数字PID 及其算法
主要内容：1、PID 算法的原理及数字实现
2、数字PID 调节中的几个实际问题
3、几种发展的PID 算法
4、PID 参数的整定方法
一、概述
几个概念：
1、程序控制：使被控量按照预先规定的时间函数变化所作 的控制，被控量是时间的函数。
2、顺序控制：是指控制系统根据预先规定的控制要求，按 照各个输入信号的条件，使过程的各个执行机构自动地按预 先规定的顺序动作。
3、PID 控制：调节器的输出是输入的比例、积分、微分的 函数。
4、直接数字控制：根据采样定理，先把被控对象的数学模 型离散化，然后由计算机根据数学模型进行控制。
5、最优控制：是一种使控制过程处在某种最优状态的控制。
6、模糊控制：由于被控对象的不确定性，可采用模糊控制。
二、PID 算法的原理及数字实现
PID 调节的实质：根据系统输入的偏差，按照PID 的函数 关系进行运算，其结果用以控制输出。
PID 调节的特点：PID 的函数中各项的物理意义清晰，调节灵活，便于程序化实现。
三、 PID 算法的原理及数字实现
PID 调节器是一种线性调节器，他将设定值w 与实际值y 的偏差：
按其比例、积分、微分通过线性组合构成控制量
1、比例调节器：比例调节器的微分方程为：)(*y t e Kp =
y 为调节器输出，Kp 为比例系数，e(t)为调节器输入偏差。由上式可以看出比例调节的特点：调节器的输出与输入偏差成正比。只要偏差出现，就能及时地产生与之成比例的调节作用，使被控量朝着减小偏差的方向变化，具有调节及时
的特点。但是，Kp 过大会导致动态品质变坏，甚至使系统不稳定。比例调节器的阶跃响应特性曲线如下图
y
w e -=s
d *K s Ki p
K 对象 w
e + - + + + u y
2、积分调节器：积分作用是指调节器的输出与输入偏差的积分成比例的作用，其作用是消除静差。积分方程为：
TI 是积分时间常数，它表示积分速度的大小，TI 越大，积分速度越慢，积分作用越弱。积分作用的响应特性曲线，如下图所示
由图中曲线看出积分作用的特点：只要偏差不为零就会 产生对应的控制量并依此影响被控量。增大Ti 会减小积分作用，即减慢消除静差的过程，减小超调，提高稳定性。
3、微分调节器:微分调节的作用是对偏差的变化进行控制，并使偏差消失在萌芽状态，其微分方程为：
微分作用响应曲线如下图所示
可见，微分分量对偏差的任何变化都会产生控制作用，以调整系统输出，阻止偏差变化。偏差变化越快，则产生的阻止作用越大。从分析看出，微分作用的特点是：加入微分调节将有助于减小超调量，克服震荡，使系统趋于稳定。他加快了系统的动作速度，减小调整的时间，从而改善了系统的动态性能。 四、PID 算法的数字化
在模拟系统中，PID 算法的表达式
P(t)调节器输出，e(t)调节器的偏差信号，Kp 比例系数，Ti 积分时间，Td 微分时间
PID 调节器对阶跃响应特性曲线
dt t e
T t
I ?=)(1)(y dt
de(t)T y(t)D =
对前一算式离散化，即为数字式的差分方程
式中：T 采样周期；E(k)第k 次采样时的偏差值；E(k-1)第k-1次采样时的偏差值；k 采样序号；P(k) 第k 次采样时的调节器输出。上式中，输出值与阀门的开度的位置一一对应，因此称 之为位置式控制算式。
根据递推原理，可得增量式：
)]2()1(2)([)()]1()([)1()(-+--++--+-=k E k E k E Kd k KiE k E k E Kp k P k P
）（7-7)
1()()(P --=?k P k P k
)]2()1(2)([)()]1()([K -+--++--=k E k E k E Kd k KiE k E k E p
式中：Kp 比例系数；Ki=Kp*(T/Ti)积分系数；Kd=Kp*(Td/T)微分系数，（7-7）为增量控制式。
增量式PID 算法只需保持当前时刻以前三个时刻的误差即可。它与位置式PID 相比，有下列优点：
（1）位置式PID 算法每次输出与整个过去状态有关，计算式中要用到过去误差的累加值，因此，容易产生较大的累积计算误差。而增量式PID 只需计算增量，计算误差或精度不足时对控制量的计算影响较小。
（2）控制从手动切换到自动时，位置式PID 算法必须先将计算机的输出值置为原始阀门开时，才能保证无冲击切换。若采用增量算法，与原始值无关，易于实现手动到自动的无冲击切换。
五、PID 程序设计
1、位置式PID 算法程序设计
由下式可改写为
把上式进一步分为P 、I 、D 三项：
下图为位置式流程框图，说明：
（1） 在计算之前，需要完成采样数据处理。
（2） 按照上式分解出来的三项，分别进行计算。
（3） 将计算出来的数据作为控制量输出。
)]1()([)(K )()(P })1()()()({)(P 0D 0D --++=--++=∑∑==k E k E K j E k E K k T k E k E T j E T T k E K k k j I P k j I P )]
1()([)()1()()()(P )()(P 0--=-+===∑=k E k E K k P k P k E K j E K k k E K k D D k j I I I I P P
2、增量式PID 算法程序设计
由下式
设：
则有：
下图为增量式流程框图,说明： (1)在计算之前，需要完成采样数据处理。
(2)按照上式分解出来的三项，分别进行计算。
(3)将计算出来的数据作为控制量的增量与前一拍输出量相加作为本次的输出量。
)]2()1(2)([)(K )]1()([)(P -+--++--=?k E k E k E K k E k E k E K k D I P )]2(E )1(2)([)()()(P )]1()([)(P -+--=?=?--=?k k E k E K k P k E K k k E k E K k D D I I P P )
()(P )(P )(P k P k k k D I P ?+?+?=?
六、数字PID 调节中的几个问题
1、正、反作用问题
正、反作用问题也称为：正、逆调节问题。
正作用：当采样值大于设定值时，需要加大控制量的输出。例：温度控制中的制冷过程。
反作用：当采样值小于设定值时，需要加大控制量的输出。例：温度控制中的加热过程。
在微机控制系统中，处理正、反作用时可用对偏差值求反来实现。
2、饱和作用的抑制
在实际控制系统中，控制量因受到执行部件的机械和物理的约束而限制在有限的范围内时，如果计算机给出的控制量超出上述范围，则控制系统进入输出饱和状态。
在PID 控制系统中，由于积分作用的存在，会使系统的控制输出进入饱和状态。注意理解：饱和以后所导致的对系统的不利影响，如下图示。
)()1-
()1-()2-(k E k E k E k E ←←，
PID 增量型运算程序 计算)()()(E k M k R k -= 计算)]2(E )1(2)([)(-+--=?k k E k E K k P D D )()()(P )(P P k P k P k k D I ?+?+?=? 返回 输入M(k)，R(k) 计算)]1()([)(P --=?k E k E K k P P 计算)()(P k E K k I I =?
为了消除积分饱和的影响，可有如下几种办法：
（1）遇限削弱积分法
这种算法的基本思想是：一旦控制量进入饱和区范围，则停止增大积分项的运算而只执行削弱积分项的运算。
这种算法的流程图如下屏所示。
（2）有效偏差法
在用位置型PID算式算出的控制量超出执行范围时，控制量实际上只能取边界值。有效偏差法的实质：将实际输出控制量所允许的偏差值作为实际有效偏差进行积分。而不是按照实际偏差来进行积分，算法如右图示：
（3）限位问题
是指在有些系统中，人为定义了控制量的输出范围。当计算出的控制量大于或者小于所定义的输出范围时，则按照定义的控制量上限或者下限进行输出。如右图示。
3、手动/自动跟踪及手动后援问题
在应用系统中，控制状态由手动与自动相互切换时，必须实现自动跟踪（柔性跟踪）。因此，系统需要实时监测的控制状态、手动/自动的阀位状态。称在手动状态下能够输出手动控制信号的设备为手动后援。在计算机控制系统中，手动/自动跟踪以及手动后援是保障系统可靠运行的重要功能。实现的方法（自学）。
PID算法的发展在计算机控制系统中，经常使用改进的PID算法以实现更高的控制品质。
七、PID算法的发展
1、积分分离的PID算法
在常规的PID算法应用中，若系统的偏差较大时，由于积分项的作用，会使系统产生较大的超调量，导致系统不断的震荡，如下图。
可针对这种现象采用积分分离的办法，即在控制量开始跟踪时，屏蔽积分分量的作用，直至被调量接近给定值时才使积分分量产生作用。设给定值R(k),采样值M(k)，允许的积分偏差值A，则积分分离的算法为：
2、变速积分的PID算法
在普通的PID调节算法中，由于积分系数K I是常数，因此，在整个调节过程中，积分增益不变。但系统对积分项的要求是系统偏差大时积分作用减弱以至全无，而在小偏差时则应加强。否则，积分系数取大了会产生超调，甚至积分饱和，取小了又迟迟不能消除静差。采用变速积分可以很好地解决这一问题。
变速积分的基本思想是：设法改变积分项的累加速度，使其与偏差的大小相对应：偏差越大，积分越慢；偏差越小，积分越快。
八、PID参数的整定方法
1、采样周期的确定
（1）根据香农采样定理，系统采样频率的下限为f s =2fmax，此时系统可真实地恢复到原来的连续信号。
（2）从执行机构的特性要求来看，有时需要输出信号保持一定的宽度，采样周期必须大于这一时间。
（3）从控制系统的随动和抗干扰的性能来看，要求采样周期短些。
（4）从微机的工作量和每个调节回路的计算来看，一般要求采样周期大些。
（5）从计算机的精度看，过短的采样周期是不合适的。
一般采用经验法来选择采样周期，重要的是要根据系统的实际运行状况来确定采样周期。选择采样周期的经验数据如下表：
2、扩充临界比例度法
这是工程中常用的方法，也叫实验经验法，它适应于有自平衡性的被控对象。方法如下：
首先，将调节器选为纯比例调节器，形成闭环，逐渐改变比例系数，使系统对阶跃输入的响应达到临界振荡状态， 将此时的比例系数记为Kr ，临界振荡的周期记为Tr 。根据齐格勒-尼科尔斯提供的经验公式，可由Tr 、Kr 得到不同类型调节器的控制参数，如下表。
3、扩充响应曲线法
如果可以预知系统的动态特性曲线，可用扩充响应曲线法来整定参数。步骤为：
（1）在手动方式下，使系统某一设定值处达到平衡后，给一阶跃输入，如下图。
（2）记录下在此作用下的变化过程曲线，如下图。
（3）在曲线最大斜率处求得滞后时间θ，被控对象时间常数τ，及比值τ/θ。
（4）根据下表可查出控制器的控制参数。
4、凑试法确定PID 调节参数
(a)阶跃信号
(b)反应曲线
（2）如果仅调节比例调节器参数，系统的静差还达不到设计要求时，则需加入积分环节。
（3）若使用比例积分器，能消除静差，但动态过程经反复调整后仍达不到要求，这时可加入微分环节。
5、优选法
应用优选法对自动调节参数进行整定也是经验法的一种。其方法是根据经验，先把其他参数固定，然后用0.618法对其中某一个参数进行优选，待选出最佳参数后，再换另一个参数进行优选，直到把所有的参数优选完毕为止。最后根据T、KP、TI、TD诸参数优选的结果取一组最佳值即可。