几何概型教学设计
教学内容：
人教版《数学必修3》第三章第3.3.1节几何概型。
学情分析：
这部分是新增加的内容，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的，随机模拟部分是本节的重点内容。几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个。
本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等，教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性。几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个；它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关。
教材的地位与作用：
概率的初步知识在初中已经介绍，在选修模块的系列2中还将继续学习概率的其他内容，因此，本章在高中阶段概率的学习中，起了承前启后的作用。
本章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用科学的态度、辩证的思想、随机的观念去观察、分析研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识和科学方法；这对全面系统地掌握概率知识，对于学生辩证思想的进一步形成具有促进的作用。
教学目标：
知识与技能
了解几何概型的意义，会运用几何概型的概率计算公式，会求简单的几何概型事件的概率。
过程与方法
通过游戏、案例分析，学习运用几何概型的过程，初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别。
情感、态度与价值观
通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。
教学重点：
几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。
教学难点：
将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量。
教学过程：
一、复习引入
1、古典概型的两个基本特征是什么？
2、如何计算古典概型的概率？
二、创设情景，引入新课 1、问题情境 ⑴、下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少
?
⑵、取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1米的概率有多大？（演示绳子）
⑶、射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm 。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？
2、学生活动（分组讨论）
分析上述三个题目，回答问题：
1)如图，甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜。 求甲获胜的概率
?
显然，它无法用古典概型解答，虽然它发生的可能性是相同的，但试验可能的结果是无穷的。但在图（1）中，显然甲获胜的概率为1/2；以转盘（2）为游戏工具时，甲获胜的概率为3/5。事实上，甲获胜的概率与阴影所在扇形区域的圆弧的长度（面积）有关，而与阴影所在区域的位置无关。
2)如图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪
断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31
,于是事件A 发生的概率P(A)=31
。
122c m
3)如图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为
41×π×1222 cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为41
×π×12.22 cm2的黄心
内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率
P(B)=2
212241
2.1241
????ππ=0.01.
设计目的：通过具体事例，让学生抽象出几何模型。通过与古典概型进行比较，找出本节课所要研究的模型——几何概型，弄清它与古典概型的不同之处，从而引出几何概型的概念、基本特点、概率计算公式，之后要加以说明，以便学生理解与记忆.帮助学生弄清其形式和本质，明确学习的目的。
三、形成概念：
1、对以上三个试验做出分析 ⑴、以上三个试验共同点：
①所有基本事件的个数都是无限多个； ②每个基本事件发生的可能性都相等。 ⑵三个试验的概率是怎样求得的？
简单的说所求概率就是它们的面积之比、体积之比和长度之比，具体的说，就是把基本事件空间理解为一个区域，不妨记为Ω，而事件A 可以理解为它的一个子区域，而所求的概率就是用子区域A 的几何度量（长度、面积、体积）比上区域Ω的几何度量。
⑶我们把满足上述条件的试验称为几何概型，参照上述三个试验请给出几何概型的定义。
2、几何概型的定义、计算公式与特征
（1）定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 （2）在几何概型中，事件Ａ的概率计算公式为
其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA 表示区域A 的几何度量。 （3）特征：
①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； ②每个基本事件发生的可能性都相等。
m
Ω
=μμA
A P )(
3、古典概型和几何概型的比较
古典概型几何概型
所有基本事件的个
数
有限个无限个
每个基本事件发生
的可能性
等可能等可能
概率的计算公式
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.
⑴利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解；
⑵把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω；
⑶把随机事件A转化为与之对应的区域A；
⑷利用几何概型概率公式计算。
5、说明：
⑴区域Ω内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．
⑵其中“几何度量”的意义依Ω确定，当Ω分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“几何度量”分别是长度，面积和体积．
设计目的：通过对比、归纳将新的知识建构到旧的知识系统，完成知识的延伸.
四、实际应用
1、模型应用
例1：在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出２ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.
分析：草履虫在这２ml水样中的分布可以看做是随机的（符合几何概型），于是发现草履虫的概率等于取出水的体积与所有水的体积的比.
解：取出2mL水，其中“含有草履虫”这一事件记为A，则
所有水的体积
取出水的体积
=
)
(A
P=
500
2
=0.004
答：发现草履虫的概率是0.004.
n
m
A
P=
)
(
Ω
=
μ
μ
A
A
P)
(
例2：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的（符合几何概型），于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比.
解：记“豆子落入圆内”为事件A ，则
22(
)44圆面积＝正方形面积a P A a ππ
==
答：豆子落入圆内的概率为4π
.
变式训练1：在边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边中点，将米粒随机撒在正方形中，若米粒落在下列3个图中阴影部分区域的概率分别是P 1、P 2、P 3 .则其大小关系是( P 2 > P 1=P 3 )
例3：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。
分析：他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，由于收音机每一小时报一次，可以认为此人打开收音机的时间正处于两次报时之间，即处于[0，60]的任意一点，于是概率等于等待时间段的长度与两个整点之间长度的比。
解：记“等待的时间不多于10分钟”记为事件A ，
则 P （A ）=6010=6
1
答：等待的时间不多于10分钟的概率为6
1
.
A B C
D
F
G E H A C
D
F
G
E H A B
C D
F
G
E
变式训练2：
某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求某一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.
解：设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记“等车时间少于3分钟”为事件A ，则他到站的时刻只能为μ=(a+2,a+5)中的任一
时刻,故P(A)= 5
3
.
设计目的：
1）分别从三个测度——体积、面积、长度来体现几何概型的求解方式。 2）经历将一些实际问题转化为几何概型的过程，探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法。 2、归纳总结
怎样求几何概型的概率
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解，具体分以下四个步骤:
⑴ 利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解； ⑵ 把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω； ⑶ 把随机事件A 转化为与之对应的区域A ； ⑷ 利用几何概型概率公式计算。
设计目的：通过归纳总结，得出这类问题的解决方法，将感性思维上升为理性思维。
3、当堂练习
(1) (1) 在数轴上，设点x ∈[-3,3]中按均匀分布出现，记a ∈(-1,2】为事件A ，则P （A ）=（ C ）
A 、1
B 、0
C 、1/2
D 、1/3
P （A ）=
63]3,3[]2,1(=--的长度的长度=2
1
(2) 一海豚在水池中自由游弋，水池长为30m,宽20m 的长方形，求此刻海
豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率．
解：事件A=“海豚嘴尖离岸边不超过2m ”
答：海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率是
75
23. 20米
75
23
600184)(1841626203060020302
2
=
===?-?==?=ΩΩμμμμA A A P m
m
（3）在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.
解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)= 10000
40
=0.004.
答：钻到油层面的概率是0.004.
设计目的：通过练习，强调在解决问题的时候注意看问题的角度（基本事件）。
4、当堂检测
（1）在区间[1，3]上任意取一数，则这个数不小于1.5的概率是多少？
P=
135.13]3,1[]3,5.1[--=的长度的长度=2
5
.1=0.75
（2）在高产小麦种子100ml 中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出3ml ，
求含有麦锈病种子的概率是多少？
所有小麦种子的体积体积取出带锈病小麦种子的=
)(A P =100
3
=0.03
（3）在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心
圆，半径分别为2cm ，4cm ，6cm ，某人站在3m 之外向此此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：
（1） 投中大圆内的概率是多少？
（2） 投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ （3） 投中大圆之外的概率是多少？
P 1=
==25636π正方形的面积大圆的面积64
9π
P 2=
=-=-2561636ππ正方形的面积小圆的面积大圆的面积645π
P 3=1-
=正方形的面积大圆的面积1-64
9π
设计目的：通过检测，检查学生对几何概型概率模型的把握与公式的应用，加强对几何概型的掌握。
5、课后拓展
(1)在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M,求AM 小于AC 的概率.
分析: 点M 随机地落在线段AB 上（符合几何概型），故线段AB 为区域D.当点M 位于右下图中线段AC ’内时，AM 解 在AB 上截取AC ’=AC ．于是