基于神经网络的时间序列Lyapunov指数普的计算设计
目录
摘要...................................................................... I Abstract............................................................... I I 第一章绪论. (1)
1.1 引言 (1)
1.2 Lyapunov计算方法的定义 (2)
第二章基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算 (3)
2.1 相空间重构 (3)
2.2 Oseledec矩阵的确定 (3)
2.3 QR分解 (5)
2.4 小波神经网络 (6)
2.5 基于RBF神经网络的Lyapunov指数谱
计算方法 (9)
2.6 Lyapunov指数实验计算代码 (10)
2.6.1确定嵌入维数 (10)
2.6.2确定延迟时间 (10)
2.6.3计算Lyapunov指数普 (11)
2.7 Lyapunov指数仿真实验结果 (13)
2.7.1 实验一 (13)
2.7.2 实验二 (14)
小结 (17)
总结 (18)
参考文献 (19)
致谢 (20)
摘要
Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。利用RBF 神经网络的非线性函数逼近能力, 由实验观察数据列计算系统的Lyapunov指数谱实例计算表明, 此种方法精度较高且计算量较小, 有重要的实际意义.
关键词: Lyapunov 指数谱; 相空间重构; 人工神经网络
Abstract
Lyapunov exponent is an important measure of system dynamics quantitative indicators, It is characterized by the average rate in the phase space between adjacent tracks convergence or divergence. For the existence of chaotic dynamics, can be very intuitive judgment from the largest Lyapunov exponent is greater than zero: a positive Lyapunov exponent, means that the system in phase space, regardless of the initial two-rail line spacing, however small, the difference will cannot predict As time evolved exponential increase in the rate of so reached, which is chaos. Lyapunov exponents are one of a number of parameters that characterize the nature of a chaotic dynamical system. We calculate the Lyapunov exponents from an observed time series based on the ability that a RBF neural network can approximate nonlinear functions. The results show that this method needs less computing time and has higher precision, so it has practical significance.
Keywords: Lyapunov exponents;
Reconstruction of phase space;
Artificial neural network
第一章绪论
1.1引言
混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性，两个相差无几的初值所产生的轨迹，随着时间的推移按指数方式分离，Lyapunov指数[1]就是定量的描述这一现象的量。
Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来:一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。
Lyapunov指数的和表征了椭球体积的增长率或减小率,对Hamilton系统,Lyapunov指数的和为零; 对耗散系统,Lyapunov指数的和为负。如果耗散系统的吸引子是一个不动点,那么所有的Lyapunov指数通常是负的。如果是一个简单的m维流形(m = 1或m = 2分别为一个曲线或一个面) ,那么,前m个Lyapunov指数是零,其余的Lyapunov指数为负。不管系统是不是耗散的,只要λ1 > 0就会出现混沌。
在非线性动力系统分析中,系统的全部Lyapunov指数称为Lyapunov指数谱,它表示相空间中每一维相邻轨道如何随时间分离,具有拓扑映射不变性,且与系统的初始状态无关,是对系统进行刻划和分类的重要指标需确定Lyapunov指数的系统分为两种情况,一种情况是已知系统满足的微分方程或映射关系,另一种情况是只知道实验观察到的数据L在这两种情况下,人们确定其Lyapunov指数的方法不同，对第一种情况,可有规范的方法精确求出系统的Lyapunov指数。假设系统的映射关系为:
W (k + 1) = ￡(W (k ) ) (1-1)
轨道的扰动满足:
δW (k + 1) =δ F (W (k ) ) δW (k ) (1-2)
其中,￡是D维空间的映射ZD￡(W ) 是D ×D 阶雅可比矩阵,选择一初始状态, 可得到l个矩阵的乘积:
D ￡l = D ￡ ( l) ? D ￡ ( l - 1) ???D ￡(1) (1-3) 其中,D ￡ (k ) = D ￡(W (k ) ) Z 根据Oseledec 乘积遍历性定理[13] , 系统的Lyapunov 指数谱为矩阵
(1-4)
本征值的对数。其中T 表示矩阵的转置。可利用数值方法求出(1-4)式所示矩阵的本征值,进而求出由映射。
从实验观察到的数据确定系统的Lyapunov 指数, 可采用Wolf 方法[5]和BBA
[4 ]方法等。其中Wolf 方法仅适用于求系统的最大Lyapunov 指数,BBA 法可求出系
统的全部Lyapunov 指数,但此种方法运算量很大,而且需要的数据点很多,使其应用受到很大限制。
1.2 Lyapunov 计算方法的定义
设在x 点平均每次迭代所引起的指数分离中的指数为)(x λ，显然当
0)(>x λ时，动力系统关于点x 具有敏感的依赖性。)(x F k 为初始点经过k 次迭
代后的相点，于是原相距ξ的两点经过k 次迭代后相距为
)
()()(x F x F e k k x k -+=ξξλ (1-8)
取极限0→ξ，∞→k ，得：
(1-9)
根据这一原理可以采取跟踪初值相近的两个邻近点演化轨道距离的变化来估计Lyapunov 指数。根据初始邻近点的选取，以及跟踪方法的不同又有不同的计算方法。
ξ
ξλξ)
()(ln
1lim lim )(0x F x F n
x k k k -+=→∞→
第二章 基于神经网络的Lyapunov 指数谱的计算
2.1 相空间重构
在实验中，对一个多维系统的测量，往往得到的只是一维时间序列。假设对一个确定的动力系统的观测函数为)(t x ，经过采样后，得到一个单变量的时间
序列，D N n n x ,,2,1)},({ =其中)}({n x 表示τ
n t +0时刻的观测值，τ为采样时间
间隔，0t
为采样起始时间。利用时滞方法可以通过这样一个时间序列在d 维欧式空间构造一条轨道)(n y ：
)])1((,),(),([)(T d n x T n x n x n y -++=
T d N n D )1(,,2,1--= (2-1) 其中d 称为嵌入维数，T 为时滞，是τ的整数倍，T 的选取原则是使)(n y 与)(T n y +之间的相关性最小。根据Taken 相空间重构定理[12]，一般的，如果
12+>m d （其中m 为原来动力系统的相空间维数），那么得到的)(n y 就是原来动力学系统相应的一条轨道到d
R 中的嵌入。由此可以得到d
R 上的一个动力学系统：
))(()(k y F T k y =+ (2-2)
通过研究此系统的性质就可以了解原来动力学系统的性质。需要指出的是，嵌入维12+>m d 只是相空间重构的充分条件，而非必要条件，确定嵌入维有很多种方法，比较常用的是Grassberger-Procaccia 相关积分法[13]。
2.2 Oseledec 矩阵的确定
（2-2）式的映射关系可以写成以下形式：
(2-3)
令
)
(1,k x x k =，
)
(2,T k x x k +=，…，
)
)1((,T d k x x d k -+=，
)
(1,T k x x T k +=+，
)
2(2,T k x x T k +=+，…，
)
(,dT k x x d T k +=+
显然有关系：
(2-4)
其中γ是未知映射，若（2-2）式出现微小扰动，则可以得到：
)()()(k y k F D T k y ?=+? (2-5) 其中)(k F D 为映射F 的雅科比矩阵，其形式为：
??
????
?
===+++),,,(,2,1,,3,2,2,1,d k k k d T k k T k k T k x x x x x x x x γ???????
????
??
??
?=-kd d k k k k k F D γγγγγ)
1(3
211
00
000010000010
)(
(2-6) 上述矩阵的最后一行满足：
(2-7)
确定雅科比矩阵)(k F D 的过程即为确定（2-7）式的过程。
（2-5）式表明，对于重构的相空间向量)(k y ,它在k 时刻的微小变化)(k y ?，在雅科比矩阵)(k F D 的作用下，将反映到T k +时刻重构的相空间向量)(T k y +取值的微小变化。依次下去，这种作用将累加到)(N l lT k ∈+时刻相空间向量
)(lT k y +取值的变化，其关系如下式表示：
)()())1(()()(k y k F D T l k F D lT k F D lT k y ?-+?+=+? (2-8) 上式可改写为：
)()()(k y k F D lT k y l ?=+? (2-9) 同样根据Oseledec 乘积遍历性定理[9]，可以构造出0
11A A A A B N N -=式一样
的矩阵，当∞→l 时，则可得到：
(2-10)
?????
???
?????=??=
??=d k kd
k k k k x x x
,2,21
,1γγγγγγ l
l T l l F D F D 2/1)]()[(lim ∞
→
求出上述矩阵的本征值就可求出实验观察数据所反映系统的全部Lyapunov 指数。
2.3 QR 分解
在实际应用中，由于（2-10）式定义的矩阵存在着指数和分数幂，此矩阵往往是病态的，难以直接精确计算它的全部本征值。本文采用长乘积矩阵的分解技术对（2-10）式进行求解。首先定义：
)1()1()(A N A N A A -?= (2-11)
对此长乘积矩阵，递归计算
)
()()1()(i R i Q i Q i A =-
N i ,,2,1 =
(2-12)
式中)(i Q 为正交矩阵，)(i R 为上三角矩阵，)0(Q 是d 阶单位矩阵。按（2-12）式所示过程QR 分解N 次，得到矩阵A 的QR 分解如下：
)
1()1()()(R n R N R N Q A -??=
(2-13)
定义
)()(1N Q A N Q A T ??= (2-14) 由（2-13）式得到：
)()(1N Q A N Q A T ??=)()1()1()(N Q R N R N R ?-?= (2-15) 按（2-12）~（2-15）式表示的过程重复进行下去，得到一系列矩阵K A A A ,,,21 ，它们都具有相同的本征值，当∞→K 时，矩阵A 的本征值可以通过下式求出：
(2-16)
进而求得系统的Lyapunov 指数谱为：
d
a j R N
N
j aa a ,,2,1,]
)([/11
==∏=ρ
)ln(a a ρλ=
d a ,,2,1 = (2-17)
由以上过程可以看出，欲求出实验数据列重构系统的Lypunov 指数谱，就要求出（2-10）式中的每个雅科比矩阵。而系统雅科比矩阵具有（2-6）式所示形式，所以问题的关键在于确定每个雅科比矩阵的最后一行矩阵元。下面讨论小波神经网络模型求解该问题。
N
N
j aa j R /11])(ln[
∏==∑==N
j aa j R N 1
)(ln 1
2.4 小波神经网络
小波神经网络起源于小波分解，小波神经网络是多层前馈式网络，由一个输入层，一个或多个隐含层，一个输出层组成。每层节点的输入只接收来自上层节点的输出信号。小波神经网络的输入层节点数和输出层节点数由具体问题决定，隐含层数及每层节点数的选取目前还没有确切的理论方法，通常是凭对学习样本和测试样本的误差交叉评价的试错法选取。从目前已有的国内外资料看，还做不到实际应用小波网络。有人分析了其原因，认为有三：一是小波网络出现的时间较晚，二是小波网络需要较高的数学知识，三是没有一个实用的小波网络模型的软件。下面简要介绍小波神经网络的结构和学习算法。
式（3-4）的连续形式可写为：
φψψ∈=∑=k T
k k k x w x f ),()(1 (2-18)
上式表明框架φ在)(2R L 中是稠密的。式中，T 为小波基的个数。 于是有如下的所有有限和的全体
)(
1)(1k
k
T
k k
k
a b x a w x f -=∑=ψ (2-19) 在)(2R L 中是稠密的。
比较式（2-18）与式（2-19），显然式（2-19）中的参数个数比式（2-18）多，式（2-18）与式(2-19)分别称为小波分解与小波网络。在小波分解中，如果基函
数固定，则只有系数k w
是可调参数，而在小波网络中，k w ，k a 和k b 均为可调参数，这使得网络学习非线性函数较为灵活，可以满足较高的逼近精度要求，这也恰恰体现了小波逼近的精髓。式（2-19）与下式等价
)(
)(1k
k
T
k k a b x w x f -=∑=ψ (2-20) 对于具有n 个输入的多输入网络，式（4-20）变为：
????
?
? ??-=∑∑==k n
i k
l ki T
k k l a b i x u w x f 1
1
)()(ψ (2-21) 其对应的网络结构如图2－1所示（考虑到本论文的目的，只画出了一个输出值的情况）。
图2－1：小波神经网络结构示意图
对于输入输出为),,2,
1)(,(N l y x l l =的N 个样本对，我们的目的是确定网络参数k k k ki w b a u ,,,，使得)(x f l 与l y 两序列拟合最优，其中参数
k k k ki w b a u ,,,可以通过下述误差能量函数进行优化
2))((5.0l l l y x f E -= (2-22)
在本文中，采用人们使用较多的Morlet 母小波，即：
)5.0ex p()75.1cos()(2x x x -=ψ (2-23)
网络学习的具体算法如下：
（１） 网络参数的初始化：将网络的伸缩因子k a ，平移因子k b 以及网络的连接
权重ki u 和k w 赋予零附近的随机的初始值； （２） 输入学习样本l x 及相应的期望输出l y ； （３） 利用当前网络参数计算出网络的输出：
????
?
? ??-=∑∑==k n
i k
l ki T
k k l a b i x u w x f 1
1
)()(ψ (2-24)
（４） 修改网络参数值： 计算ki k k k u b a w ????,,,
????
?
? ??--=??=?∑=k n
i k
l ki l l k l
k a b i x u y x f w E w 1
)())((ψ (2-25) k k l l k l k a w y x f a E a ??-=??=
?ψ
))(( (2-26) k
k l l k k b w y x f b E b ??-=??=
?ψ
))(( (2-27) )())(('i x x w y x f u E u l l
k l l ki l ki ??-=??=
?ψ
(2-28) 其中：
)(1'
i x u x l n
i ki l
∑== (2-29)
令
k
k l n a b x t -=''
(2-30)
（2-25）~（2-27）中
',,l
k k x b a ??????ψ
ψψ由下面式子确定： 22
''2'
2''1)5.0exp()75.1sin(75.1)5.0exp()75.1cos(k
n n k n n n k a t t a t t t a -+-=??ψ (2-31)
k
n n k n n n k a t t a t t t b 1)5.0exp()75.1sin(75.1)5.0exp()75.1cos(2
'''
2''-+-=??ψ (2-32) k n
n k n n n l a t t a t t t x 1)5.0exp()75.1sin(75.1)5.0exp()75.1cos(2
'''2'''
----=??ψ (2-33) 网络参数值修改如下：
k k k w w w ??-=η (2-34)
k k k a a a ??-=η (2-35) k k k b b b ??-=η (2-36) ki ki ki u u u ??-=η (2-37)
η为学习速率，由人为设定。 （５） 计算误差和：
2
))((5.05.0∑∑-==l
l l l
l y x f E E (2-38)
（６） 返回第（2）步，向网络加下一个模式对，直到N 个模式对均循环一遍，
再进行第（7）步；
若max E E <（预先设定的某值）或达到最大训练步数，则停止训练；否则，令0=E ，返回第（2）步。
2.5 基于RBF 神经网络的Lyapunov 指数谱计算方法
本文采用具有d 个输入节点，一个输出节点和一个隐含层的三层小波网络。
对一个一维的时间序列通过重构产生训练样本集合：),,2,
1)(,(N j y x j j =，R x y R x x x x d T j j d T
d j j j j ∈=∈=+,,2,1,,),,,( 初始化网络的伸缩因子k a ，
平移因子k b 以及网络的连接权重ki u 和k w 赋予零附近的随机的初始值。通过对样本的学习，使神经网络的实际输出y 在一定的精度范围内与理想输出d T j x ,+相同，
这样可以利用此小波网络的输入输出关系
(2-39) 代表实际的映射关系式。
若小波网络已经训练完成，就可以计算输出函数对自变量的一阶偏导数：
（2-40）
?????
? ??-==∑∑==k d
i k
i j ki T
k k d j j j a b x u w x x x y 1
,1
,2,1,),,,(ψγ
)5.0exp()75.1sin(75.1[2
,,,,1
,i k j i k j T
k k i j t t w x y --=??∑=k
i k i k j i k j i k j a u t t t ,2
,,,,,,)]
5.0ex p()75.1cos(--
其中
(2-41
)
这样，通过（2-40）式可计算雅科比矩阵（2-46）式中最后一行矩阵元的数值。按同样的方法计算所有雅科比矩阵最后一行矩阵元，也就确定了所有的雅科比矩阵，进而可以按式（2-8）～（2-18）计算实验观察数据所反映系统的Lyapunov 指数谱。
2.6 Lyapunov 指数实验计算代码 2.6.1确定嵌入维数
function It=Correlation(X,Taomax) I=zeros(Taomax,1); L=length(X); for t=1:Taomax
I(t)=((X(1+t:L)-mean(X))'*(X(1:L-t)-mean(X))/(L-t))/((X-mean(X))'*(X-mean(X))/L);
end plot(I);
for i=1:Taomax
if I(i)<1/2.71828 It=i;
k
d
i k
i j ki
i k j a b x u
t ∑=-=
1
,,,
break
end
end
2.6.2确定延迟时间
function EmbedingDimensional(X,tao,M)
%
E=zeros(M,1);
U=E;
L=length(X);
for m=1:M
Y=[];
N0=tao*m+1;
for i=1:m+1
Y=[Y X(N0-(i-1)*tao:L-(i-1)*tao)];
end
for i=1:length(Y)
d0=10000;J=1;
for j=1:length(Y)
if j~=i
d=norm(Y(i,1:m)-Y(j,1:m));
if d d0=d; J=j; end end end if norm(Y(i,m)-Y(J,m),inf)~=0 E(m)=E(m)+norm(Y(i,m+1)-Y(J,m+1),inf) rm(Y(i,m)-Y(J,m),inf); U(m)=U(m)+1; end end 《时间序列》练习题及解答 一、单项选择题 从下列各题所给的4个备选答案中选出1个正确答案，并将其编号（A、B、C、D）填入题干后面的括号内。 1、构成时间数列的两个基本要素是（）。 A、主词和宾词 B、变量和次数 C、时间和指标数值 D、时间和次数 2、最基本的时间数列是（）。 A、时点数列 B、绝对数数列 C、相对数数列 D、平均数数列 3、时间数列中，各项指标数值可以相加的是（）。 A、相对数数列 B、时期数列 C、平均数数列 D、时点数列 4、时间数列中的发展水平（）。 A、只能是总量指标 B、只能是相对指标 C、只能是平均指标 D、上述三种指标均可以 5、对时间数列进行动态分析的基础指标是（）。 A、发展水平 B、平均发展水平 C、发展速度 D、平均发展速度 6、由间断时点数列计算序时平均数，其假定条件是研究现象在相邻两个时点之间的变动为（）。 A、连续的 B、间断的 C、稳定的 D、均匀的 7、序时平均数与一般平均数的共同点是（）。 A、两者均是反映同一总体的一般水平 B、都是反映现象的一般水平 C、两者均可消除现象波动的影响 D、共同反映同质总体在不同时间上的一般水平 8、时间序列最基本的速度指标是（）。 A、发展速度 B、平均发展速度 C、增长速度 D、平均增长速度 9、根据采用的对比基期不同，发展速度有（）。 A、环比发展速度与定基发展速度 B、环比发展速度与累积发展速度 C、逐期发展速度与累积发展速度 D、累积发展速度与定基发展速度 10、如果时间序列逐期增长量大体相等，则宜配合（）。 A、直线模型 B、抛物线模型 C、曲线模型 D、指数曲线模型 该商场第二季度平均完成计划为（）。 A、100%124%104% 108.6% 3 ++ = B、 506278 108.6% 506278 100%124%104% ++ = ++ C、 506278 100%124%104%92.1% 506278 ++ = ++ D、50100%62124%78104% 109.5% 506278 ?+?+? = ++ 12、增长速度的计算公式为（）。 A、=增长量 增长速度 基期水平B、= 增长量增长速度 期初水平 %% 清空环境变量 clc clear %% 网络参数配置 load traffic_flux input output input_test output_test M=size(input,2); %输入节点个数 N=size(output,2); %输出节点个数 n=6; %隐形节点个数 lr1=0.01; %学习概率 lr2=0.001; %学习概率 maxgen=100; %迭代次数 %权值初始化 Wjk=randn(n,M);Wjk_1=Wjk;Wjk_2=Wjk_1; Wij=randn(N,n);Wij_1=Wij;Wij_2=Wij_1; a=randn(1,n);a_1=a;a_2=a_1; b=randn(1,n);b_1=b;b_2=b_1; %节点初始化 y=zeros(1,N); net=zeros(1,n); net_ab=zeros(1,n); %权值学习增量初始化 d_Wjk=zeros(n,M); d_Wij=zeros(N,n); d_a=zeros(1,n); d_b=zeros(1,n); %% 输入输出数据归一化 [inputn,inputps]=mapminmax(input'); [outputn,outputps]=mapminmax(output'); inputn=inputn'; outputn=outputn'; %% 网络训练 for i=1:maxgen %误差累计 error(i)=0; % 循环训练 for kk=1:size(input,1) x=inputn(kk,:); yqw=outputn(kk,:); for j=1:n for k=1:M net(j)=net(j)+Wjk(j,k)*x(k); net_ab(j)=(net(j)-b(j))/a(j); end temp=mymorlet(net_ab(j)); for k=1:N y=y+Wij(k,j)*temp; %小波函数 end end 1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法 连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。 关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。 （1）定义法 关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) % Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 % a=0.15,b=0.20,c=10.0 % dx/dt = -y-z, % dy/dt = x+ay, % dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子 dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0 x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数 clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix; 第10章时间序列预测 从时间序列图可以看出，国家财政用于农业的支出额大体上呈指数上升趋势。（2）年平均增长率为： 。 （3）。 下表是1981年—2000年我国油彩油菜籽单位面积产量数据（单位：kg / hm2）年份单位面积产量年份单位面积产量 1981 1451 1991 1215 1982 1372 1992 1281 1983 1168 1993 1309 1984 1232 1994 1296 1985 1245 1995 1416 1986 1200 1996 1367 1987 1260 1997 1479 1988 1020 1998 1272 1989 1095 1999 1469 1990 1260 2000 1519 （1）绘制时间序列图描述其形态。 （2）用5期移动平均法预测2001年的单位面积产量。 （3）采用指数平滑法，分别用平滑系数a=和a=预测2001年的单位面积产量，分析预测误差，说明用哪一个平滑系数预测更合适？ 详细答案： （1）时间序列图如下： （2）2001年的预测值为： | （3）由Excel输出的指数平滑预测值如下表： 年份单位面积产量 指数平滑预测 a= 误差平方 指数平滑预测 a= 误差平方 a=时的预测值为： 比较误差平方可知，a=更合适。 下面是一家旅馆过去18个月的营业额数据 月份营业额（万元）月份营业额（万元） 1 295 10 473 2 28 3 11 470 3 322 12 481 4 35 5 13 449 5 28 6 14 544 6 379 15 601 7 381 16 587 8 431 17 644 9 424 18 660 （1）用3期移动平均法预测第19个月的营业额。 （2）采用指数平滑法，分别用平滑系数a=、a=和a=预测各月的营业额，分析预测误差，说明用哪一个平滑系数预测更合适？ （3）建立一个趋势方程预测各月的营业额，计算出估计标准误差。 (一) 填空题 1、时间数列又称数列,一般由和两个基本要素构成。 2、动态数列按统计指标的表现形式可分为、和三大类，其中 最基本的时间数列是。 3、编制动态数列最基本的原则是。 4、时间数列中的四种变动（构成因素）分别是：、、、和 5、时间数列中的各项指标数值，就叫，通常用a表示。 6、平均发展水平是对时间数列的各指标求平均，反映经济现象在不同时间的平均水平或代表性水平，又称：平均数，或平均数。 7、增长量由于采用的基期不同，分为增长量和增长量，各增长量之和等于相应的增长量。 8、把报告期的发展水平除以基期的发展水平得到的相对数叫，亦称动态系数。根据采用的基期不同，它又可分为发展速度和发展速度两种。 9、平均发展速度的计算方法有法和法两种。 10、某企业2000年的粮食产量比90年增长了2倍，比95年增长了0.8倍，则95年粮食产量比90年增长了倍。 11、把增长速度和增长量结合起来而计算出来的相对指标是：。 12、由一个时期数列各逐期增长量构成的动态数列，仍属时期数列；由一个时点数列各逐期增长量构成的动态数列，属数列。 13、在时间数列的变动影响因素中，最基本、最常见的因素是，举出三种常用的测定方法、、。 14、若原动态数列为月份资料，而且现象有季节变动，使用移动平均法对之修匀时，时距宜确定为项，但所得各项移动平均数，尚需，以扶正其位置。 15、使用最小平方法配合趋势直线时，求解 a、b参数值的那两个标准方程式为。 16、通常情况下，当时间数列的一级增长量大致相等时，可拟合趋势方程，而当时间数列中各二级增长量大致相等时，宜配合趋势方程。 17、用半数平均法求解直线趋势方程的参数时，先将时间数列分成的两部分，再分别计算出各部分指标平均数和的平均数，代入相应的联立方程求解即得。 18、分析和测定季节变动最常用、最简便的方法是。这种方法是通过对若干年资料的数据，求出与全数列总平均水平，然后对比得出各月份的。 19、如果时间数列中既有长期趋势又有季节变动，则应用法来计算季节比率。 20、商业周期往往经历了从萧条、复苏、繁荣再萧条、复苏、繁荣……的过程，这种变动称为变动。 (二) 单项选择题 1、组成动态数列的两个基本要素是( )。 A、时间和指标数值 B、变量和次数（频数） C、主词和宾词 D、水平指标和速度指标 2、下列数列中哪一个属于动态数列（） A.学生按学习成绩分组形成的数列 B.职工按工资水平分组形成的数列 C.企业总产值按时间顺序形成的数列 D.企业按职工人数多少形成的分组数列 3、下列属于时点数列的是( )。 A、某工厂各年工业总产值； B、某厂各年劳动生产率； C、某厂历年年初固定资产额 D、某厂历年新增职工人数。 4、时间数列中，各项指标数值可以相加的是( )。 A、时期数列 B、相对数时间数列 C、平均数时间数列 D、时点数列 5、工人劳动生产率时间数列，属于( )。 A、时期数列 B、时点数列 C、相对数时间数列 D、平均数数列 【总结】 Lyapunov指数的计算方法非线性理论 近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！ 1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍容。 （1）定义法 定义法求解Lyapunov指数.JPG 关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) %Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 %a=0.15,b=0.20,c=10.0 %dx/dt = -y-z, %dy/dt = x+ay, %dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子 dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix; tstart = 0; % 时间初始值 tstep = 1e-3; % 时间步长 wholetimes = 1e5; % 总的循环次数 steps = 10; % 每次演化的步数 iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1); lp = zeros(3,1); % 初始化三个Lyapunov指数 Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1); for i=1:iteratetimes 第五章时间数列 （一）填空题 1、增长量可分为逐期增长量、累积增长量。两者的关系是累积增长量是相应的逐期增长量之和。 2、时间数列按其排列的指标不同可分为总量指标时间数列（绝对数时序）、相对指标时间数列（相对数时序）、平均指标时间数列（平均数时序）三种，其中总量指标时间数列是基本数列。 3、根据时间数列中不同时间的发展水平所求的平均数叫平均发展水平，又称序时平均数。 4、计算平均发展速度的方法有水平法和累计法。且两种方法计算的结果一般是不相同的。必须按照动态数列的性质和研究目的来决定采用哪种方法。如果动态分析中侧重于考察最末一年达到的水平，采用水平法为好；如果动态分析中侧重于考察各年发展水平的总和，宜采用累计法。 5、进行长期性趋势测定的方法有时距扩大法、移动平均法、趋势线配合法、曲线趋势的测定与分析等。 （二）单项选择题（在每小题备选答案中，选出一个正确答案） 1、某企业2000年利润为2000万元，2003年利润增加到2480万元，则2480万元是( A ) A. 发展水平 B. 逐期增长量 C. 累积增长量 D. 平均增长量 2、对时间数列进行动态分析的基础是（A） A、发展水平 B、发展速度 C、平均发展水平 D、增长速 度 3、已知某企业连续三年的环比增长速度分别为6%，7%，8%，则该企业这三年的平 均增长速度为 ( D ) A. B. 4、序时平均数又称作（ B ） A 、平均发展速度 B 、平均发展水平 C 、平均增长速度 D 、静 态平均数 5、假定某产品产量2002年比1998年增加50%，那么 1998-2002年的平均发展速 度为( D ) 6、现有5年各个季度的资料，用四项移动平均对其进行修匀，则修匀后的时间数 列项数为（ B ） A 、12项 B 、16项 C 、17项 D 、18项 7、累积增长量与其相应的各个逐期增长量的关系是( A ) A. 累积增长量等于其相应的各个逐期增长量之和 B. 累积增长量等于其相应的各个逐期增长量之积 C. 累积增长率与其相应增长量之差 D. 两者不存在任何关系 8、最基本的时间数列是（ A ） A 、绝对数时间数列 B 、相对数时间数列 C 、平均数时间数列 D 、时点数列 %8%7%6??%8%7%6++ 考核课程 时间序列分析（B 卷） 考核方式 闭卷 考核时间 120 分钟 注：B 为延迟算子，使得1-=t t Y BY ；?为差分算子，。 一、单项选择题（每小题3 分，共24 分。） 1. 若零均值平稳序列{}t X ，其样本ACF 和样本PACF 都呈现拖尾性，则对{}t X 可能建立（ B ）模型。 A. MA(2) B.ARMA(1,1) C.AR(2) D.MA(1) 2.下图是某时间序列的样本偏自相关函数图，则恰当的模型是（ B ）。 A. )1(MA B.)1(AR C.)1,1(ARMA D.)2(MA 3. 考虑MA(2)模型212.09.0--+-=t t t t e e e Y ，则其MA 特征方程的根是（ C ）。 （A ）5.0,4.021==λλ （B ）5.0,4.021-=-=λλ （C ）5.2221==λλ， （D ） 5.2221=-=λλ， 4. 设有模型112111)1(----=++-t t t t t e e X X X θφφ，其中11<φ，则该模型属于（ B ）。 A.ARMA(2,1) B.ARIMA(1,1,1) C.ARIMA(0,1,1) D.ARIMA(1,2,1) 5. AR(2)模型t t t t e Y Y Y +-=--215.04.0，其中64.0)(=t e Var ，则=)(t t e Y E （ B ）。 A.0 B.64.0 C. 1 6.0 D. 2.0 6.对于一阶滑动平均模型MA(1): 15.0--=t t t e e Y ，则其一阶自相关函数为( C )。 A.5.0- B. 25.0 C. 4.0- D. 8.0 7. 若零均值平稳序列{}t X ?，其样本ACF 呈现二阶截尾性，其样本PACF 呈现拖尾性，则可初步认为对{}t X 应该建立（ B ）模型。 A. MA(2) B.)2,1(IMA C.)1,2(ARI D.ARIMA(2,1,2) 8. 记?为差分算子，则下列不正确的是（ C ）。 A. 12-?-?=?t t t Y Y Y B. 212 2--+-=?t t t t Y Y Y Y C. k t t t k Y Y Y --=? D. t t t t Y X Y X ?+?=+?） ( 二、填空题（每题3分，共24分）； 目录 摘要 (1) 前言 (2) 第一章时间序列的预测函数及其评价指标 (4) 第一节预测函数 (5) 第二节评价预测的数量指标 (5) 第二章 BP神经网络 (6) 第一节 BP神经网络的结构 (6) 第二节 BP神经网络算法及公式推导 (7) 第三节 BP神经网络算法的步骤 (9) 第三章基于BP神经网络的时间序列预测及其应用 (11) 第四章结论 (14) 总结与体会 (15) 致谢词 (15) 参考文献 (15) 附录 (16) 摘要 首先，本文介绍了时间序列的含义和时间序列预测在国内外的研究情况，列举了两个时间序列预测的实际例子。文中阐述了时间序列预测及其评价指标，比较了各评价指标之间的长处和短处。其次, 本文阐述了BP神经网络算法及其公式推导。给出了BP神经网络算法的流程图。最后,本文从实用出发，列出了1993年至2006年我国GDP的数据,此组数据呈现出增长趋势,这种增长趋势反映了近十几年我国经济的快速增长。用BP神经网络预测出我国2007年的GDP是200790亿元, 这表明今后我国经济有减缓的迹象,这也说明我国近几年宏观经济调控获得了一定的成果。 【关键词】时间序列神经网络预测 GDP Abstract This grade paper, times series, and the development of times series forecast are introduced at first, and then the practical examples of times series forecast are enumerated. The function of times series forecast and its evaluative index are given. We compare the advantage and disadvantage of these evaluative indexes. Secondly, The principles of BP neural network and BP neural network’s algorithm are presented. Finally, we particularize our country GDP statistics, which it increases, which it indicates economy’s fast increasing, year by year, from 1993 to 2006. We also study BP neural network’s forecast algorithm. Our country GDP in 2007,wiche it is about 200790 hundred millions is forecasted by BP neural network, and it shows that the Chinese macro-economy policy in ten years are succeed. Keywords time series neural network prediction GDP 基于神经网络的时间序列Lyapunov指数普的计算设计 目录 摘要...................................................................... I Abstract............................................................... I I 第一章绪论. (1) 1.1 引言 (1) 1.2 Lyapunov计算方法的定义 (2) 第二章基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算 (3) 2.1 相空间重构 (3) 2.2 Oseledec矩阵的确定 (3) 2.3 QR分解 (5) 2.4 小波神经网络 (6) 2.5 基于RBF神经网络的Lyapunov指数谱 计算方法 (9) 2.6 Lyapunov指数实验计算代码 (10) 2.6.1确定嵌入维数 (10) 2.6.2确定延迟时间 (10) 2.6.3计算Lyapunov指数普 (11) 2.7 Lyapunov指数仿真实验结果 (13) 2.7.1 实验一 (13) 2.7.2 实验二 (14) 小结 (17) 总结 (18) 参考文献 (19) 致谢 (20) 摘要 Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。利用RBF 神经网络的非线性函数逼近能力, 由实验观察数据列计算系统的Lyapunov指数谱实例计算表明, 此种方法精度较高且计算量较小, 有重要的实际意义. 关键词: Lyapunov 指数谱; 相空间重构; 人工神经网络 MATLAB动态神经网络在时间序列预测中的应用 摘要：本文在介绍了Matlab神经网络工具箱的基础上，主要对时间序列预测工具箱的使用作了说明，并用实例仿真说明如何进行时间序列预测的调用实现，通过不断的调整参数，最后使训练的模型比较理想，满足实际的需求，表明了直接使用时间序列预测的有效性，并为Matlab神经网络工具箱的使用提供了新的方法。 关键词：Matlab；神经网络；时间序列；预测 引言 时间序列是根据时间顺序得到跟时间相关的变量或者参数的观测数据[1]。对时间序列的研究主要是挖掘其中有价值的信息，找到其中变化的内在规律[2]。时间序列预测是时间序列分析研究的主要内容，是指根据现有的和历史的时间序列的数据，建立能反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型[3]，从而能对序列未来的趋势做出合理的预测。简单的说，时间序列预测就是用已有的数据预测下一个时间段的值。目前，时间序列预测已经广泛应用在自然界、经济、化学、科学工程等各个领域。 随着Matlab版本的不断更新，神经网络工具箱不断的完善，使得仿真的实现日益简单，R2010b后的版本对时间序列预测的实现不需要手动写代码，网络训练完毕，从Simple Script可看到网络代码，并可对代码进行编辑、改编，因此，只要调用就可应用在各个领域。本文结合时间序列预测的特点，将Matlab神经网络工具箱中的时间序列预测应用到温度预测的实例中，通过快速的仿真及不断的调整参数，从而形成较理想的数学模型，为后期进行温度的预测奠定了基础。 1Matlab神经网络工具箱简介 神经网络分为静态和动态两类。静态神经网络是无反馈、无记忆的，输出仅依赖于当前的输入，例如BP神经网络和RBF神经网络。动态神经网络是有记忆的神经网络，其输出依赖于当前和以前的输入。动态神经网络又分为有反馈和无反馈，有反馈指输出依赖于当前输入和前一个输入输出，无反馈指输出依赖于当前和之前的输入。因此，动态神经网络比静态神经网络功能强，本文选择动态神经网络进行时间序列预测。 Matlab神经网络工具箱提供了一系列用于模型训练的工具，包括曲线拟合工具箱、模式识别工具箱、聚类工具箱和时间序列工具箱，利用这些工具箱可进行快速的调整参数，通过仿真得到直观的结果。另外，Matlab神经网络工具箱还提供人机交互界面，可根据提示一步一步的完成模型的训练，并对仿真的结果进行分析，直到满足要求为止。 选择时间序列工具箱或者直接在命令窗口中输入ntstool，可打开时间序列预测工具箱界面，根据数据选择符合哪种情况，根据人机交互界面的提示，将数据 说明：答案请答在规定的答题纸或答题卡上，答在本试卷册上的无效。 一、填空题（本题总计25分） 1. 常用的时间序列数据，有年度数据、（ ）数据和（ ） 数据。另外，还有以（ ）、小时为时间单位计算的数据。 2. 自相关系数j ρ的取值范围为（ ）；j ρ与j -ρ之间的关系是（ ）；0ρ=（ ）。 3.判断下表中各随机过程自相关系数和偏自相关系数的截尾性，并用 2. 如果随机过程{}t ε为白噪音，则 t t Y εμ+= 的数学期望为 ；j 不等于0时，j 阶自协方差等于 ，j 阶自相关系数等于 。因此，是一个 随机过程。 1.（2分）时间序列分析中，一般考虑时间（ ）的（ ）的情形。 3. （6分）随机过程{}t y 具有平稳性的条件是： （1）（ ）和（ ）是常数，与 （ ）无关。 （2）（ ）只与（ ）有关，与 （ ）无关。 7. 白噪音的自相关系数是： 1.白噪音{}t y 的性质是：t y 的数学期望为 ，方差为 ；t y 与j -t y 之间的协方差为 。 1.（4分）移动平均法的特点是：认为历史数据中（ ）的数据对未来的数值有影响，其权数为（ ），权数之和为（ ）；但是，（ ）的数据对未来的数值没有影响。 2. 指数平滑法中常数α值的选择一般有2种： （1）根据经验判断，α一般取 。 （2）由 确定。 3. （5分）下述随机过程中，自相关系数具有拖尾性的有（ ），偏自相关系数具有拖尾性的有（ ）。 ①平稳(2) ②(1) ③平稳(1,2) ④白噪 音过程 4.（5分）下述随机过程中，具有平稳性的有（ ），不具有平稳性的有（ ）。 ①白噪音 ②t t y 1.23t+ε=+ ③随机漂移过程 ④t t t 1y 16 3.2εε-=++ ⑤t t y 2.8ε=+ 2.（3分）白噪音{}t ε的数学期望为（ ）；方差为（ ）；j 不等于0时，j 阶自协方差等于（ ）。 （2）自协方差与（ ）无关，可能与 （ ）有关。 3. （5分）下述随机过程中，自相关系数具有截尾性的有（ ），偏自相关系数具有截尾性的有（ ）。 【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论 近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！ 1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。 （1）定义法 定义法求解Lyapunov指数.JPG 关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) %Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 %a=0.15,b=0.20,c=10.0 %dx/dt = -y-z, %dy/dt = x+ay, %dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子 dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数 clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix; tstart = 0; % 时间初始值 tstep = 1e-3; % 时间步长 wholetimes = 1e5; % 总的循环次数 steps = 10; % 每次演化的步数 iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1); lp = zeros(3,1); % 初始化三个Lyapunov指数 Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1); for i=1:iteratetimes tspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y); % 取积分得到的最后一个时刻的值 y = Y(size(Y,1),:); % 重新定义起始时刻 tstart = tstart + tstep*steps; 目录 1引言 (1) 2MG时间序列 (1) 2.1MG时间序列简介 (1) 2.2利用dde23函数求解MG时间序列 (1) 3BP神经网络 (3) 3.1神经网络总体思路 (3) 3.2MATLAB中的newff函数 (3) 3.3BP神经网络的训练 (4) 3.4构建输入输出矩阵 (6) 3.5对MG时间序列未来值预测 (6) 4参考文献 (7) 5附录 (8) 1 引言 本文选用的神经网络的是BP 神经网络，利用MATLAB 编程实现。首先通过求解Mackey-Glass 方程得到具有513个数据的Mackey-Glass 时间序列，其中一半用于训练神经网络，一半用于检测预测值。BP 神经网络输入层神经元个数为4，隐含层为8，输出层为1。利用BP 神经网络工具箱构建神经网络并对其进行训练，然后利用训练好的神经网络对未来值进行预测，画出比较图。 2 MG 时间序列 2.1 MG 时间序列简介 Mackey-Glass 混沌系统一类非常典型的混沌系统，混沌系统模型由以下的时滞微分方程来描述： )() (1) ()(t x t x t x dt t dx βτταγ--+-= 其中 α =0.2，β =0.1，γ =10，τ是可调参数，x(t)是在t 时刻的时间序列的值。MG 方程表现出了某种周期性与混沌特性，在τ<16.8时，表现出周期性，在 τ>16.8时，则表现出混沌特性。 2.2 利用dde23函数求解MG 时间序列 本课程设计中取τ=10，也就是说MG 时间序列会表现为周期性。可以利用MATLAB 求解MG 方程，MG 方程是一个时滞微分方程，其中一种求解方法是利用MATLAB 的dde23函数。具体求解方法是：首先建立MG .m 函数文件，代码如下 function y = MG(t,x,z) %UNTITLED Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here 时间数列 一、填空题 1、动态数列分为、和动态数列三种。 2、动态数列由和两要素构成。 3、平均发展水平是对求平均数，统计上又叫。 4、发展速度由于采用基期的不同，可分为发展速度和发展速度。二者之间的数量关系可用公式、表示。 5、发展速度和增长速度之间的关系是。 6、平均发展速度是的平均数。 7、测定季节变动的最重要指标是。 二、单项选择题 1、动态数列中，每个指标数值相加有意义的是（）。 A. 时期数列 B. 时点数列 C. 相对数数列 D. 平均数数列 2、序时平均数计算中的“首末折半法”适合于计算（）。 A. 时期数列 B. 连续时点数列 C. 间隔相等的间断时点数列 D. 间隔不等的间断时点数列 3、已知某地区2000年的粮食产量比1900年增长了1倍，比1995年增长了0.5倍，那么1995年粮食产量比1990年增长了（）。 A. 0.33倍 B. 0.50倍 C. 0.75倍 D. 2倍 4、已知一个数列的环比增长速度分别为3%、5%、8%，则该数列的定基增长速度为（） A. 3%×5%×8% B. 103%×105%×108% C. （3%×5%×8%）＋1 D（103%×105%×108%）－1 5、企业生产的某种产品2002年比2001年增长了8%，2003年比2001年增长了12%，则2003年比20年增长了（）。 A. 3.7% B. 50% C. 4% D. 5% 6、某企业2000年的利润为100万元，以后三年每年比上年增加10万元，则利润的环比增长速度（）。 A年年增长 B. 年年下降 C. 年年保持不变 D. 无法做结论 7、1980年为基期，2003年为报告期，计算粮食产量的年平均发展速度时，需要（） A. 开24次方 B. 开23次方 C. 开22次方 D. 开21次方 8、若无季节变动，则季节比率应（）。 A. 为0 B. 为1 C. 大于1 D. 小于1 三、多项选择题 1．下列动态数列中，哪些属于时点数列。（） A. 全国每年大专院校毕业生人数 B. 全国每年大专院校年末在校学生数 C. 某商店各月末商品库存额 D. 某企业历年工资总额 E. 全国每年末居民储蓄存款余额 2．动态数列中，各项指标值不能相加的有（）。 A. 时点数列 B. 时期数列 C. 平均数动态数列 D. 相对数动态数列 E. 以上数列中的各项指标数值都不能相加 3．简单算术平均数适合于计算（）的序时平均数。 A. 时期数列 B. 间隔不等的间断时点数列 C. 间隔相等的间断时点数列 D. 间隔不等的连续时点数列 E. 间隔相等的连续时点数列 4．定基增长速度等于（）。 神经网络预测时间序列 如何作预测?理想方法是利用已知数据建立一系列准则,用于一般条件下预测,实际上由于系统的复杂性而不太可能,如股票市场预测。另一种途径是假设一次观测中过去、未来值之间存在联系。其中一种选择是发现一个函数,当过去观测值作为输入时,给出未来值作为输出。这个模型是由神经网络来实现的。 1.2 神经网络预测时间序列 (1) 简单描述 在时间序列预测中,前馈网络是最常使用的网络。在这种情形下,从数学角度看,网络成为输入输出的非线性函数。记一个时间序列为}{n x ,进行其预测可用下式描述: ),,(1+-1-+=m n n n k n x x x f x (1) 时间序列预测方法即是用神经网络来拟合函数)(?f ,然后预测未来值。 (2) 网络参数和网络大小 用于预测的神经网络性质与网络参数和大小均有关。网络结构包括神经元数目、隐含层数目与连接方式等,对一个给定结构来说, 训练过程就是调整参数以获得近似基本联系,误差定义为均方根误差,训练过程可视为一个优化问题。 在大多数的神经网络研究中,决定多少输入与隐层单元数的定量规则问题目前尚未有好的进展,近有的是一些通用指导:首先, 为使网络成为一个完全通用的映射,必须至少有一个隐层。1989年证明一个隐层的网可逼近闭区间内任意一个连续函数。其次,网络结构要尽可能紧致,即满足要求的最小网络最好。实际上,通常从小网络开始。逐步增加隐层数目。同样输入元数目也是类似处理。 (3) 数据和预测精度 通常把可用的时间序列数据分为两部分:训练数据和检验数据。训练数据一般多于检验数据两倍。检验过程有三种方式: 短期预测精度的检验。用检验数据作为输入,输出与下一个时间序列点作比较,误差统计估计了其精度。 长期预测中迭代一步预测。以一个矢量作为输入,输出作为下一个输入矢量的一部分,递归向前传播。 直接多步预测。即用1+-1-m n n n x x x ,,直接进行预测,输出k n x +的预测值,其中 1>k 。 【总结】Lyapunov指数的计算方法 非线性理论 近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！ 1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE 求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。 （1）定义法 定义法求解 Lyapunov 指数.JPG 关于定义法求解的程序，和matlab 板块的“连续系统LE 求解程序”差不多。以Rossler 系统为例 Rossler 系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) % Rossler 吸引子，用来计算Lyapunov 指数 % a=0.15,b=0.20,c=10.0 % dx/dt = -y-z, % dy/dt = x+ay, % dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y 的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler 吸引子 dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler 吸引子的Jacobi 矩阵 3Lyapunov指数 3最大Lyapunov指数 (1) 3.1引言 (2) 3.2Lyapunov指数谱的理论计算方法 (4) 3.3Wolf法求Lyapunov指数 (5) 3.4小数据量和Kantz法计算最大Lyapunov指数 (6) 3.5尺度相关的Lyapunov指数 (8) 3.6海杂波的最大Lyapunov指数 (10) 3.7本章小结 (10) 3.8后记 (10) 3.1 引言 最大Lyapunov指数是判断和描述非线性时间序列是否为混沌系统的重要参数，因此 是一个重要的混沌不变量。对于混沌系统来说，耗散是一种整体性的稳定因素，动力系 统一方面作为耗散系统最终要收缩到相空间的有限区域即吸引子上。另一方面系统在相 体积收缩的同时，运动轨道又是不稳定的，要沿某些方向进行指数分离。奇怪吸引子的 不稳定的运动轨道在局部看来总是指数分离的。为了有效刻画吸引子，我们有必要研究 动力系统在整个吸引子或无穷长的轨道上平均后的特征量，如Lyapunov指数、关联维和 Kolmogorov熵等。混沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏感，两个极为靠近的初 始值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分离，Lyapunov指数就是描述这一现象的量。 在一维动力系统1()n n x F x +=中，初始两点迭代后互相分离还是靠拢，关键取决于导数dF dx 的值。若1dF dx >，则迭代使得两点分开；若1dF dx <，则迭代使得两点靠拢。但是在不断的迭代过程中， dF dx 的值也随之而变化，呈现出时而分离时而靠拢。为了表示从整体上看相邻两个状态反而情况，必须对时间(或迭代次数)取平均。不妨设平均每次 迭代所引起的指数分离中的指数为λ，于是原来相距为ε的两点经过次迭代后距离为 n ()00()(n x n n e F x F λεε=+?0)x (3.1) 取极限0,n ε→→∞，则(3.1)变为 ()()0 0000()()11lim lim ln lim ln n n n n n x x dF x F x F x x n n εελε→∞→→∞=+?==dx (3.2) 上式变形后，可简化为： ()()0 1001lim ln n n i x x dF x x n dx λ?→∞===∑ (3.3) (3.3)中的λ与初始值的选取没有关系，称为原动力系统的Lyapunov 指数，它表示系 统在多次迭代中平均每次迭代所引起的指数分离中的指数。若0λ<，则意味着相邻点 最终要靠拢合并成一点，这对应于稳定的不动点和周期运动；若0λ>，则意味着相邻 点最终要分离，对应于轨道的局部不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素(如整体有界、 耗散、存在捕捉区域等)，系统要在有限的几何对象上实现指数分离，必须无穷次折叠。 则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子，故0λ>可以作为混沌行为的一个判据。 对于一般的维动力系统，定义Lyapunov 指数如下： n第六章_时间数列练习题及解答
小波神经网络的时间序列预测短时交通流量预测.doc
关于连续系统Lyapunov指数的计算方法
第章时间序列预测习题答案
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