阿波罗尼斯（Apollonius）圆
法二：
设平面上有不同的两点A,B ，那么该平面上使得
k PB
PA
= 为定值k （1≠k ）的P 的轨迹是一个圆。
这个定理的证明方法很多。下面是笔者的分析与证明，希望读者喜欢。
如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA：PB＝ m：n ，M是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且AM：MB＝AN：NB＝m：n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。
下面先证明两个定理：
一、如图一，已知M是BC上一点，且AB：AC＝BM：MC，
求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理）
证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB：AD＝BM：MC
∵AB：AC＝BM：MC，
∴AB：AD ＝AB：AC，
∴AC＝AD，∴∠D＝∠3，
∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。
二、如图二，N是BC延长线上一点，BN：CN＝AB：AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC. 证明：∵CD∥AN交AB于D，则BN：CN＝AB：AD.
∵BN：CN＝AB：AC
∴AB：AD＝AB：AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4.
∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
∴∠1＝∠2
∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC
有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下：
连结PM、PN，∵M为AB的内分点
PA：PB＝AM：MB ＝m：n，∴PM平分∠APB
∵N为AB的外分点，AN：BN＝PA：PB ＝m：n
∴PN平分∠BPE
∵∠APB＋∠BPE＝180o，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2
∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2即∠MPN＝90o
∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆
阿波罗尼斯圆
一、适用题型
1、已知两个线段长度之比为定值；
2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；
3、向量的定比分点公式结合角平分线；
4、线段的倍数转化；
二、基本理论
（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）
设三角形的三边长分别为c b a ,,，中线长分别为c b a m m m ,,,则：
2
2222
222222222
1221221c
b a m
c b a m b c a m a c b +=++=++=
+
（二）阿波罗尼斯圆
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”
()()()()则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,y x P a BP AP a B a A ≠>>=-λλλ
()()2222y a x y a x +-=++λ
化简得：2
22
2
22
1211??? ??-=+???
? ??-+-a y a x λλλλ 轨迹为圆心a a 12011222-???
? ??-+λλλλ，半径为，的圆 （三）阿波罗尼斯圆的性质
1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点；
2、直线CM 平分ACB ∠，直线CN 平分ACB ∠的外角；
3、BN AN
BM AM = 4、CN CM ⊥
5、内在圆点内；
在圆时，点O A O B ,101<<>λλ；
6、若AD AC ,是切线，则CD 与AO 的交点即为B ；
7、若点B 做圆O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠；
三、补充说明
1、关于性质1的证明
定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为()1≠λλ的内、外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比等于常数λ。 证明：不妨设1>λ
1
,1,1,1,-=
-=+=+==λλλλλλa
BQ a AQ a BP a AP CD PQ O B a AB ，则
垂直的弦的与直径作圆过点设 由相交弦定理及勾股定理得：
λλλλλλλλ=-=-=-=-+=+=-=?=BC AC
a AC a BC a a a BC AB AC a BQ BP BC 则于是,1
,11
11
2222
2222
2
2
2
2
2
2
从而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此圆O 上任意点到B A ,两点距离之比等于常数。 2、关于性质6的补充
若已知圆O 及圆O 外一点A ，则可作出与点A 对应的点B ，只要过点A 作圆O 两条切线，切点分别为D C ,，连结CD 与AQ 即交于点B 。反之，可作出与点B 对应的点A
四、典型例题
例1 （教材例题）已知一曲线是与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 距离的比为12
的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。 解：设点(,)M x y 是曲线上任意一点，则2222
1
2
(3)x y x y +=
-+，整理即得到该曲线的方程为：22(1)4x y ++=。
例2 （2003北京春季文）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹. 解：设动点P 的坐标为（x ，y ）
由a y
c x y c x a a PB PA =+-++>=2
22
2)()()0(|
|||，得.
化简得.0)1()1()1(2)1(2222222=-+-+++-y a a c x a c x a
当01)1(2,122222
=++-++≠y c x a a c x a 得时，整理得22
2
222)1
2()11(-=+-+-a ac y c a a x . 当a =1时，化简得x =0.
所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(2
2c a a -+为圆心，|1
2|2-a ac
为半径的圆； 当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.
例3 （2005江苏高考数学）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，
421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N 分别为切
点），使得PN PM 2=
试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程
解：以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，建立平面直角
坐标系，则1O （-2，0），2O （2，0）， 由已知PN 2PM =
，得222PN PM =
因为两圆的半径均为1，所以
)1(212
221-=-PO PO
设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2
2
2
2
-+-=-++y x y x ， 即33)6(2
2
=+-y x ，
所以所求轨迹方程为33)6(2
2
=+-y x （或03122
2
=+-+x y x ）
例4 （2006四川高考理）已知两定点(2,0)A -、(1,0)B ，如果动点P 满足2PA
PB ，
则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） （A ） （B ）4 （C ）8 （D ）9
解：B
例5 （2008江苏高考）BC AC AB ABC 2,2==?中，，则ABC S ?的最大值为________. 答案：
3
4
变形：3:5:,4==?CB CA AB ABC 中，，则ABC S ?的最大值为________. 答案：
2
15 例6 设点D C B A ,,,依次在同一直线上，2,3,6===CD BC AB ，已知点P 在直线AD 外，满足CPD BPC APB ∠=∠=∠，试确定点P 的几何位置。
解：先作线段AC 关于2:1的阿氏圆1?，再作线段BD 关于3:2的阿氏圆2?，两圆交点即为点P ，同时该点关于直线AD 的对称点也为所求。
例7 （2011年南通一模）已知等腰三角形一腰上的中线长为3，则该三角形面积的最大值为__________.
例8 （2013江苏高考）如图，在平面直角坐标系
中，点，直线
．设圆
的半径为，圆心在上．
（1）若圆心也在直线上，过点
作圆
的切线，求切线的方程； （2）若圆上存在点，使
，求圆心
的横坐标的取值范围．
解：（1）联立：
，得圆心为：C (3，2)． 设切线为：， d ＝
，得：
．
故所求切线为：
．
x
y A l
O
（2）设点M (x ，y )，由
，知：
，
化简得：
，
即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ． 又因为点在圆上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切． 故：1≤|CD |≤3，其中．
解之得：0≤a ≤12
5 ．
例9 圆21,O O 圆不等且外离，现有一点P ，它对于1O 圆所张的视角与对于2O 圆所张的视角相等，试确定点P 的几何位置
答案：做圆21,O O 圆的内、外公切线，分别交连心线21O O 于点B A ,，以线段AB 为直径的圆 ，就是线段21O O 关于21:r r 的阿氏圆，该圆上任意一点都符合要求。
例10 在x 轴正半轴上是否存在两个定点A 、B ，使得圆224x y +=上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数1
2
？如果存在，求出点A 、B 坐标；如果不存在，请说明理由。
解：假设在x 轴正半轴上是否存在两个定点A 、B ，使得圆224x y +=上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数
1
2
，设(,)P x y 、1(,0)A x 、2(,0)B x ，其中210x x >>。
即
22122
2()1
2
()x x y x x y -+=
-+对满足224x y +=的任何实数对(,)x y 恒成立， 整理得：2
222122
12(4)43()x x x x x x y -+-=+，将224x y +=代入得： 2
212212(4)412x x x x x -+-=，这个式子对任意[2,2]x ∈-恒成立，所以一定有：
1222
21
40
412x x x x -=??-=?，因为210x x >>，所以解得：11x =、24x =。 所以，在x 轴正半轴上是否存在两个定点(1,0)A 、(4,0)B ，使得圆224x y +=上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数
1
2
。
例11 铁路线上线段100AB =km ，工厂C 到铁路的距离20CA =km 。现要在A 、B 之间某一点D 处，向C 修一条公路。已知每吨货物运输1km 的铁路费用与公路费用之比为3:5，为了使原料从供应站B 运到工厂C 的费用最少，点D 应选在何处？
解：建立如图所示直角坐标系，
先求到定点A 、C 的距离之比为3
5的动
点(,)P x y 的轨迹方程， 即：
2222
3
5
(20)x y x y +=
+-，整理即得动点(,)P x y 的轨迹方程： 2244909000x y y ++-=，
令0y =，得15x =±（舍去正值）即得点(15,0)D -15,25DA DC ==。
下面证明此点D 即为所求点：
自点B 作CD 延长线的垂线，垂足为E ，在线段BA 上任取点1D ，连接1CD ，再作11D E BE ⊥于1E 。
设每吨货物运输1km 的铁路费用为3(0)k k >， 则每吨货物运输1km 的公路费用为5k ，
如果选址在1D 处，那么总运输费用为111135(35)y kBD kD C BD D C k =+=+， 而11BE D ?∽BED ?∽CAD ? ∴
111255
153
BD CD E D AD === ∴11135BD E D =
那么总费用11111(35)()5()55y BD D C k E D D C k CD DE k kCE =+=+≥+=， 当且仅当点C 、1D 、1E 共线时取等号 总上所述，点D 即为所求点
例12 已知点()4,3P ，点B A ,分别为圆()()4442
2
=-+-y x 及直线0
103=--y x 上一点，则AP AB 2+的最小值为_________. 答案：7
例13 ABC ?中，3=BC ,A AD ∠为的角平分线，且满足3
13
2+=，则ABC
S ?的最大值为____________. 答案：3