题目基于连续周期信号时域采样数据的频谱分析程序设计学生姓名黄冬冬
学号 1110064069 所在学院物理与电信工程学院
专业班级电信1103班
指导教师龙姝明
完成地点博远楼A1109，C1207
2015 年 6 月 5 日
基于连续周期信号时域采样数据的频谱分析程序设计
黄冬冬
（陕西理工学院物理与电信工程学院电子信息科学与技术专业,2011级03班陕西汉中723000）
指导教师：龙姝明
[摘要]大量的物理系统中，时域信号都是连续带限信号，即含有有限多个频率成分的连续信号，在观测之前，变化规律都是未知。要探索这些带限信号的时域演化规律，必须对信号观察测量大量数据，即对信号采样产生大量采样数据，通过对信号的正确采样和对采样数据的科学频谱分析获得采样数据的频谱并证明它就是原连续周期信号的频谱。本文分析了用数值计算的方法实现连续周期时间信号的时域频谱分析，即采用快速傅里叶变换（FFT）方法来获取连续周期信号的频谱，并编写实用的连续带限信号频谱分析Mathematica程序，以实例展示程序的高效率和可靠性。
[关键词]连续带限信号；采样数据；频谱分析；FFT；Mathematica程序
The Programming of Frequency Spectrum Analysis on Continuous Periodic Signal Sampling Data
Huang Dongdong
(Grade 11,Class 03,Major Electronic Information Science and Technology,School of Physics and Telecommunication Engineering，Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)
Tutor:Long Shuming
Abstract A lot of physical system, the time domain signal is continuous band-limited signal, namely the continuous signal containing multiple frequency components co., LTD., before the observation, change law is unknown.To explore the time-domain evolution of the band-limited signal, must watch the signal measurement of large amounts of data, namely the signal sampling produces a large number of sampling data, by means of the correct signal sampling and the sampling data of spectrum analysis to obtain the frequency spectrum of the sampled data scientifically and prove that it is the original continuous spectrum of periodic signal.Analyzed in this paper the method of numerical calculation is used to implement continuous cycle time signal spectrum analysis of time domain, which uses the fast Fourier transform (FFT) method to get the continuous spectrum of periodic signal, and write useful for band-limited signal spectrum analysis Mathematica program, with examples to show the efficiency and reliability of the program.
Keywords Continuous band-limited signal,Sampling data,Spectrum analysis,FFT,Mathematica program
目录
1 已知变化规律的周期信号频谱分析方法 (1)
1.1 周期信号的分解 (1)
1.2傅里叶级数展开条件 (2)
1.3指数形式傅里叶级数 (2)
1.4周期信号傅里叶级数展开的技巧性方法 (2)
1.4.1平移方法 (2)
1.4.2求导方法 (2)
1.5已知变化规律的周期连续信号频谱识别方法 (3)
2 未知变化规律的周期信号的频谱分析方法 (3)
2.1用FFT计算未知变化规律的周期信号的频谱的思路 (4)
2.2未知变化规律的周期连续信号频谱识别方法 (4)
3 周期信号频谱分析的Mathematica程序设计思路 (4)
4 周期信号频谱分析的Mathematica程序应用实例 (5)
结语 (7)
附录 (7)
在现实生活中对于信号进行频谱分析具有重要的意义。通过对信号频谱的分析，可以得到信号的频率结构，了解信号的频率成分或系统的特征。在此基础之上，可实现对信号的跟踪控制，从而实现对系统状态的早期预测，发现潜在的危险并诊断可能发生故障的原因，对系统参数进行识别及校正。因此，频谱分析是揭示信号特征的重要方法，也是处理信号的重要手段[1]。
对于已知变化规律的周期信号做频谱分析，可采用傅里叶级数展开方法和时域采样频谱分析方法。使用时域采样频谱分析方法时，对采样得到的数据进行快速傅里叶变换，然后利用快速傅里叶变换的数据来计算出信号的频谱的每个频率成分的振幅、频率、初相位。
对于未知变化规律的周期信号做频谱分析只有唯一一种方法，即利用信号的时域采样数据取FFT 来得到信号的频谱的方法[2]。
在工程领域中，Mathematica 软件是一种倍受程序开发人员青睐的语言，对于一些需要做大量数据运算处理的复杂应用Mathematica 软件显得游刃有余[3]。
1 已知变化规律的周期信号频谱分析方法
1.1 周期信号的分解
设有周期信号)(t f ，他的周期是T ，角频率T
F π
π22=
=Ω,它可分解为 ∑∑∞
=∞=Ω+Ω+=+Ω+Ω++Ω+Ω+=
1
1021210
)sin()cos(2...)2cos()cos(...)2cos()cos(2
)(n n n n t n b t n a a
t b t b t a t a a t f (1-1) 式(1-1)中的系数n a ，n b 称为傅里叶系数[4]。它可由式
?
?
?==
2
1
21
2
1
)()(1)()()(2
t t i i
t t i
t t i i
dt t t f k dt
t dt
t t f C ??? (1-2)
求得。为简便，式∑∞
==1
)()(j j j t C t f ?的积分区间),(00T t t +取为)2
,2(T
T -
或),0(T 。由式(1-1)可得傅里叶系数
?
-Ω=T
T
dt t n t f f a 5.05.0n )cos()(2 n =0，1，2，… (1-3)
?
-Ω=T
T
dt t n t f f b 5.05.0n )sin()(2 n =0，1，2，… (1-4)
式中T 为函数)(t f 的周期，T /2π=Ω为角频率。由式(1-3)和式(1-4)可见，傅里叶系数n a 和n b 都是n 的函数，其中n a 是n 的偶函数，即n n -a a =；而n b 是n 的奇函数，即有n n -b b -=。
将式（1-1）中同频率项合并，可写成如下形式
∑∞=+Ω+=++Ω++Ω+=
1
022110
)cos(2...)2cos()cos(2
)(n n n t n A A t A t A A t f ??? (1-5)
式中
00
22
n n
n n
arctan(
)n n
n A a A a b b A a φ==+=-, n =1，2，… (1-6)
如将式（1-6）的形式转化为式（1-7）的形式，他们系数之间的关系为
00n n n
n ,
cos ,sin ,
n n a A a A b A φφ===- n =1，
2，… (1-7) 由式（1-7）可见，n A 是n 的偶函数，即有n n -A A =；而n ?是n 的奇函数，即有n n ??--=。傅里叶系数的这些重要性质是很有用的。 1.2傅里叶级数展开条件
周期信号)(t f 应满足狄里赫利条件，即： （1）在其一个周期内绝对可积；
（2）在其一个周期内只有有限个有限的不连续点； （3）在其一个周期内只有有限个极大值和极小值。 注意：条件(1)为充分条件但不是必要条件； 条件(2)(3)是必要条件但不是充分条件[5]。 1.3指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为
dt e t f f C e C t f t jn T
T
n n t jn n 005.05.0)(,
)(ωω--∞
-∞
=?
∑==
(1-8)
n =±1两项的基波频率为f 0，两项合起来称为信号的基波分量； n =±2的基波频率为2f 0，两项合起来称为信号的2次谐波分量； n =±N 的基波频率为Nf 0，两项合起来称为信号的N 次谐波分量。 物理含义：周期信号)(t f 可以分解成不同频率虚指数之和[6]。 1.4周期信号傅里叶级数展开的技巧性方法 1.4.1平移方法
有些周期信号的周期规律不明显或周期变化计算过于复杂，则可通过左右平移和增加(减小)直流增量来改变信号位置，由此可使信号由变化规律不明显信号变成奇信号或者偶信号，然后进行傅里叶级数展开时就会比较快。
设已知变化规律的周期信号为∑∞
=++=1
0)2cos()(k k k t T
k
A A t f ?π
，那么对该周期信号进行左右平移即∑∞
=-++
=-1
0)22cos()(k k k T
k t T k A A t f τ
π?π
τ，或是上下平移即∑∞
=+++=1
0)2cos()(k k k t T k
A C A t f ?π
进行变换的话，
则可以将一个变化规律不明显或者计算过程过于复杂的信号变成一个奇信号或偶信号。变为奇信号以后0k a =，变为偶信号后0k b =，那么对
于计算傅里叶级数的系数2
2k k k b a A +=，k k k a b -=arctan ?就会简单许多。
1.4.2求导方法
有些周期信号的周期规律不明显或周期变化计算过于复杂，则可对其进行求导(求导只是对其一个周期求导，因为信号的所有信息在一个周期均有完全的反应)，这样就是将复杂的信号分析改变成一个周期内的函数进行分析，可以减少计算过程，若经过一次求导以后函数依旧复杂，可再次对其进行求导。
给出一个周期的表达式)(t f ，)()(T t f t f +=，周期信号表达式为
∑∞=++=10)2c o s (2)(k k k t T
k
A A t f ?π （1-9）
对其求一次导则有
1
()2c o s (2)
2
2,2
k k k k k k k k k f t A t T T k B A T π
π
πφπ
π?φ∞
='=+-==-
∑ (1-10)
转换可得： 2
,2π
φ?π+==
k k k k k T B A (1-11) 对其求二次导则有
2
1
2
()(2
)c o s (2)
(2),k k k k k k k k
k
f t A t T
T
k C A T
ππφπ
π
θφπ∞
=''=++==+∑ (1-12)
转换可得： πθ?π-==k k k k k
T C A ,)2(
2
(1-13) 1.5已知变化规律的周期连续信号频谱识别方法
通过上面分析我们已经知道，对于这类信号要获得其频谱，我们只需将此周期连续信号做傅里叶级数展开[7]。
设f (t )为一个周期连续信号，T 为其周期，f =1/T 是信号的基波频率，112f π=Ω为信号的基 波角频率，则f (t )可以表示为()()f t f t nT =+，(n =0,1,2………)。对f (t )进行傅里叶级数展开。
01111
01111
011
()cos(2)sin(2)
cos()sin ()
cos()k k k k k k K k k k
k f t A a k f t b k f t A a k t b k t A A k t ππ?∞∞
==∞
∞
==∞
==++=+Ω+Ω=+Ω+∑∑∑∑∑ (1-14)
所谓周期信号的频谱，就是指周期信号可以表达成一系列正弦分量的叠加，每一个正弦成分称为其周期信号的一个频率成分，其中需要用三个实数来描述，即振幅、频率、相位。只要得到了每一个频率成分的振幅、频率、相位，那么叠加起来就是该周期函数的函数表达式，同时也可以得到任意时区上的波形[8]。
0.50.5110.50.52222()cos(),()sin(),arctan(/)
T T
k k T T k k k k k k a f t k t d t b f t k t dt T T
A a b b a ?--=
Ω=Ω=+=-??
(1-15)
通过上面推导即可计算已知变化规律的周期连续信号的频谱和振幅，从而画出相应信号f (t )的
幅频特性杆状图。同时也可以对已知变化规律的周期信号分析其频谱时，也可以采用时域采用方法，即对周期信号的一个周期的时区上进行采样，利用采样数据的快速傅里叶变换再来计算每个频率成分的振幅、频率、初相位，也可以得到周期信号的频谱。
2 未知变化规律的周期信号的频谱分析方法
对于未知变化规律的周期信号，首先可以确定信号是周期信号，虽然其周期和变化规律均不知道，但是其周期是客观存在的，可以使用设备对其进行测量的。因为信号的周期不知道，所以不能采用傅里叶级数展开的方法，只能利用信号时域采样的数据取FFT 来得信号其频谱的方法。
由于周期信号理论上用无穷个频率成分，进行时域采样就不能满足采样定理，即周期信号的采样频率必须大于信号最高频率的二倍，表达式为max 2f f s ≥。但是周期信号的高频成分的振幅都非
常小，从级数层面上讲是可以忽略不计的，这样就可以把周期信号的最高频率堪称是有限的，只有这样才能使用时域采样的方法进行频谱分析[9]。
2.1用FFT 计算未知变化规律的周期信号的频谱的思路
利用FFT 对连续时间未知变化规律的周期信号进行频谱分析[10]其实是一个对信号进行逐级近似的过程：
(1) 选取尽可能小的采样周期与尽可能宽的采样时区； (2) 选取尽可能多的采样数据点，对信号进行采样。
(3) 画采样数据的波形图，初步判断它的周期，并用数学手段找出其精确周期。 (4) 按照第三步得到的信号周期计算出一个周期的采样数据量，并截出这些数据。 (5) 对选取的数据做快速傅里叶变换。
利用采样数据的快速傅里叶变换的结果计算信号的频率成分的振幅、频率、初相位，从而得到周期信号的频谱。
2.2未知变化规律的周期连续信号频谱识别方法
未知变化规律的周期连续信号通常是通过对信号采样，然后分析采样信号的频谱来获得连续信号的频谱，这种做法首先要满足采样定理。为了使实际信号在采样后能够不失真的再现，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。其次，为获得连续信号的频谱，要对采样数据进行离散傅里叶变换(DFT)来获得离散信号的频谱[11]。
我们假设周期连续信号采样得到的序列为x (n )，设x (n )为有限长序列，长度为N ，但它取自周期信号，我们可以认为在采样参数选择恰当时，对它进行周期延拓所得周期序列的最小周期与被采样信号的周期是一致的。通过采样定理的学习我们得知采样信号的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，所以我们只需要对一个采样周期进行研究便可得到信号的全部信息。现在我们取定采样序列x (n )，长度为N (称为一个主值区间)对它进行频谱分析即可。对x (n )取DFT ，计算过程如下：错误!
22/()()()()()
()()()
DFT
j a a a k N
DFT
j j j k N a x t x nT x n X k X e X e X e X e ωπ
ωωωπ=
→→???→≈=???
→
具体计算步骤如下：
nt
t a a t x nT x n x ===)()()( (2-1)
∑∑-=-=
-=-=====1
2210
)()]([)()()]([)(N n kn
n
j k n
N n n
j j e
n x n x DFT e n x e X n x DTFT k x ππ
ωωω
(2-2)
式中)(t x a 是待采样得周期连续信号，T 是采样周期，)(nT x a 是采样后的有限长离散序列，与)(n x 是等同的。由上式可知有限长离散信号频谱的采样是由其连续频谱经过采样得到的。由此得DTFT 是计算离散序列的频谱函数的，而DFT 则是计算离散序列频谱的采样的。
3 周期信号频谱分析的Mathematica 程序设计思路
首先定义一个周期信号，给出采样时间和采样点，画出信号在一个周期的波形图（周期信号的所有信息在一个周期内均有表达），然后对这一个周期进行频谱分析[11]。 （1）选择合适的采样间隔和合理的采样数据总量，对信号进行采样； （2）对信号进行采样，记录测量的时间点和测量的值； （3）计算信号的周期，采样数据话波形图，观察获取周期； （4）截取一个周期的采样数据量，做FFT ；
（5）利用变换的结果，计算前m 个频率成分的振幅、频率、相位。并筛选大振幅的频率成；
（6）验证：利用保留的频率成分重新在时域里构造一个多频率正弦信号叠加的函数关系，然后画出
波形图，再与采样数据画出的波形图进行比对。如果符合，那么频谱分析结论就是可靠的。
4 周期信号频谱分析的Mathematica程序应用实例
利用Mathematica软件对周期三角波信号进行频谱分析。
利用Mathematica软件编程，程序见附录。
运行程序可得出以下结论：
一个周期内的三角波形图如图1：
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.00020.00040.00060.00080.0010
图1 一个周期内的三角波形图
频率、振幅、相位分别如表1：
表1 周期信号的前三个频率成分的频率、振幅、相位
名称f o f1f2
频率0 1000 3000
振幅0.5 0.4054198 0.0451652
相位0 3.14159 3.14159 重构信号y(t)= 0.5 +0.405418 Cos[3.14159 +2000 π t]+0.0451652 Cos[3.14159 +6000 π t]
三角波和正弦波在同一坐标系里的比较图如图2：
2.0
1.5
1.0
0.5
0.00020.00040.00060.00080.0010
0.5
图2 三角波和正弦波在同一坐标系里的比较图最大误差绝对值为：error=0.0494167
结语
以上对周期三角波信号的频谱进行了分析，在分析过程中需要对信号进行采样和数据计算，因此会出现一定误差，但只要合理选择分析参数可以使误差保持在工程允许的范围之内。对于随机信号，由于是无限大能量的功率信号，它不满足傅里叶变换条件，而且也不存在解析表达式，因此就不能够应用确知信号的频谱计算方法去分析随机信号的频谱，但可以应用时域采样频谱分析方法对此信号进行频谱分析，通过上机编程可以解决该问题。
致谢
龙姝明老师在毕业设计中的指导和帮助，以及我多次找他他都不厌其烦地给解答我的各种困惑，细心、耐心地给我提出论文和程序里的多个问题，让我下来再继续修改和完善，使得我能够顺利地完成此次毕业设计。通过本次Mathematica频谱分析毕业设计，让我了解了关于Mathematica软件在频谱分析方面的应用，又一次学习了Mathematica软件的使用和程序的设计，Mathematica的分析计算过程使我更加深入地了解了时域频谱分析的过程，使得我对频谱分析的理解更加深了一步。Mathematica拥有强大的图形功能和高精度的数值计算功能，在生产和研究中起着重要的作用。
这次毕业设计，使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正为社会服务，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。这次课程设计终于顺利完成，在设计中遇到的运行和调试问题，最后在老师的耐心指导下，终于游逆而解。在以后的学习过程中我要不段的学习，不断丰富自己的知识。
参考文献
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[5] 张睿.“信号与系统”辅导课的教学研究与实践[J].合肥工业大学学报(社会科学版),2010,03:156-158.
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附录
T=0.001;
Δ[t_]=(2t/T)(UnitStep[t]-UnitStep[t-T/2])+(2(T-t)/T)(UnitStep[t-T/2]-UnitStep[t-T]); fs=10^5;Ts=1/fs;
L=117;
ts=Range[0,L-1]*Ts;
x=Δ[Mod[ts,T]];
L=Length[x];
ts=Range[0,L-1]*Ts;
data=Transpose[{ts,x}];
ps=ListPlot[data,Joined->True]
p=Flatten[Position[x,0.0]];
If[Length[p]<2,Print["88888"];Exit[]];
n=p[[2]]-p[[1]];
xn=Take[x,{1,n}];
X=(2/n)Fourier[xn,FourierParameters->{1,-1}];
X[[1]]/=2;
A=Abs[X[[1;;n/2]]]//Chop;
Am=Max[A];thr=0.05;
nh=Range[0,n/2-1];
F=(nh/n)fs;
φ=Arg[X[[1;;n/2]]];
sp0=Transpose[{A,F,φ}];
sp=Select[sp0,#[[1]]/Am>=thr&];
Print["信号频率成分：{{A1,F1,φ1},...}=",sp];
Lf=Length[sp];
y[t_]=Sum[sp[[k,1]]Cos[2π sp[[k,2]] t+sp[[k,3]]],{k,1,Lf}];
Print["重构信号y(t)=",y[t]];
py=Plot[y[t],{t,0,(L-1)*Ts},PlotStyle->Red,PlotRange->{All,{-0.5,2}}]; Show[py,ps]
yn=y[ts];
error=Max[Abs[x-yn]]；
Print["最大误差error=",error];
实验二 时域采样与频域采样 学校:西南大学 班级:通信工程班 一、实验目的 时域采样理论与频域采样理论就是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化,以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息;要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念,以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。 二、实验原理 时域采样定理的要点就是采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上, 才 能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。 频域采样定理的要点就是: a) 对信号x(n)的频谱函数X(e j ω)在[0,2π]上等间隔采样N 点,得到 2()() , 0,1,2,,1j N k N X k X e k N ωπω===- 则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列,公式为 ()IDFT[()][ ()]()N N N N i x n X k x n iN R n ∞=-∞==+∑ b) 由上式可知,频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M),才能使时域不产生混叠,则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就就是原序列x(n),即()N x n =x(n)。如果N>M,()N x n 比原序列尾部多N-M 个零点;如果N 1 引言 随着科学技术的迅猛发展，电子设备和技术向集成化、数字化和高速化方向发展，而在学校特别是大学中，要想紧跟技术的发展，就要不断更新教学和实验设备。传统仪器下的高校实验教学，已严重滞后于信息时代和工程实际的需要。仪器设备很大部分陈 旧，而先进的数字仪器(如数字存储示波器)价格昂贵不可能大量采购，同时其功能较为单一，与此相对应的是大学学科分类越来越细，每一专业都需要专用的测量仪器，因此仪器设备不能实现资源共享，造成了浪费。虚拟仪器正是解决这一矛盾的最佳方案。基于PC 平台的虚拟仪器，可以充分利用学校的微机资源，完成多种仪器功能，可以组合成功能强大的专用测试系统，还可以通过软件进行升级。在通用计算机平台上，根据测试任务的需要来定义和设计仪器的测试功能，充分利用计算机来实现和扩展传统仪器功能，开发结构简单、操作方便、费用低的虚拟实验仪器，包括数字示波器、频谱分析仪、函数发生器等，既可以减少实验设备资金的投入，又为学生做创新性实验、掌握现代仪器技术提供了条件。 信号的时域分析主要是测量测试信号经滤波处理后的特征值，这些特征值以一个数值表示信号的某些时域特征，是对测试信号最简单直观的时域描述。将测试信号采集到计算机后，在测试VI 中进行信号特征值处理，并在测试VI 前面板上直观地表示出信号的特征值，可以给测试VI 的使用者提供一个了解测试信号变化的快速途径。信号的特征值分为幅值特征值、时间特征值和相位特征值。 尽管测量时采集到的信号是一个时域波形，但是由于时域分析工具较少，所以往往把问题转换到频域来处理。信号的频域分析就是根据信号的频域描述来估计和分析信号的组成和特征量。频域分析包括频谱分析、功率谱分析、相干函数分析以及频率响应函数分析。 信号在时域被抽样后,他的频谱X(j )是连续信号频谱X(j )的形状以抽样频率为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn加权。因为Pn只是n的函数,所以X(j )在重复的过程中不会使其形状发生变化。假定信号x(t)的频谱限制在- m~+ m的范围内, 若以间隔Ts对xa(t)进行抽样,可知抽样信号X^(t)的频谱X^(j )是以s为周期重复。显然,若在抽样的过程中s<2 m,则X^(j )将发生频谱混叠现象,只有在抽样的过程中满足s>=2 m条件,X^(j )才不会产生频谱的混叠,接收端完全可以由x^(t)恢复原连续信号xa(t),这就是低通信号抽样定理的核心内容。 实验三时域抽样与频域抽样 一、实验目的 1.加深理解连续时间信号的离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握时域抽样定理（奈奎斯特采样定理）的基本内容。 2.加深对时域取样后信号频谱变化的认识。掌握由抽样序列重建原连续信号的基本原理与实现方法，理解其工程概念。 3.加深理解频谱离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握频域抽样定理的基本内容。 二、实验原理 1.时域抽样。 时域抽样定理给出了连续信号抽样过程中信号不失真的约束条件：信号抽样频率f s 大于等于2倍的信号最高频率f m，即f s≥ 2f m。时域抽样先把连续信号x(t)变成适合数字系统处理的离散信号x[k]；然后根据抽样后的离散信号x[k]恢复原始连续时间信号x(t)完成信号重建。信号时域抽样（离散化）导致信号频谱的周期化，因此需要足够的抽样频率保证各周期之间不发生混叠；否则频谱的混叠将会造成信号失真，使原始时域信号无法准确恢复。 2.频域抽样。 非周期离散信号的频谱是连续的周期谱，计算机在分析离散信号的频谱时，必须将其连续频谱离散化。频域抽样定理给出了连续频谱抽样过程中信号不失真的约束条件：频域采样点数N 大于等于序列长度M，即N≥M。频域抽样把非周期离散信号x(n)的连续谱X(e jω)变成适合数字系统处理的离散谱X(k)；要求可由频域采样序列X(k)变换到时域后能够不失真地恢复原信号x(n)。 三、实验内容 1.已知模拟信号，分别以T s =0.01s 、0.05s 、0.1s 的采样间隔采样得到x (n )。 （1）当T=0.01s 时，采样得到x(n),所用程序为： %产生连续信号x （t ） t=0:0.001:1; x=sin(20*pi*t); subplot(4,1,1) plot(t,x,'r') hold on title('原信号及抽样信号') %信号最高频率fm 为10 Hz %按100 Hz 抽样得到序列 fs=100; n=0:1/fs:1; y=sin(20*pi*n); subplot(4,1,2) stem(n,y) 对应的图形为： ()sin(20),01a x t t t =π≤≤ 电 子 科 技 大 学 实 验 报 告 学生姓名： 学 号：2010103080 指导教师： 一、实验室名称：数字信号处理实验室 二、实验项目名称：采样的时域及频域分析 三、实验原理： 1、采样的概念：采样是将连续信号变化为离散信号的过程。 1. A 、理想采样：即将被采样信号与周期脉冲信号相乘 B 、实际采样：将被采样信号与周期门信号相乘，当周期门信号的宽度很小，可近似为周期脉冲串。 根据傅里叶变换性质 00 0()() ()() ??()()()()()()(()) FT FT a a T n n FT a a T a T a a n n x t X j T j x t x t T x nT t nT X j X j n ωδωδδδω=+∞ =+∞=-∞ =-∞ ←?→Ω←?→Ω==-←?→Ω=Ω-Ω∑ ∑ 式中T 代表采样间隔，01T Ω= ) (t T δ^ ()T p t ^)t 由上式可知：采样后信号的频谱是原信号频谱以0Ω为周期的搬移叠加 结论：时域离散化，频域周期化；频谱周期化可能造成频谱混迭。 C 、低通采样和Nyquist 采样定理 设()()a a x t X j ?Ω且()0,2a M M X j f πΩ=Ω>Ω=当， 即为带限信号。则当采样频率满足2/22s M M f f π≥Ω=时,可以从采样后的 ^ ()()()a a s s n x t x n T t n T δ∞ =-∞ = -∑ 信号无失真地恢复()a x t 。称2M f 为奈奎斯特频率， 12 N M T f =为奈奎斯特间隔。 注意： 实际应用中，被采信号的频谱是未知的，可以在ADC 前加一个滤波器（防混迭滤波器）。 2、低通采样中的临界采样、欠采样、过采样的时域及频域变化情况。 低通采样中的临界采样是指在低通采样时采样频率2s M f f = 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≤ 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≥ 设一带限信号的频谱如下： )() a G j Ω0 m -ΩΩ m Ω 1.周期信号的频谱 周期信号在满足一定条件时，可以分解为无数三角信号或指数之和。这就是周期信号的傅里叶级数展开。在三角形式傅里叶级数中，各谐波分量的形式为()1cos n n A n t ω?+；在指数形式傅里叶级数中，分量的形式必定为1j n t n F e ω 与1-j -n t n F e ω 成对出现。为了把周期信号所具有的各 次谐波分量以及各谐波分量的特征（如模、相角等）形象地表示出来，通常直接画出各次谐波的组成情况，因而它属于信号的频域描述。 以周期矩形脉冲信号为lifenxi 周期信号频谱的特点。周期矩形信号在一个周期（-T/2,T/2）内的时域表达式为 ,2 0,>2 ()A t T t f t ττ ≤?=?? （2-6） 其傅里叶复数系数为 12 n n A F Sa T ωττ?? = ??? （2-7） 由于傅里叶复系数为实数，因而各谐波分量的相位为零（n F 为正）或为π±（n F 为负），因此不需要分别画出幅度频谱n F 与相位频谱n φ。可以直接画出傅里叶系数n F 的分布图。 如图2.4.1所示。该图显示了周期性矩形脉冲信号()T f t 频谱的一些性质，实际上那个也是周期性信号频谱的普遍特性： ① 离散状频谱。即谱线只画出现在1ω的整数倍频率上，两条谱线的间隔为1ω（等于2π/t ）。 ② 谱线宽度的包络线按采样函数()1/2a S n ωτ的规律变化。如图2.4.2所示。但1ω 为 2π τ 时，即( )2m π ωτ =（m=1，2，……）时，包络线经过零点。在两相邻 零点之间，包络线有极值点，极值的大小分别为-0.212()2A T τ， 周期信号频谱的特点 在结构施工测量中，按装修工程要求将装饰施工所需要的控制点、线及时弹在墙、板上，作为装饰工程施工的控制依据。 1.地面面层测量 在四周墙身与柱身上投测出100cm水平线，作为地面面层施工标高控制线。 根据每层结构施工轴线放出各分隔墙线及门窗洞口的位置线。 2.吊顶和屋面施工测量 以1000m线为依据，用钢尺量至吊顶设计标高，并在四周墙上弹出水平控制线。对于装饰物比较复杂的吊顶，应在顶板上弹出十字分格线，十字线应将顶板均匀分格，以此为依据向四周扩展等距方格网来控制装饰物的位置。 屋面测量首先要检查各方向流水实际坡度是否符合设计要求，并实测偏差，在屋面四周弹出水平控制线及各方向流水坡度控制线。 3.墙面装饰施工测量 内墙面装饰控制线，竖直线的精度不应低于1/3000，水平线精度每3m两端高差小于±1mm，同一条水平线的标高允许误差为±3mm。外墙面装饰用铅直线法在建筑物四周吊出铅直线以控制墙面竖直度、平整度及板块出墙面的位置。 4.电梯安装测量 在结构施工中，从电梯井底层开始，以结构施工控制线为准，及时测量电梯井净空尺寸，并测定电梯井中心控制线。 测设轨道中心位置，并确定铅垂线，并分别丈量铅垂线间距，其相互偏差（全高）不应超过1mm。 每层门套两边弹竖直线，并保证电梯门坎与门前地面水平度一致。 5. 玻璃幕墙的安装测量 结构完工后，安装玻璃幕墙时，用铅垂钢丝的测法来控制竖直龙骨的竖直度，幕墙分格轴线的测量放线应以主体结构的测量放线相配合，对其误差应在分段分块内控制、分配、消化，不使其积累。幕墙与主体连接的预埋件，应按设计要求埋设，其测量放线偏差高差不大于±3mm，埋件轴线左右与前后偏差不大于10mm。 精度要求 轴线竖向投测精度不低于1/10000。平面放线量距精度不低于1/8000，标高传递精度主楼、裙房分别不超过±15mm、±10mm。 仪器选用 该工程测量选用TOPCON电子全站仪一台，2"级经纬仪两台，DS3水准仪两台，50m钢卷尺两把。激光铅直仪一台。 每次放线前，均应仔细看图，弄清楚各个轴线之见的关系。放线时要有工长配合并检查工作。放线后，质检人员要及时对所放的轴线进行检查。重要部位要报请监理进行验线，合格后方可施工。 所有验线工作均要有检查记录。 对验线成果与放线成果之间的误差处理应符合《建筑工程施工测量规程》的规定： 1. 当验线成果与放线成果之差小于1/√2 倍的限差时，放线成果可评为优良； 2. 当验线成果与放线成果之差略小于或等于√2 限差时，对放线工作评为合格（可不必改正放线成果或取两者的平均值）； 3. 当验线成果与放线成果之差超过√2 限差时，原则上不予验收，尤其是重要部位， 实验二-时域采样和频域采样 一、实验目的 时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。 二、实验原理及方法 1、时域采样定理的要点： a)对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(?Ωj X 是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓 b)采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。 2、频域采样定理的要点： a)对信号x(n)的频谱函数X(ej ω)在[0，2π]上等间隔采样N 点 则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列。 三、实验内容及步骤 1、时域采样理论的验证 程序： clear;clc A=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi; Tp=50/1000;F1=1000;F2=300;F3=200; T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3; n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1; x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1); x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2); x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w0*n3*T3); f1=fft(x1,length(n1)); f2=fft(x2,length(n2)); % f3=fft(x3,length(n3)); % k1=0:length(f1)-1; fk1=k1/Tp; % 实验二：时域采样与频域采样 一、实验目的： 时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。 二、实验原理与方法： 1、时域采样定理的要点： 1）对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱 )(?Ωj X 是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓。公式为： )](?[)(?t x FT j X a a =Ω )(1∑∞ -∞ =Ω-Ω=n s a jn j X T 2）采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的 频谱不产生频谱混叠。 利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。 理想采样信号)(?t x a 和模拟信号)(t x a 之间的关系为 ∑∞ -∞=-=n a a nT t t x t x )()()(?δ 对上式进行傅立叶变换，得到： dt e nT t t x j X t j n a a Ω-∞∞ -∞ -∞=?∑-=Ω])()([)(?δ dt e nT t t x t j n a Ω-∞ -∞ =∞ ∞ -∑ ? -)()( δ＝ 在上式的积分号只有当nT t =时，才有非零值，因此 ∑∞ -∞ =Ω-=Ωn nT j a a e nT x j X )()(? 上式中，在数值上)(nT x a ＝)(n x ，再将T Ω=ω代入，得到： ∑∞ -∞ =-=Ωn n j a e n x j X ω)()(? 上式的右边就是序列的傅立叶变换)(ωj e X ，即 T j a e X j X Ω==Ωωω)()(? 上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只 要将自变量ω用T Ω代替即可。 2、频域采样定理的要点： a) 对信号x(n)的频谱函数X(e j ω)在[0，2π]上等间隔采样N 点，得到 2()() , 0,1,2,,1j N k N X k X e k N ωπω===- 则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为： ()IDFT[()][()]()N N N N i x n X k x n iN R n ∞ =-∞==+∑ b) 由上式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就是原序列x(n),即()N x n =x(n)。如果N>M ，()N x n 比原序列尾部多N-M 零点；如果N 常用信号的频谱分析及时域采样定理 开课学期 2016-2017 学年第 2 学期 实验课程信号与系统仿真实验 实验项目常用信号的频谱分析及时域采样定理 班级学号学生姓名 实验时间实验台号A11 操作成绩报告成绩 一、实验目的 1.掌握常用信号的频域分析方法； 2.掌握时域采样定理； 3.掌握时域采样信号恢复为原来连续信号的方法及过程。 二、实验性质 验证性 三、预习内容 1.时域采样定理的内容及信号时域采样过程； 2.连续信号经时域采样后，信号的频谱发生的变化； 3.时域采样信号恢复为原来连续信号的方法及过程。 四、实验内容(编写程序，绘制实验结果) 1.实现周期信号的频谱 f(t)=sin( 2*80t) 程序： fa='sin(2.*pi.*80.*t)';%原信号 fs0=10000; %采样频率 tp=0.1;%时间范围 t=[-tp:1/fs0:tp];%信号持续时间范围 k1=0:999;k2=-999:-1; m1=length(k1);m2=length(k2); f=[fs0*k2/m2,fs0*k1/m1];%信号频率范围 w=[-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1]; fx1=eval(fa);%把文本fa赋值给信号fx1 FX1=fx1*exp(-j*[1:length(fx1)]'*w);%进行傅立叶变换 figure subplot(2,1,1),plot(t,fx1,'r'); title('原信号');xlabel('时间t(s)');%原信号的时域波形图 axis([min(t),max(t),min(fx1),max(fx1)]); subplot(212),plot(f,abs(FX1),'r'); title('原信号频谱');xlabel ('频率f(Hz)');%频域波形图 axis([-100,100,0,max(abs(FX1))+5]); 实验3.2 典型信号频谱分析 一、 实验目的 1. 在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的波形和频谱特征，并 能够从信号频谱中读取所需的信息。 2. 了解信号频谱分析的基本方法及仪器设备。 二、 实验原理 1. 典型信号及其频谱分析的作用 正弦波、方波、三角波和白噪声信号是实际工程测试中常见的典型信号，这些信号时域、频域之间的关系很明确，并且都具有一定的特性，通过对这些典型信号的频谱进行分析，对掌握信号的特性，熟悉信号的分析方法大有益处，并且这些典型信号也可以作为实际工程信号分析时的参照资料。本次实验利用DRVI 快速可重组虚拟仪器平台可以很方便的对上述典型信号作频谱分析。 2. 频谱分析的方法及设备 信号的频谱可分为幅值谱、相位谱、功率谱、对数谱等等。对信号作频谱分析的设备主要是频谱分析仪，它把信号按数学关系作为频率的函数显示出来，其工作方式有模拟式和数字式二种。模拟式频谱分析仪以模拟滤波器为基础，从信号中选出各个频率成分的量值；数字式频谱分析仪以数字滤波器或快速傅立叶变换为基础，实现信号的时—频关系转换分析。 傅立叶变换是信号频谱分析中常用的一个工具，它把一些复杂的信号分解为无穷多个相互之间具有一定关系的正弦信号之和，并通过对各个正弦信号的研究来了解复杂信号的频率成分和幅值。 信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为： 式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f 为频率。 3. 周期信号的频谱分析 周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件： dt e t x f X ft j ?+∞ ∞--=π2)()( 实验4时域采样理论与频域采样定理验证 一 一、实验目的 1时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。 二、实验原理及方法 时域采样定理的要点是： (a)对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(?Ωj X 是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓。公 式为： )](?[)(?t x FT j X a a =Ω )(1∑∞ -∞ =Ω-Ω=n s a jn j X T （b ）采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的 频谱不产生频谱混叠。 利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。 理想采样信号)(?t x a 和模拟信号)(t x a 之间的关系为： ∑∞ -∞ =-=n a a nT t t x t x )()()(?δ 对上式进行傅立叶变换，得到： dt e nT t t x j X t j n a a Ω-∞∞ -∞ -∞ =?∑ -=Ω])()([)(?δ dt e nT t t x t j n a Ω-∞ -∞ =∞ ∞ -∑? -)()( δ＝ 在上式的积分号内只有当nT t =时，才有非零值，因此： 课程名称 实验成绩 指导教师 实 验 报 告 院系 班级 学号 姓名 日期 ∑∞ -∞ =Ω-=Ωn nT j a a e nT x j X )()(? 上式中，在数值上)(nT x a ＝)(n x ，再将T Ω=ω代入，得到： ∑ ∞ -∞ =-=Ωn n j a e n x j X ω)()(? 上式的右边就是序列的傅立叶变换)(ωj e X ，即 T j a e X j X Ω==Ωωω)()(? 上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变 量ω用T Ω代替即可。 频域采样定理的要点是： a) 对信号x(n)的频谱函数X(e j ω )在[0，2π]上等间隔采样N 点，得到 2()() , 0,1,2,,1j N k N X k X e k N ωπω===- 则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为： ()IDFT[()][ ()]()N N N N i x n X k x n iN R n ∞ =-∞ ==+∑ (b)由上式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就是原序列x(n),即()N x n =x(n)。如果N>M ，()N x n 比原序列尾部多N-M 个零点；如果N 实验二 用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析 一、实验目的 1．理解离散傅里叶变换的意义； 2．掌握时域采样率的确定方法； 3．掌握频域采样点数的确定方法； 4．掌握离散频率与模拟频率之间的关系； 5．掌握离散傅里叶变换进行频谱分析时，各参数的影响。 二、实验原理 序列的傅里叶变换结果为序列的频率响应，但是序列的傅里叶变换是频率的连续函数，而且在采用计算机计算时，序列的长度不能无限长，为了便于计算机处理，作如下要求：序列x (n )为有限长，n 从0～N －1，再对频率ω在0～2π范围内等间隔采样，采样点数为N ，采样间隔为2π/N 。第k 个采样点对应的频率值为2πk /N 。可得离散傅里叶变换及其逆变换的定义为 ∑-=-=1 02)()(N n n N k j e n x k X π (1) ∑-==1 02)(1)(N k k N n j e k X N n x π (2) 如果把一个有限长序列看作是周期序列的一个周期，则离散傅里叶变换就是傅里叶级数。离散傅里叶变换也是周期的，周期为N 。 数字频率与模拟频率之间的关系为 s f f /2πω=，即s s T f f πωπω22== (3) 则第k 个频率点对应的模拟频率为 N kf NT k T N k f s s s k ==?=ππ212 (4) 在用快速傅里叶变换进行频谱分析时，要确定两个重要参数：采样率和频域采样点数，采样率可按奈奎斯特采样定理来确定，采样点数可根据序列长度或频率分辨率△f 来确定 f N f s ?≤，则f f N s ?≥ (5) 用快速傅里叶变换分析连续信号的频谱其步骤可总结如下： （1）根据信号的最高频率，按照采样定理的要求确定合适的采样频率f s ； （2）根据频谱分辨率的要求确定频域采样点数N ，如没有明确要求频率分辨率，则根据实际需要确定频率分辨率； （3）进行N 点的快速傅里叶变换，最好将纵坐标根据帕塞瓦尔关系式用功率来表示， 实验二：时域采样与频域分析 一、实验原理与方法 1、时域采样定理： （a ）对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号 的频谱)(Ωj X )是原模拟信号频谱)(ωj X a 以采样角频率)2(T s s π=ΩΩ为周期进行 周期延拓。公式为：[]∑∞-∞ =Ω-Ω==Ωn s a a a jn j X T t x FT j X )(1)()()) （b ）采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。 2、频域采样定理： 公式为：[])()()()(n R iN n x k X IDFT n x N i N N N ?? ????+==∑∞-∞=。由公式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点[])(k X IDFT N 得到的序列()N x n 就是原序列)(n x ,即)()(n x n x N =。 二、实验内容 1、时域采样理论的验证。给定模拟信号 )()sin()(0t u t Ae t x t a Ω=-α 式中A =444.128，α=502π，0Ω=502πrad/s ，它的幅频特性曲线如图2.1 图2.1 )(t x a 的幅频特性曲线 现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。 按照)(t x a 的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即s F =1k Hz ，300Hz ，200Hz 。观测时间选ms T p 50=。 为使用DFT ，首先用下面公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用)(1n x ，)(2n x ，)(3n x 表示。 )()sin()()(0nT u nT Ae nT x n x nT a Ω==-α 因为采样频率不同，得到的)(1n x ，)(2n x ，)(3n x 的长度不同， 长度（点数） 用公式s p F T N ?=计算。选FFT 的变换点数为M=64，序列长度不够64的尾部加零。 [])()(n x FFT k X = 1,,3,2,1,0-=M k Λ 式中k 代表的频率为 k M k πω2=。 要求：编写实验程序，计算)(1n x 、)(2n x 和)(3n x 的幅度特性，并绘图显示。 观察分析频谱混叠失真。程序见附录2.1、实验结果见图2.2。 2、频域采样理论的验证。给定信号如下： 信号与系统 实验报告 实验三周期信号的频谱分析 实验报告评分：_______ 实验三周期信号的频谱分析 实验目的： 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。 实验内容： （1）Q3-1 编写程序Q3_1，绘制下面的信号的波形图： 其中，0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos( 0t)、cos(3 0t)、cos(5 0t)和x(t) 的波形图，给图形加title，网格线和x坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。 程序如下: clear,%Clear all variables close all,%Close all figure windows dt = 0.00001; %Specify the step of time variable t = -2:dt:4; %Specify the interval of time w0=0.5*pi; x1=cos(w0.*t); x2=cos(3*w0.*t); x3=cos(5*w0.*t); N=input('Type in the number of the harmonic components N='); x=0; for q=1:N; x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q; end subplot(221) plot(t,x1)%Plot x1 axis([-2 4 -2 2]); grid on, title('signal cos(w0.*t)') subplot(222) plot(t,x2)%Plot x2 axis([-2 4 -2 2]); grid on, title('signal cos(3*w0.*t))') subplot(223) plot(t,x3)%Plot x3 axis([-2 4 -2 2]) 一、实验目的 时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。 二、实验原理及方法 1、时域采样定理的要点： a)对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频 谱)(?Ωj X 是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓。公式为： )](?[)(?t x FT j X a a =Ω )(1∑∞ -∞ =Ω-Ω=n s a jn j X T b)采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。 理想采样信号)(?t x a 和模拟信号)(t x a 之间的关系为： ∑∞ -∞=-=n a a nT t t x t x )()()(?δ 对上式进行傅立叶变换，得到： dt e nT t t x j X t j n a a Ω-∞ ∞ -∞ -∞ =?∑ -=Ω])()([)(?δ dt e nT t t x t j n a Ω-∞ -∞ =∞ ∞ -∑ ? -)()( δ＝ 在上式的积分号内只有当nT t =时，才有非零值，因此： ∑∞ -∞ =Ω-=Ωn nT j a a e nT x j X )()(? 上式中，在数值上)(nT x a ＝)(n x ，再将T Ω=ω代入，得到： ∑∞ -∞ =-=Ωn n j a e n x j X ω)()(? 2.实现非周期信号的频谱,要求记录结果并对结果进行分析讨论. (1)门函数信号)(t g τ的频谱分析,(2)尺度变换之后门函数)(at g τ的频谱分析. 程序：令tao=1 syms t x=heaviside(t+0.5)-heaviside(t-0.5); F=fourier(x); subplot(211); ezplot(x,[-2,2]); subplot(212); ezplot(F,[-10,10]); 程序：令tao=1，a=4 syms t x=heaviside(t+(1/8))-heaviside(t-(1/8)); F=fourier(x); subplot(211); ezplot(x,[-2,2]); axis([-2,2,-1,2]) subplot(212); ezplot(F); axis([-5,5,-0.5,0.5]); 分析： 经过尺度变换，门函数的时间常数tao改变了，tao从1变成了1/4，门函数的幅度保持不变，但频谱变化幅度比尺度变换前缓慢，频谱的基波分量降低了 3.时域采样及其恢复 运行给定实验程序，绘制运行实验结果，总结实验结果，说明采样过程及恢复原信号的原理。 程序： syms t w f; %定义符号变量 f=(1-2*abs(t))*exp(-j*w*t); %计算被积函数 F=int(f, t, -1/2, 1/2); %计算傅里叶系数F(w) F=simple(F);F %化简 subplot(3, 1, 1), %绘制三角波的幅频特性曲线F(w) low=-26*pi;high=-low; %设置w的上界和下界 ezplot(abs(F), [low:0.01:high]); axis([low high -0.1 0.5]); xlabel(''); title('三角波的频谱'); subplot(3, 1, 2), %绘制经过截止频率为4*pi低通滤波器后的频谱Y1(w) ezplot(abs(F), [-4*pi:0.01:4*pi]); axis([low high -0.1 0.5]); title('低通滤波后的频谱'); %采样信号的频谱是原信号频谱的周期延拓，延拓周期为(2*pi)/Ts %利用频移特性F[f(t)*exp(-j*w0*t)]=F(w+w0)来实现 subplot(3, 1, 3); %绘制采样后的频谱Y(w) 实验二时域采样与频域采样及M A T L A B程 序 实验二 时域采样与频域采样 一 实验目的 1 掌握时域连续信号经理想采样前后的频谱变化，加深对时域采样定理的理解 2 理解频率域采样定理，掌握频率域采样点数的选取原则 二 实验原理 1 时域采样定理 对模拟信号()a x t 以T 进行时域等间隔采样，形成的采样信号的频谱 ?()a X j Ω会以采样角频率2()s s T πΩΩ=为周期进行周期延拓，公式为： 1??()[()]()a a a s n X j FT x t X j jn T +∞=-∞ Ω==Ω-Ω∑ 利用计算机计算上式并不容易，下面导出另外一个公式。 理想采样信号?()a x t 和模拟信号()a x t 之间的关系为： ?()()()a a n x t x t t nT δ+∞ =-∞=-∑ 对上式进行傅里叶变换，得到： ?()[()()()()j t j t a a a n n X j x t t nT e dt x t t nT e dt δδ+∞+∞+∞+∞-Ω-Ω-∞-∞=-∞=-∞Ω=-=-∑∑?? 在上式的积分号内只有当t nT =时，才有非零值，因此: ?()()jn T a a n X j x nT e +∞-Ω=-∞Ω=∑ 上式中，在数值上()()a x nT x n =，再将T ω=Ω代入，得到： ?()()()jn j a a T T n X j x n e X e ωωωω+∞-=Ω=Ω=-∞Ω==∑ 上式说明采样信号的傅里叶变换可用相应序列的傅里叶变换得到，只要将自变量ω用T Ω代替即可。 2 频域采样定理 对信号()x n 的频谱函数()j X e ω在[0，2π]上等间隔采样N 点，得到 2()()j k N X k X e ωπω== 0,1,2,,1k N =-L 则有： ()[()][()]()N N N i x n IDFT X k x n iN R n +∞=-∞ ==+∑ 即N 点[()]IDFT X k 得到的序列就是原序列()x n 以N 为周期进行周期延拓后的 主值序列， 因此，频率域采样要使时域不发生混叠，则频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M （即N M ≥）。在满足频率域采样定理的条件下，()N x n 就是原序列()x n 。如果N M >，则()N x n 比原序列()x n 尾部多N M -个零点，反之，时域发生混叠，()N x n 与()x n 不等。 对比时域采样定理与频域采样定理，可以得到这样的结论：两个定理具有对偶性，即“时域采样，频谱周期延拓；频域采样，时域信号周期延拓”。在数字信号处理中，都必须服从这二个定理。 三 实验内容 1 时域采样定理的验证 给定模拟信号0()sin()()t a x t Ae t u t α-=Ω，式中，A=444.128，α=， 0/rad s Ω=，其幅频特性曲线如下图示： 实验一连续信号的时域采样和频域分析班级：021211 学号：02121007 姓名：许多飚成绩： 1实验目的 通过对一个模拟信号进行等间隔时域采样，通过改变采样频率和信号最高截止频率的关系，观察它是否出现频谱混叠，同时求出能够无失真恢复出原模拟信号的最低采样频率。 2 实验内容 对一个余弦信号x(t)=cos(2*pi*f*t)，其中f=1Hz，进行理想采样，分别改变采样频率使Fs=2.2Hz, Fs=2.0Hz, Fs=1.8Hz,分别观察它们的时域波形和采样点的位置，对采样点进行傅里叶变换，对采样信号进行频谱分析，观察它们是否出现频谱混叠，同时求出能够无失真恢复出原模拟信号的最低采样频率，即验证奈奎斯特采样频率是否为2Hz。 3实验步骤 Step1. 对余弦信号x(t)=cos(2*pi*f*t)，其中f=1Hz，进行理想采样，使采样频率使Fs=2.2Hz，得到它的时域波形和采样波形，对采样点进行傅里叶变换，得到其频谱图； Step2.改变采样频率，使Fs=2.0Hz, Fs=1.8Hz,重复step1； Step3. 观察它们是否出现频谱混叠，同时求出能够无失真恢复出原模拟信号的最低采样频率，即验证奈奎斯特采样频率是否为2Hz。 4 程序设计 由于该实验程序简单，故略去程序流图，附代码如下： 5实验结果及分析 1）运行结果 采样频率Fs=2.0Hz 2）实验结果分析 由以上实验结果分析，由于信号频率f=1Hz, 当采样频率Fs=2.2Hz（Fs>2f）时，频谱并未发生混叠现象，进行傅里叶变换后的频谱分析，其频率f=1Hz,能够无失真的恢复原信号；当采样频率Fs=2.0Hz（Fs=2f）时，采样出现临界条件，但依然能够无失真恢复； 当采样频率Fs=1.8Hz（Fs<2f）时,频谱出现混叠现象，进行傅里叶变换后的频谱分析，其频率f=0.8Hz,恢复信号出现失真现象。 3）结论 通过以上对一个正弦信号的时域采样分析，验证时域采样定理不发生频谱混叠的临界条件是最低采样频率（即奈奎斯特采样频率）为信号最高截止频率的2倍。 实验三：用FFT 对信号作频谱分析 一、实验原理与方法 1、用FFT 对信号作频分析是学习数字信号处理的重要内容，经常需要进行分析的信号是模拟信号的时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D 和分析误差。频谱分辨率直接和FFT 的变换区间N 有关，因为FFT 能够实现的频率分辨率是N π2，因此要求D N ≤π2。可以根据此式选择FFT 的变换区间N 。误差主要来自于用FFT 作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N 较大时，离散谱的包络才能逼近连续谱，因此N 要适当选择大一些。 2、周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT ，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。 3、对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。 二、实验内容 1、对以下序列进行FFT 谱分析： )()(41n R n x = ?????≤≤-≤≤+=n n n n n n x 其他0 7483 01 )(2 ?????≤≤-≤≤-=n n n n n n x 其他0 7433 04)(3 选择FFT 的变换区间N 为8和16两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析。程序见附录3.1、实验结果见图3.1。 2、对以下周期序列进行谱分析： n n x 4cos )(4π = n n n x 8cos 4cos )(5π π+= 选择FFT 的变换区间N 为8和16两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。程序见附录3.2、实验结果见图3.2。 3、对模拟周期信号进行频谱分析： t t t t x πππ20cos 16cos 8cos )(6++= 选择采样频率Fs=64Hz ，FFT 的变换区间N 为16、32、64三种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。程序见附录3.3、实验结果见图3.3。连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱--信号与系统课设
时域抽样与频域抽样
实验3-采样的时频域分析
周期矩形信号的频谱分析
周期信号频谱的特点
数字信号处理实验二-时域采样和频域采样
时域采样与频域采样
常用信号的频谱分析及时域采样定理
实验：典型信号频谱分析报告
时域采样理论与频域采样定理验证
用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析
时域采样与频域分析报告
周期信号的频谱分析
实验二-时域采样和频域采样
常用信号地频谱分析报告及时域采样定理
实验二 时域采样与频域采样及MATLAB程序知识讲解
实验一 信号的时域采样和时域分析
用FFT对信号作频谱分析
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