第二类曲线积分的计算 Revised as of 23 November 2020
第二类曲线积分的计算 定义
设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对
AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中
A =n M
B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n
i S T ?=≤≤,
又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记
11,
---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .
在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限
∑=→?n
i i
i
i
T x
P 1
),(lim
ηξ∑=→?+n
i i
i
i
T y
Q 1
),(lim
ηξ
存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为
?+L
dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB
dy y x Q dx y x P ),(),(
也可记作
??+L
L
dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB
AB
dy y x Q dx y x P ),(),(
注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=
则上述记号可写成向量形
式:??L
s d F .
(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,
),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有
向曲线L 的第二类曲线积分,并记为
dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L
),,(),,(),,(++?
按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对
二类曲线积分有 ?
?
-=BA
AB
,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的线段
时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二类曲线积分 ?++AB
dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.
与第一类曲线积分的区别
首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是
20
1
(,)lim (,)n
i i i
l
i f x y ds s λξη→==?∑?
第二类曲线积分就是
1
(,)(,)lim (,)(,)n
i
i
i
i
i
i
l
i P x y dx Q x y dy P x Q y λ
ξηξη→=+=?+?∑? （1）
这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的s i ，s i 是一小段弧的弧长，s i 总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x,y 坐标的增量x i =x i ?x i?1，y i =y i ?y i?1，x i 与y i 是可正可负的。当积分的路径反向时，s i 不变，而x i 与y i 反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。 设曲线的参数方程为{
x =x(t)
y =y(t)
α≤t ≤β
则第一类曲线积分的计算公式为
ds ===
这里要注意α≤β，即对t的定积分中，下限比上限小时才有dt>0，也就有
|dt|=dt，这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿曲线上的点由A变到B，即t的下限α对应曲线积分的起点A，他的上限β对应曲线积分的起点A，t的上限β对应终点B。
历年真题
1、设曲线L:f(x,y)=1，f(x,y)具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的选项是
(A)∫f(x,y)dx
Γ (B)∫f(x,y)dy
Γ
(C)∫f(x,y)ds
Γ (D)∫f x′(x,y)dx
Γ
+f y′(x,y)dy
(2007，数一，4分)
【解析】
设点M，N的坐标分别为M(x1,y1)，N(x2,y2)，则有题设可知
∫f(x,y)dx Γ=∫dx
Γ
=x2?x1>0
∫f(x,y)dy Γ=∫dy
Γ
=y2?y1<0
∫f(x,y)ds Γ=∫ds
Γ
>0
∫f x′(x,y)dx Γ+f y′(x,y)dy=∫0dx
Γ
+0dy=0
答案为B。
2、计算曲线积分∫sin2xdx+2(x2?1)ydy
L
，其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点(π,0)的一段。
(2008，数一，9分) 【解析】
∫sin2xdx+2(x2?1)ydy
L
=∫sin2xdx+2(x2?1)sinxcosxdx
L
=∫x2sin2xdx=?L x2
2
cos2x|
π
+∫xcos2xdx=?π2
2
+
x
2
sin2x|
π
?
1
2
L ∫sin2xdx=?
π2
2π
3、设L是柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正方向往z轴负方向看
去为逆时针方向，则曲线积分∮xzdx+xdy+y 2
2dz=
L
(2011，数一，4分) 【解析】
采用斯托克斯公式直接计算
∮xzdx+xdy+y2
2
dz=
L
?ydydz+xdzdx+dxdy
z=x+y
=?(1?x?y)dxdy
x2+y2≤1
=∫dθ∫(1?rcosθ?rsinθ)rdr=π
1
2π
4、已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y2=2x到点(2,0),再沿圆周x2+
y2=4到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分I=∫3x2ydx+(x3+x?2y)dy
L
(2012，数一，10分) 【解析】
I =∫(y +z )dx +(z 2?x 2+y )dy +x 2y 2dz
L
=?dxdy ?∫(?2y )dy =π
?40
2
D
5、已知L 的方程{z =√2?x 2
?y 2
z =x ，起点为A(0,√0)，终点为B(0,?√0)，
计算曲线积分I =∫(y +z )dx +(z 2?x 2+y )dy +x 2y 2dz L
(2015，数一，10分)
【解析】
曲线L 的参数方程为：{x =cosθ
y =√2z =cosθ
sinθ
I =∫(y +z )dx +(z 2?x 2+y )dy +x 2y 2dz
L
=∫
[?(√2sinθ+cosθ)sinθ+√2sinθ√2cosθ
?π2π2
?2sin 2θcos 2
θsinθ]dθ=?√2∫
sin 2
θdθ=√2
π?π2
π2