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拉普拉斯变换例题解析

第二章：控制系统的数学模型

§2.1 引言

·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。

·建模方法

??实验法（辩识法）机理分析法

·本章所讲的模型形式

???复域：传递函数

时域：微分方程

§2.2控制系统时域数学模型

1、线性元部件、系统微分方程的建立（1）L-R-C 网络 C r u R i

L u +?+?=

↓

i C u =?& c c c u u C R u C L +′??+′′??= 11c c c R u u u u r L

LC LC

′′′∴++

= ── 2阶线性定常微分方程（2）弹簧—阻尼器机械位移系统

分析A、B 点受力情况

02B

0A A

A i 1x k )x x

f()x x (k =?=?∴&& 由 A 1A i 1x k )x x (k =? 解出01

i A x k k x x ?

代入B 等式：02001

i x k )x x k k x

f(=??&&& 0201

i x k x k k 1f(x

f ++=?&& 得：()i 1021021x fk x k k x

k k f &&=++ ── 一阶线性定常微分方程

（3）电枢控制式直流电动机电枢回路：b a E i R u +?=┈克希霍夫电枢及电势：m e b C E ω?=┈楞次电磁力矩：┈安培

i C M m m ?=力矩方程：m m m m m M f J =+?ωω

& ┈牛顿

变量关系：m m

b a

M E i u ω?

??? 消去中间变量有：

a m m m m u k T =+ωω& [][]??

???+?=+?=传递函数时间函数 C C f R C k C C f R R

J T m e m m

m m e m m m

（4）X-Y 记录仪（不加内电路）

????

?????

??=?===+Δ?==Δl

l 4p 3

m 2a

m m m m 1a p r k u :k :k :u k T :u k u :u -u u :电桥电路绳轮减速器电动机放大器比较点θ

θθθθ&&& a m r p u u u u l θθΔ??????????? 消去中间变量得：

a m 321m 4321m u k k k k k k k k k T =++l l l &&&─二阶线性定常微分方程

即：a m

m 321m m 4321m u T k

k k k l T k k k k k l T 1l =++&&&

2、线性系统特性──满足齐次性、可加性 z 线性系统便于分析研究。

z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 z 非线性元部件微分方程的线性化。

例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0α处的线性化增量方程

()ααcos E y 0=

解：在0αα=处线性化展开，只取线性项： ()()()()0000sin E y y ααααα??+= 令 ()()0y -y y αα=Δ 0ααα?=Δ 得 ααΔ??=Δ00sin E y 3、用拉氏变换解微分方程（初条件为0） a u l l l 222=++&&& ()()()s

s 2U s L 22s s :L a 2==++

()()

2s s s 2

s L 2

++=

()()[]s L L t :L -11=?l

复习拉普拉斯变换的有关内容

1 复数有关概念（1）复数、复函数复数 ωσj s += 复函数 ()y x jF F s F += 例：()ωσj 22s s F ++=+=

（2）复数模、相角

()()x

y 2

y 2x F F arctg

s F F F s F =∠+= （3）复数的共轭 ()y x jF F s F ?=

（4）解析：若F(s)在s 点的各阶导数都存在，称F(s)在s 点解析。 2 拉氏变换定义

()()[]()dt e t f t f L s F st 0?∞

?==∫?

?：像

：像原

F(s))t (f 3 几种常见函数的拉氏变换 1. 单位阶跃：

()??

?≥<=0

t 10 t 0t 1()[]]

()s

110s 1

e s

1dt e 1t 1L 0

0st =??=

?=∞

?∞

?∫

2. 指数函数：

???≥<=0

t e 0

t 0)t (f

at ()[]

s 1

)10(a s 1e a

s 1 dt

e dt e e )]t (

f [L 0

)a s (0

t a s st

?=???=

??=

=?=∞??∞

???∞

∫∫

3. 正弦函数：

??≥<=0t t sin 0

t 0)t (f ω

[][]

[]

2220t )j s (0t )j s (0

)t j s ()t

j -(s -st 0

t j t

j 0st s s 2j 2j 1 j s 1j s 12j 1 e j s 1e j s 12j 1 dt e e 2j 1 dt e e e 2j 1 dt

e t sin )t (

f L ωω

ωωωωωωωωωωωωω+=

+?=

??????+??=???

???+??

??=?=??=?=∞+?∞??∞

+??∞?∞

?∫∫

∫

4 拉氏变换的几个重要定理

（1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L ??=′

()()

()()()()()()st

st 0

-st

0f t e dt e df t e f t f t de 0-f 0s f t e dt sF s f 0 ∞

∞

??∞

∞

?∞?′=?=??=???=+????=?=∫∫∫

∫证明：左右

零初始条件下有：()()()()()()()()()n n n n-1n-2 L f t s F s s f 0s f 0sf 0f 0???′=???????

L 进一步：-2n 1()()[]()s F s t f L n n ?= z 例1：求()[]t L δ

()(t 1t ′=)δQ 解：

()[]()[]()1010s

s t 1L t L =?=??=′=∴?δδ z 例2：求[]t cos L ω 解：[]2

222s s s s 1

t n si L 1

t cos ω

ωω

ω+=+?

?=′=

Q （3）积分定理：()[

]

()()()0f s

1s F s

dt t f L 1-+?=∫ （证略）

零初始条件下有：()[]

()s F s

dt t f L ?=∫ 进一步有：

{()()()()()()()()0f s 10f s 10f s 1s F s

1dt t f L n 21n 1n n n

n ????++++=???

?????∫∫∫L L

z 例3：求L[t]=? 解：()dt t 1t ∫=Q

[]()[]

0t s 1t s 1s 1s 1dt t 1L t L =

+?==∴=∫ z 例4：求???

???2t L 2

解：∫=tdt 2

t 2

[]

t 2

22s 1

2t s 1s 1s 1tdt L 2t L =

+?==?

????∴=∫ （4）位移定理

实位移定理：()[]()s F e -t f L s ?=?ττ

z 例5：

()()s F 0 t 01 t 0 10 t 0t f 求??

??><<<

= 解：)1t (1)t (1)t (f ??= ()()s s e 1s

1e s

1s F ???=??=∴

虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =? （证略） z 例6：求[]at e L

:解[]()[]

s 1e t 1L e L at at ?=

?= z 例7：[]()2

s s 2

23t -53s 3

s 5s s cos5t e L +++=

?+→

z 例8：?

???????

??=?????????)15t (5cos e L )35t (cos e L 2t

2t ππ ()()2

22s 152

s s 22s 15-52s 2s e 5s s e +++?=??????+=+?+→π

π （5）终值定理（极限确实存在时）

()()()s F s lim f t f lim 0

s t ?=∞=→∞

→

证明：由微分定理

()()()0f s sF dt e t f st 0

?=′?∞

∫

取极限： ()()()0f s sF lim dt e t f lim

0s st

0s ?=′→?∞

→∫

()[]

()()()()()()

0f s sF lim 0f f t f dt 1t f dt lime t f 0

s 0

s st 0

?==?∞==??′=′=→∞

∞

→?∞

∫∫右左

∴有：证毕

()() s sF lim f 0

s →=∞z 例9：()()() b s a s s 1

s F 求++=

()f ∞

解： ()()()ab

b s a s s 1s

lim f 0

s =++=∞→

z 例10：()0s s

lim t sin f 2

20s t =+≠=∞→∞→ω

拉氏变换附加作业

一．已知f(t),求F(s)=?

()1-t T

1).f(t)1-e

F s 11s s s s T T ==???++????

()

2222

s 0.122).f (t)0.03(1cos2t) F(s)0.03s s 2s s 2??=?=?=??++?? s 152222

50.866s 2.5

3).f (t)sin(5t ) F(s)e 3s 5ππ

+=+==++s 5

()

0.4t 2

s 0.4

4).f (t)e cos12t F(s)s 0.8s 144.16

s 0.412?++===

++++ []05).f (t)t 11t t ??=?????

()()0t s

11t s e F s s ??+=

()()

()22

3s 2s 8

6).F(s) f ? f(0)? f()1, f(0)0s s 2s 2s 4++=∞==∞+++已知求== 二．已知F(s),求f(t)=?

()

2s 5s 1

1).F(s) f(t)1cost-5sint s s 1?+==++

()

4t 2

4t s

2).F(s) f(t)cos(t 14)s 8s 17 e cost 4sint ??=

=++=?o +

t 132

113).F(s) f(t)e e s 21s 120s 1008181

??0t

19t +=

=+++? (

)2-2t t 2

3s 2s 8

4).F(s) f(t)1-2e e s s 2(24)

s s ?++==++++?

()()

t 32

s 22131

5).F(s) f(t)(t )e e 32412

s s 1s 3t ??+=

?++++ 5.拉氏反变换 (1) 反变换公式：∫∞+∞

j j st

ds e ).s (F j 21)t (f σσπ (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)

f(t),)

a s (s 1

)s (1.F 求例+=

???

???+?

=++=

a s 1s 1a 1)a s (s s -a)(s a 1)s (.F 解 []at e 1a

1)t (f ??=∴ 微分方程一般形式：

r b r b r b r b C C a C a C m 1-m )1-m (1)m (01-n )1-n (1)n (+′+++=+′+++L L

)0(:L 设初条件为

[]

R(s)b s b s b s b )s (C a s a s a s a s

m 1-m 1m 1m 0n 1-n 2-n 21-n 1n

++++=+++++?L L

)s (A )

s (R ).s (B a s a s a s a s )R(s)b s b s b s (b C(s)n

1-n 2

-n 21-n 1n m 1-m 1m 1m 0=+++++++++=∴?L L )

p s ()p s )(p s ()

s (R ).s (B n 21???=

∑=?=?++?+?+?=

1i i

i n n 332211 p s c

p s c p s c p s c p s c )s (C L 特征根:p i ∑==++++=∴n

i t p i t

p n t

p 3t

p 2t

p 1i n 321e c e

c e

c )t (f L

模态:e t p i )s (F 的一般表达式为：

[]r b r b r b r b C C a C a C m 1-m )1-m (1)m (01-n )1-n (1)n (+′+++=+′+++L L 来自：（I）

)m n (a s a s a s a s b s b s b s b )s (A )s (B )s (F n

1-n 2

-n 21-n 1n m

1-m 1m 1m 0>+++++++++==?L L

其中分母多项式可以分解因式为：

(II)

)p s ()p s )(p s ()s (A n 21???=L

的根(特征根)，分两种情形讨论：

)s (A p i 为I：无重根时：(依代数定理可以把表示为：) 0)s (A =)s (F

∑=?=?++?+?+?=n

1i i

i n n 332211p s c

p s c p s c p s c p s c )s (F L

∑==++++=∴n

i t p i t

p n t

p 3t

p 2t

p 1i n 321e c e

c e

c )t (f L

即：若可以定出来，则可得解：而计算公式：

i c i c

(Ⅲ) )s (F ).p s (lim c i p s i i

?=→ i

p s 'i )

s (A )s (B c ==

(Ⅲ′)

(说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′) )

● 例2：3

4s s 2

s )s (F 2+++= 求?)t (f =

解：3s c

1s c 3)1)(s (s 2s )s (F 21+++=+++=

31213)1)(s (s 2s )

1s (lim c 1s III

1=+?+?=++++=?→

13233)1)(s (s 2s )

3s (lim c 3

s III

2=+?+?=++++=?→

3s 2

11s 21)s (F ++

∴ 3t t e 21

e 21)t (

f ??+=∴

● 例3：3

4s s 5

5s s )s (F 22++++= ，求?)t (f =

解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)

3)1)(s (s 2

s 13

4s s 2s 3)4s (s )s (F 22++++

=++++++= 3t t e 2

e 21)t ()t (

f ??++=∴δ

● 例4：j

1s c j -1s c j)1j)(s -1(s 3s 22s s 3s )s (F 212

++++=++++=+++=

解法一：

2j j

2j)1j)(s -1(s 3s )

j -1s (lim c j

1s 1+=+++++=+?→

-2j)1j)(s -1(s 3s )

j 1s (lim c j

-1s 2?=++++++=?→

j)t

1(t )j 1(e 2j

j -2e 2j j 2)t (f ??+??+=

∴ []

-jt t e )j 2(e )j 2(e 2j

1??+=? （t cos j 2e e ,t sin j 2e e jt jt jt jt =+=???Q

） [])2sint cost (e j 4sint 2cost e 2j

1t t

+=+=

?? 1

)1s (2

1)1s (1s 1)1s (21s 1)1s (3s )s (F 2

222++++++=++++=+++=

t t e .2sint e .cost )t (f ??+=

∴虚位移定理

解法二：

)

( sint .2e cost .e )t (f 11)(s 1

211)(s 1s 11)(s 21s 11)(s 3s )s (F t t 22222222复位移定理??+=++++++=

++++=+++=

II：有重根时： 0)s (A =

设为m 阶重根，为单根 .则可表示为：

1p n 1m s ,s L +)s (F n

1m 1m 111-m 11-m m 1m p -s c p -s c p -s c )p -(s c )p -(s c )s (F ++++++=

++L

其中单根的计算仍由(1)中公式(Ⅲ) (Ⅲ′)来计算.

n 1m c ,c L +

重根项系数的计算公式：(说明原理)

]

[]

]

????????

???????=

?=?=?=→→→→)s (F .)p s (ds d lim 1)!-(m 1c )s (F .)p s (ds d lim j!1c (IV) )

s (F .)p s (ds d lim c )

s (F .)p s (lim c m 1p s 1-m 1)

-(m 1m

1p s j

(j)j -m m

1p s 1-m m 1p s m 111

L L []

( e c e .c t c t )!2m (c t )!1m (c p -s c p -s c p -s c )p -(s c )p -(s c L )s (F L )t (f t p n 1m i i t p 122m 1-m 1

m m n n 1m 1m 111

-m 11-m m 1m 11i 1∑+=??++??+??

????+++?+?=???

?++++++==∴L L L

●例5 3)

(s 1)s(s 2

s )s (F 2

+++= 求?)t (f =

解：3

s c s c 1s c 1)(s c )s (F 4

3122++++++=

1)31)(1(2

13)(s 1)s(s 2s 1)(s lim c 2

s IV

2?=+??+?=++++=?→ 43)3(])3)[(2()3(lim 3)(s 1)s(s 2s 1)(s ds d lim

c 22122

1s IV

1?=++++?+=?????

?++++=?→?→s s s s s s s s 3

3)(s 1)s(s 2s s.

lim c 20

s 3=+++=→

3)(s 1)s(s 2s 3).

(s lim c 2

-3

s 4=++++=→ 3

s 1

.121s 1.321s 1.431)(s 1.21)s (F 2++++?+?=∴

3t t t e 12

32e 43te 21)t (f ???++??=∴

3.用拉氏变换方法解微分方程 ● 例：

u l l r l 222.

..=++

?????===1(t)

(t)u 011r '

(0)0）（初始条件：？求=)(1t 解：s

L(s)22s s L 2=++］：［

2s s(s 2)s(s 22s s 2)2s s(s 2L(S)222+++++=++=－

2221)1(11s s 122s 2s s 1++++=+++=s s －－ 22221)1(11)1(1s s 1+++++=s s －－ 1L l(t)1cos t cos t t t e e ??=－：－－

1Sin(t 45) 121cos t

cos t t

t ?=+o j

e e λ??±??????????

，特征根：＝－

模态

举例说明拉氏变换的用途之一—解线性常微分方程，引出传函概念。如右图ＲＣ电路：初条件：c0c u )0(u =

输入 []t 1.E )t (u 0r =

依克西霍夫定律：

r c c c c c c c u (t)i(t)R u (t) (**) I(s)C U (s)1

i(t)C u

(t) U (s)I(s)Cs I(s)Cs

CRu (t)u (t) U (s)CRs 1

s =?+=↓=?==+=

+&& L 变换：

r c c0c c c U (s)CR(sU (s)u )U (s) (*) (CRs 1)U (s)CRu =?+=+??0

c r c0c00c

c0r 11

U (s)U (s)CRu (*)

CRs 1CRs 1

1(s )s u 0E U (s)11CR .u 1s U (s)CRs 1(s )s CR CR =

++++?==++++ c00u 11E 11s s s CR CR ??

=?+????++?? c r c c r (CRs 1)U (s)U (s)CR u u u ??+=+= t t

-1

CR CR c 0c0L u (t)E 1e u e ????

=?+????14243

1442443另输入响应另状态响应

变换：依（＊）式可见，影响ＣＲ电路响应的因素有三个：

r c01:u (t)2:u ?

输入初条件分析系统时，为在统一条件下衡量其性能

输入都用阶跃，初条件影响不考虑

3:系统的结构参数 ――只有此项决定系统性能

c r U (s)1

CRs 1U (s)

=+零初条件下输入/出拉氏变换之比（不随输入形式而变）

§2-3 线性定常系统的传递函数——上述ＣＲ电路的结论适用于一般情况

一般情况下：线性系统的微分方程：

r(t)

b (t)r b (t)r b (t)r b C(t)a (t)C a )t (C a )t (C m 1-m )1-m (1)m (0n 1-n )1-n (1)n (+′+++=+′+++L L

简单讲一下：

传递函数的标准形式： I:为首1

多项式型：D(s)根轨迹增益:K S K T

1S T K G(s)**

α+=+

= II:为尾1多项式型： D(s)开环增益:K 1

TS K

G(s)+=

开环增益的意义：

一般情况下：

首1型：[

][

]

*1n *1n *

1m *1m *-n 1m 1*n a

s a s s b s b s K )p s ()p s (s )z s ()z s (K G(s)l

l l l l l ?++++++=????=????L L L L (1)

尾1型：[][]

1s a s a s 1s b s b )1s T ()1s T (s )1s ()1s (K G(s)1

n 1n 01m 1m 01m 1n ++++++=++++=?????L L L L l l l l l

ττ (2) 由(1)式： (3) ??????=?=∏∏==为极点为零点

i -n 1

i i *-n i m 1

i i

*m p )p (a z )z (b l

l 比较(1)(2):

)p (

)z (K a b K K a b K -n 1

i i

-n *

m *-n *

m *∏∏==??===?l

l (4)

首1型多用于根轨迹法中. 尾1型多用于时域法，频域法中.

(*)

R(s))b s b s

b s b ()s ()C a s a s

a s

a (s L m 1-m 1

m 1m 0n 1-n 2

-n 21

-n 1n

++++=+++++?L L 变换：

一 .传递函数定义：

条件： ?????===′====′=??0)0(c

)0(c )0(c 0)0(r

)0(r )0(r )

1m ()

1n (L L 定义：

[][]1s a a s a 11s b b s b b .

a b )p s ()p s )(p s ()z s ()z s )(z s (b )s (N M(s) a s a s a s b s b s b s b )s (R )s (C )t (r L )t (c L )s (G 1-n n

1n n 1

-m m 1m m

m n 21m 210n

1n 1n 1n m

1-m 1m 1m 0++++++=??????==++++++++=

==???L L L L L L

有关概念：特征式，特征方程，特征根零点——使的s 值

i z 0G(s)=

极点j p ——使的s 值

∞=G(s)n

m a b K =

：传递函数，增益，放大倍数→[])s (G s 1

.s lim )c(K a b 0s t 1r(t)n m →==∞==

结构图——系统的表示方法 G(s)分子分母与相应的微分方程之间的联

系：

前面的系数式分子：前面的系数式分母：)s (R (*))s (C (*)完全

取决于

系统本身的结构参数

注(1)为何要规定零初始条件？

分析系统性能时，需要在统一条件下考查系统：

输入：都用阶跃输入.

初条件：都规定为零——为确定一个系统的起跑线而定. 则系统的性能只取决于系统本身的特性(结构参数)

(2) 为何初条件可以为零？

1) 我们研究系统的响应，都是从研究它的瞬时才把信号加上去的. 2) 绝大多数系统，当输入为0时，都处于相对静止状态.

3) 零初始条件是相对的，常可以以平衡点为基点(如小扰动为线性化

时)

(3) 零初条件的规定，并不妨碍非零初条件时系统全响应的求解.

可以由G(s)回到系统微分方程，加上初条件求解.

二 .传递函数的性质：

1. G(s) : 复函数，是自变量为s 的有理真分式(m≤n) 均为实

常数.

i i b ,a m

1). 实际系统都存在惯性，从微分方程上反映出来，即C(s)的阶次比

R(s)阶次高.反映到G(s)上即有分母阶次n≥分子阶次m. 2).反证法：设m>n 则：

∞

→=∞

?++++++++=

=∞

→∞

→=???t

Asin )t (r A j s n 1n 1n 1n m

1-m 1m 1m 0)

s (R .)s (G )s (C a s a s a s b s b s b s b G(s)ωωωω

有限

即：L L

说明：

i..ii..?

系统本身是个能源，在有限输入条件下可以激发出无限大的输出不可能输入信号有限，但输入源的功率无限大，可以使系统输出无限大

2. G(s): 只与系统本身的结构参数有关与输入的具体形式无关.

输入变时，C(s)=G(s)R(s)变，但G(s)本身并不变化

但G(s)与输入、输出信号的选择有关.r(t),c(t)选择不同，G(s)不同.(见前CR 电路.)

3. G(s)与系统的微分方程有直接联系

4. →G(s)是系统单位脉冲响应的拉氏变换

[)t (k L G(s)(t)

r(t)δ==][]

r(t)(t)

-1

C(s)G(s).R(s)G(s) k(t)L G(s)δ===∴=Q

5. G(s)与系统相应的零极点分布图对应

G(s)的零极点均是复数，可在复平面上表示：若不计传递函数，G(s)与其零极点分布图等价. 例：*

2(2)

G(s)(3)(22)

s s s s K

+=+++

G(s)系统零极点分布图 ??系统性能 ?

?.动态特性稳定性；

若当系统参数发生变化时，分析其特性：

1) 用解微分方程法十分繁琐——一个元部件参数改变，影响

，得反复解

i i b ,a 2) 若掌握了零极点分布与系统性能之间的规律性，则当某个元部

件的参数改变时，变化，零极点位置变化，系统性能的变化规律就能掌握了，这样，我们可以有目的地改变某些参数，改善系统的性能，且免除了解微分方程的烦恼。——这是为什么采用G(s)这种数模的原因之一。

i i b ,a 三. 采用传递函数的局限：

1. G(s)原则上不反映C(0)≠0时的系统的全部运动规律.(虽然由G(s)

转到微分方程，可以考虑初条件的影响。) 2. G(s)只适用于单输入，单输出系统。

3. G(s)只适用于线性定常系统——由于拉氏变换是一种线性变换.

例：[][[][]出

(s)U (s)使U (s)sU (t)u (t)u

(s)

U A(s)(t)u a(t)而L (t)u (t)u

BL (t)a(t).u L s (s)RCU (s)U (t)u (t)u B (t)a(t).u (t)u

RC (t)u r c c c c c c c c c c r c c c c r 不能得/2≠??≠??++?=]?++=&&&&

传递函数是古典控制理论中采用的数学模型形式，经常要用。（典型元部件传递函数略讲，重点以伺服电机引出结构图的概念）例1 已知某系统，当输入为)(1)(t t r =时，输出为e e t t t C 43

1321)(????= 求：

1) 系统传递函数 ?G(s)=2) 系统增益？

3) 系统的特征根及相应的模态？ 4) 画出系统对应的零极点图； 5) 系统的单位脉冲响应?=k(t) 6) 系统微分方程；

7) 当(t),r(t))(c ,)c(10010==′?=时，系统响应

?=c(t)解 1）

1)s (R )4s )(1s (s 2)

2(s )4s )(1s (s 42s )4s )(1s (3s )1s (s )4s (2s )4s )(1s (3 4

s 1311s 132s 1 e 31e 321L )s (C 4t t =

+++=

+++=+++?+?++=

+?=?

?????=?? )1s 4

1)(1s (1)

s 21

()4s )(1s (2)2(s )s (R )s (C )s (G +++=+++==∴

①

2）由①式，增益K=1 3）由①式：特征根模态 4121??

??=?=λλ 4 e

t t ???????

4）零极点图见右

5）

[] G(s)L k(t)1?=

2232

4224

1412242112

++=↓=

++=↓+++=+++=

?=?=s s s )(s

c s )

(s c s c

s c ))(s (s )(s G(s)

[]4t 11343

2413411

324

341132????+=??????+++==∴+++=e e s .s .L G(s)L k(t) s .

s . G(s)t

6）4

54241222+++=+++==

s s s ))(s (s )(s R(s)C(s)

G(s) －隐含零初始条件

)R(s)s ()C(s)s s 4245(2+=++

－不受零初始条件限制

r(t)(t)r c(t)(t)c (t)c

4245:L 1+=++?&&&&

拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域（1）定义单边拉普拉斯变换：正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换：正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2）定义域

若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质（1）线性性若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2）原函数微分若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。（3）原函数积分若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4）延时性若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移

拉氏变换和z变换表

附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.拉氏变换的基本性质附表A-1 拉氏变换的基本性质 1()([n n k f t dt s s -+= +∑?个

2．常用函数的拉氏变换和z变换表附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >）式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,, ,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。（1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()i i i s s c s s F s →=- （F-2）或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3）

式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝1 i n s t i i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ 11lim [()()]i r r s s d c s s F s ds -→=- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) )()(lim )!1(11)1() 1(11s F s s ds d r c r r r s s --=--→ 原函数)(t f 为 [])()(1 s F L t f -= ??????-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11 111 1111)()() ( t s n r i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+?? ????+++-+-=112211 1 )!2()!1( （F-6）

拉普拉斯变换及逆变换

第十二章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。第一节拉普拉斯变换在代数中，直接计算 32 8 .95781 2028.6?? =N 5 3)164.1(? 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 164 .1lg 53 )20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。一、拉氏变换的基本概念定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= 0)()( （12.1）称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为() f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数），记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：（1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。解：00 00[]()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =- =-+? ?? 2020 ][0p a e p a dt e p a pt pt =-=+ =∞ +-∞+-? ) 0(>p

拉普拉斯变换习题集

1. 求下列函数的拉式变换。 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求()t v r 并讨论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向”“2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求（1）系统函数()() () s V s V s H 13=；（2）若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到()()()()()∑∞ =-= =0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求：（1）抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ；（2）若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。（1）写出电压转移函数()() () s E s V s H 2= ；（2）画出s 平面零、极点分布；（3）求冲激响应、阶跃响应。 12. 如图7所示电路，（1）若初始无储能，信号源为()t i ，为求()t i 1（零状态响应），列出转移函数()s H ；（2）若初始状态以()01i ，()02v 表示（都不等于0），但()0=t i （开路），求()t i 1（零输入响应）。

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或0≤t≤∞单边函数,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。 z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。 FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分,LT[f(t)]=从零到正无穷对 [f(t)exp(-st)]积分,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数： s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，

(推荐)拉氏变换常用公式

常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 00)(≥

? ? ∞ -∞ -∞ ----==0 d d ][t s e s e t t te t L st st st 2 01d 1s t e s st == ?∞- 6、正弦函数 0sin 0 )(≥

拉普拉斯变换题库

六．拉普拉斯变换㈠选择㈡填空 1.)(2)(t t f δ=的拉普拉斯变换是_______________ 2.)1()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________. 3.)2()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________. 4.t e t t f 22)(+=的拉普拉斯变换是_______________. 5.)(5)(2t e t f t δ+=的拉普拉斯变换是_______________ 6.)2()(2-=t u e t f t 的拉普拉斯变换是________________. 7.k e t t f kt n ()(=为实数)的拉普拉斯变换是__________________. 8.t e t f t 3sin )(2-=的拉普拉斯变换是__________________. 9.t e t f 2)(-=的拉普拉斯变换是_________________. 10.t e t f 2)(=的拉普拉斯变换是__________________。 11.t t f =)(的拉普拉斯变换是________________ 12.t te t f -=)(的拉普拉斯变换是____________________. 13.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是_____________. 14.at t f sin )(=的拉普拉斯变换是_________________. 15.t t t f cos sin )(=的拉普拉斯变换是___________________. 16. ()()sin f t u t t =的拉普拉斯变换是________________. 17. ()sin(2)f t t =-的拉普拉斯变换是________________. 18.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是________________. 19.t t f 2sin )(=的拉普拉斯变换是_______________. 20.t e t f t sin )(-=的拉普拉斯变换是_________________.

拉普拉斯变换公式总结..

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域（1）定义单边拉普拉斯变换：正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换：正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? （2）定义域

若0 σσ>时，lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质（1）线性性若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2）原函数微分若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。（3）原函数积分若 [()]() f t F s ζ=，则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? （4）延时性若[()]()f t F s ζ=，则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移若[()]()f t F s ζ=，则[()]() at f t e F s a ζ-=+ （6）尺度变换

拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换对于单边拉普拉斯变换，由式（8.1-9）知，象函数F(s)的拉普拉斯逆变换为 ????? ><=?∞ +∞-j 0 )(2 10,0)(σσj st t ds e s F j t t f ，π (8.3-1) 上述积分应在收敛域内进行，若选常数0σσ>[0σ为)(s F 的收敛坐标]，则积分路线是横坐标为σ，平行于与纵坐标轴的直线。实用中，常设法将积分路线变为适当的闭合路径，应用复变函数中的留数定理求得原函数。若F(s)是s 的有理分式，可将F(s)展开为部分分式，然后求得其原函数。若直接利用拉普拉斯逆变换表（见附录五），将更为简便。如果象函数F(s)是s 的有理分式，它可写为 11 10 111F(s)a s a s a s b s b s b s b n n n m m m m ++++++++=---- （8.3-2）式中各系数),,1,0(),,,1,0(a i m j b n i j ==均为实数，为简便且不失一般性，设1=n a 。若n m ≥，可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式)(s P 与有理真分式之和，即 ) () ()()(s A s B s P s F += （8.3-3）式中)(s B 的幂次小于)(s A 的幂次。例如 6 1163 32261161531258)(23223234+++++++=+++++++=s s s s s s s s s s s s s s F

由于)(]1[1t δ=-￡，)(]['1t s δ=-￡，…，故上面多项式)(s P 的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数组成，容易求得。下面主要讨论象函数为有理真分式的情形。一、查表法附录五是适用于求拉普拉斯逆变换的表，下面举例说明它的用法。例8.3-1 求2 35 2)(2+++= s s s s F 得原函数)(t f 。解 )(s F 分母多项式0)(=s A 的根为2,121-=-=s s ，故)(s F 可写为 ) 2)(1(5 22352)(2+++=+++= s s s s s s s F 由附录五查得，编号为2-12的象函数与本例)(s F 相同，其中 2,1,5,201====βαb b 。将以上数据代入到相应的原函数表示式，得 0,3)(2≥-=--t e e t f t t 或写为 )()3()(2t e e t f t t ε---= 例8.3-2 求10 23 3)(2 +++= s s s s F 的原函数)(t f 。解 )(s F 分母多项式0)(=s A 的根为312,1j s ±-=，故)(s A 可写为 2223)1(102)(++=++=s s s s A 于是)(s F 可写为 2 223 )1() 1(310233)(+++=+++= s s s s s s F 查表可得，编号2-6的象函数形式与本例相同，只是本例的系数为3，故得

拉普拉斯变换公式

附录A 拉普拉斯变换及反变换

3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ （F-1）式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2）或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111111)()()(

(完整word版)典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换

成绩评定表

课程设计任务书

目录 1.Matlab介绍.............. 错误！未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5) 2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5) 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7) 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8) 3.总结 (14) 4.参考文献 (15)

1．Matlab介绍 MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面： 1）数学计算； 2）新算法研究开发； 3）建模、仿真及样机开发； 4）数据分析、探索及可视化； 5）科技与工程的图形功能； 6）友好图形界面的应用程序开发。 1.1Matlab入门 Matlab7.0介绍 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大，适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。 MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。无疑，这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MATLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。首先，MATLAB具有友好的用户

拉普拉斯变换习题集

1. 求下列函数的拉式变换。（1） t t cos 2sin + （2） ()t e t 2sin - （3） ()[]t e t βα--cos 1 （4） ()t e t 732--δ （5） ()t Ω2cos （6） ()()t e t ωαcos +- （7） ()t t αsin 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。（1） ()()()t u e t f t 2--= （2） ()()()12sin -?=t u t t f （3） ()()()()[]211----=t u u u t t f 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。（1） () 512+s s （2） ()() 243+++s s s （3） 11 12++s （4） ()RCs s RCs +-11 （5） ()()() 2133+++s s s （6） 22K s A + （7） ()( )[]22βα+++s a s s （8） () 142+-s s e s

（9） ?? ? ??+9ln s s 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。（1） ()()() 526+++s s s （2） ()()()2132+++s s s 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求 ()t v r 并讨论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向” “2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求（1）系统函数()()() s V s V s H 13=；（2）若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到 ()()()()()∑∞ =-==0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求：（1）抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ；（2）若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。（1）写出电压转移函数()()() s E s V s H 2=；（2）画出s 平面零、极点分布；（3）求冲激响应、阶跃响应。

拉普拉斯变换基本应用

拉普拉斯变换的应用一·拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，在工程学上应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。在计算机图像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。二·拉普拉斯变换在图像处理方面的应用计算机进行图像处理一般有两个目的: (1)产生更适合人观察和识别的图像。 (2)希望能由计算机自动识别和理解图像。数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、模版匹配法等。经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等。三·应用步骤用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程序编码和运行来实现。下边是应用步骤：

(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表

拉普拉斯变换及其反变换表

3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -，m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== ② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为

拉普拉斯变换表

419 附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理齐次性 [()]()L af t aF s = 叠加性 1212[()()]()()L f t f t F s F s ±=± 2 微分定理一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→=

拉普拉斯变换表

附录A拉普拉斯变换及反变换 419

420

421 3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2）或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ())()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---=+ =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+ +-+ +-+ -+ +-+ -++-- 1 1111111) () () ( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

拉普拉斯变换及其逆变换表

拉普拉斯变换及其反变换表 1 线性定理齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理一般形式 = - =][ '- -=-=----=-∑1 1) 1() 1(1 22 2)()() 0()() (0)0()(])([) 0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（初始条件为0时 )(]) ([ s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ

Laplace变换习题课

《Laplace 变换》习题课一、基本要求 1. 理解并记住Laplace 变换及其逆变换的定义；了解Laplace 变换存在定理； 2. 理解Laplace 变换的性质，并会证明积分性质和微分性质； 3. 熟练掌握Laplace 变换及其逆变换的计算方法； 4. 理解卷积的定义与卷积定理，会计算两个函数的卷积； 5. 掌握Laplace 变换在求解线性微分方程（组）的求解方法二、内容提要 1. Laplace 变换及其逆变换的定义； 0()()st F s f t e dt +∞ -=?； )]([)(1s F L t f -== 1()2i st i F s e ds i ββπ+∞-∞?（右端成为反演积分） 2. Laplace 变换的性质；线性性质；微分性质；积分性质；位移性质；延迟性质 3. Laplace 逆变换的计算方法；重要定理：若1s 、2s ……n s 是函数)(s F 的所有奇点（包含在β<)Re(s 的范围内），且0)(lim =∞→s F s ，则∑==n k k st s e s F s t f 1 ],)([Re )(,其中)]([)(t f L s F =。有了以上定理，就可以利用复变函数求留数的方法来求像原函数)(t f ，下面就函数)(s F 是有理函数的情形来给出计算方法，即 ()()/()F s A s B s = 分两种情形考虑： 4. 卷积的定义与卷积定理； )(1t f 与)(2t f 的卷积（t>=0）定义为：?-=*t d t f f t f t f 02121)()()()(τττ 卷积定理： 1212[()*()]()()L f t f t F s F s =? 或 =*)()(21t f t f 112[()()]L F s F s -?

拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换公式总结 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

（2）定义域若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞=则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质（1）线性性若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2）原函数微分若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。（3）原函数积分若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4）延时性若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移

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