小船过河问题
轮船渡河问题：
（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。
vv船1
V水θv 2
1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间dd???t?90?时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小，显然，当???sin1船d，合运动沿v的方向进行。为v2．位移最小
???若水船vv船v水θ
?水??cos结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为?船v?v，则不论船的航向如何，若总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？水船如图所示，
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vv船vαθ水A
设船头v与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的船距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v的矢尖为圆心，v为半径画圆，当v船水v船??cos船头与河岸的夹角应为角最大，根据α与圆相切时，v水 1 / 9
v船?arccos?，船沿河漂下的最短距离为：v水d??vcos)x?(v?min船水?sinv船dvd水??s此时渡河的最短位移：?vcos船，问：=3m／s6m／s，小船在静水中的速度v＝【例题】河宽d＝60m，水流速度v21? 最短时间是多少(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河??
最短的航程是多少要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?(2) 要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间★解析： (1)60ds20t?s???302渡河航程
最短有两种情况：(2) v与河岸垂直时，最短航程就是河宽；时，即v>v时，合速度v①船速v 大于水流速度1212v不可能与河岸垂直，只有当合速度时，合速度v时，②船速v小于水流速度v 即v 角，则设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成θ?13?2????cos?60?， ?26160d?msm?120?最短行程，6?cos20。角时，渡河的最短航程为120m 小船的船头与上游河岸成60：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数技巧点拔这也是教学大纲中要求培养的五种能力学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能力，之一。【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流的距离离岸边最近处OAvv去，水流速度为，摩托艇在静水中的航速为，战士救人的地点21( C ) 点的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O为/ 29 ?d20 A．． B22???12??dd21．C． D??21★解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的到v，运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为2d被水冲下的距离，在相同的时间内，； 沿江岸方向的运动速度是水速v达江岸所用时间t=1v2dv1?vts?C 。答案：即为登陆点距离0点距离1v2；T【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了1）若此船用最短的位移过河，则需时间为T，若船速大于水速，则船速与水速之比为（2TTT T1122 (D) (B) (C) (A) TT2222T?T T?T212112d vv?T：①，河宽为d ，则由题意可知★解析：设船速为，水速为211v1v 方向应垂直于河岸，如图所示，则当此人用最短位移过河时，即合速度d?T② 222vv?2122v?vTvT21121??，进一步得联立①②式可得：vvT22T?T21212，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，d【例题】小河宽为v40?kv?kx，v，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为，x是各点到近岸的距离，0水d A ）则下列说法中正确的是（、小船渡河的轨迹为曲线A d v2、小船到达离河岸处，船渡河的速度为B02、小船渡河时的轨迹为直线C v1043d/、小船到达离河岸处，船的渡河速度为D0高中物理-渡河模 型习题讲解 3 / 9 【模型概述】 在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题 【模型讲解】 一、速度的分解要从实际情况出发 v拉水平面上的物体A所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度，当绳与例1. 如图10水平方向 成θ角时，求物体A的速度。 图1 解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即绳的末端 的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短v?v；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度的速度即等于θ01vvvv的两个分速度，及的值。这样就可以将实际上就是按图示方向进行分解。所以1AA2vv01?v?。1所示，由此可得如 图A??coscos解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。设船在θ角位置经△t时间向左行驶△x距离，滑轮右侧的绳长缩短△L，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有?L?x??cos??x?Lcos?，两边同除以△t得：?t?t?cosv?v，因此船的速率为：即收绳速率A0 4 / 9 v0?v A?cos 2 图。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位“微元法”总结：进而求出牵连物体再从中找到对应的速度分解的图示，移是怎样的，得出位移分解的图示，间速度大小的关系。人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子由题意可知：（能量转化法）：解法三FvP?；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，，则对绳子做功的功率为的拉力为 F01?so?FvcP?PP为率功的功子大拉力小也为F，则绳对物体因，为做以所A122v0?v。 A?sco?cosvv?的就很容易得出A评点：①在上述问题中，若不对物体的运动认真分析，0A v逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物将逐渐变大，A向左移动，θ错误结果；②当物体A却在做变速运动。体A；总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）③确定该点合速且速度方向始终不变；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）寻④作出速度分解的示意图，度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；找速度关系。 二、拉力为变力，求解做功要正确理解的重物，开始时m32. 如图所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为例。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端HA点离滑轮的距离为人在滑轮的正下方，绳下端。问在这个过程中，人对重物做了多少θv到B点位置时，人的速度为， 绳与水平面夹角为功？/ 59 3 图解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无 ?cosFsW?求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。法用B点时，重物上升的高度为：当绳下端由A点移到?)sin(1?HH?h??H??sinsin重力做功的数值为：?)1?sinmgH(?W G?sin v和绕定滑轮逆时v可以分解为沿绳斜向下的分速度当绳在B点实际水平速度为v时，1vv和重物上升速度的大小是一致的，从图中，其中沿绳 斜向下的分速度针转动的分速度12可看出：?cosvv?1以重物为研究对象，根据动能定理得：120mv??WW?1G人222??cos)mv(mgH1?sin??W人?2sin 【实际应用】小船渡河两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。/ 69 两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。 vv，那么：，已知船在静水中速度为例3. 一条宽度为L的河，水流速度为船水（1）怎样渡河时间最短？ v?v，怎样渡河位移最小？（2）若水船v?v，怎样渡河船漂下的距离最短？（3）若水船解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流 的运动，船的实际运动为合运动。如图4所示。设船头斜向上游与河岸?sin?vv，渡河所需要的 时间。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为成任意角θ1船LL???90?1sin???t时，随sinθ增大而减小；当可以看出：，L、为v一定时，t船?sinvv1船Lt?。所以，船头与 河岸垂直（最大）。min v船 图4 （2）如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v 的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，v水 ??vcos?arccos?。θ，所以有，即并与河岸成一定的角度水船v船 图5 7 / 9 ??1?cos0v?v时，船才有可能垂直河岸渡河。因为，所以只有在水船v?v，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离（3）若水船最短呢？ 如图6所示，设船头v与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v的矢尖为圆心，v为半径画船水v船??cos圆， 当v与圆相切时，α角最大，根据v水 图6 v船?arccos?，船沿河漂下的最短距离为：船头与河岸的夹角应为v水 L??)v?vcosx?(min船水?sinv船LvL水s??此时渡河的最短位移： ?vcos船误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。 【模型要点】 处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系： （1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果v、s）互不干扰。（分分（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。 8 / 9 合运动与各分运动同时发生、）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，（3 同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程，尤其是变图力做功中更能体现出其空间积累的过程。所以在处理变力功可采用动能定律、功能原理、象法、平均法等。 【模型演练】，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成祁东联考）小河宽为d （2005v40?，k?vkx是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速x正比，， 水dv）度为，则下列说法中正确的是（0 A. 小船渡河的轨迹为曲线d v2处，船渡河的速度为B. 小船到达离河岸02 C. 小船渡河时的轨迹为直线/43d10v处，船的渡河速度为小船到达离河岸D. 0答案：A 9 / 9 小船过河问题 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 θ υυsin 1 船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小 为 v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船 水 υυθ= cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 2 水 船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： θ θsin )cos (min 船船水v d v v x ? -= 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s = =θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 s s d t 2030 60 2 == = υ (2)渡河航程最短有两种情况： ①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽； ②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2 运动合成与分解 如图所示,在一次救灾工作中,一架离水面高为H,沿水平直线飞行的直升机A,用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B,在直升机A和伤员B以相同的水平速度水平匀速运动的同时,悬索将伤员吊起.设经t时 间后,A、B之间的距离为l,且,则在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹描述正确的是下图中的哪个图( ) A B C D 解:根据,可以知道B在竖直方向上是匀加速上升的,悬索中拉力大于重力,即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长,飞机在水平方向匀速率运动,所以F、G并且都在竖直方向上;向上加速,运动轨迹应向上偏转,只有A符合,所以在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是A. 所以A选项是正确的. 一艘小船横渡一条河流,船本身提供的速度大小方向都不变,且始终垂直于河岸.已知河水流速从两岸到中心逐渐 增大,则小船运动轨迹是下图中的(( ) A B C D 解:从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道,靠近本岸小船具有向下游的加速度,靠近对岸小船具有向上游的加速度,故水流是先加速后减速,即加速度的方向先向下再向上,所以C选项是正确的,A、B、D错误. 所以C选项是正确的. 如图所示，人在岸上用轻绳拉船，若人匀速行进，则船将做（） A．匀速运动 B匀加速运动 C变加速运动 D减速运动 对小船进行受力分析，抓住船在水平方向和竖直方向平衡，运用正交分解分析船所受的力的变化． 解：由题意可知，人匀速拉船，根据运动的分解与合成，则有速度的分解，如图所示： V1是人拉船的速度，V2是船行驶的速度，设绳子与水平夹角为θ，则有：V1=V2cosθ，随着θ增大，由于V1不变，所以V2增大，且非均匀增大．故C正确，ABD错误．故选C． 运动的合成与分解实例——小船渡河模型 一、基础知识 （一）小船渡河问题分析 (1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动． (2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景 ①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d v 1 (d 为河宽)． ②过河路径最短(v 2 高一物理必修2专题训练：人拉船问题及船过河问题 专题一：人拉船问题 1．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，() A．v2＝v1 B．v2>v1 C．v2≠0 D．v2＝0 2．如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A 物体以速度v向左运动时，系A，B的绳分别与水平方向成α、β角，此时B物体的速度大小为________，方向________． 3.一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图9所示，试求： (1)车向左运动的加速度的大小； (2)重物m在t时刻速度的大小． 4．如图4－1－3所示，物体A和B质量均为m，且分别与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，B放在水平面上，A与悬绳竖直．用力F拉B沿水平面向左匀速运动过程中，绳对A的拉力的大小是() A.一定大于mg B．总等于mg C．一定小于mg D．以上三项都不正确 5.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A和B，两球的质量均为m， 两球半径忽略不计，杆AB的长度为l，现将杆AB竖直靠放在竖直墙上， 专题二：船过河问题 1．如果两个不在同一直线上的分运动都是初速度为零的匀加速度直线运动，则() A．合运动是直线运动B．合运动是曲线运动 C．合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动 D．只有当两个分运动的加速度大小相等时，合运动才是直线运动 2．雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下列说法中正确的是() A．风速越大，雨滴下落的时间越长B．风速越大，雨滴着地时的速度越大 C．雨滴下落时间与风速无关D．雨滴着地时的速度与风速无关3．一人游泳渡河，以垂直河岸不变的划速向对岸游去，河水流动速度恒定．下列说法中正确的是() A．河水流动速度对人渡河无任何影响B．人垂直对岸划水，其渡河位移是最短的 C．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同 D．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置向下游方向偏移4．一架飞机沿仰角30°斜向上做初速度为100m/s、加速度为10m/s2的匀加速直线运动．则飞机的运动可看成是竖直方向v0y＝________、a y＝________的匀加速直线运动，与水平方向v0x＝________、a x＝________的匀加速直线运动的合运动．在4s内飞机的水平位移为________、竖直位移为________． 5．飞机在航行测量时，它的航线要严格地从东到西，如图所示，如果飞机 专题4.1 小船过河问题 一．选择题 H的A、B两个码头同时1. （2018安徽合肥三模）如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距 3 开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C。则下列说法正确的是 A. 两船不会相遇 B. 两船在C点相遇 C. 两船在AC的中点相遇 D. 两船在BC的中点相遇 【参考答案】D 【命题意图】本题考查小船过河、运动的合成与分解及其相关的知识点。 【解后反思】若A、B两个码头之间距离为，则此题正确选项上哪一个？若A、B两个码头之间距离 大于2 ，则此题正确选项上哪一个？若甲船在静水中的速度大于乙船，则两船哪一个先到达和对岸？ 3 还能够相遇吗？若甲船在静水中的速度小于乙船，则两船哪一个先到达和对岸？还能够相遇吗？ 2．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m，水流速度为4 m/s的河流中渡河，则该小船( ) A ．能到达正对岸 B ．渡河的时间可能少于50 s C ．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m D ．以最短位移渡河时，位移大小为150 m 【参考答案】C 3.如图所示，河的宽度为L ，河水流速为v 水，甲、乙两船均以静水中的速度v 同时渡河。出发时两船相距2L ，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A 点。则下列判断正确的是( ) A ．甲船正好也在A 点靠岸 B ．甲船在A 点左侧靠岸 C ．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇 D ．甲、乙两船到达对岸的时间相等 【参考答案】BD 【名师解析】甲、乙两船垂直河岸的速度相等，渡河时间为t ＝ L v sin60° ，乙能垂直于河岸渡河，对乙船则 有v 水＝v cos60°，可得甲船在该时间内沿水流方向的位移为(v cos60°＋v 水) L v sin60°＝2 3 3L <2L ，甲船在 A 点左侧靠岸，甲、乙两船不能相遇。综上所述，A 、C 错误， B 、D 正确。 3.（2018湖北咸宁期中联考）如图所示，小船以大小为v （小船在静水中的速度）、方向与上游河岸成θ的速度从O 处过河，经过一段时间，正好到达正对岸的O ’处，现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸O ’处。在水流速度不变的情况下，可采取的方法是 A ．θ角不变且v 增大 小船过河问题 问题本质 小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性和等时性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v 是合运动。 基本模型 1、v 水 考点四：小船渡河模型 1.(小船渡河问题)小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求： (1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？ (2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m. 解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin ＝＝ s ＝50 s. d v 船2004(2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游， 与河岸成α角，有 cos α＝＝＝，解得α＝60°. v 水v 船24122、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s ，求： (1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 m (2)船头向上游偏30° 24 s 180 m 533、已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，河水的流动速度为v2＝3 m/s ，方向与河岸平行.试分析： (1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？ (2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？ 解析 (1)根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时，渡河所用时间最短.设船头指向 上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v 与分运动速度v1、v2的矢量关系如图所示.河水流速v2平行于河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sin α，则船渡河所用时间为t ＝. d v1sin α显然，当sin α＝1即α＝90°时，v⊥最大，t 最小，此时船身垂直于河岸，船头始终垂直指向对岸，但船实际的航向斜向下游，如图所示. 渡河的最短时间tmin ＝＝ s ＝25 s 船的位移为l ＝tmin ＝×25 m ＝125 m d v1100 4v21＋v2242＋32船渡过河时到达正对岸的下游A 处，其顺水漂流的位移为x ＝v2tmin ＝3×25 m ＝75 m. (2)由于v1＞v2，故船的合速度与河岸垂直时，船的航行距离最短.设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游， 且与河岸成θ角，如图所示，则cos θ＝＝，θ＝arccos . v2v1343 4船的实际速度为v 合＝＝ m/s ＝ m/s 故渡河时间：t′＝＝ s ＝ s.v21－v2242－327d v 合100 710077答案 （1）t=25s ，x=75m ，l=125m （2）t=s 1007 7 4、河宽60 m ，水流速度v1＝6 m/s ，小船在静水中的速度v2＝3 m/s ，则： (1)它渡河的最短时间是多少？ (2)最短航程是多少？ 答案 (1)20 s (2)120 m 5．(单选)一小船在静水中的速度为3 m/s ，它在一条河宽为150 m ，水流速度为4 m/s 的河流中渡河，则该小船( )． 答案 C A ．能到达正对岸 B ．渡河的时间可能少于50 s 小船过河问题 组题：杨炼军 问题本质 小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性和等时性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v 是合运动。 基本模型 1、v 水 高中物理小船过河问题 解析 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N] 小船过河问题 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 θ υυsin 1 船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小 为 v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为 船 水 υυθ= cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 水 船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s = =θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河最短时间是多少 (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河最短的航程是多少 ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 (2)渡河航程最短有两种情况： ①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽； ②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2 小船过河问题 欧阳光明（2021.03.07） 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下， 渡河时间 θ υυsin 1 船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与 河岸垂直，渡河时间最小为v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏 离上游的角度为 船 水υυθ= cos v 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角 最大，根据 水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 水 船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： 此时渡河的最短位移： 船 水 v dv d s == θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 (2)渡河航程最短有两种情况： ①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂 小船渡河的问题 在高中物理教学中，往往遇到小船在水有一定流速的河中渡河的问题。这类问题一般有小船渡河的时间最小，位移最小，速度最小三种情况： 问题一：小船如何渡河时间最小，最小时间为多少？ 分析及解答：设河宽为d ，小船在静水中的速度为V 船，水流速度为V 水，如图1中的甲。将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解。沿平行河岸方向的速度不影响渡河的快慢，小船渡过河时时间与垂直河岸方向的速度有关，当小船垂直河岸渡过河时时间最小，即最小时间为t min =d/V 船。 [例题1]：河宽60m,小船在静水中的速度为4m/s,水流速度为3m/s 。求小船渡河的最小时间是多少，小船 实际渡河的位移为多大？ 分析及解答：如图1中的乙，当小船垂直河岸渡过河时时间最 小，即最小时间为t min =d/V 船。 ∴t min =d/V 船=60/4=15(s)。 小船实际渡河的位移S AB =V 合t min =5*15=75(m). 问题二：小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？ 分析及解答：在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸 方向和垂直河岸方向正交分解，如图2中的甲。当小船沿平行河岸 方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即V 1=V 水，小船的合 速度（V 2）就沿垂直河岸方向， 这时渡河到达对岸的位移最小，S min =d 。而 渡河时间t=d/V 2=d/Vsin θ。 [例题2]：河宽60m,小船在静水中的速度为5m/s,水流速度为3m/s 。求小船 渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？ 分析及解答：如图2 中的乙，当小船沿平行河岸方向的分速度V 1=V 水， 小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d=60(m)。 而V 船与河岸的夹角θ=arc cos(V 船/V 水)=530。这时小船实际渡河的时间 t=d/V 2=d/V 船sin θ=60/4=15(s). 问题三：小船如何渡河速度最小，最小速度为多少？ 分析及解答：将小船渡河运动看作水流的运动（水冲船的运动）和小船相对静水的运动（设水流不流动时 船的运动）的合运动。如图3中的甲，要使小船沿直线从A 运动到B ，小船在静水中的最小速度为多少？根据运动的合成和平行四边形定则，当小船的速度垂直于AB 直线时，船速最小，最小船 速为V 船=V 水sin θ，船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V 船/V 水)。 [例题3]：如图3的乙，一条小船位于100m 宽的河岸A 点处，从这里向下游100√3米处有一危险区，若水流速度为4m/s ，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少多大？ 分析及解答：为了使小船避开危险区沿直线AB 到达对岸，则小船的合速度方向沿直线AB 。根据运动的合成和平行四边形定则，当小船的速度垂直于AB 直线时，船速最小，最小船 速为V 船=V 水sin θ。由几何关系可知： tg θ=√3/3, θ=300。∴V 船=4*sin300=2(m/s). 而船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V 船/V 水)=1200。 曲线运动习题课 一、船过河模型 1、处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动，即在静水中的船的运动（就是船头指向的方向），船的实际运动是合运动。 2、若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过河时间： 3、若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河时间(d为河宽)。因为在垂直于河岸方向上，位移是一定的，船头按这样的方向，在垂直于河岸方向上的速度最大。 二、绳端问题（绳子末端速度分解） 绳子末端运动速度的分解，按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。 例如在右图中，用绳子通过定滑轮拉物体船，当以速度v匀速拉绳子时，求船的速度。 解析：船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成： a)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。即为v； b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。这样就可以求得船的速度为, 当船向左移动，α将逐渐变大，船速逐渐变大。虽然匀速拉绳子，但物体A却在做变速运动。 绳子末端速度的分解问题，是本章的一个难点，同学们在分解时，往往搞不清哪一个是合速度，哪一个是分速度。以至解题失败。下面结合例题讨论一下。例1、如图1所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳速度大小为v1，当船头的绳索与水平面夹角为θ时，船的速度多大 解析我们所研究的运动合成问题，都是同一物体同时参与的两个分运动的合成问题，而物体相对于给定参照物（一般为地面）的实际运动是合运动，实际运动的方向就是合运动的方向。本例中，船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以A点为例说明：一是A点沿绳的收缩方向的运动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如图1所示。由图可知：v＝v1/cosθ 点评不论是力的分解还是速度的分解，都要按照它的实际效果进行。本例中，若将拉绳的速度分解为水平方向和竖直方向的分速度，就没有实际意义了，因为船并不存在竖直方向上的分运动 例2 如图2所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A 的运动情况是【】 A. 加速上升，且加速度不断增大 B. 加速上升，且加速度不断减小 C. 减速上升，且加速度不断减小 D. 匀速上升 解析物体A的速率即为左段绳子上移的速率，而左段绳子上移的速率与右段绳子在沿着绳长方向的分速率是相等的。右段绳子实际上同时参与两个运动：沿绳方向拉长及向上摆动。将右段绳子与汽车相连的端点的运动速度v沿绳子方向 小船渡河模型分析(NO.1) 2015.1.26制 1．模型展示：小船在渡河时，同时参与了两个运动：一是随水沿水流方向的运动，二是船本身相对水的运动．小船实际发生的运动是合运动，而这两个运动是分运动．模型主要讨论船渡河时间最短和位移最短这两个问题．设一条河宽d ，船在静水中的速度为v 1，水流速度为v 2，下面讨论小船渡河的这两类问题． 2．三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水的流速)、v(船的实际速度)． 3．三种情景 (1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d v 1 (d 为河宽)． (2)过河路径最短(v 2＜v 1时)：合速度垂直于河岸，航程最短，x 短＝d. (3)过河路径最短(v 2＞v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如右图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短． 由图可知：sin θ＝v 1v 2，最短航程：x 短＝d sin θ＝v 2 v 1d. 1.一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝ 2.5 m/s ， (1)若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，求： ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)若船在静水中的速度v 2＝1.5 m/s ，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 绳拉船模型分析 1．模型展示：船在靠岸的过程中，通过一条跨过定滑轮的绳拉船．研究拉船的绳端速度与船速的关系．在 绳跟滑轮间的支撑点看绳拉船头部位，该部位的实际运动是受水面约束的直线运动，这也是合运动．它实际上是同时参与了两个分运动：一是沿绳方向的直线运动，二是具有沿垂直绳方向线速度的圆周运动．此类问题在建筑工地的塔吊工作中也很常见． 2.绳末端速度分解的分析：如右图所示，取船与绳的连结点A 为研究对象(此点既是船上的点，又是绳子上的点)．因为船上A 点的速度即船的实际运动速度v ，绳子A 点既有沿绳方向的收缩(或伸长)速度v 1(沿绳方向的直线运动)，又有沿垂直绳方向的转动速度v 2(以绳轮间支点为中心的圆周运动)，所以v 是v 1和v 2的合速度． 2.如图甲所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A 的受力情况是( ) A ．绳的拉力大于A 的重力 B ．绳的拉力等于A 的重力 C ．绳的拉力小于A 的重力 D ．拉力先大于重力，后变为小于重力 平抛运动分析 1.如图所示,从地面上方D 点沿相同方向水平抛出的三个小球分别击中对面墙上的A 、B 、C 三点,图中O 点与D 点在同一水平线上,知O 、A 、B 、C 四点在同一竖直线上,且OA=AB=BC ，三球的水平速度之比v A ∶v B ∶v C 为 ( ) 2∶3∶6.D 1 ∶2∶3.C 3∶2∶1.B 6∶3∶2. 2.在同一平台上的O 点抛出的3个物体,做平抛运动的轨迹如图13所示,则3个物体做平抛运动的初速度v A 、v B 、v C 的关系及落地时间t A 、t B 、t C 的关系分别是 ( ) A.v A >v B >v C ,t A >t B >t C B.v A =vB =v C ,t A =t B =t C C.v A （一）问题分析 一只小船要渡过一条宽为d的河流，目标是起点A正对着的另一岸B点。已知河水的流速v1与船在静水中的速度v2之比为k。 （1）建立小船的航线模型，并求其解析解。 （2）设d=100m，v1=1m/s，v2=2m/s,用数值解法求渡河所需时间，任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并于解析解比较； （3）若流速v1=0，0.5，1.5，2(m/s),结果如何。 这个问题涉及的主要变量有：船在静水中的速度v2,河水的速度v1，v1与v2速度之比为k，船的航行时间t，船在任意时刻的位置x，y。由于k未知，所以船过河的具体航线有多种情况，但针对本题过河问题为了更好的解决问题，不妨做以下假设： （1）船的速度方向始终指向终点B； （2）船在航行的过程中任意时刻的总速度与航线相切。 通过以上假设，小船过河问题就简化为：速度求曲线轨迹问题，微分方程问题。 （二）建立数学模型 建立直角坐标系，为方便起见，将B点设为坐标原点，河岸为x轴，垂直于河岸方向为y轴，如图所示。设在t时刻，小船的位置为（x,y）,船头指向与水平方向的夹角为a。则此时水平方向的速度为v1-v2*cos(a),竖直方向的速度为v2*sin(a)。又由于水平方向的速度为dx/dt,竖直方向的速度为dy/dt。则可列出小船航线的微分方程： dx/dt=v1-v2*cos(a) dy/dt v2*sin(a) 又由于cos(a)=x/sqrt(x^2+y^2),sin(a)=-y/sqrt(x^2+y^2)。 则微分方程为： dx/dt=v1-v2* x/sqrt(x^2+y^2) dy/dt=-v2* y/sqrt(x^2+y^2) 初始条件为： x(0)=0,y(0)=-100;6 以上就是小船航线的数学模型。 小船渡河模型 1、已知河水的流速为1v ，小船在静水中的速度为2v ，且12v v <，下面用小箭头表示小船以及船头的指向，能正确反映小船在最短时间内渡河，最短位移渡河的情景图示依次是（ ） A ．①② B ．①⑤ C ．④⑤ D ．②③ 2、船在静水中的速度是1m/s ，河岸笔直，河宽恒定，河水的流速为2m/s ，以下说法正确的是（ ） A ．因船速小于流速，船不能到达对岸C ．船不能垂直过河 D ．船过河的最短时间是一定的B ．船不能沿一直线过河 3．小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度（即静水速度）大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则（ ） A ．越接近河岸水流速度越小 B ．越接近河岸水流速度越大 C ．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短 D ．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响 4．如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到 A 点和 B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA =OB 。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为（ ） A ．t 甲 高中物理《小船渡河问题》专题训练与解析 例1．游泳运动员以恒定的速率垂直于河岸渡河，当水速突然变大时，对运动员渡河时间和经历的路程产生的影响是() A．路程变大，时间延长B．路程变大，时间缩短 C．路程变大，时间不变D．路程和时间均不变 【答案】C 【解析】运动员渡河可以看成是两个运动的合运动：垂直河岸的运动和沿河岸的运动 运动员以恒定的速率垂直河岸渡河，在垂直河岸方向的分速度恒定 由分运动的独立性原理可知，渡河时间不变① 但由于水速变大，沿河岸方向的运动速度变大 又因为时间不变，所以沿河岸方向的分位移变大，故总的路程变大②[来源:学科网] 例2．如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为() A．v sinαB．v sinα C．v cosαD．v cosα 【答案】C 【解析】把人的速度v沿着绳方向和垂直于绳方向分解，如图所示： 几何关系：v1=v cosα，所以船的速度大小为v cosα 例3．无风时气球匀速竖直上升，速度大小为3m/s．现吹水平方向的风，使气球获4m/s的水平速度，气球经一定时间到达某一高度h，则有风后() A．气球实际速度的大小为7m/s B．气球的运动轨迹是曲线 C．若气球获5m/s的水平速度，气球到达高度h的路程变长 D．若气球获5m/s的水平速度，气球到达高度h的时间变短 【答案】C 【解析】有风时，气球实际速度的大小v=32＋42m/s=5m/s① 气球沿合速度方向做匀速直线运动，轨迹为直线② 水平速度增大，但气球飞行的时间不变，水平方向的位移增大，竖直方向的位移不变，合位移增大，故气球到达高度h的路程变长③ 高中物理小船过河问题标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N] 小船过河问题 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 θ υυsin 1 船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为 v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为 船 水 υυθ=cos v 水 θ V 水 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 水 船 v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s = =θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河最短时间是多少 (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河最短的航程是多少 ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间(完整版)高中物理小船过河问题含答案,推荐文档
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