《初等几何研究》作业参考答案
一.填空题
1.①射线(或半直线),②。
2、 ①两,②度量公理(或阿基米德公理)与康托儿公理。
3.①前4组公理(或绝对几何),②平行公理。
4.①平移,②旋转,③轴对称、
5.
1=??ZB
AZ
YA CY XC BX 。 6.①交轨法,②三角奠基法,③代数法,④变换法。 7.①反身性、②对称性、③传递性、④可加性、 8.外角、 9.答案不惟一、
10.①演绎,②综合,③直接,④反证,⑤同一; 11.
1=??ZB
AZ
YA CY XC BX 、(答－1也对) 12. ①过两点可作一条直线(或其部分),②已知圆心与半径可作一圆(或其部分)、 13.①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。 14.连续、 15.答案不惟一、 16.①不过,②圆、
17.1
=??ZB AZ
YA CY XC BX (或－1)、
18.①写出已知与求作,②分析,③作法,④证明,⑤讨论、 19.①相容,②独立,③完备、
20.合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等
21.对任意直线a 及其外一点A,在a 与A 决定的平面上,至少有两条过A 与a 不相交的直线、 22.①代数,②解析,③三角,④面积,⑤复数,⑥向量、 23.相等。
24.所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出. 二.问答题
1.对于公理系统∑,若有一组具体事物M,其性质就是已知的,在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后,可验证∑中每个公理在M 中都成立,则称M 为公理系统∑的一个模型;
2.①若AB ≡B A '',则d(AB)=d(B A '');
②当C B
A ?时,有d(AB)+d(BC)=d(AC)、
3.命题“三角形的内角与不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。
4.结合,介于,合同;结合——即有公共点,介于——即在…之间,合同——相等或完全相等、
5.长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等、
6.由第五公设引出了该公理独立性的问题,对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生、
7.通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。
8.线段“合同”的概念就是由公理引出来的,线段“长度”的概念就是以定义的形式引出来的。 9.不可以。问题出在第二步“设⊿ABC 的内角与为x ” 。设任何三角形的内角与都相等就是不对的。 10.刻划了直线的无限延伸性及三角形的封闭性;
11.一共有5条、这组公理的名称“合同”与长度、角度、相等、全等等概念有关、 12.介于关系,合同关系、 三.轨迹问题
1.已知:BC 就是定线段,l 就是过B 点的定直线,A 就是l 上的动点,O 就是⊿ABC 的外心,MN 就是BC 的中垂线,求证:O 的轨迹就是MN 、 完备性:O 就是⊿ABC 的外心,则OA=OB=OC 、
又∵MN 就是BC 的中垂线,∴O 点必在MN 上、
②纯粹性:在MN 上任取一点O,作OP ⊥l,
在l 上取点A,使PA=PB, 则OP 就是AB 的中垂线、OP 与MN 的交点O 即MN 上的任意点都符合条件、
③结论:由①②可知,⊿ABC 的外心O 的
轨迹就是BC 的中垂线MN 、
④讨论:若A 与B 重合, 则⊿ABC 不存在,外心也就不存在、 过B 作l 的垂线交MN 于Q, 虽然Q 点不符合条件,但Q 点周围的任意点都符合条件, 即MN 上除Q 点外都符合条件、
2.①探求:设点M 满足条件,即MA:MB=m, 则M 关于AB 的对称点M’也满足条件;
∵轨迹就是一个圆,∴圆心一定在直线AB 上、 又∵AB 上还有两点C,D 满足条件, 即CA:CB=DA:DB=m,
∴轨迹应就是以CD 为直径的圆、
②完备性:即由MA:MB=m 证明M 在CD 为直径的圆上、
∵ MA:MB=m=CA:CB=DA:DB, ∴MC,MD 分别为⊿ABM 的内角与外角平分线, ∴MC ⊥MD 、
C
A
B
C D
M
③纯粹性:即对CD 为直径的圆上任一点M 证明MA:MB=m 、作MB 关于MC 的对称线,交AB 于A’、 ∵MC ⊥MD, ∴MC, MD 就是∠A’MB 的内、外角平分线, 因此
CB
DB CD
CB DB A C A D DB A D CB A C -=
-'-'='=', 由CA:CB=DA:DB=m 可知
CB
DB CD
CB DB CA DA DB DA CB CA -=
--==,即CA’=CA、 又A’与A 在C 同侧,∴A’与A 就是同一点,因此得MA:MB=m 、 ④下结论:满足命题条件的点的轨迹, 就是以CD 为直径的圆周、
⑤讨论: m=1,轨迹就是AB 的中垂线;m<1, 圆在左侧; m>1, 圆在右侧、 3.探求:A 点轨迹就是以BC 为弦的弓形弧,
∵∠1=∠2=α/2就是定值, ∴D 的轨迹也就是以BC
为弦的弓形弧、 但要注意到A 的变化范围: 当A →B 时,BA 的
极限位置就是B 处的切线BT, 这时D →T, AB →0, 则BT=B(A)C, ∴∠4=∠BCT=∠3,
又∠4=∠1,∴∠3=∠1= α/2 、
因此:D 的轨迹就是以BC 为弦,视角为α/2的弓形弧的一半CDT 弧, 或者说就是以CT 为弦,视角为α的弓形弧、 四、 作图问题
1.作法:作A 关于 l 的对称点A’, 连接A’B 与 l 交于P,
则P 点就就是所求位置。 作右图
证明:∵A 与A’对称, ∴AP=A ’P,即AP+PB=A ’B 、
α
B
C
A D 1 2 T 3 4