§2.1.1平面 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1．掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系，有关平面的三个公理；2．会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系； 【重点】 1.与平面有关的三个公理； 【难点】 2.三个公理的理解和应用； 一、自主学习 （一）复习回顾 阅读课本P40的“思考？”内容； （二）导学提纲 阅读课本P40-43，并完成下列问题： 1.生活里的“平面”和几何里的“平面”的概念一样吗？ 2.平面怎么画？怎么表示？ 3.公理1： 公理2： 公理3： 4.你能举出生活中应用三个公理的例子吗？ 二、基础过关 例1：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。
变式1：用符号表示下列语句 （1） 点A 在平面α内，点B 在平面α外 （2）直线l 经过平面α外的一点M 例2 不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？ 变式2：判断正误 1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（ ） 2.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（ ） 方法、规律总结： 三、拓展研究 例3. 画出同时满足下列条件的图形： l =βα ，α?AB ，β?CD ，AB ∥l ，CD ∥l 变式训练： 如右图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线:
（1） AB 没有被平面α遮挡； （2） 画出AB 被平面α遮挡； 方法、规律总结 四、课堂小结 1. 知识 2. 数学思想、方法 3. 能力 五、课后巩固 （一）完成课本P51第3题： （二）完成以下试题 1．空间中ABCDE 五点中，ABCD 在同一平面内，BCDE 在同一平面内，那么这五点（ ） A 共面 B 不一定共面 C 不共面 D 以上都不对 2. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线 3. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．1个或3个 4．直线12l l ∥，在1l 上取3点，2l 上取2点，由这5点能确定的平面有（ ） Ａ．9个 Ｂ．6个 Ｃ．3个 Ｄ．1个 5．给出下列命题： 和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； 三条两两相交的直线在同一平面内；
高中数学必修二直线与 平面平行判定与性质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
- 2 - 2. 2《直线、平面平行的判定及其性 质》测试 第1题. 已知a α β=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证： a b //． 答案：证明： m m m a a b a m b β γααβ=?? ?? ??????=???同理////////． 第2题. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是 （ ） Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a ，b 相交但不垂直 Ｄ．a ，b 异面 答案：Ａ． 第4题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11E F 是平面11A C 上的线段，求证：11E F //平面AC ． 答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截取11AE A E =， 11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ． ∵长方体1AC 的各个面为矩形， 11A E ∴平行且等于AE ，11D F 平行且等于DF ， 故四边形11AEE A ，11DFF D 为平行四边形． 1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF
- 3 - 四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //． EF ?∵平面ABCD ，11E F ?平面ABCD ， ∴11E F //平面ABCD ． 第5题. 如图，在正方形ABCD 中，BD 的圆心是A ，半径为 AB ，BD 是正方形ABCD 的对角线，正方形以AB 所在直线为轴 旋转一周．则图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得几何体的体积之比为 ． 答案：111∶∶ 第6题. 如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶． （１） 求证：直线MN //平面PBC ； （２） （１） 答案：证明：连接AN 并延长交BC 于E ，连接PE ， 则由AD BC //，得BN NE ND AN = ．
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 【选题明细表】 1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是( B ) (A)a∈α,A?a?A?α (B)a?α,A∈a?A∈α (C)a∈α,A∈a?A?α (D)a∈α,A∈a?A∈α 解析:直线在平面内用“?”,点在直线上和点在平面内用“∈”,故选B. 2.给出下列说法:(设α,β表示平面,l表示直线,A,B,C表示点) ①若A∈l,A∈α,B∈α,B∈l,则l?α;
②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB; ③若l?α,A∈l,则A?α,则正确的个数是( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:③中点A可以是直线与平面的交点,所以错误.①,②正确.故选B. 3.下列图形中不一定是平面图形的是( D ) (A)三角形(B)平行四边形 (C)梯形 (D)四边相等的四边形 解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形, 故选D. 4.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( C ) (A)5部分(B)6部分(C)7部分(D)8部分 解析:如图所示,三个平面α,β,γ两两相交, 交线分别是a,b,c且a∥b∥c, 观察图形, 得α,β,γ把空间分成7部分. 故选C.
5.(2018·昆明一中高一测试)如图平面α∩平面β=直线l,点A,B∈α,点C∈β,C?l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定平面γ,则γ与β的交线必过( D ) (A)点A (B)点B (C)点C但不过点D (D)点C和点D 解析:因为C∈β,D∈β,且C∈γ,D∈γ, 所以γ与β的交线必过点C和D. 6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上. (1)A?α,a?α; (2)α∩β=a,P?α且P?β; (3)a?α,a∩α=A ; (4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O . 解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面. 答案:(1)C (2)D (3)A (4)B 7.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面
2.3.4 平面与平面垂直的性质 一、教材分析空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、 “高级”的定理.（2）它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理； （2）能运用性质定理解决一些简单问题； （ 3 ）了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；3．情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明” ，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力三、教学重点与难点 教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）复习
1）面面垂直的定义 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直 （ 2 ）面面垂直的判定定理 . 两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的判定定理符号表述为： 两个平面垂直的判定定理图形表述为： 二）导入新课 思路 1.（情境导入 ） 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 思路 2.（事例导入 ） 如图 2，长方体 ABCD —A ′B ′C ′中D ，′平面 A ′ ADD ′与平面 ABCD 垂直 ,直线 A ′A 垂直于其交线 AD. 平 面 A ′ ADD ′内的直线 A ′A 与平面 ABCD 垂直吗？ 二）推进新课、新知探究、提出问题 ① 如图 3,若 α⊥β, α∩β =CD,AB α,AB ⊥CD,AB ∩CD=B. 请同学们讨论直线 AB 与平面 β的位置关系 . AB AB α⊥β. 图1 图2
苏教版高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》说课稿各位评委大家好！我要说课的内容是《直线与平面垂直的判定》，选自现行苏教版数学教材必修2，第一章，第二节的第三个问题。下面我从教材分析、目的分析、教法分析、过程分析及评价分析等5个方面进行汇报我对这节课的教学设想。 一、教材分析 1．教材的地位和作用 这一节课的内容是高考中的热点问题，在整个立体几何体系起到承上启下的作用。本节教材是在学生学习了空间直线的垂直关系的基础上，研究空间直线与平面垂直关系的重要内容。判定定理既是线线垂直关系的应用之一，又是以后学习线面角、两个平面垂直以及研究空间距离等知识的奠基。这节教材对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力也具有重要的意义。 2．重点、难点和关键 （1）教学重点直线与平面垂直的定义和判定定理。 （2）教学难点操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 （3）突破难点的关键学生操作感受线面垂直试验。 3．教材内容和教材处理 本节课的主要内容是直线与平面垂直的概念、判定定理及其应用。通过创设问题情景，让学生直观上感受线面垂直的概念，激发求知欲望。然后，让学生通过观察和演示明确线线、线面的垂直关系并归纳出线面垂直的概念与判定定理，弥补不对定理进行证明的不足。这样处理教材既体现了数学与社会生活及生产的关系，也可以在探索发现的过程中，使学生感受成功的喜悦，减轻了学生的负担。 二、目的分析 1．课标要求 《课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。 2．学情分析 本人从教于韶关市第一中学，学生素质相对来说比较高，能积极思考，动手能力比较强，但理科学生的文字组织能力及表达能力依然比较欠缺。 在学习本节课之前，学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定了基础。 学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何探究和把握直线与平面垂直的判定定理。 3．目标设定
2. 3.2平面与平面垂直的判定 【教学目标】 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 （4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 【教学重难点】 重点：平面与平面垂直的判定。 难点：找出二面角的平面角。 【教学过程】 （一）创设情景，揭示课题 问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？ 以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们先利用具体的实物来进行观察,研探。 （二）研探新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示） 角二面角 图形 A 边 顶点 O B 边 A β 棱l B α 定义 从平面内一点出发的两条射线（半 直线）所组成的图形 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成 射线 — 点（顶点）一 射线 半平面 一 线（棱）一 半平面 表示 ∠AOB 二面角α-l -β或α-AB-β 2、二面角的度量 二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 教师特别指出： （1）在表示二面角的平面角时，要求OA ⊥L ，OB ⊥L ； （2）∠AOB 的大小与点O 在L 上位置无关； （3）当二面角的平面角是直角时，这两个平 面的位置关系怎样？ 承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， 获得两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 图2.3-3 （三）实际应用,巩固深化 例1、（课本69页例3）设AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在平面，C 是圆周上的任意点，求证：面PAC ⊥面PBC. 变式： 课本69P 的探究问题 例2、已知直线PA 垂直正方形ABCD 所在的平面，A 为垂足。求证：平面PAC ⊥平面PBD 。 说明：这两题都涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BC ⊥平面PAC 和BD ⊥平面PAC 是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着“线线垂直?线面垂直?面面垂直”转化途径进行． 变式. 课本69P 的练习 （四）小结归纳，整体认识 （1）二面角以及平面角的有关概念； （2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？ （五）当堂检测 P81习题 2.3 A 组 第4、6、7题, B 组 第1题 【板书设计】 B A O β α
高二数学必修 2 知识点总结 第 1 章空间几何体 一、空间几何体的结构 1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2.旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 3、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A' B ' C ' D ' E '或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD '几何特 征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的 截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 P A' B ' C ' D ' E ' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台P A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何 特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （ 5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、空间几何体的三视图和直观图 1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其中我 们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。 2.中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。 3.平行投影：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。（又分为正投影和斜投影） 4 空间几何体的三视图
2.3.4 平面与平面垂直的性质 刘淑芳 教学目标 知识与技能目标: ①进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定,使学生理解和掌握面面垂直的性质定理. ②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题, 应用定理解决相关问题.进一步培养学生空间 观念. 过程与方法目标: ①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问 题中的运用. ②通过“直观感知、操作确认,推理证明”, 培养学生逻辑推理能力. ③发展学生的合情推理能力和空间想象力 ,培养学生的质疑思辨、创新的精神. 情感、态度与价值观目标: ①学生的合情推理能力和空间想象力 ,培养学生的质疑思辨、创新精神. ②让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣. 教学重点、难点： 重点：理解掌握面面垂直的性质定理和推导. 难点：运用性质定理解决实际问题. 教学过程 一、复习回顾 1、面面垂直的定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 2、面面垂直的判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 二、引入新课 思考1.(情境导入) 教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一条直线与地面 垂直？ 思考2.(事例导入) 如图1,,平面,αβ,由可以得到b α?, αβ⊥是否可以得到b α⊥？ 图1 【设计意图】通过简单小实验,在复习面面垂直判定定理的同时,让学生感受到数学知识在生活中的实例. 通过简单的实物操作,为新知识找到生长点,让学生直观感知到：垂直于交线即垂直于另一平面,从而在引 入新课题的同时让学生经历数学发现的过程. 三、探究新知 如图2,设βα⊥,l α β=,.观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系? α
2.3.4平面与平面垂直的性质练习 新人教A 版必修2 一、选择题 1．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，m ?α，m ⊥l ，则( ) A ．m ∥β B ．m ?β C ．m ⊥β D ．m 与β相交但不一定垂直 [答案] C 2．已知平面α⊥平面β，直线a ⊥β，则( ) A ．a ?α B ．a ∥α C ．a ⊥α D ．a ?α或a ∥α [答案] D 3．空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 [答案] B 4．如下图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ， A ， B 是定点，则动点 C 的轨迹是( ) A ．一条线段 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．一个圆，但要去掉两个点 [答案] D [解析] ∵平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AC ?平面PAC ，∴ AC ⊥平面PBC ． 又∵BC ?平面PBC ，∴AC ⊥BC ．∴∠ACB ＝90°. ∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点． 5．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6. 过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( ) A ． B ．
C ． D ． [答案] A [解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π 4， ∠ABA ′＝π 6 ，设AB ＝2a ， 则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π 6＝3a ， ∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB A ′B ′＝ 6．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( ) A ．直线A B 上 B ．直线B C 上 C ．直线AC 上 D ．△ABC 内部 [答案] A [解析] ∵AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，∴AC ⊥平面ABC 1， 又∵AC ?平面ABC ，∴平面ABC 1⊥平面ABC ， ∴C 1在平面ABC 上的射影H 必在平面ABC 1与平面ABC 的交线AB 上，故选A ． 二、填空题 7．平面α⊥平面β，直线l ?α，直线m ?β，则直线l ，m 的位置关系是________. [答案] 相交、平行、异面 8．三棱锥P －ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的________心． [答案] 垂 [解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC ⊥PA ，AB ⊥PC ，CA ⊥PB ，又由BC ⊥PA ，PH ⊥BC ，得BC ⊥平面PAH ，则BC ⊥AH ，同理有AB ⊥CH ，CA ⊥BH ，所以H 为△ ABC 高线的交点，即垂心． 三、解答题 9．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD ⊥平面ACD ．
平面与平面垂直的判定和性质 第一课时 教学目标： 1．理解二面角的有关概念，能画出二面角． 2．会求二面角的平面角． 教具准备：投影胶片、三角板． 教学过程： ［设置情境］ 看看日常生活中常见的例子：公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等．它们中的两个面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．那么，怎么定义两个平面所成的角呢？ ［探索研究］ 1．二面角 （1）半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面． （2）二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． （3）二面角的画法：分直立式与平卧式两种．图1，记作二面角βα--AB ． ①直立式 ②平卧式 图1 2．二面角的平面角 教师提出问题：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样，一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量．这说明二面角不仅有大小．而且其大小是惟一确定的． 平面与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况．为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题．从而提问：二面角的大小应该怎么度量？ 让学生主动动手操作并与同学讨论交流，尝试找到度量二面角大小的方法． 现给出二面角的平面角的定义： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 如图2，二面角βα--l ，l O ∈，α?AO ，β?BO ，l AO ⊥，l BO ⊥．AOB ∠是二面角βα--l 的平面角．
课时分层作业(七)平面 (建议用时：45分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是() ①A∈a，a?α?Aα；②A∈a，a∈α?A∈α；③A a，a?α?Aα；④A∈a，a?α?A?α. A．0 B．1C．2D．3 A[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a，a?α，但A∈α；④不正确，“A?α”表述错误．] 2．下列命题中正确命题的个数是() ①三角形是平面图形； ②四边形是平面图形； ③四边相等的四边形是平面图形； ④圆是平面图形． A．1个B．2个 C．3个D．4个 B[根据公理2可知①④正确，②③错误．故选B.] 3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面() A．相交B．重合 C．相交或重合D．以上都不对 C[若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．] 4．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是() A．A，B，C，D四点中必有三点共线 B．A，B，C，D四点中不存在三点共线 C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行 B[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，选B.] 5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为() A．0 B．1 C．0或1 D．1或3 D[当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，选D.] 二、填空题 6．设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l. ∈[因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.] 7．在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条. 5[由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．] 8．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条． 1或2或3[当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．] 三、解答题 9．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图所示． 求证：直线AD，BD，CD共面．
数学·必修2(人教A版) 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.2 平面与平面垂直的判定 基础达标 1．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是() A．相等B．互补 C．互余D．无法确定 解析：如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角αlβ的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.
答案：B 2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面() A．有一个B．有两个 C．有无数个D．不存在 解析：经过l的任一平面都和α垂直． 答案：C 3．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有() A．8对B．7对 C．6对D．5对 解析：如图，平面PAD，平面PBD，平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBD.
答案：B 4．如图，在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABD 折起，若折起后B ，C 间距离为1 2a ，则二面角BADC 的大小 为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：由题意知∠BDC 即为二面角BADC 的平面角． ∴在△BCD 中，BC ＝CD ＝DB ＝12 a ， ∴∠BDC ＝60°，即二面角BADC 的大小为60°.故选C. 答案：C
5．(2013·广州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是() A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n∥α，则m⊥n 答案：D 6．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则() A．α∥γB．α⊥γ C．α与γ相交，但不垂直D．以上都有可能 答案：D 巩固提升 7．以下命题正确的个数是() ①一个二面角的平面角只有一个； ②二面角的棱必垂直于这个二面角的平面角所在的平面； ③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的直线所成的角等于二面角的大小． A．0个B．1个C．2个D．3个
§2.3.2平面与平面垂直的判定 一、教学目标 1、知识与技能 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法 （1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值 通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。 二、教学重点、难点。 重点：平面与平面垂直的判定； 难点：如何度量二面角的大小。 三、学法与教学用具。 1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。 2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板） 四、教学设计 （一）创设情景，揭示课题 问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？ 以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。 （二）研探新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
2、二面角的度量 二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 教师特别指出： （1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L； （2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关； （3）当二面角的平面角是直角时，这两个平 面的位置关系怎样？ 承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB 获得两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A （三）应用举例，强化所学α 例题：课本P.72例3 图2.3-3 做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。 （四）运用反馈，深化巩固
2.3.2 平面与平面垂直的判定基础练习 题（含答案解析） 1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是() A．相等B．互补 C．相等或互补D．不能确定 解析：选C.当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补． 2．在四棱锥P－ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是() A．平面P AB⊥平面P AD B．平面P AB⊥平面PBC C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面P AD 解析：选C.由面面垂直的判定定理知：平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面P AD，A、B、D正确． 3．如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ 解析：选A.如图，平面α为平面AD1，平面β为平面BC1，平面γ为平面AC， ∵m?α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m⊥γ，l?γ，由线面垂直的性质得m⊥l.
4.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是() A．BC∥平面P DF B．DF⊥平面P AE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC 解析：选C.可画出对应图形(图略)， 则BC∥DF，又DF?平面PDF，BC?平面PDF， ∴BC∥平面PDF，故A成立； 由AE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE， ∴DF⊥平面P AE，故B成立； 又DF?平面ABC， ∴平面ABC⊥平面P AE，故D成立． 5．(2013·德州高一检测)已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有() A．1对B．2对 C．3对D．5对 解析：选D.∵DA⊥AB，DA⊥P A，AB∩P A＝A， ∴DA⊥平面P AB，同理BC⊥平面P AB， AB⊥平面P AD，DC⊥平面P AD， ∴平面AC⊥平面P AD，平面AC⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面PDC⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD. 6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，P A ＝6，那么二面角P－BC－A的大小为________． 解析：取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP ＝OA＝3，P A＝6，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°. 答案：90° 7. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析：连接AC，则AC⊥BD. ∵P A⊥底面ABCD，
《2．3直线与平面垂直的判定》教学设计一、教学内容和内容解析 《直线与平面垂直的判定》是高中新教材人教A版必修2第2章2.3.1的内容，本节课主要学习线面垂直的定义、判定定理及定理的初步运用。其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。 直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的。 二、教学重点、难点，以及期望目标和目标解析 根据《课程标准》，线面垂直判定定理的严格证明在本节课中不做要求，这样降低了难度。 教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。 期望目标：理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理. 目标解析： 1.利用已有知识与生活经验，抽象概括出直线与平面垂直的定义； 2.通过概括、辨析与应用，正确理解直线与平面垂直的定义； 3.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理； 4.运用直线与平面垂直的判定定理，证明和直线与平面垂直有关的简单命题.
张喜林制 [ 2. 3.2平面与平面垂直的判定 【教学目标】 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 （4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 【教学重难点】 重点：平面与平面垂直的判定。 难点：找出二面角的平面角。 【教学过程】 （一）创设情景，揭示课题 问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？ 以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们先利用具体的实物来进行观察,研探。 （二）研探新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示） 平面内一点出发的两条射线（半二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 教师特别指出： （1）在表示二面角的平面角时，要求OA ⊥L ，OB ⊥L ； （2）∠AOB 的大小与点O 在L 上位置无关； （3）当二面角的平面角是直角时，这两个平 面的位置关系怎样？
2.3.2平面与平面垂直的判定 一、教学目标 1、知识与技能 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法 （1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值 通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。 二、学情分析 学生通过学习直线与直线的垂直，直线与平面的垂直，已经初步掌握了线线垂直与线面垂直的判定。这为学生学习平面与平面的垂直判定打下了良好的基础。但是，有一部分学生空间想象力和逻辑思维能力较差，在学习的过程中仍有一定的难度，而平面与平面的垂直关系是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展。因此，在教学中，教师尽量通过多媒体辅助教学，帮助学生提高空间想象能力，同时，尽量让学生多参与，培养自主探索能力。 三、教学重点、难点。 重点：平面与平面垂直的判定； 难点：如何度量二面角的大小。 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？ 以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多
问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察、研探。 （二）研探新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示） 2、二面角的度量 二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 教师特别指出： （1）在表示二面角的平面角时，要求“OA ⊥L ” ，“OB ⊥L ”； （2）∠AOB 的大小与点O 在L 上的位置无关；(为什么？) （3）当二面角的平面角是直角时，这两个平 面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，获得两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.1.1 平面 东莞市南城中学陈立 1．内容和内容解析 （1）内容 《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二的第二章第一节，教学内容安排一个课时，主要内容是平面的描述性概念及三个公理。 （2）内容解析 平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。平面的基本性质即公理1、公理2、公理3，是研究立体图形的理论基础，也是进一步推理的出发点和根据。其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题。平面的基本性质在高考中一般以选择和填空题型为主。 学生在第一章的学习过程中，经历了对立体图形的整体把握，这节课以学生熟知的长方体为载体，引出本节课的主要内容，拓展学生已有的平面几何观念，帮助学生观念逐步从平面转向空间。因此，本节课的教学重点是使学生了解平面的描述性概念，了解平面的表示方法和画法；理解平面的基本性质即三个公理，会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系。 2．目标和目标解析 （1）目标 根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标如下： ①了解平面的描述性概念； ②了解平面的表示方法和基本画法； ③理解公理1、公理2、公理3； ④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。 ⑤感知数学语言的美，激发学习兴趣。 （2）目标解析 通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识，借助学生已有的直线的描述性概念，通过类比让学生体验获得平面的描述性概念的思维过程。在学生了解平面的描述性概念以后，首先给出平面的表示方法，然后类比画直线的方式，从“直观性”角度给出平面的画法。尽管平面的描述性概念、平面的表示方法和基本画法这些内容不难，但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度，没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点，因此，将这些内容定位为了解。平面的三个公理，是本节课的重点内容，要求学生充分重视，并且能够理解这些知识点。通过文字语言的严谨、图形语言的直观和符号语言的简洁以及三种语言的相互转化使学生体会数学的美，提高学生的学习兴趣。让学生认识到我们生活的世界就是一个三维空间，进而激发学生的求知欲。 3．教学问题诊断分析 本节课是一节较为抽象的几何概念课。学生了解平面的无限延展性可能有难度，因此，在教学时一定要让学生多感受，多举例。学生不好接受为什么通常用平行四边形表示水平放置的平面，教学中要引导让学生通过观察，体会用平行四边形表示水平放置的平面的“直观性”。三个公理是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据，学生容易掌握文字语言、图形语言，但符号语言较难掌握，教学中可适当安排一些问题让学生用符号语言规范的完成表达。 基于上述分析，本节课教学难点是理解三个公理以及用符号语言规范的完成对问题的表示。 4．教学支持条件分析 立体几何教具，多媒体，直尺。 5．教学过程设计