平面几何习题大全
下面的平面几何习题均是我两年来收集的，属竞赛范围。共分为五种类型，1，几何计算；2，几何证明；3，共点线与共线点；4，几何不等式；5，经典几何。
几何计算-1
命题设点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是多少？
解：设DF=CE=x,DE=CF=y. ∵Rt△BED∽Rt△DFA, ∴BE/DE=DF/AF
<==> 10/y=x/15 <==> xy=150.
所以，矩形DECF的面积150.
几何证明-1
命题在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，己知∠AOB+∠COD=180.求证:由O向四边形ABCD所作的垂线段之和等于四边形ABCD的周长的一半。
证明(一) 连OA,OB,OC,OD，过圆心O点分别作AB,BC,CD,DA的垂线，垂足依次为P,Q,R,S。
易证ΔAPO≌ΔORD，所以DR=OP,AP=OR，
故OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。
同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。
因此有OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。
证明(二) 连OA,OB,OC,OD，因为∠AOB+∠COD=180°,OA=OD，所以易证
RtΔAPO≌RtΔORD，故得DR=OP,AP=OR，
即OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。
同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。
因此有OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。
几何不等式-1
命题设P是正△ABC内任意一点，△DEF是P点关于正△ABC的内接三角形[AP,BP,CP延长分别交BC,CA,AB于D,E,F]，记面积为S1;△KNM是P点关于正△ABC的垂足三角形[过P点分别作BC,CA,AB垂线交于K,N,M]，记面积为S2。求证:S2≥S1 。
证明设P点关于正△ABC的重心坐标为P(x,y,z)，a为正△ABC的边长，则正△ABC 的面积为S=(a^2√3)/4。
由三角形重心坐标定义易求得:
AD=za/(y+z),CD=ya/(y+z),CE=xa/(z+x),AE=za/(z+x),AF=ya/(x+y),BF=xa/(x+y).
故得:
△AEF的面积X=AE*AF*sin60°/2=Syz/(z+x)(x+y);
△BFD的面积Y=BF*BD*sin60°/2=Szx/(x+y)(y+z);
△CDE的面积Z=CD*CE*sin60°/2=Sxy/(y+z)(z+x).
从而有S1=S-X-Y-Z=2xyzS/(y+z)(z+x)(x+y)。
因为P点是△KNM的费马点，从而易求得:
PK=(xa√3)/[2(x+y+z)],
PN=(ya√3)/[2(x+y+z)],
PM=(za√3)/[2(x+y+z)].
故得：
S2=(PN*PM+PM*PK+PK*PN)*sin120/2=3S(yz+zx+xy)/[4(x+y+z)^2]。
所以待证不等式S2≥S1等价于:
(3/4)*(yz+zx+xy)/(x+y+z)^2≥2xyz/(y+z)(z+x)(x+y);
<====> 3(y+z)(z+x)(x+y)(yz+zx+xy)≥8xyz(x+y+z)^2;
上式展开等价于
3x^3(y^2+z^2)+3y^3(z^2+x^2)+3z^3(x^2+y^2)-2xyz(x^2+y^2+z^2)-4xyz(yz+zx+xy)≥0;
上式化简等价于
x^2(x+2y+2z)(y-z)^2+y^2(y+2z+2x)(z-x)^2+z^2(z+2x+2y)(x-y)^2≥0.
因为P点在正△ABC内，故x>0,y>0,z>0，所以上式显然成立。命题得证。
几何不等式-2
命题设P是三角形ABC内一点，直线AP，BP，CP与三边的交点分别为D,E,F。则三角形DEF叫做点P的塞瓦三角形。试证点P的塞瓦三角形DEF的面积不超过三角形ABC 面积的四分之一。
证明设三角形ABC的面积为S, 塞瓦三角形DEF的面积为S1, 三角形AEF的面积为Sa, 三角形BFD的面积为Sb, 三角形CDE的面积为Sc。令BD=xBC,CE=yCA,AF=zAB，则CD=(1-x)BC,AE=(1-y)CA,BF=(1-z)AB。那么
Sa=(AE*AF*sinA)/2=z*(1-y)*S，
Sb=(BD*BF*sinB)/2=x*(1-z)*S，
Sc=(CD*CE*sinC)/2=y*(1-x)*S。
所以有
S1=S-Sa-Sb-Sc=S*[1-z*(1-y)-x*(1-z)-y*(1-x)]
=S*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy] ，
据此命题[S≥4S1]转化为证明
4*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy]≤1
根据塞瓦定理得:
xyz=(1-x)*(1-y)*(1-z)
上述恒等式展开等价于
1+yz+zx+xy=2xyz+x+y+z
将其代入得:8xyz≤1.
由算术--几何平均不等式得:
2√[x(1-x)]≤1,
2√[y(1-y)]≤1,
2√[z(1-z)]≤1,
上述三式相乘得:
8√[xyz(1-x)*(1-y)*(1-z)]≤1 , <==> 8xyz≤1 .
几何不等式-3
命题设P是三角形ABC内一点，点P在三边BC,CA,AB上的射影分别为D,E,F。则三角形DEF叫做点P的垂足三角形。试证点P的垂足三角形DEF的面积不超过三角形ABC 面积的四分之一。
证明设P点垂足ΔDEF面积为F,ΔABC面积为Δ，
令PD=r1,PE=r2,PC=r3,BC=a,CA=b,AB=c,R表示三角形ABC的外接圆半径。则有
F=[r2*r3*sinA+r3*r1*sinB+r1*r2*sinC]/2
=[a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2]/(4R)。
故命题转化为求证
a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2≤RΔ (1)
据恒等式:abc=4RΔ，则上式为
a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2≤abc/4 (2)
设P点的ΔABC重心坐标为P(x,y,z)，对(2)式作置换等价于
R^2*(x+y+z)^2≥yza^2+zxb^2+xyc^2 (3)
(3)展开化简为
(R*x)^2+(R*y)^2+(R*z)^2+(2*R^2-a^2)*yz+(2*R^2-b^2)*zx+(2*R^2-c^2)*xy≥0
上式配方整理得:
[R*x+(2*R^2-c^2)*y/(2R)+(2*R^2-b^2)*z/(2R)]^2+[c*y*cosC-b*z*cosB]^2≥0，
显然成立。易验证当x:y:z=a*cosA:b*cosB:c*cosC，即外心时取等号。
几何不等式-4
命题试比较给定一三角形的最大内接矩形的面积与最大内接正方形的面积大小。
证明设给定三角形ABC的边长分别为a,b,c，相对应的高线分别为ha,hb,hc，给定三角形ABC的面积为S。不妨设a>b>c，则ha
(1)对于给定三角形的最大内接矩形的面积可如下求:设矩形长为x[与BC边重合]，宽为y，矩形的面积为S1。运用相似比可得:
(ha-y)/x=ha/a <==> x=a*(ha-y)/ha，所以
S1=y*a*(ha-y)/ha=-[1/(a*ha)]*[a^2*y^2-2*a*S*y]
=-[1/(2*S)]*(a*y-S)^2+S^/2≤S/2。
当y=S/a=ha/2，x=a/2时，S1的最大值为S/2。
所以给定三角形的最大内接矩形的面积为S/2，它共有三种形状，即(长,宽)=(a/2,ha/2);(长,宽)=(b/2,hb/2);(长,宽)=(c/2,hc/2)。注意这里长与宽相对而言。
(2)对于给定三角形的最大内接正方形的面积可如下求:设正方形边长为x，正方形的面积为S2。运用相似比可得:
(ha-x)/x=ha/a <==> x=2*S/(a+ha)，
因为a>b>c，易证得:a+ha>b+hb>c+hc，
所以给定三角形的最大内接正方形的面积:
S2=[2*S/(c+hc)]^2。
(3)下面确定给定三角形ABC的最大内接矩形的面积与最大内接正方形的面积大小。
[2*S/(c+hc)]^2≤S/2
<==> 8*S≤(c+hc)^2
因为c^2+(hc)^2≥2*c*hc=4*S，所以8*S≤(c+hc)^2显然成立。
当c=hc时等号成立。
几何不等式-5
命题在等腰直角三角形中，∠BAC=90°，E，F在BC边上[E点靠近B点，F点靠近C点]。求证：
(1) 如果∠EAF≤45°，则BE^2+CF^2≥EF^2;
(2) 如果∠EAF≥45°，则BE^2+CF^2≤EF^2.
证明设AE为y，AF为z，AB=AC=a。
在△ABE，△ACF中[∠ABE=45°，∠ACF=45°]，根据余弦定理得:
BE^2=y^2-a^2+a*BE*√2;?y^2=a^2+BE^2-a*BE*√2;
z^2=a^2+CF^2-a*CF*√2; CF^2=z^2-a^2+a*CF*√2.?
两式相加得:
BE^2+CF^2=y^2+z^2-2a^2+a√2(BE+CF)=y^2+z^2-2a^2+a√2(a√2-EF)
=y^2+z^2-a√2EF。
注意到:△AEF面积的两种表示式
yzsin(∠EAF)/2=aEF/(2√2) a√2EF=2yzsin∠EAF
所以有BE^2+CF^2=y^2+z^2-2yzsin∠EAF
而在△AEF中，根据余弦定理得:
EF^2=y^2+z^2-2yzcos∠EAF
对比上述两式，当∠EAF=45°时，有BE^2+CF^2=EF^2。
(1) 如果∠EAF≤45°，则tan∠EAF≤1，即BE^2+CF^2≥EF^2;
(2) 如果∠EAF≥45°，则tan∠EAF≥1，即BE^2+CF^2≤EF^2.
附证如图,等腰直角三角形ABC,E,F在BC上,不妨设F在E右侧
将△AFC旋转90度到△ADB
∠ABC=∠ACB=∠ABD=45==>∠DBE=90 BD=CF
==>BE^2+CF^2=BE^2+BD^2=DE^2
DE^2=AD^2+AE^2-2AD*AE*cos∠DAE
EF^2=AF^2+AE^2-2AF*AE*cos∠EAF
AD=AF
DE^2-EF^2=2AF*AE(cos∠EAF-cos∠DAE)
∠DAE=∠DAB+∠BAE=∠CAF+∠BAE=90-∠EAF
(1)∠EAF≤45°,则90°＞∠DAE≥∠EAF＞0°,
DE^2-EF^2=2AF*AE(cos∠EAF-cos∠DAE)≥0
DE^2≥EF^2
BE^2+CF^2≥EF^2
(2)∠EAF≥45°,则0°＜∠DAE≤∠EAF＜90°,
DE^2-EF^2=2AF*AE(cos∠EAF-cos∠DAE)≤0
DE^2≤EF^2
BE^2+CF^2≤EF^2
几何不等式-6
命题非钝角三角形的三条中线组成的三角形，它的外接圆半径大于原三角形外接圆半径的5/6。
证明(1) 设非钝角三角形ABC的三边长为a,b,c，相对应的中线分别为ma,mb,mc，R,S 为非钝角三角形ABC的外接圆半径和面积。而以三角形三中线组成的三角形的面积为3S/4。根据三角形恒等式:abc=4R*S，故只需证明:
8*ma*mb*mc>5*a*b*c (1)
即64*(ma*mb*mc)^2>25(a*b*c)^2 (2)
据三角形中线公式:
4*(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2，4*(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2，4*(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2，
因为三角形是非钝角三角形，则b^2+c^2-a^2>=0，c^2+a^2-b^2>=0,a^2+b^2-c^2>=0，注意三式不可能同时取零，当直角三角形时，有一为零。设x,y,z为非负实数，
则令2x=b^2+c^2-a^2，2y=c^2+a^2-b^2,2z=a^2+b^2-c^2。则a^2=y+z,b^2=z+x,c^2=x+y。对(2)式作置换等价于:
(4x+y+z)*(4y+z+x)*(4z+x+y)>25*(y+z)*(z+x)*(x+y)
x^3+y^3+z^3-x^2(y+z)-y^2*(z+x)-z^2*(x+y)+7*x*y*z>0 (3)
(3)式是全对称的，不失一般性，设x=min(x,y,z)，(3)化简整理等价于
x*(x-y)*(x-z)+(y+z-x)*(y-z)^2+4*x*y*z>0，显然成立。
证明(2) 设RtΔABC的三边长为a,b,c，相对应的中线分别为ma,mb,mc，R,Δ为RtΔABC 的外接圆半径和面积。而以RtΔABC三中线组成的ΔA'B'C'的外接圆半径和面积分别为Rm,Δm。显然Δm=3Δ/4。命题转化:
Rm≥5R/6 (1)
根据三角形恒等式:abc=4R*Δ，ma*mb*mc=4Rm*Δm。故只需证明:
8*ma*mb*mc≥5*a*b*c (2)
即64*(ma*mb*mc)^2≥25(a*b*c)^2 (3)
不失一般性，设a^2=b^2+c^2，据三角形中线公式:
4*(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2=b^2+c^2，4*(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2=4c^2+b^2，4*(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2=4b^2+c^2，
所以(3)式等价于:
(4c^2+b^2)*(4b^2+c^2)≥25*b^2*c^2 (4)
(4)<==> 4*(b^2-c^2)^2≥0。显然成立，当三角形三角之比为:2:1:1时等号成立。
几何不等式-7
命题设ΔABC的三边长为BC=a,CA=b,AB=c，外心为O，内心为I。求证:
(1)∠AIO为锐角的充要条件是:b+c>2a;
(2)∠AIO为直角的充要条件是:b+c=2a;
(3)∠AIO为钝角的充要条件是:b+c<2a。
证明连AI并延长交圆O于D。易证BD=DI=CD，令BD=DI=CD=d，利用托勒密定理:
d*c+d*b=a*(AI+d)
从而得:AI=d*(b+c-a)/a。
(1)对于等腰ΔAOD，我们有∠AIO为锐角的充要条件是:AI>d，即b+c>2a。
同理可证(2),(3) 成立。
几何不等式-7
命题设ΔABC的三边长为BC=a,CA=b,AB=c，外心为O，重心为G。求证:
(1)∠AGO为锐角的充要条件是:b^2+c^2>2a^2;
(2)∠AGO为直角的充要条件是: b^2+c^2=2a^2;
(3)∠AGO为钝角的充要条件是: b^2+c^2<2a^2。
证明连AG并延长交圆O于D。BC边上的中线为ma，则AG=2*ma/3。易求得: DG=ma/3+a^2/(4*ma) 。
(1)对于等腰ΔAOD，我们有∠AGO为锐角的充要条件是:AG>DG，即b^2+c^2>2a^2。
同理可证(2),(3) 成立。
几何证明-2
命题在ΔABC中，BC=a,CA=b,AB=c，s为半周长，在BC上的一点M，使得ΔABM 与ΔACM的内接圆相等。求证: AM^2=s*(s-a)
证明设AM=x，依题意可得:
MB+MC=a (1)
MB/MC=(x+c+MB)/(x+b+MC) (2)
(2) 等价于MB/MC=(x+c)/(x+b)
据(1),(2) 式可得:
MB=(x+c)*a/(2x+b+c) MC=(x+b)/(2x+b+c) ，
由余弦定理得:
MB/MC=(x^2-c^2+MB^2)/(-x^2+b^2-MC^2) (3)
所以(x+c)/(x+b)= (x^2-c^2+MB^2)/(-x^2+b^2-MC^2) (4)
将MB=(x+c)*a/(2x+b+c) MC=(x+b)/(2x+b+c) 代入(4) 式化简整理得:
(x+b)*(x+c)*[4x^2+a^2-(b+c)^2]=0，
故得: AM^2=s*(s-a)
经典几何-1
命题在平行四边形ABCD边AB,BC,CD,DA上分别取点K,L,M,N，如果所取这四个点为顶点的四边形KLMN的面积等于平行四边形ABCD的面积的一半，求证:四边形KLMN 至少有一条对角线平行于平行四边形ABCD边。
证明在平行四边形ABCD中，设∠DAB=θ,AD=a,AB=b. 则四边形KLMN的面积等于平行四边形ABCD的面积减去三角形△AKN, △BKL, △CLM, △DMN的面积之和。由面积
公式不难求得:
△AKN的面积=(1/2)*AN*AK*sinθ，
△BKL的面积=(1/2)*BL*(b-AK)* sinθ，
△CLM的面积=(1/2)*(a-BL)*(b-MD)*sinθ，
△DMN的面积=(1/2)*(a-AN)*MD* sinθ，
平行四边形ABCD的面积=ab* sinθ
所以四边形KLMN的面积等于
=(1/2)*ab*[1-(AN-BL)*(AK-MD)/ab]*sinθ。
另一方面,据已知条件,四边形KLMN的面积等于(1/2)*ab* sinθ。
比较四边形KLMN的面积的两种计算结果，可见:
(AN-BL)*(AK-MD)=0
于是，或者AN=BL，从而LN∥AB; 或者KA=MD，从而KM∥AD。故命题得证。
几何不等式-8
命题设P是平行四边形ABCD内一点，求证: PA*PC+PB*PD≥AB*BC
并指出等号成立条件。
证明作PQ平行且等于CD，连CQ,BQ，则四边行CDPQ与ABQP均为平行四边形，所以CQ=PD,BQ=PA,PQ=AB=CD。
在四边形PBQC中，由Ptoiemy不等式有
BQ*PC+PB*CQ≥PQ*BC 即PA*PC+PB*PD≥AB*BC
等号成立当且仅当P,B,Q,C四点共圆，即∠CPB+∠CQB=π,而∠CQB=∠APD。所以不等式等号成立的条件为: ∠CPB+∠APD=π。证毕。
据此证明该题可作如下改动
命题设P为平行四边形ABCD内一点，满足∠CPB+∠APD=π，则有
PA*PC+PB*PD=AB*BC。
经典几何-2
命题圆与圆有5种关系，相离，外切，相交，内切，相含。三角形有三个圆，即外接圆，内切圆及九点圆。问三角形上述三个圆的关系
解九点圆：三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半，半径为R/2。
外接圆：以三角形的三条中垂线的交点为圆心，这个点到三角形顶点的距离为半径的圆，半径为R。
内切圆：以三角形三个内角的角平分线的交点为圆心,圆心到任意一边的距离相等，半径为r。设三角形ABC的九点圆心为Q，外接圆心为O，内切圆心为I，三角形ABC半周长为s，则易求得:
OQ=[√(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)]/2,OI=√[R(R-2r)],IQ=(R-2r)/2.
根据圆与圆有5种关系，相离，外切，相交，内切，内含。可判断:
(1),九点圆与内切圆的两半径差等于R/2-r=IQ=(R-2r)/2，故内切圆I内切于九点圆Q，即两圆内切。
(2),易证R-r>OI=√[R(R-2r)],<==>r^2>0，所以外接圆内含内切圆，即两圆内含。
(3),外接圆与九点圆，当三角形为锐角时外接圆内含九点圆，R/2>[√(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)]/2,<==>s>2R+r; 当三角形为直角时九点圆内切于外接圆，R/2=[√(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)]/2,<==>s=2R+r;当三角形为纯角时九点圆与外接圆相交，3R/2>[√(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)]/2,<==>s^2>4Rr+r^2.
几何证明-3
命题己知P为正五边形ABCDE的外接圆AE圆弧上一点。
求证:PA+PC+PE=PB+PD
证明设正五边形的边长和对角线分别为a,f。据托勒密定理，
在圆内接四边形PABE中，
PA*f+PE*a=PB*a (1)
在圆内接四边形PADE中，
PA*a+PE*f=PD*a (2)
(1)+(2)得:
PA*f+PE*a+ PA*a+PE*f=(PB+PD)*a (3)
在圆内接四边形PACE中，
PA*f+PE*f=PC*a (4)
将(4)式代入(3)式得:
a*(PA+PC+PE)=a*(PB+PD)
因为a≠0,所以PA+PC+PE=PB+PD，证毕。
共点线与共线点-1
命题在等腰△ABC中，∠B=∠C=40°，P，Q为等腰△ABC形内两点，且∠PAB=∠QAC=20°，∠PCB=∠QCA=10°。求证:B，P，Q三点共线。
证明以BC为一边，在A点的同侧作正三角形DBC，连DA，BQ。
易知AB=AC，可知DA为BC的中垂线，由∠QCA=10度得∠QCB=30度，
可知CQ为BD的中垂线，所以有∠QCD=30度=∠ADC。
由∠QAC=20度=∠ADC，有AQ∥DC，可知四边形AQCD为等腰梯形，即AD=QC，
进而ΔABD≌ΔBQC，得BA=BQ。
在ΔABQ中，可知∠QBA=20度，所以∠QBC=20度。
在BA延长线上取一点E，使BE=BC，连EP，EC，BP，
可知∠PCE=(180-40)/2-10=60度，
∠EAC=80度=∠PAC。进而ΔEAC≌ΔPAC。得PC=PE，所以ΔPEC为正三角形，
有PC=PE，可知BP为EC的中垂线。于是∠PBC=∠EBC/2=20度=∠QBC。
因此B,，P，Q三点共线。
几何证明题-4
命题在△ABC中,∠A＝120°,K、L分别是AB、AC上的点，且BK=CL，以BK,CL为边向△ABC的形外作正三角形BKP和CLQ。证明：PQ=BC 。
证明延长直线PK与QL交于O，根据正三角形BPK,正三角形CQL及∠A＝120°,显然可证:四边形OLAK为平行四边形，所以AK=LO,AL=KO。又因为BK=CL，
故PO=PK+KO=BK+AL=CL+AL=AC;QO=QL+LO=CL+AK=BK+AK=AB。
而∠POQ=120°，所以△ABC≌△PQO。故PQ=BC。
几何证明题-5
命题在△ABC中,∠A＝120°,K、L分别是AB、AC上的点，且BK+AC=CL+AB，以B K,CL为边向△ABC的形外作正三角形BKP和CLQ。证明：PQ=BC 。
证明延长直线PK与QL交于O，根据正三角形BPK,正三角形CQL，∠A＝120°及BK+AC=CL+AB，,显然可证:四边形OLAK为菱形，所以AK=LO=AL=KO。
故PO=AB，QO= AC。而∠POQ=120°，所以△ABC≌△PQO。故PQ=BC。
几何不等式-9
命题在△ABC中,∠A＝120°,K、L分别是AB、AC上的点，且BK+AC≥CL+AB，BK≥CL，以BK,CL为边向△ABC的形外作正三角形BKP和CLQ。证明：PQ≥BC 。
证明延长直线PK与QL交于O，令AC=b,AB=c，BK=x,CL=y。
根据正三角形BPK,正三角形CQL及∠A＝120°,
显然可证:四边形OLAK为平行四边形，所以AK=LO,AL=KO,∠POQ＝120°。
据此得:
PO=PK+KO=BK+AL=x+b-y，QO=QL+LO=CL+AK=y+c-x。
在三角形PQO中，根据余弦定理得:
PQ^2=PO^2+QO^2-2*PO*QO*cos120°=PO^2+QO^2+PO*QO
=(x+b-y)^2+(y+c-x)^2+(x+b-y)*(y+c-x)
=b^2+(x-y)^2+2b*(x-y)+c^2+(x-y)^2-2c*(x-y)+bc+(c-b)*(x-y)-(x-y)^2
=b^2+c^2+bc+(x-y)^2+(b-c)*(x-y)
=BC^2+(x-y)*(b+x-c-y)
因为BK≥CL,即x≥y,BK+AC≥CL+AB,即x+b≥c+y。
所以(x-y)*(b+x-c-y)≥0,
因此PQ≥BC 。
当BK+AC=CL+AB或BK=CL时取等号。
几何不等式-10
命题在△ABC中,∠A＝120°,K、L分别是AB、AC上的点，且BK+AC≥CL+AB，BK≤CL 以BK,CL为边向△ABC的形外作正三角形BKP和CLQ。证明：PQ≤BC 。
证明延长直线PK与QL交于O，令AC=b,AB=c，BK=x,CL=y。
根据正三角形BPK,正三角形CQL及∠A＝120°,
显然可证:四边形OLAK为平行四边形，所以AK=LO,AL=KO,∠POQ＝120°。
据此得:
PO=PK+KO=BK+AL=x+b-y，QO=QL+LO=CL+AK=y+c-x。
在三角形PQO中，根据余弦定理得:
PQ^2=PO^2+QO^2-2*PO*QO*cos120°=PO^2+QO^2+PO*QO
=(x+b-y)^2+(y+c-x)^2+(x+b-y)*(y+c-x)
=b^2+(x-y)^2+2b*(x-y)+c^2+(x-y)^2-2c*(x-y)+bc+(c-b)*(x-y)-(x-y)^2
=b^2+c^2+bc+(x-y)^2+(b-c)*(x-y)
=BC^2+(x-y)*(b+x-c-y)
因为BK≤CL,即x≤y,BK+AC≥CL+AB,即x+b≥c+y。
所以(x-y)*(b+x-c-y)≤0,
因此PQ≤BC 。
当BK+AC=CL+AB或BK=CL时取等号。
几何证明题-6
命题设ΔABC的三边长为BC=a,CA=b,AB=c，外心为O，类似重心为K。求证:
(1)∠AKO为锐角的充要条件是:b^2+c^2>2a^2;
(2)∠AKO为直角的充要条件是: b^2+c^2=2a^2;
(3)∠AKO为钝角的充要条件是: b^2+c^2<2a^2。
证明连AK并延长分别交边BC及圆O于D与A’。BC边上的中线为ma，易求得: AK=2*b*c*ma/(a^2+b^2+c^2) ，AD=2*b*c*ma/(b^2+c^2),
KD=2*a^2*b*c*ma/[(a^2+b^2+c^2)* (b^2+c^2)],
BD=a*c^2(b^2+c^2)/,CD=a*b^2/(b^2+c^2)
所以据BD*CD=AD*A’D，得:A’D=a^2*b*c/[2*ma*(b^2+c^2)]
故A’K=A’D+DK=3*a^2*b*c/[2*ma*(a^2+b^2+c^2)]。
(1)对于等腰ΔAOA’，我们有∠AKO为锐角的充要条件是:AK>A’K，
即2*b*c*ma/(a^2+b^2+c^2)> 3*a^2*b*c/[2*ma*(a^2+b^2+c^2)] ，
4*(ma)^2>3*a^2 b^2+c^2>2a^2。
同理可证(2),(3) 成立。
几何证明题-7
命题设ΔAB C的三边长为BC=a,CA=b,AB=c，外心为O，垂心为H。求证:
(1)∠AHO为锐角的充要条件是:tanB*tanC>3;
(2)∠AHO为直角的充要条件是: tanB*tanC =3;
(3)∠AHO为钝角的充要条件是: tanB*tanC <3。
证明连AH并延长分别交边BC及圆O于D与A’。易求得:
AH=2R*cosA，HD=A’D=2R*cosB*cosC，
故A’H=4R* cosB*cosC.
(1)对于等腰ΔAOA’，我们有∠AHO为锐角的充要条件是:AH>A’H，
即2R*cosA >4R* cosB*cosC <=> tanB*tanC>3;
同理可证(2),(3) 成立。
几何不等式-11
命题在非纯角ΔABC中，设ma,mb,mc;R分别表示的三中线及外接圆半径.
求证:ma+mb+mc≥4R
证明在非纯角ΔABC中，设A=max(A,B,C)，G,O分别表示ΔABC的重心与外心，则O点必落在ΔBGC中，
故有:BG+CG>BO+CO，
而BG=2*mb/3,CG=2*mc/3，BO+CO=R，
所以mb+mc>3R (1)
又因为ma≥R (2)
(2)式当∠A=π/2时取等号。
(1)+(2)即得所证不等式。
经典几何-3
命题试证到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心。
上述重心性质可改述为:
命题在ΔABC中，G是重心,M是平面上任一点。求证;
MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2
证明ΔABC的三条中线AD,BE,CF交于G，不妨设M在ΔBGC内。
对于ΔAMD和G，由斯特瓦尔定理得;
MA^2*DG+MD^2*AG-MG^@*AD=AD*DG*AG
因为DG=AD/3,GA=2AD/3，代入整理得:
3*MG^2=MA^2+2*MD^2-2*AD^2/3 (1)
容易算出，在ΔMBC和ΔGBC中有
MD^2=(MB^2+MC^2)/2-BC^2/4
GD^2=(GB^2+GC^2)/2-BC^2/4
将上述两式代入(1) 式得:
3*MG^2=MA^2+MB^2+MC^2-(GB^2+GC^2)+2GD^2-2*AD^2/3
= MA^2+MB^2+MC^2-( GA^2+GB^2+GC^2)
所以MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2
从等式显然可看出, 当M异于G时，有
MA^2+MB^2+MC^2>GA^2+GB^2+GC^2
所以到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心。
几何证明-8
命题在ΔABC中,各边不相等，O,I,H,Q分别为外心，内心,垂心与九点圆心，如果三角形ABC三个内角成等差数列。求证:IQ⊥OH.
证明(1) 因为三角形ABC三个内角成等差数列，所以有一角必为π/3。记A=π/3，R 为外接圆半径。则AH=2RcosA=R=AO，又因为AI平分∠OAH，所以ΔAHI≌ΔAOI，即IH=IO。
由于九点圆心在欧拉线OH上且平分线段OH。因此AI⊥OH. 证毕。
证明(2) 因为三角形ABC三个内角成等差数列，所以有一角必为π/3。记A=π/3，R,r,s 分别为ΔABC外接圆半径, 内切圆半径和半周长。
根据己知恒等式:s=3RsinA+rcot(A/2)=(R+r)√3
而IH^2=4R^2+4R*r+3r^2-s^2，OI^2=R*(R-2r) 。
所以IH^2=4R^2+4R*r+3r^2-s^2= 4R^2+4R*r+3r^2-3(R+r)^2= R*(R-2r)=OI^2，
即IH=IO.
又因为九点圆心在欧拉线OH上且平分线段OH。
因此AI⊥OH. 证毕。
几何计算-2
命题设ABCD是一个矩形,BC上有一点M,CD上有一点N，连接AM,MN,AN，S三角形ABM=4，S三角形CMN=3，S三角形ADN=5,求S三角形AMN=?
解设AB=CD=a, BC=DA=b, BM=x, DN=y, 故有CM=b-x, CN=a-x
所以2*S三角形ABM =8=ax, 2*S三角形CMN =6 =(b-x)(a-y), 2*S三角形ADN =10 =by. 因此有ab*xy =80; ab+xy=24
据此可得：ab=20,xy=4.
而2*S三角形AMN=2ab-ax-by-(a-y)(b-x)=ab-xy =20-4=16，
所以S三角形AMN=8。
几何计算-3
命题设ABCD是一个平行四边形,BC上有一点M,CD上有一点N，连接AM,MN,AN，ΔABM的面积S1=4，ΔCMN的面积S2=3，ΔADN的面积S3=5,求ΔAMN的面积S4.
解设sin∠ABC=sin(π-∠BCD)=T,AB=CD=a, BC=DA=b, BM=x, DN=y,
故有CM=b-x, CN=a-x
所以2*S1=8=ax*T, 2*S2=6 =(b-x)(a-y)*T, 2*S3 =10 =by*T.
因此有ab*xy*T^2 =80; ab*T+xy*T=24
据此可得：ab*T=20,xy*T=4.
而2*S4=[2ab-ax-by-(a-y)(b-x)]*T=(ab-xy )*T=20-4=16，
所以S4=8。
几何计算-4
命题已知三角形三边为连续偶数，且满足cosA+cosB+cosC=7/5。求该三角形的面积。解设三边为2n-2、2n、2n+2,利用余弦定理代入计算
(n^2-4n)/[2n(n-1)]+(n^2+2)/[2(n-1)(n+1)]+(n^2+4n)/[2n(n+1)]=7/5
<==> (3n^2-6)/[2(n^2-1)]=7/5
<==> n^2=16 <==> n=4.
所以三角形三边为6,8,10.
而6^2+8^2=10^2,三角形ABC是直角三角形
三角形的面积=6*8/2=24.
几何证明-9
问题试证:对边之和相等的四边形必有内切圆。
命题已知在四边形ABCD中，AB+CD=BC+AD。求证四边形ABCD有内切圆。
证明不妨设AB>AD,BC>CD，因为AB+CD=BC+AD，所以AB-AD=BC-CD。在AB 上取点M, 使AM=AD; 在BC上取点N, 使CN=CD，所以BM=BN。即△ADM, △CDN, △BMN都是等腰三角形。故A,B,C三角的平分线，必是△DMN三边的垂直平分线，它们交于一点O，O点到四边形ABCD的四边的距离相等，所以必存在以O为中心一圆内切四边形。
几何证明-10
问题若引自三角形一顶点的高，角平分线，中线四等分这顶角，则此三角形为直角三角形。
命题己知ΔABC的高AH，∠A的分角线AD，BC上的中线AM，且∠BAH=∠HAD=∠DAM=∠MAC。求证∠BAC=90°.
证明延长AD交ΔABC的外接圆于N, 连NM。
∵∠BAD=∠CAD,∴N为圆弧BC的中点。
∵M为BC的中点，∴MN⊥BC.
∵AH⊥BC, ∴AH∥MN, ∴∠ANM=∠HAD=∠NAM, ∴MA=MN.
∵MN与MA不重合，而MN所在的直线必过ΔABC外接圆圆心.
故M必为外接圆圆心，∴BC为直径，∴∠BAC=90°. 证毕。
几何证明-11
命题己知在△ABC中，BE和CF分别∠B,∠C的平分线，AM⊥CF,AN⊥BE, 垂足分别为M,N。求证(1),MN∥BC;(2),MN=(AB+AC-BC)/2.
证明分别延长AM与AN交BC[或BC延长线于点P,Q]
(1),因为∠ABN=∠CBN, AN⊥BE，所以AN=NQ。
同理可证:AM=MP，
所以MN∥PQ，即MN∥BC。
(2), 因为PC=AC,BQ=AB, 即
PQ+QC=AC (X)
BP+PQ=AB (Y)
(X)+(Y)得: BC+PQ=AB+AC, 即
PQ=AB+AC-BC
又因为MN=PQ/2, 所以MN=(AB+AC-BC)/2. 证毕。
几何证明-12
命题己知AD,BE,CF分别为锐角三角形ABC的三边上的高, 作DP⊥AB,DQ⊥AC，P,Q为垂足.求证:(1),PQ=(DE+DF+EF)/2；(2) 如果∠A为钝角，则PQ=(DE+DF-EF)/2.
证明DE^2=CD^2+CE^2-2CD*CE*cosC=b^2cosC^2+a^2cosC^2-2abcosC^3
=cosC^2(a^2+b^2-2abcosC)=cosC^2*c^2
所以DE=c*cosC
同理EF=a*cosA ，DF=b*cosB
PQ^2=AP^2+AQ^2-2AP*AQcosA
=b^2sinB^2sinC^2+c^2sinB^2sinC^2-2bcsinB^2sinC^2cosA
=sinB^2sinC^2(b^2+c^2-2bc*cosA)
=a^2sinB^2sinC^2
=a^2*b^2*c^2/16R^4(R为三角形外接圆半径)
所以PQ=abc/4R^2
所以(DE+DF+EF)/PQ
=cosC/sinAsinB+cosB/sinAsinC+cosA/sinBsinC
=-(cotAcotB-1+cotBcotC-1+cotCcotA-1)
=-(1-3) =2
所以PQ=(DE+DF+EF)/2
(注：cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
几何证明-13
命题以三角形ABC的各边为边，分别向形外作正多边形，若它们的边数分别为m,n,p 且三个正多边形各自的外接接圆共点。求证:1/m+1/n+1/p=1
证明设以BC,CA,AB为边所作的正多边形的边数分别为m,n,p，三正多边形各自的外接圆交于O。则
∠BOC+∠COA+∠AOB=(π-π/m)+(π-π/n)+(π-π/p)=2π
故1-1/m+1-1/n+1-1/p=2
即1/m+1/n+1/p=1，证毕。
几何证明-14
命题在△ABC中，其内切圆切BC于D，求证: △ABD与△ACD的内切圆相切。
证明设△ABD与△ACD的内切圆分别切AD于H,K。则
AH=(AB+AD-BD)/2;AK=(AC+AD-CD)/2
因为BD=(AB+BC_AC)/2; CD=(AC+BC-AB)/2。
所以AH=(2AB+2AC-AB-BC+AC)/4=(AB+2AD+AC-BC)/4;
AK=(2AC+2AD-AC-BC+AB)/4=(AB+2AD+AC-BC)/4
因此AH=AK，于是点H,K重合, 故△ABD与△ACD的内切圆相切。证毕.
几何证明-15
命题已知边数分别为m,n,k的三个正多边形的各一内角之和为2π。求证:
1/m+1/n+1/k=1/2
证明因为边数分别为m,n,k的三个正多边形的内角为:
(m-2)π/m; (n-2)π/n; (k-2)π/k。
根据题设条件: (m-2)π/m+(n-2)π/n+(k-2)π/k=2π
<==> 1-2/m+1-2/n+1-2/k=2
<==> 1/m+1/n+1/k=1/2。证毕
几何证明-16
命题设正七边形的边长为a, 两对角线分别为m,n。求证:1/m+1/n=1/a。
证明设ABCDEFG为正七边形，较长的对角线为m, 较短的对角线为n。延长CB,GA
交于K，即GC=m,AC=n.
∵AB∥CG,∴AB/GC=BK/KC. (1)
又∵∠KAB=π-∠BAG=π-5π/7=2π/7,
∠BCA=∠BAC=π/7. ∴∠K=∠KAC,KC=AC=n，
∴AB/AC=AB/KC (2)
(1)+(2)得:AB/GC+AB/KC=(BK+AB)/KC=KC/KC=1，
即a/m+a/n=1 <==> 1/m+1/n=1/a。证毕。
几何证明-17
命题己知a,b,c分别是同一外接圆中正五边形，正六边形和正十边形的边长。求证:
a^2=b^2+c^2
证明设外接圆半径为1，则
a=sin(π/5)，b= sin(π/6)=1/2，c= sin(π/10)。
令T=[sin(π/5)]^2-1/4-[ sin(π/10)]^2
T=1-[cos(π/5)]^2-1/4-[1- cos(π/5)]/2
4T=4-4*[cos(π/5)]^2-1-2*[1- cos(π/5)]
4T=-4*[cos(π/5)]^2+2 *cos(π/5)+1
注意到: cos(π/5)=(1+√5)/4,将其代入T式中得T=0。
所以[sin(π/5)]^2=1/4+[ sin(π/10)]^2，即a^2=b^2+c^2，证毕。
几何证明-18
命题试证:三角形九点圆直径等于此三角形外接圆半径。
证明欧拉线:三角形垂心H，重心G，外心O在一直线上.三角形九点圆圆心Q在欧拉线上，且平分OH。设AD是△ABC的高,H为垂心，O为外心，L，P为BC与AH的中点，而连结PL交OH于K，PL即为此三角形的九点圆直径，K即为此三角形的九点圆心。连OA，在△OHA中，因为HP=PA，HK=KO，所以KP=AO/2。
故三角形九点圆直径等于此三角形外接圆半径。证毕。
几何证明-19
命题己知P为正七边形ABCDEFG的外接圆AG圆弧上一点。求证:
PA+PC+PE+PG=PB+PD+PF
证明设正七边形的边长较短对角线和较长对角线分别为a，m，n。据托勒密定理，在圆内接四边形PABG中，
PA*m+PG*a=PB*a (1)
在圆内接四边形PAFE中，
PA*a+PG*m=PF*a (2)
(1)+(2)得:
PA*m+PG*a+ PA*a+PG*m= PB*a+ PF*a (3)
在圆内接四边形PABD中，
PA*m+PD*a=PB*n 即PA*m=PB*n-PD*a (4)
(4)代入(3)式得:
PB*n+PG*a+PA*a+PG*m=a*(PB+PD+PF) (5)
在圆内接四边形PBDG中，
PB*n+PG*m=PD*m (6)
(6)代入(5)式得:
PA*aPG*a+PG*m= a*(PB+PD+PF) (7)
在圆内接四边形PCDE中，
PC*a+PE*a=PD*m (8)
(8)代入(7)式得:
a*(PA+PC+PE+PG)=a*(PB+PD+PF)
因为a≠0,所以PA+PC+PE+PG=PB+PD+PF，证毕。
几何证明-20
命题设一凸四边形ABCD的面积为S，由对角线抡它分成四个三角形的面积分别为a,b,c,d。
求证:abcdS^4=[(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)]^2
证明设面积a与b的两个三角形和面积c与d的两个三角形分别位于凸四边形ABCD 的对角线AC的两旁，两对角线AC和BD交于O。则
a/(a+b)=AO/AC=d/(c+d)=(a+d)/(a+b+c+d)=(a+d)/S，
同理:b/(b+c)=(a+b)/S; c/(c+d)=(b+c)/S; d/(d+a)=(c+d)/S.
四式相乘得:
abcd/[(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)]= (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)/S^4,
所以abcdS^4=[(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)]^2. 证毕。
几何计算-5
命题在边长为12的正六边形ABCDEF内部有一点P，己知点P到某两个顶点距离分别为13与5。求点P到其余四个顶点距离。
解因为边长为12的正六边形ABCDEF对角线为12√3和24而13+5=18小于12√3，大于12,所以这两个顶点是相邻的。
设PA=13,PB=5，又因为PA^2-PB^2=AB^2，所以∠ABP为直角。
于是点P位在对角线BD上，连CF, 交BD于H，则
PD=12√3-5;
PE=√(PD^2+DE^2)= √[(12√3-5)^2+144]= √(601-120√3);
PF=√(PH^2+HF^2)= √[(6√3-5)^2+(24-6)^2]= √(457-60√3);
PC=√(PH^2+HC^2)= √[(6√3-5)^2+36]= √(169-60√3).
几何证明-21
命题求证: 圆内接正六边形的面积为同圆内接正三角形面积与外切正三角形面积的比例中项。
证明设圆O半径为R，S1为圆O内接正三角形面积，S2为圆O外切正三角形面积，S为圆O内接正六边形的面积。则
S1=(3√3) R^2/4，S2=(3√3) R^2，S=(3√3) R^2/2
显然S^2=S1*S2。证毕。
几何证明-22
命题设正△ABC的外接圆半径为R，P为其外接圆上任一点，
求证:PA^2+PB^2+PC^2=6R^2
证明不妨设P在劣弧BC上，过C点作CD⊥BP，交BP的延长线于D，则
∠CPD=∠BAC=π/3,2PD=PC
BC^2=BD^2+CD^2=(PB+PD)^2+CD^2
=PB^2+2PB*PD+PD^2+CD^2
=PB^2+PB*PC+PC^2。
因为PA=PB+PC，所以
PA^2+PB^2+PC^2=2*(PB^2+PC^2+PB*PC)=2BC^2。
而BC=R√3,故PA^2+PB^2+PC^2=6R^2。证毕。
几何证明-23
命题设P是正△ABC的内切圆上任意一点，
求证:PA^2+PB^2+PC^2为一常数。
证明设正△ABC的内切圆半径为r，中心为O，连AO，BO，CO分别交其内切圆于D，E，F。显然△DEF为正三角形，且D，E，F分别是AO，BO，CO的中点。
根据三角形中线公式得;
2(PO^2+PA^2)=AO^2+4PD^2 (1)
2(PO^2+PB^2)=BO^2+4PE^2 (2)
2(PO^2+PC^2)=CO^2+4PF^2 (3)
(1)+(2)+(3)得:
6r^2+2(PA^2+PB^2+PC^2)=12r^2+4(PD^2+PE^2+PF^2)
注意到恒等式: PD^2+PE^2+PF^2=6r^2
所以PA^2+PB^2+PC^2=15r^2。证毕。
经典几何-4
命题△ABC边BC，CA，AB上的点D，E，F分别内分各边的比t:(1-t) 。
求证: 线段AD，BE，CF构成一个三角形的三边，记此三角形的面积为S，△ABC的面积为△。则有S=(1-t+t^2)*△
证明过D作DG∥BE,EG∥BD交于G，四边形BDGE为平行四边形，
所以∠CEG=∠BCA。
又CE=tCA,EG=BD=tBC，所以△ABC∽△CGE.
于是∠GCE=∠BAC，GC=tAB=AF，从而CG∥AF。
进而AG平行等于CF。这说明△ADG即是以AD，BE，CF为三边长组成的三角形。
再由三角形的面积公式，有
S(ABC)/△=BD/BC=t，S(ACG)/△=S(ACF)/△=AF/AB=t。
S(DCG)/△=DC*CG*sin∠DCG/BC*AB*sinB=DC*CG/BC*AB
=(DC/BC)*(AF/AB)=(1-t)t。
于是S(ABD)=S(ACG) ，S(DCG)=t(1-t)△。
从而由S=△+S(ACG)-S(ABD)-S(DCG) 即得:
S=△-t(1-t)△=(t^2-t+1)△。证毕。
备注: (1)特别地当t=1/2时，D，E，F分别为△ABC的三边的中点，即1-t-t^2=3/4。故三角形的三中线构成的一个新三角形，且新三角形的面积为原三角形面积的3/4。
(2)AD，BE，CF两两交点构成的小三角形面积等于△*(2t-1)^2/(t^2-t+1).
几何证明-24
命题由平行四边形ABCD的顶点A引它的两条高AE，AF. 设AC=a,EF=b，求A点到△AEF的垂心H的距离。
证明-1 连AH，EH，FH，过C作CG⊥AD交AD于G，连EG，FG。
显然四边形AECG是矩形，AC=EG=a，AE=CG.。
因为H为△AEF的垂心，EH⊥AF，又AF⊥CD，所以EH∥CD。
同理可证FH∥BC，从而知四边形HECF是平行四边形。
因为AE=CG，EH=CF，∠AEH=∠GCF，所以△AEH≌△GCF，
因此可得AH平行等于GF。
又因为AH⊥EF，所以GF⊥EF。
在Rt△EFG中，GF^2=EG^2-EF^2=AC^2-EF^2=a^2-b^2
故AH=√(a^2-b^2)。证毕。
证明-2 连AH，EH，FH，在FD上取点G，使CF=GF，连HG，AG。
易证EH=CF=FG，EF=HG。
因为AF⊥CG，且F是CG的中点，所以AC=AG。
于是由勾股定理可得:AH=√(a^2-b^2) ，证毕。
几何证明-25
命题在正△ABC的边BC上任取一点D，设△ABD与△ACD的内心分别为I，P，外心分别为O，Q。求证:(IO)^2+(PQ)^2=(IP)^2
证明连AO，AQ，AI，DO，DQ，DI，DP，以A点为原点将△ABD旋转60°度，此时B与C重心，D的对应点D’在AC外侧。显然A,D,C,D’四点共圆，
据此可得:O与Q重合。于是OQ=AO=AQ=OD=QD，
也就是说，△AOQ，△DOQ都是正三角形，
因此得知O点在△ACD的外接圆上。
因为∠DIA=∠IDB+∠BAI+∠B=(∠BADD+∠ADB)/2+60°=120°=∠DOA。
因而△ABD的内心I也在△ACD的外接圆上。
同理: △ACD的内心P也在△ABD的外接圆上。
而OD，QD分别是△ABD，△ACD的外接圆的半径，
于是∠DIO=180°-∠OAD=180°-30°=150°=∠QPD。
又∠PDI=(∠CDA+∠BDA)/2=90°，∠ODQ=60°，
这样便有∠PDQ+∠ODI=30°，
而∠ODI+∠IOD=∠OAI+∠IAD=∠OAD=30°，
所以∠PDQ=∠IOD，从而△PDQ≌△IOD, 于是IO=PD。
在Rt△IDP中，有
(IO)^2+(PQ)^2=(ID)^2+(PD)^2=(IP)^2。证毕。
几何证明-26
命题设M为平行四边形ABCD的边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于E，且BC=2AB。求证：∠EMD=3∠MEA。
证明过E点作AD的平行线，过M点作AB的平行线，两者交于E’。
连CE’，DE’，CM。因为AE⊥CE，AE∥ME’，所以CE⊥ME’。
又M是AD的中点，AE∥CD，故ME’是线段的垂直平分线，
因而∠E’MC=∠E’ME=∠AEM。
又因为MD=CD，ME’∥CD，所以∠DMC=∠DCM=∠E’MC，
于是有:∠EMD=∠E’ME+∠E’MC+∠DMC=3∠AEM。证毕。
几何证明-27
命题等边三角形边长为a,在BC的延长线上取点D,使CD=b,在BA的延长线上取点E，使AE=a+b.
求证EC=ED。
证明延长BD至F，使得:DF=a，连EF。
因为∠EBF=60度，BF=BC+CD+DF=a+b+a=2a+b=BA+AE=BE。
所以ΔBEF为等边三角形，∠BFE=∠EBF=60度，
又因为BC=DF=a，BE=EF=2a+b，所以ΔBCE≌ΔDEF，
故CE=DE。证毕。
代数法
解在△CAE中，AE=a+b,AC=a，∠CAE=120°，由余弦定理得:
CE^2=a^2+(a+b)^2+a(a+b)=3a^3+3ab+b^2。
在△DBE中，BD=a+b,BE=2a+b，∠DBE=60°，由余弦定理得:
DE^2=(a+b)^2+(2a+b)^2-(a+b)(2a+b)=3a^2+3ab+b^2。
所以EC=ED 。
经典几何-5
命题在已知△ABC所在的平面上，求一点P，使PA+PB+PC为最小。
解17世纪法国数学家P.Fermat曾向伽利略的学生托里拆里提出以下有趣的著名问题: 在△ABC的平面上求一点P,使P点到△ABC三顶点的距离之和为最小．托里拆里用好几种方法解决了这一问题，得出结论:(1),当△ABC的最大内角小于120°时，则在△ABC形内存在一点P使∠BPC=∠CPA=∠APB=120°，这点即是使PA+PB+PC为最小的点；(2),当△ABC的最大内角不小于120°时，则当P为最大内角所在的顶点时，PA+PB+PC为最小。这点称作费马点。下面仅对情况(1) 进行讨论。
设P是△ABC内一点，连PA，PB，PC。以AB为边向外作正三角形ABA’，则A’为一确定点。以PB为边作正三角形BPP’ ，由于P点是变动的，所以P’ 也是变动的。
但是，因为BP=BP’，BA=BA’，∠PBA=∠P’BA’=60°-∠ABP’，所以ΔABP≌ΔA’BP’，故PA=P’A’。又因为PB=BP’=PP’，所以有PA+PB+PC=P’A’+PP’+PC。
因为A’是定点，P是可选择的动点，且P’随P而变。现在我们要讨论的PA+PB+PC 即是A’ ，C之间的折线A’P’PC的长度何时取得最小值的问题了。显然，当这四点在同一直线上时，长度为最小。此时，因为∠PBP’=∠BP’P=60°，所以∠BPC=∠BP’A’=120°，即∠APB=120°，所以∠CPA=120°。这就是我们要求的结论。
具体的P点位置: 设△ABC的最大内角小于120°，分别以边BC，CA，AB为边向外作正△A’BC，正△AB’C，正△ABC’。则AA’，BB’，CC’交于一点P，P点就是的费马点。
经典几何-6
命题正六边形外接圆上任一点至六顶点的连结线，其中两长者的和必等于其余四者的和。
证明下面先证明这个命题，然后给出这一命题的推广。
设正六边形ABCDEF，任意点P在劣弧AB上。命题就是要求证:
PD+PE=PF+PA+PB+PC
连BF，BD，DF。显然△BDF是正三角形，在圆内接四边形PBDF中，根据托勒密定理得: BF*PD=PB*DF+PF*BD，
而BF=DF=BD，
所以PD=PB+PF。(1)
同样方式可证:PE=PA+PC。(2)
(1)+(2)得: PD+PE=PF+PA+PB+PC。证毕。
上述命题的推广
正3n边形外接圆上任一点至3n顶点的连结线，其中n长者的和必等于其余2n者的和。证法与上述相同，这里略。
几何计算-6
命题设三角形的角A，B，C对边分别是a,b,c重心和内心分别是G，I。且GI垂直于CI，求证(a+b+c)/3=2ab/(a+b)
证明根据三角形已知恒等式:
CI^2=ab(a+b-c)/(a+b+c) ，
CG^2=(2a^2+2b^2-c^2/9，
IG^2=(AI^2+BI^2+CI^2-AG^2-BG^2-CG^2)/3
=[2a^2(b+c)+2b^2(c+a)+2c^2(a+b)-a^3-b^3-c^3-9abc]/[9(a+b+c)] 。
在直角三角形CIG中，据勾股定理得:CG^2=CI^2+GI^2，即
(2a^2+2b^2-c^2/9- ab(a+b-c)/(a+b+c)=
[2a^2(b+c)+2b^2(c+a)+2c^2(a+b)-a^3-b^3-c^3-9abc]/[9(a+b+c)]
<==> 3[a^3+b^3+6abc-3ab(a+b)-c^2(a+b)]=0，
<==> (a+b)c^2-6abc-(a+b)(a^2+b^2-4ab)=0，
<==> (c-a-b)*[(a+b)c+a^2+b^2-4ab]=0。
所以得: (a+b)c+a^2+b^2=4ab，而c=a+b，不合题意，舍去。
而(a+b)c+a^2+b^2=4ab <==> (a+b)*(a+b+c)=6ab，
故(a+b+c)/3=2ab/(a+b) 。命题得证。
几何不等式-12
命题设P，Q，R，S分别是边长为1的正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，求证PQ+QR+RS+SP>=2√2.
证明设AP=x,BQ=y,CR=z,DS=w，则PB=1-x,QC=1-y,RD=1-z,SA=1-w。则有
六年级下册数学复习专题 图形与几何图形的认识、测量 量的计量 一、长度单位是用来测量物体的长度的。常用的长度单位有千米、米、分米、厘 米、毫米。 二、长度单位：1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米 1米=100厘米1米=1000毫米 三、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。常用面积单位：平方 千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。 四、测量和计算土地面积，通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地，面积 是1公顷。 五、测量和计算大面积的土地，通常用平方千米作单位。边长1000米的正方形 土地，面积是1平方千米。 六、面积单位： 》 1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米 七、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。常用的体积单位有：立方米、 立方分米（升）、立方厘米（毫升）。 八、体积单位：（1000） 1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1升=1000毫升 九、常用的质量单位有：吨、千克、克。 十、质量单位： 1吨=1000千克1千克=1000克 十一、常用的时间单位有： 世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。 … 十二、时间单位：（60）
1世纪=100年1年=12个月1年=4个季1个季度=3个月1个月=3旬大月=31天小月=30天平年二月=28天闰年二月=29天1天=24小时1小时=60分1分=60秒 十三、高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率；低级单位的名数改写成高级单位的名数应该除以进率。 十四、常用计量单位用字母表示：千米：km 米：m 分米：dm 厘米：cm 毫米：mm 吨：t 千克：kg 克：g 升：l 毫升：ml 平面图形【认识、周长、面积】 一、… 二、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。线段、射线都是直线上 的一部分。线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。 过一点可以画无数条直线、过两点只能画一条直线。 二、从一点引出两条射线，就组成了一个角。角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。角的大小的计量单位是（°）。 三、角的分类：小于90度的角是锐角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是钝角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。 四、相交成直角的两条直线互相垂直；在同一平面不相交的两条直线互相平行。同一平面内的两条直线有两种位置关系：平行和相交（垂直是相交的特殊情况）过直线上（外）一点只能画一条直线和已知直线垂直。 五、三角形是由三条线段围成的图形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。三角形有三条高。 六、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 按边分，可以分为等腰三角形和任意三角形(等边三角形是等腰三角形的特殊情况）。 七、)
2016-2017学年度第二学期期末考试 《画法几何》试卷 年级：学号：姓名：成绩： 一、填空题（20分） 1、特殊位置直线分为 ____________,_______________. 2、在画法几何中,一些常用的符号代表不同的含义：H代表_______、V代表________、W代表________。OX代表投影轴，是_________的交线。 2、根据投射线的类型,投影法可分为_________和__________两种。 4、与H面平行的直线，称为_______。与V面平行的直线，称为_______。与W面平行的直线，称为________。 7、建筑工程图的图线线型有________,_________,________,_________等 8、三视图的投影规律是___________,____________,___________. 9、直线和平面平行的判定规则是_________________,则______________. 二、单项选择题（20分） 1. 在下面的投影图中，表示交错两直线的是：（） (A) A (B) B (C) C (D) D
(A) 水平线 (B) 正平线 (C) 侧平线 (D) 一般倾斜直线 3. 在下图中：（） (A) C点在正垂线AB上 (B) C点不在正垂线AB上 (C) C点在侧平线AB上 (D) C点不在侧平线AB上 4. 下图所示AB、CD两直线的相对几何关系是：（） (A) 平行 (B) 相交 (C) 相交垂直 (D) 交错
(A) 水平面 (B) 侧垂面 (C) 铅垂面 (D) 一般倾斜平面 6. 下图所示正平面P与三角形平面ABC的交线是：（） (A) 正平线 (B) 水平线 (C) 铅垂线 (D) 一般倾斜直线 7. 下图所示五棱柱表面上一点K，其正确的侧面投影是：（） (A) A (B) B (C) C (D) D 8. 绘图仪器中分规的主要作用是：（） (A) 画圆或圆弧 (B) 是圆规的备用品 (C) 用来截量长度 (D) 等分线段 9. 图上标注的尺寸数字，表示物体的真实大小，尺寸的单位如果在图中附注没有声明，则为：（） (A) 毫米 (B) 厘米 (C) 米 (D) 根据绘图比例确定 10. 如果A点在H投影面上，则：（）
立体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB//PQ，BC//QR,则∠PQP等于（） A 030 B 030 C 0 150 D 以上结论都不对 2.在空间，下列命题正确的个数为（） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m//平面α，直线n在α内，则m与n的关系为（） A 平行 B 相交 C 平行或异面 D 相交或异面 5.经过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（） A 1个或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）
8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块 14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________ 三、解答题 15（10分）如图，已知E,F 分别是正方形ABCD A B C D -的棱AA 和棱CC 上的点，且
平面几何部分 教学目标： 1． 熟练掌握五大面积模型 2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 三、蝴蝶定理 b a S 2S 1 D C B A S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ① AD AE DE AF AB AC BC AG === ； ②2 2 :ADE ABC S S AF AG =△△：． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理 在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么 ::ABO ACO S S BD DC ??=． O F E D C B A
答： 答： 答： （1） （2） （3） 答： 答： 答： （4） （5） （6） 《画法几何》模拟试题（一） (考试时间：120分钟；考试方式：开卷) 一、选择填空题：判断下列各对直线的相对位置（平行、相交、交叉、相交垂直、交叉垂直）。（每小题2分，共12分）
三、分析绘图题：已知平面△ABC 的H 、V 投影，求出其对V 面的倾角β。（12分） 二、分析绘图题：已知三点A （20，25，30）、B （20，0，25）和C （25，30，0），画出点A 、B 、C 的投影图。（9分）
五、分析绘图题：已知△ABC 和平行四边形DEFG 互相平行，完成平行四边形DEFG 的V 面投影。（12分） 四、判断填空题：根据形体投影图上的标注，判别指定的棱线和平面对投影面的相对位置。（每空1分，共10分） AC 是 线 AF 是 线 BD 是 线 CE 是 线 EF 是 线 △ABC 是 面 △ACE 是 面 △AEF 是 面 △BCD 是 面 △CDE 是 面
六、分析绘图题：已知球面上点的某个投影，求作点的其余投影。（10分） 七、分析绘图题：根据台阶的正等轴测投影，作出其三面投影（尺寸从轴测投影中量取）（12分）
八、分析绘图题：根据形体的三面投影图，作出其正等轴测图（尺寸从投影图中量取）。（11分） 九、分析绘图题：已知圆锥被截切的V投影，试完成圆锥被截切后的H、W投影。（12分）
《画法几何》模拟试题（二） (考试时间：120分钟；考试方式：开卷) 一、选择填空题：判断下列各对直线的相对位置（平行、相交、交叉、相交垂直、交叉垂直）。（每小题2分，共12分） 答： 答： 答： （1） （2 （3） 答： 答： 答： （4） （5） （6）
图形与几何 （一）图形的认识、测量 量的计量 一、长度单位是用来测量物体的长度的。常用的长度单位有千米、米、分米、 厘米、毫米。 二、长度单位：1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米 1米=100厘米1米=1000毫米 三、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。常用面积单位：平方 千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。 四、测量和计算土地面积，通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地，面积 是1公顷。 五、测量和计算大面积的土地，通常用平方千米作单位。边长1000米的正方形 土地，面积是1平方千米。 六、面积单位： 1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米 七、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。常用的体积单位有：立方米、 立方分米（升）、立方厘米（毫升）。 八、体积单位：（1000） 1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1升=1000毫升 九、常用的质量单位有：吨、千克、克。 十、质量单位： 1吨=1000千克1千克=1000克 十一、常用的时间单位有： 世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。 十二、时间单位：（60） 1世纪=100年1年=12个月1年=4个季1个季度=3个月1个月=3旬大月=31天小月=30天平年二月=28天闰年二月=29天1天=24小时1小时=60分1分=60秒 十三、高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率；低级单位的名数改写成高级单位的名数应该除以进率。 十四、常用计量单位用字母表示：千米：km 米：m 分米：dm 厘米：cm 毫米：mm 吨：t 千克：kg 克：g 升：l 毫升：ml 平面图形【认识、周长、面积】 一、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。线段、射线都是直线上的一部分。线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。 二、从一点引出两条射线，就组成了一个角。角的大小与两边叉开的大小有关，
画法几何及机械制图期 末考试试卷 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
阅卷 得 分 四川核工业工程学校 2011年秋季期末考试画法几何及机械制图试卷（A ） （适用于班。满分100分，90分钟完卷。） 一、填空题（每空1分，共15分。） 1、GB/T 是指 。 2、标题栏一般位于图纸的 。 3、 比例分为三种，分别是：原值比例、放大比例和 。 4、机械图样上汉字一般写成 。 5、同一张图样中，同类图线的宽度应 。（选填一致或不一致） 6、斜度是一直线对另一直线或一平面对另一平面的 程度。 7、常用的投影法有中心投影法和 。 8、投射线由前向后方正投影面投射，在正面得到一个视图，称为 图。 9、 三视图的投影规律是： 、 、 。 10、通常规定，物体左右之间的距离为 ，前后之间的距离为 ，上下之间的距离为 。 11、 基本体分为平面体和 两类。 2、比例的含义是（ ）与（ ）之比。 3、同一张图样中，相同线型的宽度应（ ）。（选填一致或不一致） 4、绘制尺寸线、尺寸界线等时，应采用（ ）线。 5、绘制可见轮廓线时用（ ）线。 6、绘制中心线、对称线时应用（ ）线。 7、定位尺寸是指确定各组成部分之间的相对（ ）的尺寸。 8、斜度是一直线对另一直线或另一平面的（ ）程度。 9、锥度是正圆锥底圆直径与（ ）之比。 10、标注尺寸的三要素分别是尺寸界线、尺寸线、（ ）。 11、常用的投影法有中心投影法和（ ）。 12、正投影法的基本特性有真实性、积聚性、（ ）。 13、根据三视图之间的投影规律是长对正、宽相等、（ ）。 14、在物体的三视图中，俯视图反映物体的长度和（ ）； 19、基 本体可分为平面立体和（ ）两类。 18、物体左右之间距离为长，前后之间为宽，上下之间的距离 阅卷 得 分
线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，
图形与几何 一线和角 （1）线 * 直线 直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。 * 射线 射线只有一个端点；长度无限。 * 线段 线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。 * 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。 * 垂线 两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 （2）角 （1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 （2）角的分类 锐角：小于90°的角叫做锐角。 直角：等于90°的角叫做直角。 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。 二平面图形 1长方形 （1）特征 对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 （2）计算公式 c=2(a+b) s=ab 2正方形 （1）特征： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 （2）计算公式 c= 4a s=a2
3三角形 （1）特征 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。 （2）计算公式 s=ah/2 （3）分类 按角分 锐角三角形：三个角都是锐角。 直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。 钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。 4平行四边形 （1）特征 两组对边分别平行的四边形。 相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。（2）计算公式 s=ah 5 梯形 （1）特征 只有一组对边平行的四边形。 中位线等于上下底和的一半。 等腰梯形有一条对称轴。 （2）公式 s=(a+b)h/2=mh 6 圆 （1）圆的认识 平面上的一种曲线图形。 圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。 在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。 同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。 同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
阅卷 得 分 四川核工业工程学校 2011年秋季期末考试画法几何及机械制图试卷（A ） （适用于班。满分100分，90分钟完卷。） 一、填空题（每空1分，共15分。） 是指 。 2、标题栏一般位于图纸的 。 3、 比例分为三种，分别是：原值比例、放大比例和 。 4、机械图样上汉字一般写成 。 5、同一张图样中，同类图线的宽度应 。（选填一致或不一致） 6、斜度是一直线对另一直线或一平面对另一平面的 程度。 7、常用的投影法有中心投影法和 。 8、投射线由前向后方正投影面投射，在正面得到一个视图，称为 图。 9、 三视图的投影规律是： 、 、 。 10、通常规定，物体左右之间的距离为 ，前后之间的距离为 ，上下之间的距离为 。 11、 基本体分为平面体和 两类。 2、比例的含义是（ ）与（ ）之比。 3、同一张图样中，相同线型的宽度应（ ）。（选填一致或不一致） 4、绘制尺寸线、尺寸界线等时，应采用（ ）线。 5、绘制可见轮廓线时用（ ）线。 6、绘制中心线、对称线时应用（ ）线。 7、定位尺寸是指确定各组成部分之间的相对（ ）的尺寸。 8、斜度是一直线对另一直线或另一平面的（ ）程度。 9、锥度是正圆锥底圆直径与（ ）之比。 10、标注尺寸的三要素分别是尺寸界线、尺寸线、（ ）。 11、常用的投影法有中心投影法和（ ）。 12、正投影法的基本特性有真实性、积聚性、（ ）。 13、根据三视图之间的投影规律是长对正、宽相等、（ ）。 14、在物体的三视图中，俯视图反映物体的长度和（ ）； 19、基本体可分为平面立体和（ ）两类。 18、物体左右之间距离为长，前后之间为宽，上下之间的距离为（）。 20、最基本的平面立体有（）和棱锥。 22、R9是 （定 ）尺寸 。（选填定位尺寸或 定形尺寸） 23、尺寸排 列要清晰，平行的尺寸应按“（ ）尺寸在外 ，（） ）”的原则排列，避免尺寸线与尺寸界线的交叉。 24、三视图中（ ）是最重要的视图。 1、投射线与投影面垂直的平行投影法称为（ ） A 、中心投影 B 、斜投影法 C 、正投影法 2、在平行投影法中，正投影法的投射线与投影面（ ）。 A 、垂直 B 、平行 C 、相交 3、一个视图只能反映物体（ ）个方向大小。 A 、一 B 、二 C 、三 4、如果一个物体的长为3.6m ，那么在三视图上标注尺寸正确的是（ ） A 、3600 B 、3600mm C 、3.6m 5、主视图与俯视图都反映物体的（ ） A 、长度 B 、宽度 C 、高度 6、左视图与俯视图都反映物体的 （ ） 。 A 、长度 B 、宽度 C 、高度 7、在机械图样中，用正投影法画出物体的图形称为（ ）。 A 、视图 B 、画图 C 、透视图 9、细实线不可以作为下列（ ）用途。 A 、相交线 B 、过渡线 C 、相贯线 10、图样中尺寸单位一般为（ ）。 A 、m B 、cm C 、mm 11、.俯视图在主视图的（ ） A 、 下方 B 、 左方 C 、 右方 12、尺寸界线与尺寸线一般为（ ）关系。 A 、平行 B 、相交 C 、垂直 13、在标注球面尺寸时应在直径符号和半径符号前加注（ ）。 A 、Φ B 、S C 、R 14、我国国家标准的代号是（ ）。 A 、ISO B 、GB C 、JB 15、5、尺寸界线一般应与尺寸线垂直，并超出尺寸线的终端（ ） A 、1~~2 mm B 、2~~3mm C 、3~~4 mm 16、常用图纸的基本幅面有（ ）种。 A 、3 B 、4 C 、5 17、标题栏一般画在图纸的（ ）。 A 、左下角 B 、右下角 C 左上角 18、在尺寸标注中，机件的真实大小应以图样上（ ）依据。 A 、图上线段长度 B 、尺寸界限 C 、尺寸数字 19、机件的每一尺寸一般应标注 （ ） 阅卷 得 分 试卷编号 HFJH-A
几何与图形单元检测 一、填空题。 1.3.5平方米=()平方分米 2立方分米3立方厘米=()立方分米 5.02升=()升()毫升 公顷=()平方米 2.在钟面上,6时的时候,分针和时针所夹的角的度数是(),是一个()角。 3.一个三角形中,∠1=∠2=35°,∠3=(),按边分是()三角形。 4.一个三角形与一个平行四边形等底等高,如果三角形的面积是3.6平方分米,那么平行四边形的面积是()平方分米。 5.一个圆柱的底面直径是8厘米,高是1分米,它的侧面积是()平方厘米。把它沿着底面直径垂直切成两半,表面积会增加()平方厘米。 6.三个棱长为2厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的体积是()立方厘米,表面积是()平方厘米。 7.一个长方体相交于同一个顶点的三条棱的长度之比是3∶2∶1,这个长方体的棱长总和是72厘米。长方体的表面积是()平方厘米,体积是()立方厘米。 8.一个圆柱和一个圆锥等底等高,圆柱与圆锥的体积之和是60立方厘米,圆柱的体积是()立方厘米,圆锥的体积是()立方厘米。 二、判断题。(对的画“”,错的画“?”) 1.平角是一条直线。() 2.三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性。() 3.两个面积相等的梯形,可以拼成一个平行四边形。()
4.一个玻璃容器的体积与容积相等。() 5.一个棱长是6厘米的正方体的表面积和体积相等。() 三、选择题。(把正确答案的序号填在括号里) 1.射线()端点。 A.没有 B.有一个 C.有两个 2.下面图形中对称轴最少的是()。 A.长方形 B.正方形 C.等腰梯形 3.下面的立体图形从左边看到的图形是()。 4.下图中,甲和乙两部分面积的关系是()。 A.甲>乙 B.甲<乙 C.甲=乙 5.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的高与底面半径的比值是()。 A.π B.2π C.r 四、计算题。 1.计算下面图形中阴影部分的面积。(单位:厘米)
2012-2013学年度第二学期期末考试 《画法几何》试卷 年级：学号：姓名：成绩： 一、填空题（20分） 1、特殊位置直线分为____________ , ________________ . 2、___________________________________________________________ 在画法几何中,一些常用的符号代表不同的含义：H代表 _____________________ 、V代表________ 、Wf弋表 _____ 。OX代表投影轴，是 _________ 的交线。 2、根据投射线的类型,投影法可分为__________ 和 ___________ 种。 4、与H面平行的直线，称为_______ 。与V面平行的直线，称为________ 。与W面平行的直线，称为________ 。 7、建筑工程图的图线线型有_________ , ________ , _______ , _________ 等 8三视图的投影规律是______________ , ____________ , ___________ . 2.下图所示AB直线是：（）
(A) C点在正垂线AB上(B) (C) C点在侧平线AB上(D) 4.下图所示AB CD两直线的相对几何关系 是：() (A) 平行(B) 相交 5. 下图所示的平面是：() (C) 相交垂直(D) 交错 (A) 水平线(B) 倾斜 直线 正平线(C)侧平线 (D ) 3.在下图中：( C点不在正垂线AB上 C点不在侧平线AB上
(A) 水平面(B) 侧垂面(C) 铅垂面(D) —般倾斜平面 6.下图所示正平面P与三角形平面ABC的交线是：() (B) 水平线(C) 铅垂线(D) 一般倾斜直 ) A D (B)(D) 线 7.下图所示五棱柱表面上一点K,其正确的侧面投影是: B 8. 绘图仪器中分规的主要作用 是： (A) 画圆或圆弧 (C)用来截量长度 9. 图上标注的尺寸数字，没有 声明，则为：() (A) 毫米(B) (C) ( (B) C ) 是圆规的备用品 等分线段 (D) 表示物体的真实大小，尺寸的单位如果在图中附注10. 如果A点在H投影面上，贝( 厘米(C) 米(D) 根据绘图比例确定 )
简单平面图形面积计算 一、知识要点 计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不 到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研 究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线， 搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面 图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、 剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 二、精讲精练 【例题1】已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=2/3BC，求阴影部分的面积。 【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角 形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF， 可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法， 将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。因为 BD=2/3BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S △DCF。 因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为 1.6×2＝3.2（平方厘米）。 练习1： 1．如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。 2．如图所示，AE=ED，DC＝1/3BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。
3．如图所示，DE＝1/2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC 的面积。 【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多 少？ 【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2 倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S △ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面积为6÷2＝3。 因为S△ABD与S△ACD等底等高所以S△ABO＝6 因为S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍 所以△AOD＝6÷2＝3。 答：△AOD的面积是3。 练习2： 1．两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？ 2．已知AO＝1/3OC，求梯形ABCD的面积（如 图所示）。
图形与几何 教学目标： 1.复习整本书所学过的图形与几何的知识，巩固加深对所学知识的理解，沟通各部分知识之间的内在联系。 2.提高学生解决问题的能力和空间想象能力。 3.感受数学与生活的紧密联系，培养学生喜爱数学的情感。 教学重点： 复习整理“图形与几何”部分的知识，巩固对所学知识的理解，提高解决问题的能力。 教学难点： 培养学生的空间观念和想象能力，提高解决问题的能力。 教学过程： 一、导入 师：同学们，今天我们要复习整理的内容与我们的日常生活联系非常密切，首先想一想，在“图形与几何”部分，我们学习了哪些知识? 学生可能会说 我们学过的平面图形有长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形等这些线段围成的图形，还有曲线围成的图——圆，圆形是轴对称图形，有无数条对称轴。 我知道了圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小;圆有无数条直径，有无数条半径;同一圆中，所有的直径都相等，所有的半径都相等。 我们还进一步学习了观察物体，能画出从正面、左面和上面看到的图形形状，知道了观察的范围与距离有关。…… 师：同学们说得很好，只要你留心观察、认真学习，相信你会有更多新的发现! 【设计意图：引导学生回顾要整理复习的相关知识点，从而使学生形成对这部分内容的感性认识，能在头脑中呈现相关的表象，逐步构建知识系统。】 二、过程 师：我们先来一起谈谈“圆”在生活中的应用吧。 生1:圆在生活中有很多应用。车轮做成圆形的是因为圆心到圆上任意一点的距离都相等，这样车轮在平面上滚动比较平稳。
生2:人们观看表演会自动围成圆形，是因为这样每个观众(圆上的点)距离表演者(圆心)的距离相等。…… 师：圆在生活中应用是很广泛的。我们还学习了圆的周长和面积，你们还记得周长公式和面积是怎样得到的吗?在小组里跟同学说说公式的推导过程。 学生在小组里讨论交流圆的周长和面积公式的推导过程，教师巡视了解情况。 师：谁来给大家讲一讲? 学生可能会说 我们测量了一些圆的周长和直径，然后求出周长除以直径的商，发现圆的周长总是直径的3倍多一些，知道了这个固定值就是圆周率，用字母π表示，最后总结出了圆的周长公式C=πd或C=2πr。 在推导圆的面积公式时，我们把圆形纸片平均分成了若干份，然后把这些小扇形拼成了近似的平行四边形。平行四边形的面积相当于圆的面积，平行四边形的底相当于圆的周长的一半，平行四边形的高相当于圆的半径，由平行四边形的面积=底×高得出圆的面积=πr×r,即S=πr2。 师：讲得很好。除了关于圆的知识，我们还学习了观察物体，你能完成下面的练习吗?(课件出示：教材第100页“独立思考”第3题图) 学生独立解答，教师巡视了解情况。 教师组织学生交流汇报，重点引导学生说说自己的好办法。 师：观察物体时，观察的范围是怎样变化的? 生：观察的范围随着观察点、观察角度的变化而变化。 师：你能结合生活中的观察范围变化的实际例子说一说吗?在小组里交流一下。 学生在小组内交流，教师巡视了解情况。 选取有代表性的学生交流汇报。 【设计意图：在对相关知识点进行复习整理后，及时让学生结合生活举出事例，趁热打铁进行针对性的巩固，随时检查学生的掌握情况，调整下一步教学内容。】 三、总结
全国高中数学联赛平面几何题 1.(2000) 如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等． 2. (2001) 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ． 求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ； (2) OH ⊥MN ． 3.(2002) 4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC ．求证：∠DBQ ＝∠PAC ． A B C D E F M N
5.(2004)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K 。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长。 6.(2005) 7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点 C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0 为半径作圆弧P 0Q 0⌒ 交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0 为半径作圆弧Q 0P 1⌒ 交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1 为半径作圆弧P 1Q 1⌒ 交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1 为半径作圆弧Q 1P 0'⌒ ，交AB 0的延长线于P 0'. 试证： ⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒ 相切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆． P B 1 B 0 C 1P 1 P 0 Q 1Q 0 A C 0
平 面几何部分 教学目标： 1． 熟练掌握五大面积模型 2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图⑴ 图⑵ 三、蝴蝶定理 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?② ()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ① AD AE DE AF AB AC BC AG === ； ②2 2 :ADE ABC S S AF AG =△△：． b a S 2S 1D C B A A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4
点、直线、平面之间的关系 ㈠平面的基本性质 公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理二：不共线的三点确定一个平面。 推论一：直线与直线外一点确定一个平面。 推论二：两条相交直线确定一个平面。 推论三：两条平行直线确定一个平面。 公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。 ㈡空间图形的位置关系 1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。 即：a∥b，b∥c a∥c 1.2 异面直线 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角 ⑴异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵作异面直线成角的方法：平移法。 注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理： 1.3 性质定理：
2 线面角： 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜 交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 3 面面平行 3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理： ⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即： 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面的两条线段，那么这两个平面平行。即： ⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平 行。即： 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行 线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理： 图2-3 线面角 图2-5 判定1推论 图2-6 判定2
小学六年级奥数知识点：几何初步认识二（平面图形）★这篇《小学六年级奥数知识点：几何初步认识二（平面图形）》，是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！ 二、平面图形 1、长方形 （1）特征 对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 （2）计算公式 c=2(a+b) s=ab 2、正方形 （1）特征： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 （2）计算公式 c=4a s=a2 3、三角形 （1）特征 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。 （2）计算公式 s=ah/2
（3）分类 按角分 锐角三角形：三个角都是锐角。 直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。 钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。 4、平行四边形 （1）特征 两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。 （2）计算公式 s=ah 5、梯形 （1）特征 只有一组对边平行的四边形。中位线等于上下底和的一半。等腰梯形有一条对称轴。 （2）公式
s=(a+b)h/2=mh 6、圆 （1）圆的认识 平面上的一种曲线图形。圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o 表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。 同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。 （2）圆的画法 把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 （3）圆的周长 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。 （4）圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 （5）计算公式 d=2r