一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣1，a），B（b，1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
（3）求△PAB的面积．
【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3，
∴点A的坐标为（﹣1，3）．
将点A（﹣1，3）代入y= 中，
3= ，解得：k=﹣3，
∴反比例函数的表达式为y=﹣
（2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，1）．
作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．
∵点B的坐标为（﹣3，1），
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．
设直线AD的函数表达式为y=mx+n，
将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，
，解得：，
∴直线AD的函数表达式为y=2x+5．
当y=2x+5=0时，x=﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）
（3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =
【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论．
2．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．
（1）点C的坐标________；
（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；
（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，
使得S△PEF= S△CEF，求点P的坐标．
【答案】（1）（3，0）
（2）解：∵AB=CD=3，OB=1，
∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），
设直线AC的解析式为y=ax+b，
则，解得：，
∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．
∵点E（2，m）在直线AC上，
∴m=﹣ ×2+ = ，
∴点E（2，）．
∵反比例函数y= 的图象经过点E，
∴k=2× =3，
∴反比例函数的解析式为y=
（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC， M（3，﹣0.5）．
在y= 中，当x=3时，y=1，
∴F（3，1）．
过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF．
设直线EF的解析式为y=a'x+b'，
∴，解得，
∴y=﹣ x+ ．
设直线PM的解析式为y=﹣ x+c，
代入M（3，﹣0.5），得：c=1，
∴y=﹣ x+1．
当x=1时，y=0.5，
∴点P（1，0.5）．
同理可得点P（1，3.5）．
∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．
【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3），
∴OC=3，
∴C（3，0）．
故答案为（3，0）；
【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解
析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接
EM，则S△EFM=S△EFC， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF．此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F 的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．
3．平面直角坐标系xOy中，已知函数y1= （x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象如图所示，
点A、B是函数y1= （x＞0）图象上的两点，点P是y2=﹣（x＜0）的图象上的一点，且AP∥x轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．
（1）求△APQ的面积；
（2）若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；
（3）若△OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值．
【答案】（1）解：过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，如图所示：
∵点A的横坐标为m,且在函数上，AP∥x轴,且点P在函数上，
∴点A（m, ）,点P（－m, ）,
∴MN=m-(-m)=2m,PM= ,
∴S矩形PMNA＝2m╳ =8,
∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,
∴S△PQM＝S△PRQ， S△ANQ＝S△ARQ,
∴S△APQ＝S△PRQ+ S△ARQ＝ S矩形PMNA=4
（2）解：当PQ x轴时，则PQ＝，,AP=2m,
∵PQ=AP
∴2m= ,
∴m=
∴ ,
当PQ＝AQ时，则
（3）解：∵△OAB是以AB为底的等腰三角形，
∴OA＝OB，
∵A（m, ）,B(n, )，
∴
∴mn=4.
【解析】【分析】（1）过点P、A、Q分别作PM ⊥ x轴交x轴于点M，PN ⊥ x轴交x轴于点N，QR ⊥ AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，根据点A的横坐标为m，利用函数解析式表示出点A的坐标和点P的坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论。
（2）分情况讨论：当PQ=AP和当PQ＝AQ时，利用等腰直角三角形和AP∥x轴，建立方程求解即可；
（3）利用等腰三角形的两腰相等建立方程，即可得出结论。
4．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.
由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：
①当x-3时，y=x+3；
②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，
在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，
则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），
把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，
得：，
解得：，
∴y=-x-3.
综上，新函数的解析式为y=.
（2）解：如图2，
①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，
∴a=4，
∵点C（1，4）在反比例函数y=上，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=.
∵点D是线段AC上一动点，
∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3 ∵DP∥x轴，且点P在双曲线上， ∴点P的坐标为（，m+3）， ∴PD=-m， ∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+， ∵a=<0， ∴当m=时，S有最大值，最大值为， 又∵-3<<1， ∴△PAD的面积的最大值为. ②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下： 当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2）， ∵DP=3，DE=4， ∴EP与AC不能互相平分， ∴四边形PAEC不能为平行四边形. 【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形. 5．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y= （m≠0）的图象有公共点A（1，a）、D（﹣2，﹣1）．直线l与x轴垂直于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象回答，x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）求△ABC的面积． 【答案】（1）解：∵反比例函数经过点D（﹣2，﹣1）， ∴把点D代入y= （m≠0）， ∴﹣1= ， ∴m=2， ∴反比例函数的解析式为：y= ， ∵点A（1，a）在反比例函数上， ∴把A代入y= ，得到a= =2， ∴A（1，2）， ∵一次函数经过A（1，2）、D（﹣2，﹣1）， ∴把A、D代入y=kx+b （k≠0），得到：，解得：， ∴一次函数的解析式为：y=x+1 （2）解：如图：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值 （3）解：过点A作AE⊥x轴交x轴于点E， ∵直线l⊥x轴，N（3，0），∴设B（3，p），C（3，q）， ∵点B在一次函数上，∴p=3+1=4， ∵点C在反比例函数上，∴q= ， ∴S△ABC= BC?EN= ×（4﹣）×（3﹣1）= ． 【解析】【分析】由反比例函数经过点D（-2，-1），即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式； 结合图象求解即可求得x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值； 首先过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，由直线l与x轴垂直于点N（3，0），可求得点E，B，C的坐标，继而求得答案． 6．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过 点F的反比例函数的图象与BC边交于点E. （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）解：∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，∴B（6，4）， ∵F为AB的中点，∴F（6，2）， 又∵点F在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=12， ∴该函数的解析式为y= （x＞0） （2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（，4），F（6，）， ∴， = = = = ， ∴当k=12时，S有最大值．S最大=3 【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）. （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求△DOC的面积. （3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）解：将C(1，4)代入反比例函数解析式可得：k=4，则反比例函数解析式为： ， 将D(4，m)代入反比例函数解析式可得：m=1 （2）解：根据点C和点D的坐标得出一次函数的解析式为：y=－x+5 则点A的坐标为(0，5)，点B的坐标为(5，0) ∴S△DOC=5×5÷2－5×1÷2－5×1÷2=7.5 （3）解：双曲线上存在点P(2,2),使得S△POC=S△POD，理由如下： ∵C点坐标为：(1,4),D点坐标为：(4,1)， ∴OD=OC=， ∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP=∠POD，又OP=OP， ∴△POC≌△POD， ∴S△POC=S△POD. ∵C点坐标为：(1,4),D点坐标为：(4,1)， 可得∠COB=∠DOA， 又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y=交点， ∴∠BOP=∠POA， ∴P点横纵坐标坐标相等， 即xy=4，x2=4， ∴x=±2， ∵x>0， ∴x=2，y=2， 故P点坐标为(2,2)，使得△POC和△POD的面积相等 利用点CD关于直线y=x对称,P(2,2)或P(?2,?2). 答：存在，P(2，2)或P(-2，-2) 【解析】【分析】（1）观察图像，根据点C的坐标可求出函数解析式及m的值。 （2）利用待定系数法，由点D、C的坐标求出直线CD的函数解析式，再求出直线CD与两坐标轴的交点A、B的坐标，然后利用S△DOC=S△AOB-S△BOC-S△AOD，利用三角形的面积公式计算可解答。 （3）双曲线上存在点P，使得S△POC=S△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=交点，易证△POC≌△POD，则S△POC=S△POD，可得出点P点横纵坐标坐标相等，利用反比例函数解析式，建立关于x的方程，就可得出点P的坐标，利用对称性，可得出点P的另一个坐标，即可得出答案。 8．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0），如果m=2n，则称双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y= （m＞0）是双曲线y= （n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y= （n＞0）是双曲线y= （m＞0）的“半双曲线”， （1）请你写出双曲线y= 的“倍双曲线”是________；双曲线y= 的“半双曲线”是________； （2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y= 在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积； （3）如图2，已知点M是双曲线y= （k＞0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴 平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S△MNP，且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围． 【答案】（1）y= ；y= （2）解：如图1， ∵双曲线y= 的“半双曲线”是y= ， ∴△AOD的面积为2，△BOD的面积为1， ∴△AOB的面积为1 （3）解：解法一：如图2， 依题意可知双曲线的“半双曲线”为， 设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），∴CM= ，CN= ． ∴MN= ﹣ = ． 同理PM=m﹣ = ． ∴S△PMN= MN?PM= ∵1≤S△PMN≤2， ∴1≤ ≤2． ∴4≤k≤8， 解法二：如图3， 依题意可知双曲线的“半双曲线”为， 设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点． 连接OM， ∵， ∴△PMN∽△OCM． ∴． ∵S△OCM=k， ∴S△PMN= ． ∵1≤S△PMN≤2， ∴1≤ ≤2． ∴4≤k≤8． 【解析】【解答】解：（1）由“倍双曲线”的定义 ∴双曲线y= ，的“倍双曲线”是y= ； 双曲线y= 的“半双曲线”是y= ． 故答案为y= ，y= ； 【分析】（1）直接利用“倍双曲线”的定义即可；（2）利用双曲线的性质即可；（3）先利用双曲线上的点设出M的横坐标，进而表示出M，N的坐标；方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN的面积，进而建立不等式即可得出结论． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标． （3）若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段DC与线段DB之差达到最大时，求点D的坐标． 【答案】（1）解：∵tan∠ABO= ， ∴ = ，且OB=4， ∴OA=2， ∵CE⊥x轴，即CE∥AO， ∴△AOB∽△CEB， ∴ = ，即 = ，解得CE=3， ∴C（﹣2，3）， ∴m=﹣2×3=﹣6， ∴反比例函数解析式为y=﹣ （2）解：设D（x，﹣）， ∵D在第四象限， ∴DF=x，OF= ， ∴S△DFO= DF?OF= x× =3， 由（1）可知OA=2， ∴AF=x+ ， ∴S△BAF= AF?OB= （x+ ）×4=2（x+ ）， ∵S△BAF=4S△DFO， ∴2（x+ ）=4×3，解得x=3+ 或x=3﹣， 当x=3+ 时，﹣的值为3﹣， 当x=3﹣时，﹣的值为3+ ， ∵D在第四象限， ∴x=3﹣不合题意，舍去， ∴D（3+ ，3﹣） （3）解：∵D在第四象限， ∴在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，即当B、C、D三点共线时，其差最大， 设直线AB解析式为y=kx+b， 由题意可得，解得， ∴直线AB解析式为y=﹣ x+2， 联立直线AB和反比例函数解析式可得，解得或 （舍去）， ∴D（6，﹣1）， 即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为（6，﹣1） 【解析】【分析】（1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标；（3）在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，当B、C、D三点共线时，其差最大，联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标． 10．如图，在菱形ABCD中，， ,点E是边BC的中点，连接DE,AE. （1）求DE的长； （2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若 , ①求证：△△； ②求DF的长. 【答案】（1）解：连结BD （2）解：① ② 【解析】【分析】（1）连结BD ，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出△CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE⊥BC，CE=2，然后利用勾股定理算出DE的长； （2）①首先判断出△AGD∽△EGF，根据相似三角形对应边成比例得出，又∠AGE=∠DGF，故△AGE∽△DGF； ②根据相似三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EH⊥DC于点H，在Rt△ECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案. 11．已知抛物线与轴的两个交点间的距离为2． （1）若此抛物线的对称轴为直线，请判断点（3,3）是否在此抛物线上？ （2）若此抛物线的顶点为（S，t），请证明； （3）当时，求的取值范围 【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的两个交点间的距离为2，可得抛物线与轴的两个交点为（0，0）和（2，0）， 所以抛物线的解析式为与 当时， 所以点（3,3）在此抛物线上 . （2）解：抛物线的顶点为，则对称轴为直线，且抛物线与轴的两个交点间的距离为2， 可得抛物线与轴的两个交点为（，，0）和（，0） 所以抛物线的解析式为与 由得 所以； （3）解：由（2）知即整理得 由对称轴为直线，且二次项系数 可知当时，b的随a的增大而增大 当a=10时，得 当a=20时，得 所以当时， 【解析】【分析】（1）根据已知条件得出两个交点坐标，利用待定系数法求出解析式，然后验证点（3,3）是否在这条抛物线上即可；（2）先确定对称轴为直线，再得出与x 轴的两交点坐标为（，0）和（，0），再利用待定系数法求出解析式的顶点 式可得解；（3）把t=-1代入顶点坐标公式，得到二次函数解析式，根据函数的增减性分别计算a=10和20时b的值从而得解. 12．已知，抛物线的图象经过点，． （1）求这个抛物线的解析式； （2）如图1，是抛物线对称轴上一点，连接，，试求出当的值最小时点的坐标； （3）如图2，是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标． 【答案】（1）解：将，的坐标分别代入． 得 解这个方程组，得， 所以，抛物线的解析式为 （2）解：如图1，由于点、关于轴对称，所以连接，直线与轴的交点即为所求的点， 由，令，得， 解得，， 点的坐标为， 又， 易得直线的解析式为：． 当时，， 点坐标 （3）解：设点的坐标为， 所以所在的直线方程为．那么，与直线的交点坐标为，
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