奇偶性
[提出问题]
函数(1)f(x)=x2-1,(2)f(x)=-1
x,(3)f(x)=2x的图象分别如图所示:
问题1:各个图象有怎样的对称性?
问题2:对于以上三个函数,分别计算f(-x),观察对定义域内的每一个x,f(-x)与f(x)有怎样的关系?
[导入新知]
[化解疑难]
理解函数的奇偶性应关注四点
(1)函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(偶)函数.
(2)函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件:定义域关于原点对称.换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.例如,函数y=x2在区间(-∞,+∞)上是偶函数,但在区间[-1,2]上却无奇偶性可言.
(3)若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0.
(4)若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即f(x)=0,x D,D是关于原点对称的实数集.
[例1]判断下列函数的奇偶性: