一、填空题： 1．设函数(,)z z x y =是由 ln x z z y =所确定，则() 0,1,1dz =dx dy + ． 2．设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()0 1n n n a x ∞ =-∑的收 敛区间为 ()2,4- ． 3．设函数 , 0()0, 0x x f x x ππ --<≤?=? <≤?的付氏级数的和函数为()S x ，则(5)S π= 2 π ． 4．设),(x y x f z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，则 y x z ???2 = 22 3 22 12 11f x y f x f x ''- '-'' ． 5．设幂级数()0 1n n n a x ∞ =-∑在0x =处收敛，而在2x =处发散，则幂级数0 n n n a x ∞ =∑的 收敛域为 [1,1)-． 6．函数 23 )(2-+=x x x f 关于x 的幂级数展开式为 11 0(1)1,(1,1)2n n n n x x +∞ +=??--∈-???? ∑ ． 7．设函数y z x =，则(2,1)dz = 2ln 2dx dy + 8．曲线23,,x t y t z t ==-=的切线中，与平面236x y z -+=垂直的切线 方程是 1111 2 3 x y z -+-==-． 9．设),(y x z z =是由方程sin()ln z e z xy a -= 0a >为常数所确定的二元函数，则 = dz cos()cos()sin() sin() z z yz xy xz xy dx dy e xy e xy + --． 10.旋转抛物面2 2 z x y =+的切平面： 44810x y z -++=， 平行与已知平面21x y z -+=. 11．微分方程20y y y '''+-=的通解为 1 2 12x x Y C e C e -=+，
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e
高等数学II 期中试卷 一、选择题（每小题3分，共计 15 分） 1、 函数?? ? ? ?=+≠++=0 0),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点 。 (A )．连续，偏导函数都存在； (B )．不连续，偏导函数都存在； (C )．不连续，偏导函数都不存在； (D )．连续，偏导函数都不存在。 2、 二重积分??D xydxdy （其中D ：10,02≤≤≤≤x x y ）的值为 。 (A )． 6 1 ； (B )． 12 1； (C )． 2 1 ； (D )． 4 1。 3、 设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=??+??y z b x z a 。 (A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。 4、 设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则??D d xy σ = 。 (A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24 R ； (D )．4 R 。 5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分??D y x f σd ),(表示 成极坐标系下的二次积分的形式为 。 (A )． 1 2 0 d (cos ,sin )d f r r r r π θθθ? ?； (B )． cos sin 2 0 0 d (cos ,sin )d f r r r r π θθ θθθ+? ? ；
(C ) ． 1cos 2 0 d (cos ,sin )d f r r r r π θ θθθ-? ? ； (D )．1 2cos sin 0 0 d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθθ+? ? 。 二、填空题（每小题4分，共计24 分） 1、设x y xy z ) (=，则=z d ，在点)2,1( P 处的梯度 =P z grad 。 2、设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=，则=' )1,(x f x 。 3、D 由曲线1)1()1(22=-+-y x 所围成的闭区域，则 ()D x y dxdy += ?? 。 4、函数xyz u =在点)2,1,5( 处沿从点)2,1,5( 到点),,9( 14 4 所确定方向的方向导数是 。 5、曲线??? ??-=-=2252121x z x y 在点)2,1,1(--处的切线方程为 ， 法平面方程为 。 6、改变积分次序 1 arcsin 1 2arcsin 0 arcsin d (,)d d (,)d y y y y f x y x y f x y x π π---+= ? ? ?? 。 三、计算题（每小题7分，共计49分） 1、求??1 1 0sin x dy y x y dx 。 2、求椭球面932222=++z y x 的平行于平面01232=++-z y x 的切平面方程。
一、填空题： 1．设函数(,)z z x y =是由 ln x z z y =所确定，则()0,1,1dz =dx dy + ． 2．设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()0 1n n n a x ∞ =-∑的收 敛区间为 ()2,4- ． 3．设函数,0()0,0x x f x x ππ --<≤?=?<≤?的付氏级数的和函数为()S x ，则(5)S π=2π ． 4．设),(x y x f z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，则 y x z ???2= 223221211f x y f x f x ''-'-'' ． 5．设幂级数()0 1n n n a x ∞ =-∑在0x =处收敛，而在2x =处发散，则幂级数0 n n n a x ∞ =∑的 收敛域为 [1,1)-． 6．函数2 3)(2-+= x x x f 关于x 的幂级数展开式为 110(1)1,(1,1)2n n n n x x +∞ +=??--∈-???? ∑ ． 7．设函数y z x =，则(2,1)dz = 2ln 2dx dy + 8．曲线23,,x t y t z t ==-=的切线中，与平面236x y z -+=垂直的切线 方程是111 123 x y z -+-==-． 9．设),(y x z z =是由方程sin()ln z e z xy a -= 0a >为常数所确定的二元 函数，则 =dz cos()cos() sin()sin() z z yz xy xz xy dx dy e xy e xy +--． 10.旋转抛物面22z x y =+的切平面： 44810x y z -++=， 平行与已知平面21x y z -+=.
第一学期高等数学期末考试试卷答案 一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→． 解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ． 解： 由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件． 解：
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z += 所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)
西南交《高等数学IIB》在线作业一 
A:A B:B C:C D:D 答案：D 曲线y=x/(x+2)的渐进线为( ) A:x=-2 B:y=1 C:x=0 D:x=-2,y=1 答案：D 
A:A B:B C:C D:D 答案：D 
A:A B:B C:C D:D 答案：A 
A:A B:B
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
高等数学I （大一第一学期期末考试题及答案） 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 2 2βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限 a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由 x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 1211--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－，0）和（1，+ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.
10级高数A 2期末考 试题及答案 一、填空题（每题3分，共24分） 1. 微分方程054=-'-''y y y 的通解为 x x e C e C y -+=251 . 2.设函数2232y x z -=，则全微分=dz ___ydy xdx 64-______ 3．椭球面522222=++z y x 在点（1，1，1）处的切平面方程为___522=++z y x _ 4.设积分区域4:22≤+y x D ，则二重积分??D dxdy y x f ),(在极坐标下化为二次积分为 ______??2 020)sin ,cos (rdr r r f d θθθπ___ 5.设积分区域为11,11,11:≤≤-≤≤-≤≤-z y x Ω，则三重积分???=Ω dxdydz 2____16_____ 6.设L 是圆周222=+y x ，则对弧长的曲线积分?=+L ds y x )(22____π24_____ 7.无穷级数Λ+++= ∑∞=4 332211n n u 的通项=n u __1+n n ___. 8. 函数x x f 211)(+=展开成x 的幂级数为_____ ∑∞=-0 )2(n n n x _____. 二、计算下列各题（每题7分，共63分） 1、求微分方程0)1()1(=+-+dy y dx x 的通解. 解：分离变量：dy y dx x )1()1(+=+ 两边积分，得通解 C y y x x ++=+222 121 2、设函数2223cos y x x y z -+=，求x z ??，y z ??，y x z ???2 解：x x y x y x x y x y x z 6sin 6)(sin 22+=+-?-=?? y x y x y x x y y z 4sin 14)1(sin --=-?-=??
2016-2017学年第二学期离线作业 科目：高等数学 姓名： 学号： 专业：建筑工程技术（工民建） 西南交通大学远程与继续教育学院 校本部学习中心 《高等数学IB》第1次离线作业
1、求下列极限： （1）22121lim 1x x x x →-+-； （3）221lim 21x x x x →∞---； （5）22468lim 54 x x x x x →-+-+； （7）3(1)(2)(3) lim 5n n n n n →∞+++ （2）220()lim h x h x h →+-；（4）242lim 31x x x x x →∞+-+；（6）2123(1)lim n n n →∞++++- ；（8）3113 lim()11x x x →--- 解：（1）22121 lim 1x x x x →-+-=2111)1 l im lim 0(1)(1)1 x x →→(χ-χ-==χ-χ+χ+ （2）220()lim h x h x h →+-=2222 00022lim lim lim(2)2h h h h h h h h h h h →→→χ+χ+-χχ+==χ+=χ ； （3） 221lim 21x x x x →∞---=2 2111lim 11 22x →∞- χ=--χχ （4）242lim 31x x x x x →∞+-+=23 24 11lim 031 1x →∞+ χχ=-+χχ （5）22468lim 54x x x x x →-+-+=44(2)(4)22 lim lim (1)(4)13 x x →→χ-χ-χ-==χ-χ-χ- （6）2123(1)lim n n n →∞++++- =22(1)(1)2lim lim l 111(1)im 22 2n n n n n n n n n n →∞→∞→∞--=-== （7）3(1)(2)(3)lim 5n n n n n →∞+++=11231 lim (1)(1)(1)55 n n n n →∞+++= （8）3113 lim()11x x x →---=22221112(1)(2)2lim lim lim 1(1)(1)(1)(1)1 x x x →→→χ+χ-χ-χ+χ+===-χχ+χ+-χχ+χ+χ+χ+ 2、计算下列极限： （1）0sin lim x x x ω→ ； （3）0sin 2lim sin 5x x x → ； （5）01cos 2lim sin x x x x →- （2）0 tan 3lim x x x → ； （4）0lim cot x x x → ； （6 ）lim )x x x →+∞ 解：（1）0sin lim x x x ω→；根据重要极限得：0sin lim x x x ωω→= （2）0 tan 3lim x x x →=0sin 31lim 3cos3x x x →=χ
1. 设 f ( x ) = cos x ( x + sin x ), 则在 x = 0处有 ( . 1 + x ，β ( x ) = 3 - 33 x ，则当x → 1时（ i 0 x 是 f ( x ) 的一个原函数 , x d x = 7. n →∞ n (cos n + cos ? x 2 arcsin x + 1 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) ) （A ） f '(0) = 2 （B ） f '(0) = 1 （C ） f '(0) = 0 （D ） f ( x ) 不可导. 2. 设α ( x ) = 1 - x ） . （A ）α ( x )与β ( x ) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）α ( x )与β ( x ) 是等价无穷小； （C ） α ( x ) 是比 β ( x ) 高阶的无穷小； （D ） β ( x ) 是比 α ( x ) 高阶的 无穷小. 3. 若 F ( x ) = ? 0x (2t - x ) f (t )dt ， 其 中 f ( x ) 在 区 间 上 (-1,1) 二 阶 可 导 且 f '( x ) > 0 ，则（ ）. （A ）函数 F ( x ) 必在 x = 0 处取得极大值； （B ）函数 F ( x ) 必在 x = 0 处取得极小值； （C ）函数 F ( x ) 在 x = 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 y = F ( x ) 的拐点； （D ）函数 F ( x ) 在 x = 0 处没有极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 y = F ( x ) 的拐点。 4. 设 f ( x )是连续函数，且 f ( x ) = x + 2 ? 1 0 f ( t )dt , 则 f ( x ) = ( ) x 2 x 2 （A ） 2 （B ） 2 + 2 （C ） x - 1 （D ） x + 2 . 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 2 5. l x →m( 1 + 3 x ) sin x = . 6. 已知 cos x . 则? f ( x ) ? cos x lim π 2 π 2 2π n + + cos 2 n - 1 n π ) = . 1 2 8. － 1 . 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9. 设函数 y = y ( x )由方程 e x + y + sin( xy ) = 1确定，求 y '( x ) 以及 y '(0) . 10. 求 ? 1 - x 7 x (1 + x 7 ) d x .
西南交通大学2016-2017学年第2 学期 高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12
3．直线: 327 x y z L ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2b a π- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2 b a π - 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。
第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2021 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ．求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)
.d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) .823 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ?+x x x d )1(22 ?++=222)1()1d(21x x =-++12112x c . 3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞ =10 故limarctan arcsin x x x →∞ ?=10 4、(本小题3分) ?-x x x d 1 x x x d 111?----= ??-+-=x x x 1d d =---+x x c ln .1 5、(本小题3分)
一、问答题(将解答输入文本框中，共41道小题) 1. 求下列函数的定义域: (1) y= x 2 ?4 , (2) y= 1 4? x 2 , (3) 设f(x) 的定义域是[0,1], 求f(ln?x) 的定义域. [本题2分] 参考答案： 解: (1) D=(?∞,?2]∪[2,?+∞) , (2) D=(?2,?2) , (3) 由 ln?x∈[0,1] 可得其定义域为 [1,e] . 2. 若f(t)=2 t 2 + 2 t 2 + 5 t +5t , 证明f(t)=f( 1 t ) . [本题2分] 参考答案： 证明: f( 1 t )=2 1 t 2 +2 t 2 +5t+5 1 t =f(t) . 3. 设f(x)=2 x 2 +6x?3 , 求?(x)= 1 2 [f(x)+f(?x)] 及ψ(x)= 1 2 [f(x)?f(?x)] , 并指出?(x) 及ψ(x) 中哪个是奇函数哪个是偶函数? [本题2分] 参考答案： 解: ?(x)= 1 2 [f(x)+f(?x)]=2 x 2 ?3 是偶函数, ψ(x)= 1 2 [f(x)?f(?x)]=6x 是奇函数. 4. 求下列极限: (1) lim?x→1 x 2 ?2x+1 x 2 ?1 ; (2) lim?h→0 (x+h) 2 ?x 2 h ; (3) lim?x→∞x 2 ?1 2 x 2
?x?1 ; (4) lim?x→∞x 2 +x x 4 ?3 x 2 +1 ; (5) lim?x→4 x 2 ?6x+8 x 2 ?5x+4 ; (6) lim?n→∞1+2+3+?+(n?1) n 2 ; (7) lim?n→∞(n+1)(n+2)(n+3) 5 n 3 ; (8) lim?x→1 ( 1 1?x ? 3 1? x 3 ) 参考答案： 解:(1) lim? x→1 x 2 ?2x+1 x 2 ?1 = lim? x→1 (x?1) 2 (x?1)(x+1) = lim? x→1 x?1 x+1 =0 . (2) lim? h→0 (x+h) 2 ? x 2 h = lim? h→0 (2x+h)=2x . (3) lim? x→∞x 2 ?1 2 x 2 ?x?1 = lim? x→∞1? 1 x 2 2? 1 x ? 1 x 2 = 1 2 . (4) lim? x→∞x 2 +x x 4 ?3 x 2 +1 = lim? x→∞1 x 2 + 1 x 3 1? 3 x 2 + 1 x 4 =0 . (5) lim? x→4 x 2 ?6x+8 x 2 ?5x+4 = lim? x→4 (x?2)(x?4) (x?1)(x?4) = lim? x→4 x?2 x?1 = 2 3 . (6) lim? n→∞1+2+3+?+(n?1) n 2 = lim? n→∞n(n?1) 2 n 2 = lim? n→∞1 2 (1? 1 n )= 1 2 . (7) lim? n→∞(n+1)(n+2)(n+3) 5 n 3 = lim? n→∞1 5 (1+ 1 n )(1+ 2 n )(1+ 3 n )= 1 5 . (8) lim? x→1 ( 1 1?x ? 3 1? x 3 )= lim? x→1 x 2 +x?2 (1?x)( x 2 +x+1) = lim? x→1 (x?1)(x+2) (1?x)( x 2 +x+1) =1 5. 计算下列极限: (1) lim?x→0 sin?ωx x ; (2) lim?x→0 tan?3x x ; (3) lim?x→0 sin?2x sin?5x ; (4) lim?x→0 xcot?x ; (5) lim?x→0 1?cos?2x xsin?x ; (6) lim?x→+∞x( x 2 +1 ?x) [本题2分] 参考答案： 解:(1)根据重要极限可得 lim? x→0 sin?ωx x =ω .
高数期末考试题及答案 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分） 1.设2 ln()tan 2z x y x y =+++，求dz 分析：由z z dz dx dy x y ??= +??可知，需求z x ??及z y ?? 12z xy x x y ?=+?+ ， 21 z x y x y ?=+?+ ，
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim()x x x e x →-= . 2． ()()120051 1x x x x e e dx --+-= ? . 3．设函数()y y x =由方程2 1 x y t e dt x +-=?确定，则0 x dy dx == . 4. 设()x f 可导，且1 ()()x tf t dt f x =?，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ） x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ; （B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b a f x dx ≥?; （C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ; （D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0x t f t dt ?也为奇函数. 4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分2 230 x x e dx -? . 2．计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 本页满分36分 本页得分 本页满分 12分 本页得分