线性时间选择中位数

应用7：线性时间选择(续)
设所有元素互不相同。在这种情况下， 找出的基准x至少比 3(n-5)/10个元 素大，因为在每一组中有2个元素小 于本组的中位数，而n/5个中位数 中又有(n-5)/10个小于基准x。
同理，基准x也至少比3 (n-5)/10个 元素小。而当n≥75时， 3(n-5)/10 ≥n/4，所以按此基准划分所得的2个 子数组的长度都至少缩短1/4。
T
(n)
C2
n
T
(n
C1 / 5)
T
(3n
/
4)
n 75 n 75
根据定理有：
f (n)
பைடு நூலகம்
c2n 1 1
3
20c2n
(n)
54
因此，T(n)=O(n)。
补充：定理
• 定理：令b, d和c1,c2是大于0的常数，则如下递归
方程
• 的解是：
f
(n
)
b f (floor
(c1n))
f
n 1 (floor(c2n))
for ( int i = 0; i<=(r-p-4)/5; i++ ) 将a[p+5*i]至a[p+5*i+4]的第3小元素 与a[p+i]交换位置;
//找中位数的中位数，r-p-4即上面所说的n-5 Type x = Select(a, p, p+(r-p-4)/5, (r-p-4)/10); int i=Partition(a,p,r, x), j=i-p+1; if (k<=j) return Select(a,p,i,k); else return Select(a,i+1,r,k-j); }

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2.5 线性时间选择
这样找到的m*划分是否能达到O(n)的时间复杂度？ |A| = |D| = 2r, |B| = |C| = 3r +2，n = 10r +5. |A| + |D| + |C| = 7r + 2 = 7(n-5)/10 +2 = 7n/10 -1.5 < 7n/10 表明子问题的规模不超过原问题的7/10(d)。
T(n) = T(cn) + T(dn) + tn
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2.5 线性时间选择
Select(S, k) Input: n个数的数组S，正整数k
T(n) = T(cn) + T(dn) + tn
Output: S中的第k个小元素
1. 将S划分成5个元素一组，共[n/5]个组；
2. 每组寻找一个中位数，把这些中位数放到集合M中；
寻找一个分割点m*, 使得左边子表S1中的元素都小于m*, 右子表 S2中的元素都大于m*。 如果寻找m*的时间复杂度达到O(nlogn), 那就不如直接使用排序 算法了。 如果直接寻找m*, 时间复杂度是O(n). 假设选择算法的时间复杂度为T(n), 递归调用这个算法在S的一 个真子集M上寻找m*，应该使用T(cn)时间，这里c是小于1的常数， 反映了M的规模与S相比缩小许多。
✓ 不妨假设n是5的倍数，且n/5是奇数，即n/5 = 2r+1. 于是： |A| = |D| = 2r, |B| = |C| = 3r +2，n = 10r +5.
✓ 如果A和D中的元素都小于m*,那么把它们的元素都加入到S1, S1对应规约后子问题的上限。 类似的，若A和D中的元素都 大于m*, 则把他们的元素都加 入到S2，S2对应规约后子问题 的上限。

当n足够大时，统计出m的值， 就可以近似地求出I的值。
2023/10/8
计算机算法设计与分析
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计算连续函数的算法
double Darts (int n) { double x, y; int k = 0; for (int i=1; i<=n; i++) { x=Random(); /*随机产生一个(0,1)区间的数*/ y=Random(); if (y<=f(x)) k++; } return k/double(n); }
2023/10/8
计算机算法设计与分析
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随机抽样
在n个元素的集合中随机抽取m(0<m≤n) 个无重复的元素。为简单起见，假定所 有元素的值都位于1至n之间9
随机抽样
我们采用下面的方法进行选择：
1、首先将n个元素都标记为“未选择”； 2、重复下列步骤直到抽取了m个不同的 元素
2023/10/8
计算机算法设计与分析
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随机数的产生
在概率算法中随机数的产生是个非常重 要的部分，但在计算机上无法产生真正 的随机数。
任何一种随机数的产生都和给定的初始 条件有关，当初始条件相同时，会给出 同样的随机数序列。还有，该随机数序 列存在周期，即经过一个周期后，序列 会重复出现。称为伪随机数。
//找到一个比基准大的元素放到空当，空当重新回到[low]处
}
r[low]=temp;
return low; //返回基准的位置
}
2023/10/8
计算机算法设计与分析
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随机选择算法复杂度
这个算法的主要时间消耗在划分上，对 一个长度为n的序列进行划分，所用时间 为O(n),故递归式为： T(n)=T(n/2)+O(n)

快速选择算法线性时间选择第k小的元素快速选择算法：线性时间选择第k小的元素快速选择算法是一种高效的算法，用于在未排序的数组中选择第k 小的元素。

该算法的时间复杂度为O(n)，在大规模数据处理和排序任务中具有广泛的应用。

1. 算法原理快速选择算法基于快速排序算法的分治思想，通过每次选择一个枢纽元素，并将数组中的元素分为左右两部分，来实现快速查找排序后的第k小元素。

具体步骤如下：- 选择枢纽元素：从未排序数组中选择一个元素作为枢纽元素，可以随机选择或选择固定位置的元素，比如选取数组的第一个元素。

- 划分数组：将数组分为两部分，左边的元素小于枢纽元素，右边的元素大于等于枢纽元素。

- 判断位置：比较枢纽元素的位置与k的大小关系，如果位置小于k，则递归在右半部分查找第k小元素；如果位置大于k，则递归在左半部分查找第k小元素；否则，返回该位置的元素即为第k小元素。

2. 算法步骤下面给出一种实现快速选择算法的伪代码：```function quickSelect(A, k, left, right):if left == right:return A[left]pivotIndex = partition(A, left, right)if k == pivotIndex:return A[k]else if k < pivotIndex:return quickSelect(A, k, left, pivotIndex - 1) else:return quickSelect(A, k, pivotIndex + 1, right) function partition(A, left, right):pivot = A[left]i = left + 1j = rightwhile i <= j:if A[i] < pivot and A[j] > pivot:swap A[i] and A[j]i = i + 1j = j - 1if A[i] >= pivot:i = i + 1if A[j] <= pivot:j = j - 1swap A[left] and A[j]return j```3. 算法性能分析快速选择算法通过每次划分数组来减小搜索范围，因此平均时间复杂度为O(n)，其中n为数组的长度。

时间序列缺失值一、简介时间序列是指按时间顺序排列的数据序列，其中每个数据点都与一个特定的时间点相关联。

在实际应用中，由于各种原因，时间序列中经常会出现缺失值。

缺失值会影响数据的完整性和准确性，因此需要进行处理。

二、缺失值的类型1. 完全缺失：某个时刻的数据完全丢失。

2. 部分缺失：某个时刻只有部分数据丢失。

3. 连续缺失：连续多个时刻的数据丢失。

4. 非连续缺失：非连续多个时刻的数据丢失。

三、处理方法1. 删除法：将含有缺失值的行或列直接删除。

这种方法适用于缺失值较少或者对结果影响不大的情况。

但是如果删除了过多的行或列，可能会导致样本量减小，从而影响结果准确性。

2. 插补法：通过对已知数据进行插补来填充缺失值。

插补方法可以分为单变量插补和多变量插补两种类型。

单变量插补是指只考虑当前变量本身来填充缺失值；而多变量插补则是利用其他相关变量的信息来填充缺失值。

插补方法可以提高样本量，但是需要对数据进行较为复杂的处理。

3. 模型法：利用已有数据建立模型，预测缺失值。

这种方法需要对数据进行较为复杂的处理，但可以提高结果准确性。

四、常见插补方法1. 均值插补：将缺失值用同一变量的均值来填充。

2. 中位数插补：将缺失值用同一变量的中位数来填充。

3. 众数插补：将缺失值用同一变量的众数来填充。

4. 线性插值：根据已知数据点之间的线性关系，预测缺失数据点。

5. 拉格朗日插值：根据已知数据点之间的拉格朗日多项式，预测缺失数据点。

五、结语在处理时间序列中的缺失值时，需要根据具体情况选择合适的处理方法和插补方式。

同时需要注意，在使用模型法进行预测时，要确保模型具有较好的拟合效果和稳定性。

1.全然概念(1)一般概念：系统中某一变量的瞧测值按时刻顺序〔时刻间隔相同〕排列成一个数值序列，展示研究对象在一定时期内的变动过程，从中寻寻和分析事物的变化特征、开展趋势和规律。

它是系统中某一变量受其它各种因素碍事的总结果。

(2)研究实质：通过处理推测目标本身的时刻序列数据，获得事物随时刻过程的演变特性与规律，进而推测事物的今后开展。

它不研究事物之间相互依存的因果关系。

(3)假设根底：惯性原那么。

即在一定条件下，被推测事物的过往变化趋势会连续到今后。

暗示着历史数据存在着某些信息，利用它们能够解释与推测时刻序列的现在和今后。

近大远小原理〔时刻越近的数据碍事力越大〕和无季节性、无趋势性、线性、常数方差等。

(4)研究意义：许多经济、金融、商业等方面的数据根基上时刻序列数据。

时刻序列的推测和评估技术相对完善，其推测情景相对明确。

尤其关注推测目标可用数据的数量和质量，即时刻序列的长度和推测的频率。

2.变动特点(1)趋势性：某个变量随着时刻进展或自变量变化，呈现一种比立缓慢而长期的持续上升、下落、停留的同性质变动趋向，但变动幅度可能不等。

(2)周期性：某因素由于外部碍事随着自然季节的交替出现顶峰与低谷的规律。

(3)随机性：个不为随机变动，整体呈统计规律。

(4)综合性：实际变化情况一般是几种变动的叠加或组合。

推测时一般设法过滤除往不规那么变动，突出反映趋势性和周期性变动。

3.特征识不熟悉时刻序列所具有的变动特征，以便在系统推测时选择采纳不同的方法。

(1)随机性：均匀分布、无规那么分布，可能符合某统计分布。

(用因变量的散点图和直方图及其包含的正态分布检验随机性，大多数服从正态分布。

)(2)平稳性：样本序列的自相关函数在某一固定水平线四面摆动，即方差和数学期瞧稳定为常数。

样本序列的自相关函数只是时刻间隔的函数，与时刻起点无关。

其具有对称性，能反映平稳序列的周期性变化。

特征识不利用自相关函数ACF：ρk =γk/γ其中γk是y t的k阶自协方差，且ρ0=1、-1<ρk<1。

算法：线性时间选择（CC++）Description给定线性序集中n个元素和⼀个整数k，n<=2000000，1<=k<=n，要求找出这n个元素中第k⼩的数。

Input第⼀⾏有两个正整数n,k. 接下来是n个整数（0<=ai<=1e9）。

Output输出第k⼩的数Sample Input6 31 3 52 4 6Sample Output3利⽤快速排序可以找出第k⼩的，加上随机函数改进⼀下：#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <ctime>#include <iostream>int num[2000001];void quictSort(int, int, int);int partition(int, int);int main(){int n, m, i;srand(unsigned(time(NULL))); // 随机函数种⼦while (~scanf("%d%d", &n, &m)){for (i = 0; i < n; i++)scanf("%d", &num[i]);quictSort(0, n - 1, m - 1);printf("%d\n", num[m - 1]);}return 0;}// 快速排序void quictSort(int left, int right, int mTop){if (left < right){int p = partition(left, right); // 分为两段if (p == mTop) // 如果随机找到第mTop⼩就直接返回return;if (p < mTop)quictSort(p + 1, right, mTop); // 找到的位置⽐mTop⼩就在[p + 1, right]区间找if (p > mTop)quictSort(left, p - 1, mTop); // 找到的位置⽐mTop⼤就在[left, p - 1]区间找}}// 从⼩到⼤排int partition(int left, int right){int r = rand() % (right - left + 1) + left; // 随机选择⼀个数int key = num[r];std::swap(num[r], num[left]); // 交换到数组⾸位while (left < right){// 从数组后⾯开始, 找⽐随机选择的数⼩的, 然后从前找⽐随机选择的数⼤的while (left < right && num[right] >= key)right--;if (left < right)num[left] = num[right];while (left < right && num[left] <= key)left++;if (left < right)num[right] = num[left];}num[left] = key; // 将随机选择的数存回return left; // 返回随机选择的数分割数组的下标, 左边都是⽐它⼩的, 右边都是⽐它⼤的}中位数法线性时间选择划分：AC代码：#include <cstdio>#include <cstdlib>int num[2000001];int select(int low, int high, int top);int partition(int low, int high, int median); void selectSort(int low, int high);void swap(int &a, int &b);int main(){int n, m, i;while (~scanf("%d%d", &n, &m)){for (i = 0; i < n; i++)scanf("%d", &num[i]);printf("%d\n", select(0, n - 1, m - 1));/*for (i = 0; i < n; i++)printf("%d%c", num[i], i < n - 1 ? ' ' : '\n'); */}return 0;}// 中位数法线性时间选择int select(int low, int high, int top){// ⼩于75个数据随便⽤⼀个排序⽅法if (high - low < 74){selectSort(low, high); // 选择排序return num[low + top]; // 排完序直接返回第low + top的数}int groupNum = (high - low - 4) / 5; // 每组5个数, 计算多少个组, 从0开始计数for (int i = 0; i <= groupNum; i++){int start = low + 5 * i; // 每组的起始位置int end = start + 4; // 每组的结束位置for (int j = 0; j < 3; j++) // 从⼩到⼤冒3个泡for (int k = start; k < end - j; k++)if (num[k] > num[k + 1])swap(num[k], num[k+1]);swap(num[low + i], num[start + 2]); // 每组的中位数交换到前⾯第low + i的位置}// 上⾯排完后, 数组low + 0 到 low + groupNum都是每⼀组的中位数int median = select(low, low + groupNum, (groupNum + 1) / 2); // 找中位数的中位数int p = partition(low, high, median); // 将数组分为两段, 左边的⼩于中位数的中位数, 右边的⼤于中位数的中位数 int n = p - low; // 计算p到low之间有多少个数, 后⾯得减掉if (n == top)return num[p]; // 如果运⽓好, 刚好要找的就是中位数if (n > top)return select(low, p - 1, top); // n⽐top⼤就在左边找if (n < top)return select(p + 1, high, top - n - 1); // n⽐top⼩就在右边找, 并且top要减去已经⼤的个数}// 以中位数进⾏分割, 分成两半int partition(int low, int high, int median){int p;for (int i = low; i <= high; i++)if (num[i] == median){p = i;break;}// 将中位数交换到最前⾯swap(num[p], num[low]);// 记下最前⾯的数int key = num[low];// 把⼩于key的放前⾯, ⼤于key的放后⾯while (low < high){while (num[high] >= key && low < high)high--;if (low < high)num[low] = num[high];while (num[low] <= key && low < high)low++;if (low < high)num[high] = num[low];}// 分别从两头开始, 找到中间时, 把key存回num[low] = key;return low;}// 选择排序void selectSort(int low, int high){for (int i = low; i <= high; i++){int MIN = i;for (int j = i + 1; j <= high; j++)if (num[MIN] > num[j])MIN = j;swap(num[i], num[MIN]);}}// 交换两个元素void swap(int &a, int &b){int temp = a;a = b;b = temp;}。

算法select中假定所有元素都不相等，当元素可能相等时，应在划分之 后加一个语句，将所有与基准元素相等的集中在一起，设这种元素有m 个，且j≤k≤j+m-1,则不必递归调用，直接返回a[i], 否则，最后一行改为 7 调用select(i+m-1,r,k-j-m).
最接近点对问题
给定平面上n个点的集合S，找其中的一对点，使得在n 个点组成的所有点对中，该点对间的距离最小。 将每个点与其它n-1个点的距离算出，即可找出具有最 小距离的两个点，但需要O(n2)的时间复杂度。
不考虑不足5个元素的组的情况下： • 当 n / 5 为奇数时，至少有 ( n / 5 1) / 2 个组中的部分元素 比x小。 • 当 n / 5 / 2 个组中的部分元素比x n / 5 为偶数时，至少有 小。 总之，至少有 ( n / 5 1) / 2个组中的部分元素比x小，每个组 中有3个元素比x小，所以x至少比 3 (n 5) /10 个元素大。
线性时间选择
给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找 出n个元素中第k小的元素，k=(n+1)/2称为中位数。 特殊情况下的线性时间算法： 1、最大、最小元素：线性扫描，O(n) 2、k≤n/logn或k≥n-n/logn ：堆排序算法 O(n+klogn)=O(n) 一般情况下的选择问题如何解决？ 用快速排序算法思想，对输入数组进行递归划分， 不同的是它只对划分出的子数组之一进行递归处理。
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线性时间选择
设所有元素互不相同，在这种情况下，找出的基准x至 少比 3 (n 5) /10 个元素大，因为在每一组中有2个元素小于 本组的中位数，而 n / 5 个中位数中又有 (n 5) /10 个小于基 准 x。同理，基准x也至少比3 (n 5) /10 个元素小。而当 n≥75时， 3 ，所以按此基准划分所得的两个 (n 5) /10 n/ 4 子数组的长度都至少缩短1/4。为什么？ Nhomakorabea1

选择中位数-线性时间算法 本章继续讲⼀些关于奇淫技巧（算法啦）的做法，对于⼀个⽆序数组，我们如何找到其中位数呢？ ⾸先回顾⼀下中位数的概念：是按顺序排列的⼀组数据中居于中间位置的数。

1，当前的先决条件是⽆序数组，那根据原理可以很快想到⼀种解法，对数组进⾏遍历，每次找出其最⼤值、最⼩值，最终残留的⼀位或两位即为中位数（两位则取平均值），时间复杂度 O(N) * N；当然，⼀次遍历中我们可以同时获取到最⼤值和最⼩值，将遍历的次数降低⼀半到 O(N)*N/2，但同样难以改变其时间复杂度为O(N2)的事实（这⾥有想法的同学先不要着急否定，后⾯⼀步步迭代）。

2，很明显，上述的⽅法⽆法达到我们的想要的⼀种状态，那反观概念，如果是排好序的数组，我们完全可以在⼀次计算中得到其中位数，那就可以对数组先进⾏⼀次快排，使其达到有序的状态再返回中位数，时间复杂度就是快排的复杂度O(N * log N) 3，换⼀种思路，我们知道数组的个数，那中位数⽆⾮就是整个数组中第 (n)/2（偶数则包含 n/2-1）⼤的数，所以我们也可以采⽤堆排的⽅案，找出第 i 位⼤的值即中位数，时间复杂度就是堆排的复杂度O(N * log N) 4，本章重点解法，我们假设每次可以将数组分成两个部分，时刻保证前半部分 A 的任何元素⼤于后半部分 B 的任何元素，那只需要知道数组的中位数是在前半部分还是后半部分既可递归查找，另⼀半便可以抛弃不需要再次遍历排序。

⼤致思路便是这样，具体流程如下： 1，按快速排序的第⼀部分流程，将第⼀个数据进⾏遍历，找出其最终位置 p，这是左边 A 均⼩于当前数值，后⾯ B 均⼤于当前数值2，如果 p - start + 1 == i，则即可返回当前数值3，如果 p - start + 1 < i，则中位数在 B 部分，递归修改 start, i；反之中位数在 A 部分，递归修改 end,i 上述的⽅法其实最坏情况下（⽐如完全倒序或完全正序）的时间复杂度也会达到最差的 O(N2)，所以这种⽅法的仅期望情况下（数次切割即可找到中位数），才可以线性时间内找到中位数，⽽且这种⽅法也会⽐传统的快排快⼀部分（因为丢弃了⼀部分）。

线性时间选择问题的教学探讨作者：陈晓梅胡春花来源：《电脑知识与技术》2016年第23期摘要：针对线性时间选择问题，分别对一般情况下的算法思路和最坏情况下的算法思路进行介绍，结合教学过程和特点，通过增加递归调用的结束条件、无需改造划分函数而直接调用以及对相同划分元素进行集中排列等，对算法进行了优化和改进，增强了算法的连贯性和适用性，使学生更加直观深刻地理解和应用线性时间选择问题的算法，收到较好的教学效果。

关键词：线性时间选择；最坏情况；基准元素；划分中图分类号：TP301 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）21-0087-021 线性时间选择问题描述给定 n 个元素的集合，集合中的第 k 个顺序统计量是指集合中的第k 个（1≤k≤n）最小元素。

当k=1时，指集合中的最小元素；当k=n时，指集合中的最大元素。

如何从给定的集合中找出第 k 个最小元素，被称为元素选择问题。

线性时间选择问题是指在线性时间内实现元素选择。

该问题在大规模数据检索和人工智能搜索方面有广泛的应用。

同时该问题也是分治算法教学中的一个典型例子。

2 实现线性时间选择的典型分治算法2.1 一般性选择问题的分治算法对于一般的选择问题，可使用RandomizedSelect（a，p，r，k）实现在期望情况下对数组a[p：r]在线性时间内选出第k小的元素。

教材中的函数描述如下：RandomizedSelect（）函数中引入随机划分函数RandomizedPartition（p，r）对数组a[p：r]进行划分，该函数以a[p：r]中的一个随机元素作为划分基准，将原数组划分为两个子数组a[p：i]和a[i+1：r]，使得第一个子数组中的所有元素全小于等于第二个子数组中的所有元素。

通过RandomizedPartition（）函数的返回值i可以计算出第一个子数组的元素个数j，根据j值与k值的大小比较，可以判断出所要求的第k小的元素是落在哪个子数组，从而继续递归调用RandomizedSelect（）函数对缩小了查找范围的子数组进行查找。

时间序列分析中常见问题的解决方法和技巧时间序列分析是一种用来预测和解释时间序列数据的统计方法。

它在许多领域中都有广泛的应用，包括经济学、金融学、气象学等。

然而，在实际应用中，时间序列分析常常面临一些常见的问题，如数据缺失、非平稳性等。

本文将介绍一些常见问题的解决方法和技巧。

一、数据缺失的处理方法在时间序列分析中，数据缺失是一个常见的问题。

数据缺失可能是由于设备故障、人为错误或其他原因造成的。

对于数据缺失的处理，有几种常见的方法。

首先，可以使用插值法来填补数据缺失。

插值法是通过已有的数据点来推测缺失数据点的值。

常用的插值方法有线性插值、多项式插值和样条插值等。

选择合适的插值方法需要考虑数据的特点和分布情况。

其次，可以使用平均值或中位数来填补数据缺失。

当数据缺失较少且分布较为均匀时，可以考虑使用平均值或中位数来填补缺失值。

这种方法的优点是简单易行，但可能会引入一定的误差。

最后，可以使用时间序列模型来填补数据缺失。

时间序列模型可以利用已有的数据点来建立模型，并根据模型来预测缺失数据点的值。

常用的时间序列模型有ARIMA模型、VAR模型等。

选择合适的时间序列模型需要考虑数据的特点和模型的准确性。

二、非平稳性的处理方法在时间序列分析中，非平稳性是一个常见的问题。

非平稳性的存在会使得时间序列数据的均值和方差发生变化，从而影响模型的建立和预测结果的准确性。

对于非平稳性的处理，有几种常见的方法。

首先，可以使用差分法将非平稳时间序列转化为平稳时间序列。

差分法是通过计算相邻观测值之间的差异来消除非平稳性。

一阶差分可以通过计算相邻观测值的差异来实现，二阶差分可以通过对一阶差分再次进行差分来实现。

选择合适的差分阶数需要考虑数据的特点和平稳性的要求。

其次，可以使用对数变换将非平稳时间序列转化为平稳时间序列。

对数变换可以将指数增长的数据转化为线性增长的数据，从而消除非平稳性。

对数变换通常适用于具有指数增长特征的数据。

最后，可以使用季节调整方法来处理季节性非平稳性。

经典算法总结之线性时间做选择问题：输⼊：⼀个包含n个(不同的)数的集合A和⼀个数i， 1 <= I <= n。

输出：元素x∈A，它恰⼤于A中其他的I – 1个元素（即求第k⼩数）。

本博⽂中这篇⽂章也⽤了本⽂中的算法，⼤家可以参考。

三种算法：1、直接排序，输出数组第i个元素即可, 时间复杂度为O(nlgn)2、这种算法，利⽤“快排的或者类似⼆分”的思想，每次以枢纽为界，分两边，每次只需处理⼀边即可（抛弃另⼀边），平均情况下的运⾏时间界为O(n)，这种算法以期望时间做选择。

《算法都论》⾥是，在分治时⽤随机数来选取枢纽（算法导论中伪代码见图），好吧，这是理论上的算法，它没有考虑实际产⽣随机数的开销，事实上，效率⼀点也不⾼，已经测试过，产⽣随机数花费的开销真的很⼤，后边我⽤更快的三数中值⼜实现了⼀遍，思想是⼀样的，只是效率提⾼了。

C++完整代码：#include <iostream>#include <vector>#include <algorithm>using namespace std;int partition(vector<int> &A,int p,int r){int x = A[r];int i=p-1;int temp;for(int j = p;j<r;++j){if(A[j]<=x){++i;swap(A[i],A[j]);}}swap(A[i+1],A[r]);return i+1;}inline int Random(int low, int high) {return (rand() % (high - low + 1)) + low;}int Randomized_Partition(vector<int> &kp, int low, int high) {int i = Random(low, high);swap(kp[high], kp[i]);return partition(kp, low, high);}void randomized_quickSort(vector<int> &A,int p,int r){if(p<r){int q = Randomized_Partition(A,p,r);randomized_quickSort(A,p,q-1);randomized_quickSort(A,q+1,r);}}int randomized_select(vector<int> A,int p,int r,int i){if(p==r)return A[p];if(p>r) return -1;int q = Randomized_Partition(A,p,r);int k = q-p+1;if(i==k)return A[q];else if(i<k)return randomized_select(A,p,q-1,i);else return randomized_select(A,q+1,r,i-k);}void main(){int a[10] = {9,10,8,7,6,5,4,3,2,1};vector<int> A(a,a+10);cout<<randomized_select(A,0,9,5)<<endl;}3、第三种算法以最坏情况线性时间做选择，最坏运⾏时间为O(n)，这种算法基本思想是保证每个数组的划分都是⼀个好的划分，以5为基，五数取分，这个算法，算法导论没有提供伪代码，额，利⽤它的思想，可以快速返回和最终中位数相差不超过2的数，这样的划分接近最优，基本每次都⼆分了（算法导论中步骤见图)/*利⽤中位数来选取枢纽元,这种⽅法最坏情况下运⾏时间是O(n)这⾥求的中位数是下中位数算法导论⾥没有伪代码，写起来很⿇烦注意这⾥的查找到的中位数，并不是真正意义上的中位数⽽是和真正中位数相差不超过2的⼀个数开始以为我写错了，⼜看了算法导论，应该就是这个意思返回的是[x - 1, x + 2]的⼀个数，中位数是x从下边的输出中也可以看出：*/ #include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;const int maxn = 14;//kp -> sizeconst int maxm = maxn / 5 + 1;//mid -> sizeint kp[maxn];int mid[maxm]; //插⼊排序void InsertionSort(int kp[], int n) {for (int j, i = 1; i < n; i++) {int tmp = kp[i];for (j = i; j > 0 && kp[j - 1] > tmp; j--) {kp[j] = kp[j - 1];}kp[j] = tmp;}} //查找中位数, 保证每⼀个划分都是好的划分int FindMedian(int kp[], int low, int high) {if (low == high) {return kp[low];}int index = low;//index初始化为low//如果本⾝⼩于5个元素，这⼀步就跳过if (high - low + 1 >= 5) { //储存中位数到mid[]for (index = low; index <= high - 4; index += 5) {InsertionSort(kp + index, 5);int num = index - low;mid[num / 5] = kp[index + 2];}} //处理剩下不⾜5个的元素int remain = high - index + 1;if (remain > 0) {InsertionSort(kp + index, remain);int num = index - low;mid[num / 5] = kp[index + (remain >> 1)];//下中位数}int cnt = (high - low + 1) / 5;if ((high - low + 1) % 5 == 0) {cnt--;//下标是从0开始，所以需要-1}//存放在[0…tmp]if (cnt == 0) {return mid[0];} else {return FindMedian(mid, 0, cnt);}} int Qselect(int kp[], int low, int high, int k) {int pivotloc = FindMedian(kp, low, high); //这⾥有点不⼀样，因为不知道pivotloc下标，所以全部都要⽐较int i = low - 1, j = high + 1;for (; ;) {while (kp[++i] < pivotloc) {}while (kp[--j] > pivotloc) {}if (i < j) swap(kp[i], kp[j]);else break;} int num = i - low + 1;if (k == num) return kp[i];if (k < num) {return Qselect(kp, low, i - 1, k);} else {return Qselect(kp, i + 1, high, k - num);}}int main() {int kp[maxn] = {10, 14, 8, 11, 7, 1, 2, 13, 3, 12, 4, 9, 6, 5};for (int i = 0; i < maxn; i++) {printf("中位数是: %d\n", FindMedian(kp, 0, maxn - 1));printf("第%d⼩的数是: ", i + 1);cout << Qselect(kp, 0, maxn - 1, i + 1) << endl << endl;}return 0;}。

福州大学数学与计算机科学学院《计算机算法设计与分析》上机实验报告（1）图中箭头指向表示大的数值指向小的数值，所以根据图可以看出，在x的右边，每一个包含5个元素的组中至少有3个元素大于x，在x的左边，每一组中至少有3个元素小于x （保证x分割一边必定有元素存在）。

图中显示的中位数的中位数x的位置，每次选取x作为划分的好处是能够保证必定有一部分在x的一边。

所以算法最坏情况的递归公式可以写成：，使用替换法可以得出）（。

Tncn4、算法代码：#include <iostream>#include <ctime>using namespace std;template <class Type>void Swap(Type &x,Type &y);inline int Random(int x, int y);template <class Type>int Partition(Type a[],int p,int r);template<class Type>int RandomizedPartition(Type a[],int p,int r);template <class Type>Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k);int main(){void SelectionSort(int a[]);int s;int a[2000];int b[2000];for(int i=0; i<2000; i++){a[i]=b[i]=rand()%10000;cout<<a[i]<<" ";}cout<<endl;SelectionSort(b);for(int j=0;j<2000;j++){printf("a[%d]:%d ",j+1,b[j]);}cout<<endl;printf("请输入要求的第几最小数：");scanf("%d",&s);cout<<RandomizedSelect(a,0,1999,s)<<endl; }template <class Type>void Swap(Type &x,Type &y){Type temp = x;x = y;y = temp;}inline int Random(int x, int y){srand((unsigned)time(0));int ran_num = rand() % (y - x) + x;return ran_num;}template <class Type>int Partition(Type a[],int p,int r){int i = p,j = r + 1;Type x = a[p];while(true){while(a[++i]<x && i<r);while(a[--j]>x);if(i>=j){break;}Swap(a[i],a[j]);}a[p] = a[j];a[j] = x;return j;}template<class Type>int RandomizedPartition(Type a[],int p,int r){int i = Random(p,r);Swap(a[i],a[p]);return Partition(a,p,r);}template <class Type>Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k) {if(p == r){return a[p];}int i = RandomizedPartition(a,p,r);int j = i - p + 1;if(k <= j){return RandomizedSelect(a,p,i,k);}else{//由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素//因此，要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。

时间序列的趋势变动分析时间序列趋势变动分析是一种重要的数据分析方法，用于揭示一组数据在时间上的变化规律和趋势。

通过对时间序列的趋势进行分析，我们可以发现隐藏在数据背后的规律，从而预测未来的变化趋势、判断现象的周期性、识别季节性变动等。

时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列数据观测值。

在时间序列分析中，通常会关注以下几个要素：趋势、季节性、循环和不规则波动。

首先，趋势分析是对时间序列中长期变化趋势的研究。

趋势可以是上升的、下降的或保持平稳的。

趋势分析可以通过绘制趋势图、计算趋势指标（如均值、中位数和标准差等）来进行。

如果趋势是线性的，可以使用线性回归模型来进行预测和分析。

如果趋势是非线性的，可以使用非线性回归模型来进行分析。

其次，季节性分析是对时间序列中规律的周期性变动的研究。

例如，某产品的销售量可能在每年的某个季节性高峰期达到最高点。

季节性的分析可以通过绘制季节图、计算季节指数来进行。

季节性指数是一种反映季节性变动的相对指标，它可以用来衡量数据相对于季节性平均值的变化。

第三，循环分析是对时间序列中长周期变化的研究。

循环是在趋势的基础上，根据较长时间的周期性因素引起的变动。

循环的周期通常超过一年，可以是几年、十几年甚至几十年。

循环分析可以通过绘制循环图、计算周期性指标来进行。

最后，不规则波动分析是对时间序列中随机波动的研究。

不规则波动是指由于不可预测的因素引起的随机性变动，如突发事件、自然灾害等。

不规则波动可以通过计算随机性指标来进行分析。

在进行时间序列趋势变动分析时，我们可以使用多种方法和工具。

常用的方法包括移动平均法、指数平滑法、ARIMA模型、回归模型等。

移动平均法是一种通过计算数据的平均值来获取趋势的方法，它能有效平滑数据的波动。

指数平滑法是一种基于加权平均的方法，它较好地反映了近期数据的变化。

ARIMA模型则是一种常用的时间序列模型，它可以很好地描述数据的趋势、季节性和随机波动。

回归模型则可以用来研究时间序列和其他变量之间的关系。

程序设计报告我保证没有抄袭别人作业!1.题目内容题名为线性时间选择。

题目要求：给定无序序列集中n个元素和一个整数k,1<=k<=n。

要找到这n个元素中第k小的元素。

2.算法分析（1）分治法思想将n个输入元素划分成n/5个组，每组5个元素，只可能有一个组不是5个元素。

用任意一种排序算法，将每组中的元素排好序，并取出每组的中位数，共n/5个。

递归调用select来找出这n/5个元素的中位数。

如果n/5是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个。

以这个元素作为划分基准。

在此处选用的排序算法为快速排序。

算法框架：Type Select(Type a[], int p, int r, int k){if (r-p<75) {//用快速排序算法对数组a[p:r]排序;return a[p+k-1];};for ( int i = 0; i<=(r-p-4)/5; i++ )将a[p+5*i]至a[p+5*i+4]的第3小元素与a[p+i]交换位置;//找中位数的中位数，r-p-4即上面所说的n-5Type x = Select(a, p, p+(r-p-4)/5, (r-p-4)/10);int i=Partition(a,p,r, x),j=i-p+1;if (k<=j) return Select(a,p,i,k);else return Select(a,i+1,r,k-j);}快速排序的算法int i=p,j=r+1;int x=a[p];while(1){ while(a[int qsort(int *a,int p,int r) { if(p<r){ int q;q=partition(a,p,r);qsort(a,p,q-1);qsort(a,q+1,r);}}int partition(int a[],int p,int r){++i]<x);while(a[--j]>x);if(i>=j)break;else swap(i,j);}a[p]=a[j];a[j]=x;return j;}3.算法的优化一般我们选择无序序列的某个元素作为划分元素，每次调用Partition(A,p,r),所需的元素比较次数是Ο(r-p+1)。

❖时间复杂性与原快速排序算法的相同。
5
7.5 舍伍德算法 – 线性时间选择
线性时间选择：
给定线性序集中n个元素和一个整数k (1≤k≤n)，要求找出 这n个元素中第k小的元素。
如将这n个元素依其线性序排列，排在第k个位置的元素 即为要找的元素。
线性选择的分治算法对基准元素的选择比较复杂：
先分组，然后取每一组的中位数，接下来再取中位数的 中位数，最后以该中位数为基准元素对n个元素进行划分。
如要消除上述的差异性，必须在基准元素的选择上多做 考虑。如在基准元素选择时引入随机性，即随机地选择 基准元素。
引入随机性的快速排序算法便为舍伍德算法，可以较高 概率地获得算法的平均性能。
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7.5 舍伍德算法 – 随机快速排序
基于舍伍德方法的随机快速排序算法：
QUICK-SORT(A, low, high) if low < high
then pivotpos = RAND-PARTITION(A,low,high) //划分序列 QUICK-SORT(A,low,pivotpos-1) //对左区间递归排序 QUICK-SORT(A,pivotpos+1,high) //对右区间递归排序
RAND-PARTITION(A, low, high) RandomNumber rnd i = RandomNumber.random(high-low+1) + low SWAP(a[low], a[i]) j = PARTITION(A, low, high) return j
{
RandomNumber rnd；
for(int i=1;i<n;i++)
{
int j=rnd.Random(n-i)+i;

题目：在一个文件中有10G 个整数，乱序排列，要求找出中位数。

内存限制为2G。

只写出思路即可（内存限制为2G的意思就是，可以使用2G的空间来运行程序，而不考虑这台机器上的其他软件的占用内存）。

关于中位数：数据排序后，位置在最中间的数值。

即将数据分成两部分，一部分大于该数值，一部分小于该数值。

中位数的位置：当样本数为奇数时，中位数=(N+1)/2 ; 当样本数为偶数时，中位数为N/2与1+N/2的均值（那么10G个数的中位数，就第5G大的数与第5G+1大的数的均值了）。

分析：明显是一道工程性很强的题目，和一般的查找中位数的题目有几点不同。

1. 原数据不能读进内存，不然可以用快速选择，如果数的范围合适的话还可以考虑桶排序或者计数排序，但这里假设是32位整数，仍有4G种取值，需要一个16G大小的数组来计数。

2. 若看成从N个数中找出第K大的数，如果K个数可以读进内存，可以利用最小或最大堆，但这里K=N/2,有5G个数，仍然不能读进内存。

3. 接上，对于N个数和K个数都不能一次读进内存的情况，《编程之美》里给出一个方案：设k<K,且k个数可以完全读进内存，那么先构建k个数的堆，先找出第0到k大的数，再扫描一遍数组找出第k+1到2k的数，再扫描直到找出第K个数。

虽然每次时间大约是nlog(k)，但需要扫描ceil(K/k)次，这里要扫描5次。

解法：首先假设是32位无符号整数。

1. 读一遍10G个整数，把整数映射到256M个区段中，用一个64位无符号整数给每个相应区段记数。

说明：整数范围是0 - 2^32 - 1，一共有4G种取值，映射到256M个区段，则每个区段有16（4G/256M = 16）种值，每16个值算一段，0～15是第1段，16～31是第2段，……2^32-16 ～2^32-1是第256M段。

一个64位无符号整数最大值是0～8G-1，这里先不考虑溢出的情况。

总共占用内存256M×8B=2GB。