数学必修1-5综合测试题

数学必修1-5综合测试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1. 已知集合11

{2,1,0,1,2}{|28R}2

x M N x x +=--=<<∈，，，则M N = A ．{0,1} B ．{10}-，

C ．{1,0,1}-

D ．{2,1,0,1,2}--

2. 已知条件

2|1:|>+x p ，条件a x q >:?且p 是?q 的充分不必要条件，则a 的取值

范围可以是（ ）A ．1≥a B ．1≤a C ．3-≥a C ．3-≤a 3. 已知实数列1，a ，b ，c ，2成等比数列，则abc 等于（ ）

A ．4

B ．±4

C ．22

D ．±22

4. 已知

)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当x >0时，x

x f 1

)(=

，则当)(,2x ?f x 时-<为（ ）A ．x 1- B ．

2

1

+x C ．21+-x D ．21--x 5. 已知a =(m ，n )，b =(p ，q )且m +n =5，p +q =3，则|a +b |的最小值为（ ）

A ．4

B ．24

C ．6

D ．8

6.已知1,4,20,x y x y y -≥-+≤-≥则24x y +的最小值是

A ．8

B ．9

C ．10

D ．13 7. 如右图为长方体木块堆成的几何体的三视图， 则组成此几何体的长方体木块块数共有 A ．3块 B ．4块 C ．5块 D ．6块

8. 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完

全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是

A ．

310 B ．15 C ．110 D ．112

9. 已知在ABC ?中，12

5

tan ,134sin ==

A ??

B ，则（ ） A ．B A

C >> B ．A B C >> C ．C A B >> C ．C B A >> 10. 定义在R 上的函数

)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，当x >2时，)(x f 单调递增，如果

0)2)(2(,42121<--<+x x ??x x 且，则)()(21x f x f +的值为（ ）

A ．恒小于0

B ．恒大于0

C ．可能为0

D ．可正可负

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是

12. 假设要考察某企业生产的袋装牛奶质量是否达标，现以500袋牛奶中抽取60袋进行检

验，利用随机数表抽样本时，先将500袋牛奶按000，01，…，499进行编号，如果从随机数表第八行第四列的数开始按三位数连续向右读取，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号： .（下面摘取了随机数表第七行至第九行） 84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676 63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 44395 23879 33211 23429 78645 60782 52420 74438 15510 01342 99660 27954 13. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y += 垂直的直线方程是 ． 14. 设

)(x f 的定义域为R ，若存在常数M >0，使|||)(|x M x f ≤对一切实数成立，则称

)(x f 为F 函数，给出下列函数. ①)(x f =0；②)(x f =2x ；③

)c o s (s i n 2)(x x x f +=；④1

)(2

++=x x x x f ；⑤

)(x f 是定义在R 上的奇函数，

且满足对一切实数x 1，x 2均有||2|)()(|

2121x x x f x f -≤-，其中为F 函数的有

.（请填写序号）

三、解答题：本大题共4小题，共40分．

15. 已知向量()1cos ,1,(1,)a x b a x ωω=+=+

（ω为常数且0ω>）,函数x f ?=)(在R 上的最大值为2.

（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）把函数()y f x =的图象向右平移6π

ω

个单位，可得函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,

]4

π

上为增函数，求ω的最大值.

16. 如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知122DC DD AD AB ===， AD DC AB DC ⊥，//

．

（1）求证：11DC AC ⊥；

（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置， 使1//D E 平面1A BD ，并说明理由．

17.甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中则继续投篮，否

则由对方投篮，第一次由甲投，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为

21、3

2. （1）求前两次都由甲投篮的概率；（2）在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求E ξ. 18. 已知各项为正数的数列}{n a 满足022

12

1=--++n n

a n a a a a (n ∈N *)，且23+a 是

42,?a

a ?的等差中项.

（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）若n n

n n n b b b ?S

?a a b +++== 212

1,log ，求

使5021>?++n n

n S 成立的正整数n 的最小值.

19. 如果执行右面的程序框图，那么输出的S =

Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 20 ．已知向量(1)(1,)n n ==-,，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a

A ．1

B ．2 D ．4 21. 设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++， 则通项n a = __________。

22. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱

3，那么这个球的体积为_________．

23. 等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ． 24. 已知函数2

()2cos

2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，的最小正周期是2

π

．

（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．

参考答案格式

一、选择题 （答案+提示） 1.C 2. A 条件

31:-<>x x p 或，则13:≤≤-?x p ；q p ?a ?x q ??≤?是.:的充分不

必要条件，所以1≥a ，故选A.

总结点评 主要考查充要条件，和含参不等式的解法，可以直接通过画数轴得到. 3. C 由1，a ，b ，c ，2成等比数列知212

?==b ac ，∴2±=b . 显然2-=b 不

符合题意，故2=

b ，所以22=ab

c .

总结点评 本题考查等比数列的性质，熟练运用等比数列的性质是关键. 4. C 设当2-

)(x f 图象上任意一点为P (x ，y )，则由对称性知P (x ，y )关于直线

x =-1对称点为Q (-2，-x ，y )，则21--=

x y ，即所求2

1

)(+-=x x f .

总结点评 本题考查函数图象的对称性，通过图象关于直线对称转化为点关于直线

对称.

5. B |a +b |=

2482

2)(22)()(22=?=+++≥

+++q n p m q n p m ，当4=+=+q n p m 时取等号.

总结点评 本题通过求向量模的公式进行转化，通过重要不等式求最小值.

6. C

总结点评 考查线性规划的最大值和最小值， 准确画图找到可行域是关键. 7.B

8. 【解析】 随机取出2个小球得到的结果数有

1

54102

??=种（提倡列举）。取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1,2},{1,5},{2,4}共3种，故所求答案为A 。

方法二： 从五个球中任取两个共有=10种，而1+2=3，2+4=6，1+5=6，取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为10

3，选A ． 9. A 由13

12

cos ,cos 1144251tan 1125tan 2

2==+=+=

A ??A A A 所以得. ∴.13

4sin 135sin ?B A =>=

所

以

13

5

1313153548sin cos cos sin )sin(sin ,>

?+=

+=+=>B A B A B A C ?B ?A 又，即.B ?A C >>总结点评 本题考查三角函数的变换公式，通过比较三角形各角的三角函

数值来判断三个角的大小关系. 10. A 由0)2)(2(,42121<--<+x x ??x x 知x 1，x 2中有一个小于2，一个大于2，即不

妨设)4()(,221

+-=-<2时，

)(x f 单调递增，所以)()4()(,4211211x f x f x ?f ?x x -=-<-<<，所以

0)()(21<+x f x f ，故选A.

二、填空题 （答案+提示）

11. 2

2

(2)(1)1x y -+-= 本小题主要考查圆与直线相切问题。

设圆心为(,1),a 由已知得|43|15a d -=

=， 2a ∴=舍1

2

a =- 12. 163、199、175、128、395 直接从第八行第四列开始读取.

总结点评 本题关键是分清第八行第四列的数为1，且考查了统计学中的随机数表的运用.

13. 10x y -+=。

【试题解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为

y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=。

【高考考点】圆的标准方程、两直线间的关系。 14. ①④⑤ 在②中，M x x M x

≤≤||||||2

即，∵x ∈R ，故不存在这样的M ，在③中

)4sin(2)(π+=x x f ，即|||)4

sin(|2x M x ≤π

+，即||2x M ≤对一切x 恒成立，故不

存在这样的M .

总结点评 本题主要考查函数的性质，通过检验对一切实数x 都有

|||)(|x M x f ≤来判断.

三、解答题 （详细解答）

15. 解：（Ⅰ）()1cos 2sin()16

f x x a x x a π

ωωω=+++=+

++

因为函数()f x 在R 上的最大值为2，所以32a +=故1a =-………… （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()2sin()6

f x x π

ω=+

把函数()2sin()6

f x x π

ω=+

的图象向右平移

6π

ω

个单位， 可得函数()2sin y g x x ω==………………………………………… 又 ()y g x =在[0,

]4π

上为增函数 ()g x ∴的周期2T π

πω

=

≥即2ω≤

所以ω的最大值为2………………………… 16．（1）证明：在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，

连结1C D ，

1DC DD = ，

∴四边形11DCC D 是正方形． 11DC DC ∴⊥．

又AD DC ⊥，11AD DD DC DD D =⊥，⊥，

AD ∴⊥平面11DCC D ，1D C ?平面11DCC D ，

1AD DC ∴⊥．

1AD DC ? ，平面1ADC ，且1AD DC D =⊥，

1D C ∴⊥平面1ADC ，

又1AC ?平面1ADC ， 1DC AC ∴1⊥．

（2）连结1AD ，连结AE ，设11AD A D M = ， BD AE N = ，连结MN ，

平面1AD E 平面1A BD MN =，

要使1D E ∥平面1A BD ，须使1MN D E ∥， 又M 是1AD 的中点． N ∴是AE 的中点． 又易知ABN EDN △≌△， AB DE ∴=． 即E 是DC 的中点．

综上所述，当E 是DC 的中点时，可使1D E ∥平面1A BD ．

17.(文) （Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间

Ω=111112121()()()A B C A B C A B C {,,，,,，,,，122131()()A B C A B C ,,，,,，132()A B C ,,，

211212221()()()A B C A B C A B C ,,，,,，,,，222()A B C ,,，231()A B C ,,，232()A B C ,,， 311312321()()()A B C A B C A B C ,,，,,，,,，322331332()()()A B C A B C A B C },,，,,，,,．

由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．

用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则

M ={}111112121122131132()()(),()()()A B C A B C A B C A B C A B C A B C ,,，

,,，,,,,，,,，,,， B

C

D A

1A

1D

1C

1

B

M

E

事件M 由6个基本事件组成，因而61()183

P M =

=． （Ⅱ）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，

则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件，

由于N ={1

11211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N =

=，由对立事件的概率公式得15

()1()166

P N P N =-=-= 17（理）（1）第一次由甲投且第二次由投的概率为

21，故前两次由甲投的概率为.2

1

211?=? （2）依题意可知4112121)0(=??=

=ξP ，12

5

1212113121)1(=??+??==ξP ， 3113221)2(=??==ξP ，∴12

13

=ξE .

总结点评 本题主要考查概率及数学期望，做概率题要注意多读题，要注重可能事

件概率，互斥事件的概率加法公式，独立事件概率乘法公式，n 次独立重复试验中发生k 次的概率问题.

18. 1）∵02212

1=--++n n

n n a a a a ，∴0)2)((11=-+++n n n n a a a a ，

∵数列}{n a 的各项均为正数，∴01>++n n a a ，∴021=-+n n a a ，

即n n a a 21=+(n ∈N *)，所以数列}{n a 是以2为公比的等比数列.

∵423

,2?a ?a a 是+的等差中项，∴42342+=+a a a ，

∴488211

1+=+a a a ，∴a 1=2，

∴数列}{n a 的通项公式n n

a 2=.

（2）由（1）及n n n

a a

b 2

1log =，得n n n b 2?-=，

∵n n b b b S +++= 21，

∴n n

n S 22423222432?--?-?-?--= ， ①

∴1543222)1(24232222+?-?---?-?-?--=n n n

n n S ②

①-②得，11

543222

1)21(22

222222++?---=?-++++++=n n n n n

n n S

22)1(1-?-=+n n .

要使5021>?++n n n S 成立，只需50221>-+n 成立，即.5,5221??n ?

n ≥≥+ ∴使5021>?++n n

n S 成立的正整数n 的最小值为5.

解题探究 本小题第一问求数列的通项公式，需选判断数列的构成规律，第二问求

n 的最小值，需求出S n ，由b n 的表达式可知，用错位相减法求和，然后解不等式即可. 选做题答案

1. C 【分析】 由程序知，150

21222502502550.2

S +=?+?++?=??= 2. :C 【解析】2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：

2(3,)(1,)30n n n n ?-=-+=?= 2=a ．

3. ．

()

112

n n ++_。 4. 4

3

V =

π． 【试题解析】∵正六边形周长为3，得边长为

1

2

，故其主对角线为1，从而球的直径

22R =

= ∴1R = ∴球的体积43

V =

π 5. 解：设数列{}n a 的公差为d ，则

3410a a d d =-=-， 642102a a d d =+=+， 1046106a a d d =+=+．

由3610a a a ，，成等比数列得2

3106a a a =， 即2

(10)(106)(102)d d d -+=+， 整理得2

10100d d -=， 解得0d =或1d =．

当0d =时，20420200S a ==． ························

当1d =时，14310317a a d =-=-?=， 于是2012019

202

S a d ?=+207190330=?+=．

6.

（Ⅰ）解：1cos 2()2sin 212

x

f x x ωω+=++

sin 2cos 22x x ωω=++

sin 2cos cos 2sin 244x x ωωππ?=

++??

224x ωπ?

?=

++ ??

?．

由题设，函数()f x 的最小正周期是

2π，可得

222

ωππ

=，所以2ω=．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()424f x x π?

?=

++ ??

?．

当4242x k ππ+

=+π，即()162k x k ππ=+∈Z 时，sin 44x π?

?+ ??

?取得最大值1，所以函数

()f x 的最大值是2x 的集合为162k x x k ππ??=+∈????

Z ，．