万有引力与航天专题
复习
Revised on November 25, 2020
万有引力与航天
一、行星的运动
1、 开普勒行星运动三大定律
①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。
③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比
值都相等。 即：
其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。
推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。K 取决于中心天体的质量 例1. 据报道，美国计划从2021年开始每年送15 000名游客上太空旅游．如图所示，当航天器围绕地球沿椭圆轨道运行时，在近地点A 的速率 (填“大于”“小于”或“等于”)在远地点B 的速率。
例2、宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ） 年 年 年 年 二、万有引力定律
1、万有引力定律的建立
①太阳与行星间引力公式 ②卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律
①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正
比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即： ②适用条件
（Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用
（1）万有引力与重力的关系：
重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。
忽略地球自转可得：
例3.设地球的质量为M ，赤道半径R ，自转周期T ，则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为（式中G 为万有引力恒量） （2）计算重力加速度
3
2a k
T =2Mm F G r =1122
6.6710/G N m kg -=??12
2m m
F G r =2R Mm
G mg =
地球表面附近（h 《R ） 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心r=R+h 处 方法：
在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度''g
方法： （3）计算天体的质量和密度 利用自身表面的重力加速度： 利用环绕天体的公转： 等等
（注：结合 得到中心天体的密度）
例4.宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度V 0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t ，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为V. 已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 。
例5. 2017年1月23日，我国首颗1米分辨率C 频段多极化合成孔径雷达(SAS)卫星“高分三号”正式投入使用，某天文爱好者观测卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间t 扫过的弧长为L ，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G ，则下列说法正确的是（ ）
A. 卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为L
t B. 卫星绕地球做匀速圆周运动的角速度为2πθ
t
C. 地球的质量为L 3Gt 2θ
D. 卫星的质量为L 2
Gt 3θ
经验总结———“天上”：万有引力提供向心力 2M ma=m m F G r πω??= ???
2
22v 2一条龙：＝=mr =mr r T “地上”：万有引力近似等于重力 2GM gR 黄金代换：＝
（4）双星：两者质量分别为m 1、m 2，两者相距L
特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。
双星轨道半径之比： 双星的线速度之比： 例6经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体.如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2=3∶2.则可知
2'
''''
'R m M G mg =mg R Mm G =2
3
3
4R M πρ?=1
2
2121m m v v R R =
=
A．m
1、m
2
做圆周运动的角速度之比为3∶2
B．m
1、m
2
做圆周运动的线速度之比为2∶3
C．m
2做圆周运动的半径为
2
5
L
D．m
1做圆周运动的半径为
2
5
L
三、宇宙航行
1、人造卫星的运行规律
例7.已知地球半径为R，质量为M，自转角速度为，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，地球同步卫星与地心间的距离为r，则以下说法中正确的是
A．地面赤道上物体随地球自转运动的线速度为R
B．地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度为R
C．地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度为
R
GM
D．地球同步卫星的运行速度为gr
2、宇宙速度
第一宇宙速度：V1=s 第二宇宙速度：V2=s 第三宇宙速度：V3=s
注：（1）宇宙速度均指发射速度
（2）第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度
3、地球同步卫星（通讯卫星）
（1）运动周期与地球自转周期相同，且T=24h；
（2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期；
（3）同步卫星高度不变，运行速率不变（因为T不变）；
（4）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。
对同步卫星：运动规律：
例8由于同步卫星的运动周期确定（为T=24h），故而其r、v、ω、T 、a 等均为定值。
如图所示，福州位于北纬26°05′，P是位于福州的物体。一颗地球卫星Q的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，下列说法正确的是（）
A. 地球同步卫星可能经过福州上空
B. P的周期比Q的周期小
C. P的线速度比Q的线速度小
D. P的向心加速度比Q的向心加速度小
课后巩固
1．对于万有引力定律的表达式F=G m1m2
，下列说法中正确的是（）
r2
A. 公式中G为引力常量，它是由实验测得的，没有单位
B. 当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C. m1与m2受到的引力总是大小相等的，且与m1、m2是否相等无关
D. m1与m2受到的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
2．已知下面的哪组数据,可以算出地球的质量M（引力常量G为已知）的是( )
A. 月球绕地球运动的周期T 及地球的半径R
B. 地球绕太阳运行周期T 及地球到太阳中心的距离r
C. 人造卫星在地面附近的运行速度v和运行周期T
D. 地球绕太阳运行速度v 及地球到太阳中心的距离r
3．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g
，则该处距地
2
面球表面的高度为（）
A. （√2?1）R
B. R
C. √2 R
D. 2R
4．下列关于地球同步通信卫星的说法中，正确的是（）
A. 为避免通信卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上
B. 通信卫星定点在地球上空某处，各个通信卫星的角速度相同，但线速度大小可以不同
C. 不同国家发射通信卫星的地点不同，这些卫星轨道不一定在同一平面内
D. 通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上
4．如图所示为赤道上随地球自转的物体A、赤道上空的近地卫星B和地球的同步卫星C的运动示意图，若它们的运动都可视为匀速圆周运动，则比较三个物体的运动情况，以下判断正确的是（）
A. 三者的周期关系为T B B. 三者向心加速度大小关系为a A >a B >a C C. 三者线速度的大小关系为v A D. 三者角速度的大小关系为ωA =ωB =ωC 5．一宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为 m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F 大小随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1＝7F 2，设R 、m 、引力常量G 以及F 1为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是 A. 该星球表面的重力加速度为1 77F m B. 卫星绕该星球的第一宇宙速度为Gm R C. 星球的密度为 1 328πF GmR D. 小球过最高点的最小速度为0 6．两行星A 和B 是两均匀球体，行星A 的卫星A 沿圆轨道运行的周期为T a ，行星B 的卫星B 沿圆轨道运行的周期为T b.设两卫星均为各自中心星体的近地卫星.而且T a ∶T b =1∶4，行星A 和行星B 的半径之比R A ∶R B =1∶2，则行星A 和行星B 的密度之比ρA ∶ρB =___________，行星表面的重力加速度之比g A ∶g B =___________. 7．已知某星球赤道上有一物体质量为m ，重力加速度为a ，(不考虑星球自转带来的影响)，随星球自转的周期为T ，星球半径为R ，引力常量为G ，求 （1）该星球的平均密度； （2）该星球的第一宇宙速度； （3）该星球的同步卫星离星球表面的高度。
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