2010-2011年一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)
1．
22
(1,0)
ln(),
y
z xe x y dz
=++=设则
2．设
xy
y
x
y
x
f sin
)
,
(+
-
=,则dx
x
x
f
dy
y
?
?1
1
)
,
(
=
3．设函数
2
1cos
,0
()
1,0
x
x
f x x
x x
π
π
π
+
?
<<
?
=-
?
?+-≤≤
?以2π为周期，()
s x为的()
f x的傅里叶级数的和函
数，则
(3)
sπ
-= .
4．设曲线C为圆周
2
2
2R
y
x=
+
,则曲线积分
ds
x
y
x
C
?+）
—
（3
2
2
=
二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）
1.设直线L为
320
21030,
x y z
x y z
++=
?
?
--+=
?平面π为4220
x y z
-+-=,则（） .
(A) L平行于平面π (B) L在平面π上
(C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直
2．设有空间区域
2222
:x y z R
Ω++≤
，则Ω等于（）.
(A)
4
3
2
R
π
(B) 4
R
π (C)
4
3
4
R
π
(D) 4
2R
π
3．下列级数中，收敛的级数是（）.
(A) ∑∞
=+
-
1
)
1
(
)1
(
n
n
n
n
n
(B)
∑∞
=+
-
+
11
)1
(
n
n
n
n
(C)
n
n
e
n-
∞
=
∑
1
3
(D)
∑∞
=
+
1
)
1
1
ln(
n
n n
n
4. 设∑∞
=1
n
n
a
是正项级数，则下列结论中错误的是（）
（A）若∑∞
=1
n
n
a
收敛，则
∑∞
=1
2
n
n
a
也收敛（B）若
∑∞
=1
n
n
a
收敛，则
1
1
+
∞
=
∑n
n
n
a
a
也收敛
（C）若∑∞
=1
n
n
a
收敛，则部分和n
S
有界（D）若
∑∞
=1
n
n
a
收敛，则
1
lim1<
=
+
∞
→
ρ
n
n
n a
a
三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）
1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2
y x y x f u +=，求y x u
???2.
2．求函数y x xy z +-=23在曲线
12
+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数. 解：
3．计算,)(2
dxdy y x D
??+其中
}4),({2
2≤+=y x y x D .
4. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点
(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >）
，试求立体Ω的质
量.
6. 计算第二类曲面积分
??∑
++dxdy
zx xydxdz xyzdydz
2，其中∑为球面1
2
22=++z y x 的外侧．
7．求幂级数n
n x n ∑
∞
=+111的和函数。
四．证明题（本题4分）
证明下列不等式成立：π≥??D x
y
dxdy e
e ，其中
}1|),{(D 2
2≤+=y x y x .
五．证明题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区
域为},75
:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(2
2xy y x y x h +--= （1）设),(00y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式。
（2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的
起点也就是说，要在D 的边界线
7522=-+xy y x 上找使（1）中的),(y x g 达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。
2009-2010年
一、 填空题（每小题5分，满分30分）
1. 若向量→
→→c b a ,,两两互相垂直，且
5,12,13
a b c →
→→
===
和，则
=
++→
→→
c b a .
2．设函数
2
2
sin y z xy x =，求z z x y x y ??+=?? . 3. 设函数(,)f x y 为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序：
2
10
(,)y dy f x y dx =
?
?
.
4. 计算
(1,2)
(0,0)
()(2)y y I e x dx xe y dy =++-=
?
.
5. 幂级数n
n n
x n 213∑∞
=的收敛域为： .
6. 设函数
)()(2
πππ<<-+=x x x x f 的傅里叶级数为：∑∞
=++1
0)sin cos (2n n n nx b nx a a ，
则其系数 3b =
. 二、 选择题（每小题5分，满分20分）
1．直线11
23
1-=-=-z y x 与平面34-2x y z +=的位置关系是( ) (A) 直线在平面内； (B) 垂直；
(C) 平行； (D) 相交但不垂直.
2.设函数2
2
(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ ）
(A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值；
(C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值.
3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，则
?
=
+-L
y x ydx
xdy 2
2（ ）
(A) 0； (B) π； (C) 2π； (D) 2π-.
4. 设a
为常数，则级数
21sin n na n ∞
=? ?∑（ ） (A) 绝对收敛； (B) 发散；
(C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.
三、计算题 (本大题满分42分)
1. 设
?
?
?
?
?
=
≠
+
=
.)0,0(
)
,
(
,
),
0,0(
)
,
(
,
)
,
(4
2
2
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
f
讨论
(,)
f x y在原点
)0,0(处是否连续，并求出两个偏导数)0,0(x f'和)0,0(y f'. (7分)
2. 计算
,
2
2
2
???
Ω
+
+
=dxdydz
z
y
x
I
其中Ω是由上半球面
2
2
2y
x
z-
-
=
和锥
面
2
2y
x
z+
=
所围成的立体 . (7分)
3. 求锥面
22y x z +=被柱面222x y x +=所割下部分的曲面面积.
（7分）
4. 计算曲面积分 ??∑
++=ydzdx
x xdydz z zdxdy y I 222 ，其中 ∑ 是由
,22y x z +=0,0,0,122====+z y x y x 围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）
5.讨论级数
3
12
ln
n
n
n
∞
=
∑
的敛散性. （6分）
6. 把级数
1
21
21
1
(1)
(21)!2
n
n
n
n
x
n
-
∞
-
-
=
-
-
∑
的和函数展成
(1)
x-的幂级数.（8分）
四、（本题满分8分）设曲线L 是逆时针方向圆周
1)()(22=-+-a y a x ，()x ?是连续的正函数，证明：.2)()(π??≥-?L dx x y y xdy
五、设曲线L 是逆时针方向圆周1)
()(2
2
=-+-a y a x ，()x ?是连
续的正函数，证明：.2)()(π??≥-?L dx x y y xdy
（8分）
2008-2009年
一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.
1. 设三向量,,满足关系式c a b a ?=?，则（ ）. （A ）必有0=a ; （B ）必有0=-c b ;
（C ）当0≠a 时，必有c b =; （D ）必有λλ()(-=为常数).
2. 直线3742
3z
y x =-+=-+与平面3224=--z y x 的关系是（ ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；
（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.
3. 二元函数
?????=≠+=)0,0(),(,0)
0,0(),(,5),(2
2y x y x y
x xy
y x f 在点（0，0）处（ ）
(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在
(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在
4. 已知2)()(y x ydy
dx ay x +++为某二元函数的全微分，则=a （ ）.
（A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.
5. 设)(u f 是连续函数，平面区域)11(,10:2
≤≤--≤≤x x y D ，则
=+??D
dxdy y x f )(2
2（ ）.
（A ）??-+2
10
2
210
)(x dy
y x f dx ; （B ）??-+210
2210
)(y dx
y x f dy ;
（C ）??1
02
0)(rdr
r f d πθ; （D ）
??1
02
0)(dr
r f d πθ.
6. 设a 为常数，则级数)cos 1()1(1n a n n
--∑∞
=（ ）.
（A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关.
二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.
1. 设函数
181261),,(2
22z y x z y x u +
++=，向量}1,1,1{=n ，点)3,2,1(0P ，
=
0P _____________.
2. 若函数y xy ax x y x f 22),(2
2+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a ____________. 3. L 为圆12
2
=+y x 的一周，则=-?L ds y x )(22_____________.
4. 设2lim 1
=+∞→n
n n a a ，级数∑∞=-112n n n x a 的收敛半径为 _____________.
5. 设?-=2
2
1
)(x y dy
e x
f ，则=?1
)(dx x xf _____________.
6. 设)(x f 是以2为周期的周期函数，它在区间]1,1(-上的定义为???≤<≤<-=10,01,2)(3
x x x x f ，
则)(x f 的以2为周期的傅里叶级数在1=x 处收敛于_____________.
三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）. 1.（本小题6分）设)(u f 是可微函数，)
(
x y f z =，求y z y x
z x ??+??2. 解题过程是：
2. （本小题6分）计算二重积分??+++D dxdy y x xy
2211，其中}0,1|),{(2
2≥≤+=x y x y x D .
解题过程是：
3. （本小题6分） 设曲面),(y x z z =是由方程13
=+xz y x 所确定，求该曲面在点
)1,2,1(0-M 处的切平面方程及全微分)2,1(|dz .
解题过程是：
4. （本小题6分） 计算三重积分???
Ω
+dxdydz
y x 22，其中Ω是由柱面2
1x y -=及
0=y ，0=z ，4=++z y x 所围成的空间区域.
解题过程是：
5. （本小题6分）求??
∑
+
+zdxdy
dydz
z
x)
2(
，其中∑为曲面)1
0(2
2≤
≤
+
=z
y
x
z，方
向取下侧.
解题过程是：
6. （本小题7分）求幂级数∑∞
=
+
1
21
n
n
x
n
n
的收敛域及和函数.
解题过程是：
7. （本小题7分）计算??∑
+=dS
y x I )(22，∑为立体
122≤≤+z y x 的边界。 解题过程是：
四．证明题（8分）.
设函数)(u f 在),(+∞-∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),(b a ，终点为),(d c ，记
?
-++=L dy xy f y y x
dx xy f y y I ]1)([)](1[1222，
（1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.
2007-2008年
1. 平面0:1=-∏z y 与平面0:2=+∏y x 的夹角为 .
2. 函数2
2y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数
为 .
3. 设(,)f x y 是有界闭区域2
22:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，
=
??→D
a dxdy y x f a ),(1lim
20π .
4. 区域Ω由圆锥面2
2
2
x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dV
Ω
???在柱
面坐标系下化为三次积分为 .
5. 设Γ为由曲线3
2,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：
Pdx Qdy Rdz Γ
++=
?
______________________________________.
6.
将
函
数
)
0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数为
__________________________________
.
二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.
7. 若),(y x f z =有连续的二阶偏导数，且K y x f xy =''),((常数)，则(,)y f x y '=（ ）
(A) 22
K ； (B)
Ky ； (C) )(x Ky ?+； (D) )(y Kx ?+.
8. 设
)(x f 是连续的奇函数，)(x g 是连续的偶函数，区域
{
}x
y x x y x D ≤≤-≤≤=,10),(，则下列结论正确的是（ ）
(A)
)()(=??D dxdy x g y f ； (B)
)()(=??D
dxdy y g x f ；
(C)
)]()([=+??D
dxdy y g x f ； (D)
)]()([=+??D
dxdy x g y f .
9. 已知空间三角形三顶点)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -，则ABC ?的面积为（ ）
(A) 29； (B) 37； (C) 92
； (D) 73.
10. 曲面积分??∑
dxdy z 2在数值上等于( )
(A) 流速场i z v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；
(C) 向量场k z F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2
=沿Σ边界所做的功.
11．处
则此级数在处是收敛的在若级数1,4)2(1=-=+∑∞
=x x x c n n n ( )
(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.
12.级数∑∞
=--121
)1(n p
n n 的敛散性为 ( )
(A) 当
p >
12时，绝对收敛； （B ）当p >
1
2时，条件收敛； (C) 当
21
0≤
p 时，发散. 三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤. 13.（本题满分6分）设()
x y z x y z e -++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .
14. （本题满分8分）求曲线 22230
23540
x y z x x y z ++-=??
?-+-= 在点（1,1,1）处的切线与法平面方
程.
15.（本题满分8分）求幂级数n
n x n ∑∞
=+0
)12(的和函数.
16.（本题满分6分）计算
??∑
++=dS
z y x I )(，其中∑为曲面5=+z y 被柱面
2522=+y x 所截下的有限部分.
17.（本题满分8分）计算积分
222(24)(2)L
I x xy dx x y dy
=++-?，其中L 为曲线
22355()()222x y -+-=
上从点(1,1)到(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.
18.（本题满分8分）计算
??
∑
+
+
+
=xydxdy
dzdx
z
x
y
yzdydz
I)
(2
2
，其中∑是由曲面
22
4y x z
-=+与平面0
=
y围成的有界闭区域Ω的表面外侧.
19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面
1
2
2
2
2
2
2
=
+
+
c
z
b
y
a
x
的切平面，使切平面与三个
坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.
20. (本题满分6分)设)(),(x g x f 均在[]b a ,上连续，试证明柯西-施瓦茨不等式：
]
)(][)([])()([22
2
???≤b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f .
2006-2007年（无答案，仅用于题型参考）
一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一
项符合
题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.
1．设三向量c b a ,,满足关系式c a b a ?=?，则（ ）.
（A ）必有c b ,0 ==或者a ; （B ）必有0
===c b a ;
（C ）当0
≠a 时，必有c b =; （D ）必有)(c b a -⊥.
2. 已知
2
,2==b a
，且2=?b a ，则=
?b a （ ）.
（A ）2 ; （B ）22; （C ）22
; （D ）1 .
3. 设曲面)0,0(:222
2>≥=++a z S a z y x ，S 1是S 在第一卦限中的部分，则有（ ）. （A ）????=S S S x S x 1
d 4d ; （B ）????=S S
S
x S y 1
d 4d ;
（C ）????=S S
S
x S z 1
d 4d ; （D ）????=S S
S
xyz S xyz 1
d 4d .
4. 曲面6322
22=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（ ）.
（A ）632=+-z y x ; （B ）632=-+z y x ; （C ）632=++z y x ; （D ）632=--z y x .
5. 判别级数∑
?∞
=1
!
3n n n n n 的敛散性，正确结果是：（ ）.
（A ）条件收敛; （B ）发散；
（C ）绝对收敛; （D ）可能收敛，也可能发散.
6. 平面0633=--y x 的位置是（ ）.
（A ）平行于XOY 平面; （B ）平行于Z 轴，但不通过Z 轴; （C ）垂直于Z 轴 ; （D ）通过Z 轴 .
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知e x y
z =，则____________________d =z
.
2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(=P 处沿向量的方向导数是____________，函数
模拟试卷一 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。
遵章守纪考试诚信承诺书 在我填写考生信息后及签字之后，表示我已阅读和理解《XX 学院学生考试违规处理办法》有关规定，承诺在考试中自觉遵守该考场纪律，如有违规行为愿意接受处分；我保证在本次考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。 承诺人签字： 数理部《高等数学》(专科)课程期末考试卷 2016——2017学年第二学期 闭卷 考试时间： 100分钟 任课教师: （统一命题的课程可不填写） 年级、专业、班级 学号 姓名 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.设 2 1 ,1()1 ,1x x f x x a x ?-≠? =-??=?，)(x f 在1=x 处连续，则=a 。 2.已知()3 f x '=，则0 ( 2)() lim x f x x f x x ?→-?-= ? 。 3. 2 11x +是 () f x 的一个原函数，则()f x d x = ? 。 4.已知曲线ln y x =，求曲线点(,1)e 的切线方程 。 5.函数 ()ln f x x x =+在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理的点ξ = 。 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.函数2 11y x = -的定义域是（ ）。 A.(2,2)- B.[2,2]- C.[2,1)(1,2]--- D.[2,1) (1,1) (1,2] --- 2.设函数(,) z f x y =有一阶、二阶偏导数，则当（ ）时， 2 2 z z x y y x ??= ????。 A.函数(,) z f x y =连续 B.函数(,) z f x y =可微 C. ,z z x y ????连续 D.,x y y x z z ''''连续 3.若函数 () f x 在点0x 处满足 00()0,()0 f x f x '''=≠，则点0x 是曲线() y f x =的（ ）。 A.拐点 B.极大值点 C.极小值点 D.单调性不能确定 4.由曲线2 y x =，直线2,2,0 x x y =-==围成的屏幕图形的面积为（ ）。 A.22 x d x ? B.22 2 x d x -? C.40 y ? D.4 2y ? 5.以下方程中（ ）是一阶线性微分方程。 A.x y y e +'= B.x y y '= C.0 y x y y '''+ += D.ln y y x '- = 三、计算题（每小题6分，共54分） 1.1 1lim ( ) ln 1 x x x x →- - 2.22lim ( ) x x x x -→∞ -
北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x
大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-? 10211dx x 2π . (5) =?∞ +121dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设x x x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=?)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='?. (D) )())((0x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6 2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x
大一高数试题及解答
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处 的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ， 则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0
ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
大一高数期末考试试题
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim()x x x e x →-= .2 ．()()120051 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导， 且1 ()() x tf t dt f x =? ，1)0(=f ，则 ()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分， 共计16分） 1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x * =; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ）x A y 2sin * =.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ） 若 )(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是 周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。).
5 一、 单项选择题 1. D （解释：， 2. A （解释： 在 处连续 ，所以 必须存在， 也就是 在 处有定义。） 3. B （解释： ，可以这样理解： 。） 4. C ，见书P90。） 5. D 就是 ，定积分 是一个常数， 所以它的导数为0。 ， 。 二、 填空题 1. 解：由的定义， 在 处连续，是指： ，也就是： 2. 解：先回顾导数的定义 看作 ，那么原极限可以变为： 计算两部分的极限，其中 所以答案为：。 3. 解：要求法线方程，可以先计算曲线在 处的导数（也就是切线斜率），法 线的导数是切线斜率的负倒数。 在点 出导数 ，代入 ， 得到，所以法线的斜率为 。 4. 解：函数 的正负变化情况 所以极大值： 。5. 解：此题可先计算不定积分
计算定积分： 5
三、求解下列各题 1.解： 2.解： 3.解： 4.解： 5.解：先对原等式两侧求微分，得到： 整理后得到 再计算 即：，代入，并代入点 得到： 6.解： 5
5 7.解：可以令 ， 代换原式得到： 8.解：第一步用凑微分的方法，就是 可知：当为最小 值。 边际成本函数为，代入。 2.解：此题需要列表讨论函数的一二阶导数，并计算渐进线。 首先计算： ， 用使上面两式等于0： 1.是垂直渐进线； 2.由可知，是其水平渐进线； 3.无斜渐进线。 3.解：先计算，并作图
曲线的切线斜率为 方程则为，此线过原点，也就是说：代入 ，所以切线位于曲线的切点坐标为：。红色区域为所围成的区域，求此区域绕轴旋转一周形成的旋转体体积。 回顾：绕轴旋转一周的旋转体体积公式为： 但此题中不能直接使用该公式，原因是红色区域的上边界（不含轴）不构成一个函数。而应考虑为是一个圆锥体（在区间上绕轴形成）体积减去其中由抛物线在区间上绕轴形成的旋转体体积，即：五、证明题 证：构造函数，由条件可知：，且上连续，内可导，满足罗尔中值定理的使用条件，因此：必存在使得，而通过计算我们知道： 所以：，其中，所以. 5
【最新整理，下载后即可编辑】 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π+20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分)
设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()() x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 8 23 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 222 312 61812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ? +x x x d )1(2 2
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?，则=（ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设2 2()D I x y dxdy =+??，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 22 4 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ??-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 10 1 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?
5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分
西南科技大学2013-2014-2学期《高等数学B2》本科期末考试试卷（A卷） 2、设y z x =，求dz=__________。
3、求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线方程________。 4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________。 5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角，则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=??。 三、解答题（1-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分） 1、 求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。 2、 设2 2 (,),z f x y xy = -，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求2z x y ???。 3、 求函数4242z x xy y =-+的极值。 4、 计算|1|D I x y dxdy =+-??，其中[0,1][0,1]D =?。 5、 把二次积分4 2200 )dx x y dy +?化为极坐标形式，并计算积分值。
1、解：令222(,,)14F x y z x y z =++-， 在点000(,,)P x y z 处的法向量为000(,,)n x y z =r 000 123 x y z k ===令 ，代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分， 在点（1，2，3）处的切平面为2314x y z ++=-————----2分， 在点（-1，-2，-3）处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。 2、解：122(3)z xf yf x ?'' =+?分。 3、解：3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为（0，0），（1，1），（-1，-1）。（3分） 212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==，在点（0，0）处2160AC B -=-<没有极值，（3分） 在点（1，1）和（-1，-1）处2320,0AC B A -=>>，所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-（3分） 4、解： 5 、解3334 4cos 22 3 4 2 200 )64cos 12dx x y dy d r dr d π π θ θθθπ+===??? ?分 分 分 。 6、解：131 lim 3 31n n n n n ρ+→∞==+，所以收敛半径为3，收敛区间为323x -<-<，即15 x -<<（3分） 当5x =时1131 3n n n n n n ∞ ∞ ===∑∑g 发散（2 分），当1x =-时11(3)(1)3n n n n n n n ∞ ∞ ==--=∑∑ g 收敛，（2分） 因此原级数的收敛域为[1,5)-。（2分） 7、解：42332,4,24Q P P xy y Q x xy x y x y ??=-=-==-??，所以该曲线积分和积分路径无关。（4分） 11 4 2 3 30 (23)(4)314)=3L xy y dx x xy dy dx y dy -++-=+-???（（5 分） 8、解：由高斯公式得22322 ()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑ Ω +-++????? ò（4分） 由柱面坐标224 22300 28()3 r x y dxdydz d r dz π π θΩ +== ?????（5分）