高考数学历年函数试
题及答案
1. 设（x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈
[0，2
1
]都有).()()(2121x f x f x x f ?=+
（Ⅰ）设);4
1
(),21(,2)1(f f f 求=
（Ⅱ）证明)(x f 是周期函数。
2. 设函数.,1|2|)(2R x x x x f ∈--+= （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性； （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.
3． 已知函数()2sin (sin cos f x x x x =+
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数
()y f x =在区间,22ππ??-?
???
上的图象
x
4．（本小题满分12分）求函数x
x
x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周
期、最大值和最小值.
5．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围.
6.△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2
cos 2cos C
B A ++取得最大值，并求出这个最大值
7.设a 为实数，函数x a ax x x f )1()(223-+-=在)0,(-∞和),1(+∞都是增函数， 求
a 的取值范围.
8. 设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x =1及x =2时取得极值. (Ⅰ)求a 、b 的值;
(Ⅱ)若对于任意的x ,3,0〕〔∈
都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围.
9.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??
-- ???
，内是减函数，求a 的取值范围．
10.在ABC ?中，内角A 、b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知222a c b -=，且
sin 4cos sin B A C =，求b.
11. 已知函数42()36f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求
l 的方程
12. 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=?π?图像的一条对称轴是直线
8
=
x
（Ⅰ）求?；
（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像
-1-32
32112-12
π
7π8
3π4
5π8π23π8π4π8o
y
x
13. 已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为3,1(
（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围
解答：
2. 解：（Ⅰ）.7)2(,3)2(=-=f f 由于),2()2(),2()2(f f f f -≠-≠- 故)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.
（Ⅱ）?????<+-≥-+=.
2,1,
2,3)(22x x x x x x x f
由于),2[)(+∞在x f 上的最小值为)2,(,3)2(-∞=在f 内的最小值为.4
3)2
1(=f
故函数),()(+∞-∞在x f 内的最小值为.4
3
3. 解x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=
)42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21π
ππ-+=-?+=x x x
所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
x
8
3π-
8π-
8π 83π 8
5π y
1
21-
1
21+
1
故函数)(x f y =在区 间]2
,2[π
π-上的图象是
4. 解：x
x x
x x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=
.2
12sin 41)cos sin 1(21
)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=
x x x x x x x
所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.4
1
5. 解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f （Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.
)(01632R x x ax ∈<-+ .30
12360-
所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；
（II ）当3-=a 时，133)(23+-+-=x x x x f =,9
8
)31(33+--x
由函数3x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；
（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f
所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是 6. 解： 由,2
2
2
,A C B C B A -=+=++ππ得
所以有 .2
sin 2
cos A C B =+
2
sin 2cos 2
cos 2cos A A C B A +=++
2
sin 22
sin 212A A +-=
.2
3)212(sin 22+--=A 当.2
32
cos 2cos ,3
,2
12
sin 取得最大值时即C B A A A ++==π
7. 解：
),1(23)('22-+-=a ax x x f
其判别试.81212124222a a a -=+-=? （ⅰ）若,2
6
,08122±
==-=?a a 即 当.),()(,0)(',),3
()32,(为增函数在时或+∞-∞>+∞∈-∞∈x f x f a
x x
所以.2
6±
=a (ⅱ) 若,08122<-=?a .),()(,0)('为增函数在恒有+∞-∞>x f x f 所以 ,2
32>
a 即 ).,2
6()26,(+∞-
-∞∈Y a （ⅲ）若,08122>-=?a 即,0)(',2
6
26=<<-
x f a 令 解得 .3
23,3232221a a x a a x -+=--=
当;)(,0)(',)(),(21为增函数时或x f x f x x x x >∞+∈-∞∈ 当.)(,0)(',),(21为减函数时x f x f x x x <∈
依题意1x ≥0得2x ≤1. 由1x ≥0得a ≥,232a - 解得 1≤.2
6<
a 由2x ≤1得,232a -≤3,a - 解得 .2626<<-
a 从而 .)2
6
,
1[∈a 综上，a 的取值范围为),2
6,1[),26[]26,Y Y +∞-
∞- 即 ∈a ).,1[]2
6
,(+∞-
-∞Y 9. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a ≤时，0?≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增；
当2
3a >，由()0f x '=
求得两根为3
a x -=
即()f x
在3a ??
--∞ ? ???，
递增，33a a ?--+ ???，递减，
3a ??-++∞
? ???
递增； （2）（法一）∵函数()f x 在区间2133??
-- ???
，
内是减函数，33a a ?--- ???
，递减，∴
2
331
3
a ?--??
-≤，且23a >，解得：
2a ≥。
2221
3x +2ax+10(,33
g(x)=3x +2ax+1,2427g()32a +10a 393
a 24111a 2g()=32a +10393a [2,+)
≤?
≤??≤??≥??≥?
???≥??≤???
∞（法二）只需在区间－－）恒成立即可。
令∴只需：
－－∴∴－－∴的取值范围为
10. 解：由余弦定理得A bc b c a cos 2222-=-， ∵0,222≠=-b b c a ，
∴b A bc b 2cos 22=-，即2cos 2+=A c b 。 由正弦定理及sin 4cos sin B A C =得
c
b
C B A 2sin 2sin cos 2==
，
∴22
+=
b
b ，即4=b 。 11. 解：（Ⅰ）)2
6)(26(464)`(3-+
=-=x x x x x x f 令0)`(>x f 得02
6
<<-
x 或26>x ；
令0)`( 6 0< 和),26(+∞为增函数；在区间)2 6,(--∞和)2 6 , 0(为减函数。 （Ⅱ）设点))(,(00x f x P ，由l 过原点知，l 的方程为x x f y )`(0=， 因此x x f x f )`()(00=，即0)64(6303002040 =--+-x x x x x ，整理得 0)2)(1(2 020=-+x x ，解得20-=x 或20=x 。所以的方程为x y 2-=或 x y 2= 12. 解：（Ⅰ）)(8 x f y x == 是函数π Θ的图像的对称轴，,1)8 2sin(±=+? ∴?π .,2 4Z k k ∈+ =+∴ π πππ .43,0π??π- =<<-Θ （Ⅱ）由（Ⅰ）知).4 32sin(,43π π?-=-=x y 因此 由题意得 .,2 243222Z k k x k ∈+≤- ≤- π πππ π 所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=π ππππ的单调增区间为 （Ⅲ）由知) 32sin(π -=x y 故函数上图像是在区间],0[)(πx f y = 13. 解：（Ⅰ） ).3,1(02)(的解集为>+x x f Θ因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f .3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=① 由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得 ② 因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=?-+-=?a a a ， 即 .5 1 1. 01452-===--a a a a 或解得 由于5 1 .1,0-== .5 3 5651)(2---=x x x f （Ⅱ）由a a a a a x a a x a ax x f 1 4)21(3)21(2)(222 ++-+-=++-= 及.14)(,02a a a x f a ++- <的最大值为可得 由?? ???<>++- ,0,01 42a a a a 解得 .03232<<+--- ).0,32()32,(+----∞Y 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇 数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分 数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫 做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 48476Λ个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式 （1）根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表 示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。 （2）图象： 《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ） A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = ２．9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 １.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 １.幂的有关概念 （1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； （3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> （4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ ３．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 （2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数： （1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。 （2）图象: 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数． 2．常见幂函数的图象与性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝ 1 2 x ?? ? ?? ；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2； ⑥y＝x；⑦y＝a x(a>1)．其中幂函数的个数为() A．1B．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝( ) 22 23 1m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y ＝() 2 223 1m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x － 3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x － 3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α (α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件． 【对点训练】 函数f(x)＝( ) 22 3 1m m m m x +---是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的 解析式． 解：根据幂函数的定义得 m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f(x)＝x －3 在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求． 故f(x)＝x 3. 题型二、幂函数的图象 【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α 在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，1 2，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4 的α的值依次为( ) A ．－2，－12，1 2 ，2 B ．2，12，－1 2 ，－2 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 原创理科数学专题卷 专题 基本初等函数 考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1．【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 易 函数 2212x x y -+??= ? ?? 的值域是（ ） A.R B.1,2??+∞???? C.()2,+∞ D.()0,+∞ 2. 【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 中难 设函数 ()1221,0,0 x x f x x x -?-≤? =??>? 如果 ()01f x >，则0x 的取值范围是（ ） A. () 1,1- B. ()() 1,01,-+∞U C. ()(),11,-∞-+∞U D.()(),10,1-∞-U 3．【2017课标1，理11】 考点07 难 设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 4．【来源】2016-2017学年黑龙江虎林一中月考 考点08 易 已知函数()()3log 472a f x x =-+（0a >且1a ≠）过定点P ，则P 点坐标（ ） A ．()1,2 B ．7 ,24?? ??? C.()2,2 D ．()3,2 5．【来源】2016-2017学年河北定州中学周练考点08 易 若函数[)[]?? ???∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x ）（ ，则411log 33f f ??? ?=?? ?? ???（ ） A.3 1 B.3 C.4 1 D.4 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 指数函数 一、选择题（共17小题；共85分） 1. 已知 a =(?12)?1 ，b =2?12 ，c =(12)?1 2 ，d =2?1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b C. c D. d 2. 已知 a = √5?1 2 ，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( ) A. m +n <0 B. m +n >0 C. m >n D. m 方法强化练——函数与基本初等函数 (建议用时：75分钟) 一、填空题 1．(2014·珠海模拟)函数y ＝(x ＋1)0 2x ＋1的定义域为______． 解析 由??? x ＋1≠0，2x ＋1＞0，得x ∈? ???? －12，＋∞. 答案 ? ?? ?? －12，＋∞ 2．(2013·金华十校联考)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是________． ①y ＝2|x |；②y ＝lg(x ＋x 2＋1)；③y ＝2x ＋2－x ；④y ＝lg 1 x ＋1 . 解析 根据奇偶性的定义易知①、③为偶函数，②为奇函数，④的定义域为{x |x ＞－1}，不关于原点对称． 答案 ④ 3．(2013·山东省实验中学诊断)已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (2)－f (1)＝________. 解析 设幂函数为f (x )＝x α，则f (9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝12，即f (x )＝ ＝x ，所以f (2)－f (1)＝2－1. 答案 2－1 4．(2014·无锡调研)已知方程2x ＝10－x 的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 设f (x )＝2x ＋x －10，则由f (2)＝－4＜0，f (3)＝1＞0，所以f (x )的零点在(2,3)内． 答案 2 5．(2014·天水调研)函数f (x )＝(x ＋1)ln x 的零点有________个． 解析 函数的定义域为{x |x ＞0}，由f (x )＝(x ＋1)ln x ＝0得，x ＋1＝0或ln x ＝0，即x ＝－1(舍去)或x ＝1，所以函数的零点只有一个． 答案 1 6．(2014·烟台月考)若a ＝log 20.9，b ＝ ，c ＝ ，则a 、b 、c 大小 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程 （1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 专题三 基本初等函数 考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1． 考点07 易 下列各式中成立的一项是( ) A. 7 1 77n n m m ??= ??? B. = ()34 x y =+ =2. 考点07 中难 函数1 1x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A. ()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4 3． 考点07 难 函数2 212x x y -??= ??? 的值域为( ) A. 1,2 ??+∞???? B. 1,2 ??-∞ ?? ? C. 10,2 ?? ?? ? D. [)0,2 4． 考点08 易 已知函数|lg |,010,()16,10.2 x x f x x x <≤?? =?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的 取值范围是( ) A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24) 5．考点08 易 已知2log 0.3a =,0.12b =, 1.30.2c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B.c a b << C. a c b << D. b c a << 6． 考点08中难 函数y = ） A ．(0,8] B ．(2,8]- C ．(2,8] D ．[8,)+∞ 7． 考点08中难 函数212 log (617)y x x =-+的值域是( ) A. R B. [8,)+∞ C. (,3)-∞- D. [)3,+∞ 8．考点07，考点08 易 函数()log (1)x a f x a x =++ (0a >且1a ≠)在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A. 12 B. 14 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ） A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x = 于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．．2020年高考数学三角函数专题解题技巧
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