考点23 正弦定理和余弦定理的应用
1．中，内角、、的对边、、依次成等差数列，且，则的形状为（）
A．等边三角形B．直角边不相等的直角三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
【答案】A
【解析】
因为、、依次成等差数列，
所以
由余弦定理可得：
将代入上式整理得：
所以，又
可得：为等边三角形
故选：A．
2．如图，为了测量某湿地两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点．从点测得，从点测得，，从点测得.若测得，（单位:百米），则两点的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，
则∠DAC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE，
则∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
则有，变形可得BC，
在△ABC中，AC＝2，BC，∠ACB＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，
则AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB＝9，
则AB＝3；
故选：C．
3．（吉林省长春市2019年高三质量监测四）《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆和，之间距离为步，两标杆的底端与海岛的底端在同一直线上，从第一个标杆处后退123步，人眼贴地面，从地上处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆处后退127步，从地上处仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为（）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)
A．步B．步C．步D．步
【答案】A
【解析】
因为，所以，所以；
又，所以，所以；
又，所以，
即，所以步，
又，所以步.
故选A ．
4．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三）已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若
sin cos sin C
A B
<，则ABC ?的形状为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
【答案】A 【解析】 因为在三角形中，
sinC
变形为sin sin cos C B A < 由内角和定理可得sin()cos sin A B A B +< 化简可得：sin cos 0cos 0A B B <∴< 所以2 B π > 所以三角形为钝角三角形 故选A ． 5．（安徽省巢湖市2019届高三年级三月份联考）已知锐角ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且 1c =，三角形ABC 的面积1ABC S =，则22a b +的取值范围为( ) A ．17,2?? +∞?? ?? B ．()9,+∞ C ．17,92?? ? ??? D ．17,92?? ?? ?? 【答案】D 【解析】 因为三角形为锐角三角形，所以过C 作CD AB ⊥于D ，D 在边AB 上，如图： 因为：1 12 S ABC AB CD = ?=，所以2CD =， 在三角形ADC 中，2224AD AC CD b =-=- 在三角形BDC 中，2224BD BC CD a -=- 1AD BD AB +==，22441a b ∴-+- =， 222222222222448(4)(4)8(4)(14)8a b a b a b a a ∴+=-+-+=-+-+=-+--+ 2222(4)249a a =---+ ()240,1a -∈．设()240,1t a ∈-∈ 222229a t t b ∴=-++结合二次函数的性质得到： 2217,92a b ?? +∈???? ． 故选：D ． 6．（四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测）某小区打算将如图的一直三角形ABC 区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF ,在其内建造文化景观.已知20AB m =,10AC m =,则 DEF ?区域内面积(单位：2m )的最小值为（ ） A ．3 B ．(,0)B m C ．1)≠ D 753 【答案】D 【解析】 △ABC 是直三角形，AB ＝20m ，AC ＝10m ，可得CB 103m =， DEF 是等边三角形，设∠CED ＝θ；DE ＝x ，那么∠BFE ＝ π 6 +θ；则CE ＝xcosθ， △BFE 中由正弦定理，可得 x 103xcos θ ππsin sin θ6 6= ??+ ??? 可得x ()1031033sin θ2cos θ7sin θα= =++，其中tanα23= ∴x 1037 ≥ ； 则△DEF 面积S 21π753 x sin 23 7 =?≥ 故选：D ． 7．（2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试）小王同学骑电动自行车以24/km h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30方向上，20min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75?方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是__________km ． 【答案】42 【解析】 依题意有20 248,30,1807510560 AB BAS ABS =? =∠=∠=-=,45ASB ∠=，由正弦定理得sin 30sin 45 BS AB =，解得42BS =. 8．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）如图所示，边长为1的正三角形ABC 中，点M ， N 分别在线段AB ，AC 上，将AMN ?沿线段MN 进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A 在线 段BC 上，则线段AM 的最小值为_______． 【答案】33 【解析】 设AM x =，AMN α∠=，则1BM x =-，1802AMB α∠=?-，∴260BAM α∠=-?， 在ABM ?中，由正弦定理可得sin sin AM BM ABM BAM =∠∠， ()1sin 2603x α-= -?，∴()32 3 sin 260x α= +-?， ∴当26090α-?=?即75α =?时，x 3 223331=+． 故答案为：233． 9．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试）海上一艘轮船以的速度向正东方向航行，在处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏东 的方向上，航行 后到达处测得小岛在北偏西 的方向上，小岛在北偏西 的方向上，则两个小岛间的距离 ______ . 【答案】 【解析】 在中，由题意可得 ∴由正弦定理 ∴ ∵在中，由于 由正弦定理可得 可得 ∴中，由余弦定理可得 ∴解得 即C 、D 之间的距离为 故答案为 ． 10．（浙江省三校2019年5月份第二次联考）在锐角ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，2c =， 3 A π = ，则sin a C =__________．+a b 的取值范围是__________． 1,4+ 【解析】 由正弦定理，可得 sin sin a c A C = ，则 π sin sin2sin 3 a C c A ===. 由 sin sin sin a b c A B C == ，可得 sin sin c A a C ==， 2π 2sin sin3 sin sin C c B b C C ?? - ? ?? == ， 所以 )2 1cos2 111 sin2sin cos tan 222 C C a b C C C + +==+=+=+ 由ABC △是锐角三角形，可得 π 2 C <<， 2ππ 32 C <-<，则 ππ 62 C <<， 所以 ππ 124 C << ，2tan1 2 C <<. 所以11 a b ++<+ 11．（河北省衡水市2019届高三四月大联考理）ABC ?中，120 BAC ∠=?，4 AB AC ==，点D在边BC 上，且3 DC BD =. （1）求AD的长； （2）若DH AC ⊥于H，求cos ADH ∠. 【答案】（1 ）AD=2 ）cos 14 ADH ∠= 【解析】 （1）在ABC ?中，120 BAC ∠=?，4 AB AC ==， 由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-?∠， ∴21616244cos12048 BC=+-???=， ∴BC= ∵3 DC BD =， ∴BD= ∴在ABD ?中，4 AB= ，BD=30 ABD ∠=?， 由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-?∠， 即2163243cos307AD =+-????=， ∴7AD = ． （2）由（1）知33DC =， ∴在直角CHD ?中，33 sin 33sin30DH CD DCA =?∠=?= ， ∴在直角AHD ?中， 333212cos 147 DH ADH AD ∠=== ． 12．（宁夏银川市2019年高三下学期质量检测）在平面四边形 中，已知 ， ， ． （1）若，求 的面积； （2）若 ， ，求的长． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）在中， 即 ,解得 . 所以. （2）因为 ,所以 ，, . 在中， , . 所以. 13．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试）如图平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，1AB =，3 BC =，AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值 为__________． 【答案】16【解析】 设∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，则由余弦定理得， AC 2＝1+3﹣2×13?cosα＝4﹣3； 由正弦定理得 AC AB sin sin αβ =， 则sinβ423cos α = -； 所以BD 2＝3+（4﹣3）﹣23423cos α?-cos （90°+β） ＝7﹣33sinα ＝6sin （α﹣45°）， 所以α＝135°时，BD 726+=16． 故答案为：16 14．（湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中荆州中孝感中襄阳四中.襄阳五中)2019届高三第二次联合考）如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AD 2=，CD 4=，ABC 为正三角形，则BCD 面积的最大值为___． 【答案】443+ 【解析】 设ADC ∠α=，ACD ∠β=， 由余弦定理可得2 2 2 422422016AC cos cos αα=+-??=-，212 8AC cos AC β+=， 由正弦定理可得 AD AC sin sin βα=，即2sin sin AC α β=， 所以11322322BCD S BC CD sin BC sin cos πβββ??? ?= ??+=+ ? ? ????? ， 212i 31220161222i 34432883s n AC cos BC s n sin AC AC ααπαα??+-+? ?=??+?=+?=-+ ? ? ????? ， 故当56 π α= 时，BCD 面积最大，最大值为443+． 15．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试理）如图：在ABC ?中，10a =，4c =，5cos 5 C =- . （1）求角A ； （2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长. 【答案】（1）4 A π =；（22 【解析】 （1）∵5 cos 5 C =- ，∴2125sin 1cos 155C C =-=-= . 由正弦定理sin sin a c A C = = . 得sin A = cos 0C =<，∴C 为钝角，A 为锐角， 故4 A π = . （2）∵()B A C π=-+， ∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+= +?= += ?? 由正弦定理得sin sin b a B A = = 得b =在ACD ?中由余弦定理得：2222cos CD AD AC AD AC A =+-? ?242222 =+-? = ，∴CD =. 16．（河南省洛阳市2019届5月质量检测）已知ABC ?三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 为BC 边的中点，()cos 2cos a B b c A =-+，1AD =. （1）求A ； （2）求ABC ?面积的最大值. 【答案】（1）23 A π =（2 【解析】 （1）由正弦定理得：()sin cos sin 2sin cos A B B C A =-+ 即：()sin cos cos sin sin sin 2sin cos A B A B A B C C A +=+==- ()0,C π∈ sin 0C ∴≠ 1 cos 2 A ∴=- ()0,A π∈ 23 A π∴= （2） D 为BC 边的中点 () 1 2 AD AB AC ∴= + () 2 2 22 42AD AB AC AB AB AC AC ∴=+=+?+，又1AD = 2222242cos 23 c bc b b c bc bc bc π ∴=++=+-≥-，即4bc ≤ 当且仅当b c =时取等号 113 sin 4322ABC S bc A ?∴=≤??=（当且仅当b c =时取等号） ABC ?∴面积的最大值为3． 17．（江苏省镇江市2019届高三考前三模）江心洲有一块如图所示的江边，OA ，OB 为岸边，岸边形成120?角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l ：在岸边OB 上取两点,P Q ，用长度为1km 的围网依托岸边线PQ 围成三角形MPQ （MP ，MQ 两边为围网）；方案2：在岸边OA ，OB 上分别取点,E F ，用长度为1km 的围网EF 依托岸边围成三角形EOF .请分别计算MPQ △，EOF △面积的最大值，并比较哪个方案好. 【答案】MQP ?，EOF ?面积的最大值分别为2 1 8 km 2 3.其中方案2好. 【解析】 方案1：设MP xkm =，MQ ykm = 由已知“用长度为1km 的围网，MP ，MQ 两边为围网”得(),0,1x y ∈且1x y += 22 11111 sin sin 12222228 MPQ x y S xy PMQ π+????∴=∠≤?=??= ? ? ???? 当且仅当12 x y == 且2PMQ π ∠=时，等号成立 MPQ ∴?面积的最大值为21 8 km 方案2：设OE akm =，OF bkm = 在EOF ?中，由余弦定理得：2222cos EF OE OF OE OF EOF =+-??∠ 即2 2 2 212cos 3 a b a b π=+-?? 22123a b a b ab ab ab ∴=++?≥+=（当且仅当3 a b == 时等号成立） 121133sin 2323212EOF S ab π?∴= ≤??= （当且仅当3 3 a b ==时等号成立） EOF ∴?面积的最大值为 2 312 km 31 8 > ∴方案2好． 18．（广东省深圳市高级中学2019届高三6月适应性考试）工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离. 65123-【解析】 连接AC, 在ABC ?中 224541AC =+=， cos ACB ACB ∠= ∠= . 21cos cos 322ACD ACB π????∠=-∠=-+= ? ????? 在ACD ? 中，AD = =． 19．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测）在ABC ? 中，AB = AC AD 为ABC ?的内角平分线，2AD =. （Ⅰ）求 BD DC 的值 （Ⅱ）求角A 的大小 【答案】（Ⅰ）2； （Ⅱ） 3 π . 【解析】 （Ⅰ）在三角形ABD 中,由正弦定理得：sin sin 2 BD AB A AD B = 在三角形ACD 中,由正弦定理得：sin sin 2 CD AC A ADC = 因为sin sin ,2BD AB ADB ADC AC AB DC AC ===∴ == （Ⅱ）在三角形ABD 中, 由余弦定理得2 2 2 2cos 1622A A BD AB AD AB AD =+-?=- 在三角形ACD 中, 由余弦定理得2 2 2 2cos 722 A A CD AC AD AC AD =+-?=- 又2 2162472 A BD A CD -==- 解得cos 22A = 又 0,,,22263 A A A πππ??∈∴== ???． 20．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试）已知ABC ?中，4 A π =，3 cos 5 B = ，8AC =. （1）求ABC ?的面积； （2）求AB 边上的中线CD 的长. 【答案】（1）28（2）130 2 CD = 【解析】 （1） 3 cos ,5 B =且(0,)B π∈， ∴2 4sin 1cos 5 B B =-=． sin sin()sin()C A B A B π∴=--=+ 232472 sin cos cos sin 55A B A B =+= ?+?= 在ABC ?中，由正弦定理得 sin sin AC AB B C =， 即8472510 =，解得72AB =． 所以ABC ?的面积为112 sin 72828222S AB AC A = ??=???= （2）在ACD ?中，72 2 AD = ， 所以由余弦定理得 2227272265 8( )282 CD =+-???= ， 所以1302 CD = ． 21．（河南省开封市2019届高三第三次模拟理）在 中，角，，所对的边分别为，，，且 ，是 边上的点. （I ）求角； （Ⅱ）若 ， ， ，求 的长， 【答案】（I）；（Ⅱ）. 【解析】 （I）由，得， ， ，∵，∴，∴. （Ⅱ）在中，，，， 由余弦定理得，所以， 在中，，，由正弦定理，得， 所以. 22．（四川省内江市2019届高三第三次模拟考试）如图所示，在中，，是边上一点，，，. （1）求的面积； （2）求的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）在中，由余弦定理得 . ∴，故. ∴. （2）， . 在 中，由正弦定理得 ， ∴ . 23．（湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试理）在ABC 中，三边,,a b c 所对应的角分别是 ,,A B C .已知,,a b c 成等比数列. （1）若 1123 tan tan A C += ，求角B 的值； （2）若ABC 外接圆的面积为4π，求ABC 面积的取值范围. 【答案】（1）3 π ；（2）( 0,33. 【解析】 （1） ()sin 11cos cos 23 tan tan sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++=+== ， 又∵,,a b c 成等比数列，得ac b =2，由正弦定理有2sin sin sin B A C =， ∵A C B π+=-，∴()sin sin A C B +=，得2 sin 23sin B B =3 sin B = 由ac b =2知，b 不是最大边，∴3 B π = . （2）∵ABC 外接圆的面积为4π，∴ABC 的外接圆的半径2=R ， 由余弦定理2 2 2 2cos b a c ac B =+-，得222 cos 2a c b B ac +-=，又ac b =2， ∴1cos 2B ≥，当且仅当c a =时取等号，又∵B 为ABC 的内角，∴03B π<≤， 由正弦定理 2sin b R B =，得4sin b B =. ∴ABC 的面积23 11sin sin 8sin 22 ABC S ac B b B B ===， ∵03 B π <≤ ，∴3 0sin 2 B <≤ ，∴( 0,33ABC S ∈△. 24．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模）如图，在四边形ABCD 中， 22 ,3,sin 33 ADC AD BCD π∠= =∠=，连接,34BD BD BC =. （Ⅰ）求BDC ∠的值； （Ⅱ）若3,3 BD AEB π =∠=，求ABE ?的面积最大值. 【答案】(Ⅰ) 6 π ；(Ⅱ) 33。 【解析】 （Ⅰ）在BCD ?中，由正弦定理得sin sin BD BC BCD BDC =∠∠， ∴sin 321 sin 432 BC BCD BDC BD ?∠∠= =?=． ∵34BD BC =， ∴BD BC >， ∴BDC ∠为锐角， ∴6 BDC π ∠= ． （Ⅱ）在ABD ?中，23,3,362 AD BD ADB πππ ==∠=-=， ∴22223(3)23AB AD BD = +=+= 在ABE ?中，由余弦定理得2 2 2 2cos 3 AB AE BE AE BE π =+-??， ∴22122=AE BE AE BE AE BE AE BE AE BE =+-?≥?-??，当且仅当AE BE =时等号成立， ∴12AE BE ?≤， ∴11sin 122322 ABE S AE BE π?= ???≤??=， 即ABE ?面积的最大值为
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