初中数学联赛试题
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试(A)
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1.设二次函数
2
22
2
a
y x ax
=++的图象的顶点为A，与x轴的交点为B,C.当△ABC为
等边三角形时，其边长为( )
A.6
B.22
C.23
D.32
2.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BD于点E，AB=1，∠CAE=15°，则BE=( )
A.
3
3
B.
2
2
2-1 3
3.设p,q均为大于3的素数，则使p2+5pq+4q2为完全平方数的素数对(p,q)的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
4.若实数a,b满足a-b=2,()()
22
11
4
a b
b a
-+
-=,则a5-b5=( )
A.46
B.64
C.82
D.128
5.对任意的整数x,y，定义x@y=x+y-xy，则使得(x@y)@z+(y@z)@x+(z@x)@y=0的整数组(x,y,z)的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
6.设
1111
2018201920202050
M=++++
L，则
1
M
的整数部分是( )
A.60
B.61
C.62
D.63
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1.如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF=48°，则∠B=_______.
2.若实数x ,y 满足()3311542
x y x y +++=，则x +y 的最大值为_______. 3.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为_______.
4.已知实数a ,b ,c 满足a +b +c =0，a 2+b 2+c 2
=1，则555
a b c abc ++=_______.
第一试(B)
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1.满足(x 2+x-1)x+2的整数x 的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知x 1,x 2,x 3 (x 1＜x 2＜x 3)为关于x 的方程x 3-3x 2+(a+2)x-a=0的三个实数根，则
22211234x x x x -++=( )
A.5
B.6
C.7
D.8
3.已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CD=4CE ，∠EFB=∠FBC ，则tan ∠AB F ＝( )
A.12
B.35
4.=的实数根的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
5.设a,b,c为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a,b,c)的个数为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
6.已知实数a,b满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，则a+b=( )
A.2
B.3
C.4
D.5
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1.已知p,q,r为素数，且pqr整除pq+qr+rp-1，则p+q+r=_______.
2.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为_______.
3.已知D是△ABC内一点，E是AC的中点，AB=6，BC=10，∠BAD=∠BCD，∠EDC=∠ABD，则DE=_______.
4.已知二次函数y=x2+2(m+2n+1)x+(m2+4n2+50)的图象在x轴的上方，则满足条件的正整数对(m,n)的个数为_______.
第二试（A）
一、（本题满分20分）设a,b,c,d为四个不同的实数，若a,b为方程x2-10cx-11d=0
的根，c,d为方程x2-10ax-b=0的根，求a+b+c+d的值.
二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=12，点C在OA 上，AC=4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F.
（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；
（2）求CE+2DE的最小值.
三、（本题满分25分）求所有的正整数m ,n ，使得
()33222m n m n m n +-+是非负整数.
第二试（B ）
一、（本题满分20分）若实数a ,b ,c 满足(a+b+c)
11195555a b c b c a c a b ??++= ?+-+-+-??，求(a+b+c)111a b c ??++ ???的值.
二、（本题满分25分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AB =AC ，DE =DC .
（1）证明：AD //BC ；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果∠ACE=30°，求DP PE
.
三、（本题满分25分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，x+1的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .