抽象函数的单调性
抽象函数的含义：没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面前。思路：添项法。
类型：一次函数型，幂函数型，指数函数型，对数函数型。
或
例1、()
f x对任意,x y R
∈都有：()()()
f x y f x f y
+=+，当0,()0
x f x
><
时，判断()
f x在R上的单调性。
()()()
()
()()上是增函数
在
解：
R
x
f
x
f
x
f
x
x
f
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
R
x
x
)
(
,0
)
(
,0
)
(
)
(
)
(
)
(
,
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
<
-
∴
<
-
>
-
∴
>
-
=
-
+
-
=
-
+
-
=
-
<
∈
?
例2、f(x)对任意实数x与y都有()()()2
f x f y f x y
-=--,当x>0时,f(x)>2
（1）求证:f(x)在R上是增函数；（2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3
()
()
2
5
2
3
2
)
(
)2(
)3
2(
3
)2(
2
)1
2(
)1(
)2(
,1
,2
2
)
(
)
(
,0
2
)
(
2
)
(
,0
,
2
)
(
)
(
,
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
>
>
-
∴
<
-
∴
=
∴
-
-
=
-
=
=
∴
>
-
>
-
-
∴
>
>
>
-
>
-
-
=
-
>
∈
<
?
a
a
R
x
f
f
a
f
f
f
f
f
y
x
R
x
f
x
f
x
f
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
R
x
x
解得
上是增函数
在
又
原不等式可化为
则
）令
（
上是增函数
在
则
时，
当
）
解：（
【专练】：1、已知函数f x()对任意x y R
，∈有f x f y f x y
()()()
+=++
2，当x>0时，f x()>2，f()35
=，求不等式f a a
()
2223
--<的解集。
2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意x，y∈R都有()()()
f x y f x f y
-=-，且当0,()0
x f x
<<
时
(1)求证f(x)为奇函数； (2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
或例1、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.
(1) 求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。
()()3
221322-1,9122)9
1(),2()2()()3(0)(,0)(0)(,10)()()()()()(
)(0
),,0(,22)9
1(2)3
1()31()3131(,311)3
1(),3()31()331(,3,310
)1(),3()1()31(,3,1122212121212
122212*********+<<>-∴=-=-+><-∴<>∴
>>=-+=-=->>+∞∈?==+=?===+=?===+=?==x x x f x x f x f x f x x f x f x f x x f x x x x x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f x x x x f f f f y x f f f f y x f f f f y x 解得原不等式可化为：且上是减函数。
在函数）（即则令解得则令解得则）令解：（
例2、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a f b b
=-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性, 【专练】：1、定义在(0,)+∞上的函数f(x)对任意的正实数,x y 有)()()(y f x f y
x f -=且当01x <<时，()0f x <. 求:(1))1(f 的值. (2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+x f x f ；
2、 函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ?=+，且当1
x >时()0,(2)1f x f >=又， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数（3）解不等式2(21)2f x -<
3、设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，对任意,(0,)x y ∈+∞，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x >。