12n －1＋2.令b n ＝a
n
2n ，则b n －b n －1＝2(n≥2)，b 1＝1.
∴b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，则a n ＝(2n －1)·2n
.
14．已知数列{a n }的首项a 1＝12，其前n 项和S n ＝n 2
a n (n≥1)，则数列{a n }的通项公式为________．
答案 a n ＝1
n （n ＋1）
解析 由a 1＝12，S n ＝n 2
a n ，①
∴S n －1＝(n －1)2
a n －1.②
①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2
a n －1，
即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，亦即a n
a n －1＝n －1n ＋1
(n≥2)．
∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2
n （n ＋1）
.
∴a n ＝1
n （n ＋1）.
15．(·太原二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1
n （n ＋1）(n∈N *)，则a n ＝________．
答案
n
3n－2
解析由a n－a n＋1＝2a n a n＋1
n（n＋1）
得
1
a n＋1
－
1
a
n
＝
2
n（n＋1）
＝2×(
1
n
－
1
n＋1
)，则由累加法得
1
a n
－
1
a1
＝2(1－
1
n
)，又因为a1＝1，所以
1
a n
＝2(1－
1
n
)＋1＝
3n－2
n
，所以a n＝
n
3n－2
.
16．(·河北唐山一中模拟)已知首项为7的数列{a n}满足∑
n
i＝2
a i
2i－1
＝3n＋1(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式为________．
答案a n＝
??
?
??7（n＝1），
6n（n≥2），
解析当n≥2时，∑
i＝2
n－1a
i
2i－1
＝3n，又∑
i＝2
n a
i
2i－1
＝3n＋1，两式相减，得
a n
2n－1
＝2×3n，所以a n＝6n.由于a1＝7不符合a n
＝6n，所以数列{a n}的通项公式为a n＝
??
?
??7（n＝1），
6n（n≥2）.
17．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n(n＋1)(n∈N*)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足：a n＝
b1
3＋1
＋
b2
32＋1
＋
b3
33＋1
＋…＋
b n
3n＋1
，求数列{b n}的通项公式．
答案(1)a n＝2n (2)b n＝2(3n＋1)
解析(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式，
∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n.
(2)∵a n＝
b1
3＋1
＋
b2
32＋1
＋
b3
33＋1
＋…＋
b n
3n＋1
(n≥1)，①
∴a n＋1＝
b1
3＋1
＋
b2
32＋1
＋
b3
33＋1
＋…＋
b n
3n＋1
＋
b n＋1
3n＋1＋1
.②
②－①，得
b n＋1
3n＋1＋1
＝a n＋1－a n＝2，b n＋1＝2(3n＋1＋1)．
故b n＝2(3n＋1)(n∈N*)．
1．(·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )
A．2 016 B．2 015
C.12 016
D.12 015
答案 D
解析 如果把第n 个a 值记作a n ，第1次运行后得到a 2＝a 1a 1＋1，第2次运行后得到a 3＝a 2a 2＋1
，…，第n 次运行后得到a n ＋1＝a n a n ＋1，则这个程序框图的功能是计算数列{a n }的第2 015项．将a n ＋1＝a n a n ＋1变形为1a n ＋1＝1a n
＋1，故数列{1a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故1a n ＝n ，即a n ＝1n ，所以输出结果是12 015
.故选D. 2．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n
a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．
答案 2n （n －1）2
解析 由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1
＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2
. 3．已知S n 为数列{a n }的前n 项，a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n
＝a n －2(n≥2)，且a 1＝2，则{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝n ＋1
解析 ∵a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＝a n －2(n≥2)，∴当n ＝2时，a 12＝a 2－2，解得a 2＝3.a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＋a n n ＋1＝a n ＋1－2，a n n ＋1＝a n ＋1－2－(a n －2)(n≥2)，得a n ＋1n ＋2＝a n n ＋1(n≥2)，∴a n ＋1n ＋2＝a n n ＋1＝…＝a 23＝1，∴a n ＝n ＋1(n≥2)，当n ＝1时也满足，故a n ＝n ＋1.
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =
（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。
求递推数列的通项公式的十一种方法 利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法例1 在数列{n a }中，31=a ,) 1(1 1++=+n n a a n n ，求通项公式n a . 解：原递推式可化为：1111+- + =+n n a a n n 则,211112-+=a a 3 1 2123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故n a n 1 4-=. 二、作商求和法 例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12 2 1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为： )]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n 1 . 三、换元法 例3 已知数列{n a }，其中913,3421== a a ，且当n ≥3时，)(3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）. 解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为： }{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31 .故 n n n n b b )31()31(91)31(2211==?=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )3 1 (2123-=. 例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。解 由1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ，令11---=n n n a a b ，则上式为 121=---n n b b ，因此}{n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。 由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2 ) 1(121-=+++-n n b b b n 所以)1(211-= -n n a n ，即)2(2 1 2+-=n n a n
数列复习课（3）———常见递推数列通项公式的求法 主备人：刘莉苹 组长：李英 时间：2013-9-16 教学目标： 1.通过求出数列前几项，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据特殊的递推公式求出数列的通项公式. 2.掌握把一些简单的数列变形转化为等差数列、等比数列的方法，体验解决数列问题的基本方法及理解运用的过程. 教学重点：处理递推关系的基本方法. 教学难点：通过变形转化成等差、等比数列的有关问题. 研讨互助 问题生成 引入新课： 由递推公式求数列的通项公式的类型： （1） （2） （3） （4）()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数） （5）n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 （6）递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 即n a 与n s 的关系11(1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? （7）r n n pa a =+1)0,0(>>n a p （8）) ()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ （9）周期型 思考：各类型通项公式的求法？ 合作探究 问题解决 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求 1() n n a a f n +=+1() n n a a f n +=?1(0,1) n n a pa q p p +=+≠≠
变式: 1. 已知数列{}n a 满足211=a ，112 n n a a +=+，求n a . 2.若数列{}n b 满足11b =，112n n n b b +??-= ???(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式. 3.已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 变式： 1. 已知31=a ，132n n a a += ，求n a 。 2.已知31=a ，n n a n n a 23131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。
递推数列通项求解方法举隅 类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --??+=+ ?+ ? --??。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--?? ，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??…… 1223(122n -=++++ (211) 332)12232112n n n --+??+=+?+=- ? --?? 。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则1 1342 2n n n a -++=?=，即123n n a +=-。 类型二：1()n n a a f n +=+ 思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+ ∑。
高中数学几种常见的数列递推关系式 数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。 下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。 一. 定义法 常见形式： 已知：a a a a d n n 11==++， ① 或a a a a q n n 110=≠=+， ② （其中，d 常数，q ≠0为常数） 定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。 已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。 二. 迭代法 常见形式：已知 a a a a f n n n 110=≠=++，() ③ 或a a a a f n f n n n 110=≠=+，，()()不恒为零 ④ （这里的f n ()是关于n 的关系式）。 这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项a n 也可以分别称为叠加法和叠乘法。 如：③a a f 211-=() a a f 322-=() …… a a f n n n N n n -=-≥∈-112()()*， 将以上n -1个式子叠加，可得 a a f f f n n n N n -=+++-≥∈11212()()()()*…， 这里，我们只须已知数列的首项a 1利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列 {}a n 的通项公式来。 如：④的具体例子： 例1. （2006年东北三省三校一模试题21）已知数列{}a n ，S n 是数列的前n 项和， a S n a n n 212 ==，。求S n 。 解：因为S n S S n n N n n n =-≥∈-2 21()()*， 所以n S n S n n 22 21-=- S S n n n n N n n -= -≥∈123()*， S S S S S S S S n n n n n n N n n n n 324312131425364132 3·…····… ·，---=---≥∈()*
求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。
递推数列通项求解方法 类型一：1n n a pa q += +（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。
1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。
高中数学-递推数列的通项的求法练习 1．(·海南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )项．( ) A ．16 B ．24 C ．26 D ．28 答案 C 解析 设题中数列{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C. 2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2 ，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 答案 A 解析 a 1＝S 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2 ＝2n －1(n≥2)．a 8＝2×8－1＝15.故选A. 3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 017等于( ) A ．2 017×2 018 B ．2 016×2 017 C ．2 015×2 016 D ．2 017×2 017 答案 B 解析 累加法易知选B. 4．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2 x n (n≥2)，则x n 等于( ) A ．(23)n －1 B ．(23)n C.n ＋12 D.2 n ＋1 答案 D 解析 由关系式易知?????? 1x n 为首项为1 x 1＝1，d ＝12的等差数列，1 x n ＝n ＋12，所以x n ＝2 n ＋1 . 5．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n≥2)，则a n ＝( ) A ．2－(12)n －1 B ．(12)n －1 －2 C ．2－2n －1 D ．2n －1 答案 A 解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c)，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －1 ，所以选A. 6．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( ) A ．2(n 2＋n ＋1) B ．2·3n C ．3·2n D ．3n ＋1
常见线性递推数列通项的求法 对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。 一、一阶递推数列 1、q pa a n n +=+1型 形如q pa a n n +=+1（q p 且1≠为不等于0的常数）的数列，可令)(1x a p x a n n +=++ 即x p pa a n n )1(1-+=+与q pa a n n +=+1比较得1-=p q x ，从而构造一个以1 1-+p q a 为首项以p 为公比的等比数列? ????? -+1p q a n 例1．在数列{a n }中，,13,111-?==+n n a a a 求n a . 解：在131-?=+n n a a 的两边同加待定数λ，得n n n a a a (3131?=+-?=++λλ+（λ－1）/3），令,3)1(-=λλ得).21(321.211-?=-∴-=+n n a a λ数列{}2 1-n a 是公比为3的等比数列, ∴a n 21-=).13(21,32 111+=∴?--n n n a 2、 ()n g a c a n n +?=+1型 (1)1=c 时：解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a . 例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a . 解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n Λ，把以上各式相加，得 【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用 2,3,4,,2,1Λ--n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。 （2）1≠c 时： 例3．在数列{}n a 中，,3,1211n a a a n n +==+求通项n a . 解：作新数列}{n b ，使),(2C Bn An a b n n ++-=即),(2C Bn An b a n n +++=（A ，B ，C 为待定 常数）。由213n a a n n +=+可得：C n B n A b n ++++++)1()1(21=,)(322n C Bn An b n ++++ 所以，B A C n A B n A b b n n --+-+++=+2)22()12(321，设2A+1=0，2B-2A=0，2C-A-B=0，可
数 列 专 题 ◆ 考点一：求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式 由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有： ①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式； 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可 并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式 由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． ◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1 a n ＝f(n)，常用累乘法求通项； ◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通 项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； 2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1 转为用迭加法求解． 3） ◆ 倒数变形
3.数列函数性质的应用 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法． （3)数列{a n }的最大(小)项的求法 可以利用不等式组? ?? ?? a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组? ?? ?? a n －1≥a n ， a n ≤a n ＋1，找到 数列的最小项. [例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2 －5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)若a n ＝n 2 ＋kn ＋4且对于n ∈N * ，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围． 考点二：等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 定义 a n －a n －1＝常数(n≥2) a n a n －1＝常数(n≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q≠0)
已知数列递推公式求通项公式的几种方法 Revised on November 25, 2020
求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则11 3 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为 121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+， 即得数列{}n a 的通项公式。 例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 所以3 1.n n a n =+-
专题 由递推关系求数列的通项公式 一、目标要求 通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法： 二、知识梳理 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。 三、典例精析 1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 及 等差数列和等比数列的通项公式。 例1 已知数列{n a }中12a =，2 +2n s n =，求数列{n a }的通项公式 评注 在运用1n n n a s s -=-时要注意条件2n ≥，对n=1要验证。 2、累加法：利用恒等式()()1211+......+n n n a a a a a a -=+--求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 ()1+f n n n a a +=的递推数列的方法（其中数列(){}f n 的前n 项和可求）。 例2 已知数列{n a }中112a =，121 ++32 n n a a n n +=+，求数列{n a }的通项公式 评注 此类问题关键累加可消中间项，而(f n ）可求和则易得n a 3、.累乘法：利用恒等式3 21121 n n n a a a a a a a a -=? ???????()0n a ≠求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如()1n n a g n a +=的递推数列的方法(){}() g n n 数列可求前项积
1 【典型例题】 [例 1] a n 1 (1)k (2) k 比较系数: {a n a n [例 2] a n 1 (1)k 例: 已知 解: a n a n a 3 a n 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 1 时，a n 1 1时，设a n km m ka n 1 时, a n ｝ 是等比数列, (a i f (n) 型。 a n 1 a n {a n }满足a i a n a n a n a 2 对这（n b ｛a n ｝ 是等差数列, a n b n 佝 b) k(a n m) a n 1 ka n km 公比为 1) k ”1 f(n) k ，首项为 a n 1 a n a i a n (a 1 k n1 f （n ）可求 和, 则可用累加消项的方 法。 n （n 1）求｛a n ｝的通项公 式。 1 n(n 1 ) a 2 a n 1 a n a 1 1 个式子求和得: a n a 1 a n 2 - n
(2) k1时, 当f(n) an b则可设a n A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k (k 1)A 1)B 解得: a 2 (k 1) ,? {a n An B｝是 以 a1 B为首项, k为公比的等比数列 a n An (a1 B) k n1 a n (a1 B) k n1An B将A、B代入即可 (3) f(n) 0, 1) 等式两边同时除以 a n 1 1 c n 1 得q a n n q C n 令C n 1 {C n}可归为a n 1 ka n b型 [例3] a n f(n) a n型。 (1)f(n)是常数时, 可归为等比数 列。 f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知: a1 2n 1 a n 1 2n 1 2)求数列｛a n｝的通项。 解: a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a n a 1 a n 2 a n 3 k m a n 1 m a n 1 型。a3 a2 a2 a1 2n 1 2n 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 2n 1 2n 3 7 5 2n 1 [例4]
考点20 递推公式求通项（第二课时） 【题组一 构造等差数列】 1．在数列中，若，，则 。 {}n a 12a =()*121 n n n a a n a += ∈+N n a = 2．若数列中，，则这个数列的 。 {}n a 11113n n n a a a a ，+== +n a = 3．已知数列满足 ，则数列的通项公式_______． {}n a ()* 112,222,n n n a a a n n N -==+≥ò{}n a n a =
4．在数列中，，且满足，则＝________ {}n a 13 2a = 11 3(2)32n n n a a n a --=≥+n a 【题组二 构造等比数列】 1．已知数列中，，则数列通项公式为_____． {}n a () * 111,34,2n n a a a n N n -==+∈≥且{}n a
2.在数列{a n}中，a1＝3，且点P n(a n，a n＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{a n}的通项公式为________． 3．在数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝2a n﹣1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为。
4．已知数列满足，，则等于 。 {}n a 1a 1=n 1n a 3a 4+=+n a 【题组三 周期数列】 1．已知数列中，， ()，则等于 。 {}n a 12a =11 1n n a a -=- 2n ≥2018a
2．已知数列满足，且 ，则 。 {}n a 1(1)1n n a a +?-=11 2a =- 2020a = 3．设数列满足:,,则______. {}n a 112a = ()1 111n n n a a n a ++=≥-2016a = 4．数列中，，，（），则______. {}n a 11a =25a =21n n n a a a ++=-N n *∈2012a =
几种分式型递推数列的通项求法 李云皓 (湖北省宜昌市夷陵中学，湖北宜昌 443000) 1.1 引言 数列是高中数学中的重要内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容。数列中蕴含着丰富的数学思想，递推数列的通项问题也具有很强的逻辑性和一定的技巧性，因此此类问题也经常渗透在高考试题和数学竞赛中。本文对分式型递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。 2.1 基本概念 设数列的首项为，且 其中为常数，同时，我们称这个递推公式为 分式递推式，而数列称为由分式递推式给定的数列。显然，该数列的递推式也可写成 2.2 递推式的特征方程与特征根 我们先来看一个引例： 首项为，由递推式给定的数列的通项公式我们是会求的： 即 为常系数等比差数列（由递推式给定的数列，其中为常数），
该数列的通项是熟知的，为 于是考虑能不能变型后让②中的没有，即让①中的没有。我们可以利用 递推式的特征方程来解决这个问题。 下面给出特征方程推导过程： 数列的递推式为 两边同时减去得 通分后得 令 即 方程③保留了原递推式的特征，故称为该递推式的特征方程，为特征根。 3.1 例题（第一部分） 下面我们通过几个例题来说明特征方程的应用。
两式相除得 故当方程③有两不等实根时，可用此方法求出通项公式。 两边同乘3得 两边取倒数 故当方程③有两相等实根时，也可用此方法求出通项公式。
两式相除得 由此，当方程③有两虚数根时，用此方法求通项公式也是正确的。 3.2 例题（第二部分） 下面我们来看另一类型的分式递推式。
还要两边再取倒数还原，请读者自己完成化简 令 令 下面的递推请读者自己完成 4.1 练习
由递推公式求通项公式的常用方法 由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 方法一：累加法 形如a n +1－a n ＝f (n )（n ＝2,3,4,…）,且f (1)＋f (2)＋…＋f (n -1)可求，则用累加法求a n 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。 例1：（07年北京理工农医类）已知数列{a n }中，a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3,…)且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列 （1）求c 的值 （2）求{a n }的通项公式 解：（1）a1,a2,a3成公比不为1的等比数列 2 022)2(2)() ,3,2,1(111113 12 2===++?=+∴=+=?=∴+c c a c c a a c a n cn a a a a a n n 因此（舍去）或解得又 （2）由（1）知n a a n a a n n n n 2,211=-+=++即，将n ＝1,2, …,n －1,分别代入 ) 1(2322 2121342312-=-?=-?=-?=--n a a a a a a a a n n 将上面n －1个式子相加得a n －a 1＝2(1＋2＋3＋…＋n －1)＝n 2 －n 又a 1＝2,a n ＝n 2 －n ＋2 方法二：累乘法 形如 a n +1 a n ＝g (n )（n ＝2,3,4…），且f (1)f(2)…f (n －1)可求，则用累乘法求a n .有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
求数列通项公式的11种方法方法 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用） 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足11231 3n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333 n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故
.. . 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -= ---n n a a n n ……
.. . 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-1 1)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n