线性空间基和维数的求法 （邓云斯、李秀珍、高华艳）
方法一(定义法):根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关；(2)V 中任一向量α总可以由
n ααα,,21, 线性表示. 那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，
并称
n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基.如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向
量，那么V 就成为无限维的. 例1 数域P 上全体形如0a a b ??
?-??
的二阶方阵，
对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基.
解 易证0100,1001????
? ?-????为线性空间0,a V a b p a b ????=∈?? ?
-????
｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ??
?-??有00100+1001a a b a b ??
????=
? ? ???
???? 按定义0100,1001????
? ?????
为V 的一组基，V 的维数为2.
方法二(维数确定基法):在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基.
例2 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：
()()()
2
1
1,1,1,
,1n x x x ----构成[]n R x 的基.
证明 ()()
1
121110n n k k x k x -?+-++-=
由1
n x
-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=
依此类推便有110n n k k k -====，
故()()
1
1,1,
,1n x x ---线性无关
又[]n
R x 的维数为n ,于是()()
1
1,1,
,1n x x ---为[]n
R x 的基.
方法三(利用同构求维数法):数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.
例3 设0110A -??
= ???，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间
()0110V f A A ?-?
??==?? ????
?｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间
{}',V a bi a b R =+∈｜同构，并求它们的维数.
证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'
V 到V 的如下映射
()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈
易证σ是'
V 到V 上既是单射又是满射即一一映射.
再设222,a b i α=+ 22,,a b R K R ∈∈，则有
()()()()()()()121212121212a a b b i a a E b b A σαασσασα+=+++=+++=+????
()()()111111k ka kbi ka E ka A k x σασσ=+=+=
故σ是'
V 到V 的同构映射，所以V 到'
V 同构
另外，易证'V 的一个基为1，i ，故'
dim 2V =
'V V
dim 2V ∴=
方法四(求可逆矩阵确定基法)：设12,,,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 中两组向
量，已知12,,
,n βββ可由12,,
,n ααα线性表出：
11112121n n a a a βααα=+++ 21212222n n a a a βααα=+++ 1122n n n nn n a a a βααα=++
+
令1112121
2221
2
n n n n nn a a a A a a a a a a ?? ?= ? ???
如果12,,
,n ααα为V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，12,,
,n βββ也是V 的一组基.
例4 已知2
3
1,,,x x x 是[]4p x 的一组基，证明()()2
3
1,1,1,1x x x +++也是[]4p x 的一组基. 证明 因为
23111000x x x =?+?+?+? 23111100x x x x +=?+?+?+?
()2
23111210x x x x +=?+?+?+? ()
3
23111331x x x x +=?+?+?+?
且1111
0123000120001
A =
≠
所以()()2
3
1,1,1,1x x x +++也为[]4p x 的一组基.
方法五(向量等价求基法):如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基.
例5 设[]2R x 表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明2
2
,,1x x x x x +-+为这空间的一组基. 证明 ()()
()2212310k x x k x x k x ++-++= 则121233
000k k k k k k +=
??
-+=??= ?
解得3210k k k ===
于是2
2
,,1x x x x x +-+线性无关，它们皆可由2
,,1x x 线性表示，因此2
2
,,1x x x x x +-+与
2,,1x x 等价，从而[]2R x 中任意多项式皆可由22,,1x x x x x +-+线性表示，故
22,,1x x x x x +-+为[]2R x 的基.
方法六（求两个子空间交集的基确定维数法）：对以一组向量1212,,,ααββ为列向量做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵1212,,,ααββ间的线性关系.任何一个m n
?矩阵A ，总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵：0
0r I B ??
???
，其中r I 表示r 阶单位矩阵.依据这两个定理，我们可以很方便地求出1
2V V 的一个基，从而确定了维数.
例 6 设()()112212,,,V L V L ααββ==是数域F 上四维线性空间的子空间，且
()()()()12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.ααββ==-=-=-求12V V 的一个基与维
数. 解 若1
2r V V ∈，则存在1212,,,x x y y F --∈，使
11221122r x x y y ααββ=+=-- (1)
即有112211220x x y y ααββ+++= (2)
若1212,,,ααββ线性无关，（2）仅当2120x x y y ====时成立 那么1
2V V 是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12V V +是直和
若存在不全为零的数1212,,,x x y y 使（2）成立，则12V V 有可能是非零子空间
若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r .
以1212,,,ααββ为列向量作矩阵A ，经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵A .
112110
01211101041103001301170000A A --????
? ?-- ? ?
=????→
= ? ? ? ?????
行初等变换 212143βααβ=-++
()1212435,2,3,4r ααββ∴=-+=-+=-是12V V 的一个基 ()12dim 1V V =
同时知，12,αα是1V 的一个基，1dim 2V =
12,ββ是2V 的一个基，2dim 2V =
1212,,,ααββ是12V V +的一个基，()()12dim =3V V A +=秩
方法七(极大无关组确定基法):线性空间V 中任意一个向量α，都可以表示成V 中的一组线性无关向量组的线性组合，则这一组线性无关向量组就是V 的基. 例7 求112()V L αα=，与212()V L ββ=，的交的基和维数.
设12
(1,2,1,0)(11,1,1)αα=??=-?，，12(21,0,1)(11,3,7)ββ=-??=-?，
，
解 任取1
2V V α∈，则11122V x x αααα∈=+，，且21122V y y ααββ∈=+，，
1122112x x y y αααββ=+=+（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V 、
2V 中的表示，并非本题所求，即要在空间21V V 中将α线性表出） 11221120x x y y ααββ∴+--=，求1212,,,x x y y
12121212
12221220
20300
x x y y x x y y x x y x y y ---=??+-+=??
+-=??--=? ７ 解得1212(,,,)(,4,3,)x x y y k k k k =--
1212(4)(3)(5,2,3,4)k k k αααββ∴=-=-+=-
故1
2V V 是一维的，基是(5,2,3,4)-
易知(5,2,3,4)-是非零向量，是线性无关的.
方法八（利用维数公式求子空间的基和维数法）：按维数公式求子空间的交与和的维数和基 维数公式：如果1,2V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，那么
()()()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=++
例8 已知
()()123,1,2,1,0,1,0,2αα=-=()()121,0,1,3,2,3,1,6ββ==--求由向量
12,αα生成的4p 的子空间()112,V L αα=与向量1,2ββ生成的子空间()212,V L ββ=的交
与和空间的维数的一组基.
解 因为()121212,,,V V L ααββ+=，对以1212,,,ααββ为列的矩阵施行行初等变换：
301
2000
011031
1032011
001112360
003A B ???? ?
?
----
? ?
=→= ? ?- ?
?
--????
秩A =秩3B =，所以12V V +的维数是3
且1212,,,ααββ为极大线性无关组，故它们是12V V +的一组基.
又由12,αα线性无关知1V 的维数为2，同理2V 的维数也为2，由维数公式知12V V 的维数
为()2231+-=.
从矩阵B 易知12122ββαα+=-,故()123,3,2,3ββ+=--是12,V V 公有的非零向量，所以它是交空间1
2V V 的一组基.
方法九(替换定理法):由替换定理确定交空间的维数. 替换定理：设向量组12,,,r ααα线性无关，并且12,,,r ααα可由向量组12,,,s βββ线
性表出，那么
()1r s ≤
()2必要时可适当对12,,
,s βββ中的向量重新编号，使得用12,,
,r ααα替换
12,,
,r βββ后所得到的向量组121,,,,,
,r r s αααββ+与向量组12,,
,s βββ等价.
特别，当r s =时，向量组12,,
,s ααα与向量组12,,
,s βββ等价.
例9 已知向量组()()()()12342,0,1,3,0,3,1,0,1,2,0,2,2,6,3,3,αααα====设它们是向量组1,23,βββ的线性组合，又设向量组12,,
,m r r r 与向量组123,,βββ等价，试求
12,,,m r r r 生成的空间的交空间的基和维数.
解 201304
1107
01031003
1003
101202
1202
1202263306200000----??????
?
?
? ? ? ?
→→ ? ? ? ?
?
???????
显然1234,,,αααα线性相关，123,,ααα线性无关 由替换定理知123,,ααα与123,,βββ等价，进而知12,,,m r r r 与123,,ααα等价
于是()12,,
,m L r r r 维数为3，基为()123124,,;,,L αααααα维数为2，基为12,,αα
因此，()()12412,,,,,m L L r r r ααα?
故()124,,L ααα与()12,,,m L r r r 的交空间的基为12,,αα维数为2