排列组合问题经典题型与通用方法
解析版
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）
例1.,,,,
A、60种
B、48种
C、36种
D、24种
2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）
A、1440种
B、3600种
C、4820种
D、4800种
3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有例3.,,,,
（）
A、24种
B、60种
C、90种
D、120种
4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）
A、6种
B、9种
C、11种
D、23种
5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）
A、1260种
B、2025种
C、2520种
D、5040种
6.全员分配问题分组法:
例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？7.名额分配问题隔板法:
例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
8.限制条件的分配问题分类法:
例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.
例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）
A、210种
B、300种
C、464种
D、600种
10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式
()()()()
?=+-?
n A B n A n B n A B
例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？
11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）
A、36种
B、120种
C、720种
D、1440种
.13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）
A 、140种
B 、80种
C 、70种
D 、35种
14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.
例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A 、70种
B 、64种
C 、58种
D 、52种
.16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n 个普通排列：
12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a -在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n 个元素的圆排列数有!n n
种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n -元素全排列. 例16.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有n m 种方法.
例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
18.复杂排列组合问题构造模型法:
例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
.
20.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.
例21.某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？
1、 [2017. 全国 1] 展开式中的系数为 A ． 15 B ． 20 C ． 30 D ．35 2、[2017. 全国 2] 安排 3 名志愿者完成 4 项工作， 每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 则不同的安排方式共有（ ） A ．12 种 B ．18 种 C ．24种 D ．36 种 3、 [2017. 全国 2] 一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地 抽取 100次， 表示抽到的二等品件数，则 D ． 4、 [2017. 全国 3] ( x y)(2 x y) 5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为（） A ． B ． C ． 40 D ．80 5、 [2017. 江苏 ] （ 5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分 别为 200， 400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上 所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件． 6、 [2017. 天津 ] 用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字 是偶数的四位数，这样的四位数一共有 ___________个 . （用数字作答） 7、[2017. 山东 ] 为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系， 从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系， 10 10 ? 设其回归直线方程为 ? x i 225, y i y? bx a?，已知 1600, b 4 ，该班某学生的脚长 i 1 i 1 为 24，据此估计其身高为 （A ） 160 （ B ） 163 （ C ） 166 （ D ） 70 8、 [2017. 山东 ] 已知 (1 3x )n 的展开式中含有 X 的系数是 54，则 n =____ 9、 [2017. 浙江 ]
1、[2017.全国1]展开式中的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 2、[2017.全国2]安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 则不同的安排方式共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 3、[2017.全国2]一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地 抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = ． 4、[2017.全国3]5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（） A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80 5、[2017.江苏]（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件． 6、[2017.天津]用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 7、[2017.山东]为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系， 设其回归直线方程为???y bx a =+，已知1010 11?225,1600,4i i i i x y b =====∑∑，该班某学生的脚长 为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）70 8、[2017.山东]已知(13)n x + 的展开式中含有X 的系数是54，则n =____ 9、[2017.浙江]
高考试题分类解析排列组 合二项式定理 Last revision date: 13 December 2020.
2005年全国高考试题分类解析（排列组合、二项式定理） 选择题 1. （全国卷Ⅱ）10()x 的展开式中64x y 项的系数是( ) (A) 840 (B) 840- (C) 210 (D) 210- 2.（全国卷Ⅲ）在(x?1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是( ) （A ）14 （B ）14 （C ）28 （D ）28 3.（北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) （A ）124414128C C C （B ）124414128 C A A （C ）12441412833C C C A （ D ）12443141283C C C A 4.（北京卷）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( ) （A ）144 4C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44C 种 （D ）44A 种 5.（福建卷）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游 览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙 两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种 6．（湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给 4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那 么不同的分法种数是（ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 7.（湖南卷）4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ） A ．48 B ．36 C ．24 D ．18 8.（江苏卷）设k=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中x k 的系数不可能是( ) ( A ) 10 ( B ) 40 ( C ) 50 ( D )80 9.（江苏卷）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( ) （A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0 10．（江西卷）123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有 （ ）
排列组合二项式 1．（2016高考新课标2理数）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 2．（2016年高考四川理数）设i 为虚数单位，则6 ()x i +的展开式中含x 4 的项为 （A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4 3．（2016年高考四川理数）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 4．（2016高考新课标3理数）定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中 m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若 4m =，则不同的“规范01数列”共有 （ ） （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个 5．（2016高考新课标1卷）某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34 6．（2016高考新课标3理数）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和 平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B 点表示四月的平均最低气温约为 5C ?．下面叙述不正确的是（ ）
排列、组合、二项式定理与概率测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．) 1、如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”的外边是由 四个色块构成，可以用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色 块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连 接方法共有 ( ) A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种 2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有（） A．96种 B．180种 C．240种D．280种 3、五种不同的商品在货架上排成一排，其中a、b两种必须排在一起，而c、d两种不能排在一起，则不同的选排方法共有（） A．12种 B．20种 C．24种 D．48种 4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（） A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种 5、设a、b、m为整数（m>0),若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m 同余.记为a≡b(mod m)。已知a=1+C120+C220·2+C3 20·22+…+C20 20 ·219，b≡a(mod 10)，则b的值可以是（） .2011 C 6、在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场)，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．积分多的前两名可出线(积分相等则要比净胜球数或进球总数)．赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为 A．22种 B．23种 C．24种 D．25种
【2012年高考试题】 1.【2012高考真题重庆理4】8 21???? ? ?+x x 的展开式中常数项为 A. 1635 B.835 C.4 35 D.105 2.【2012高考真题浙江理6】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 3.【2012高考真题新课标理2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实 践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（） ()A 12种()B 10种()C 9种()D 8种 【答案】A 【解析】先安排老师有222=A 种方法，在安排学生有62 4=C ，所以共有12种安排方案，选A. 4.【2012高考真题四川理1】7(1)x +的展开式中2 x 的系数是（ ） A 、42 B 、35 C 、28 D 、21 【答案】D 【解析】由二项式定理得252237121T C x x ==，所以2 x 的系数为21，选D.
5.【2012高考真题四川理11】方程22 ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ） A 、60条 B 、62条 C 、71条 D 、80条 6.【2012高考真题陕西理8】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ） A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种 7.【2012高考真题山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （A ）232 (B)252 (C)472 (D)484 【答案】C 【解析】若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有64 1 41414=??C C C 种，若2色相同，则有1441 4241223=C C C C ；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有192 14142314=???C C C C 种，如同色则有72 2 42314=C C C ，所以共有 4727219214464=+++，故选C 。 8.【2012高考真题辽宁理5】一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同
专题11 排列组合、二项式定理 一．基础题组 1. 【2014新课标，理13】 的展开式中，的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 【答案】 【解析】因为，所以令，解得，所以=15 ，解得. 2. 【2010全国2，理14】若(x － )9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. 答案]： 1 解析]：T r ＋1＝x 9－r (－)r ＝(－1)r a r x 9－2r ， 令9－2r ＝3，∴r ＝3.∴x 3的系数为(－1)3a 3＝－84.∴a 3＝1.∴a ＝1. 3. 【2006全国2，理13】在(x 4+ )10的展开式中常数项是 .(用数字作答) 【答案】:45 【解析】设T r+1项为常数项, ∴T r+1=C r 10(x 4) 10-r ·( )r =C r 10x 40-4r ·x -r . ∴40-4r -r =0.∴r =8.∴T 9=45. 二．能力题组 1. 【2013课标全国Ⅱ，理5】已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝ ( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 【答案】：D 2. 【2011新课标，理8】的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40 【答案】D ()10x a +7x 12 10110r r r r T C x a -+=107r -=3r =373410T C x a =7x 12 a =a x 9C r a x 9C r 3 9C x 1x 151()(2)a x x x x + -
排列组合与二项式定理 一、排列组合 1.（2016年四川高考）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他 位置共有44A ，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D. 2.（2015年四川高考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有3 42A ?个；若万位上 排5，则有343A ?个.所以共有342A ?343524120A +?=?=个.选B. 3. （2015年广东高考）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的 排列数，所以全班共写了24040391560A =?=条毕业留言，故应填入1560． 4．(2014大纲全国，理5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )． A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 答案：C 解析：从6名男医生中选出2名有26C 种选法，从5名女医生中选出1名有15C 种选法，故共有216565C C 57521 ??=?=?种选法，选C. 5．(2014福建，理10)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )． A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5 B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5 C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5) D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5) 答案：A 解析：本题可分三步：第一步，可取0,1,2,3,4,5个红球，有1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5种取法；第二步，取0或5个蓝球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有(1＋c )5种取法．所以共有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5种取法．故选A.
排列组合与二项式定理一、排列组合组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数，5，3，41.（2016年四川高考）用数字1，2 ) 为( 72 D））60 （（B）48 （C（A）24 ，其他、5【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3【答案】D44A72A?3 D. 位置共有，故选，所以其中奇数的个数为4440000组成没有重复数字的五位数，其中比，4，5年四川高考）用数字0，1，2，32.（2015 ）大的偶数共有（个D）72（120个（C）96个（A）144个（B）3A2?个；若万位上4、5.若万位上排4，则有【答案】B【解析】据题意，万位上只能排 4 333120?24?A?3?A?53?A2?B. ，则有个.个.所以共有选排544440同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，年广东高考）某高三毕业班有人，3. （2015 条毕业留言．（用数字作答）那么全班共写了401560人 中任选两人的．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从【答案】21560?40?39A?1560 条毕业留言，故应填入．排列数，所以全班共写了40名女医生组1名女医生，从中选出2名男医生、5)有6名男医生、54．(2014大纲全国，理．)成一个医疗小组，则不同的选法共有( 种．150 D C．75种A．60种B．70种 21CC种5名女医生中选出1解析：答案：C 从6名男医生中选出2名有名有种选法，从566?512种选法，选C. 选法，故共有75?5?C?C?562?15．(2014福建，理10)用a代表红球，b代表蓝球， c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()． 234555 523455 )＋＋＋)(1c)bb＋b＋bc＋b(1B．＋a)(1)(1a(1A．＋a＋＋＋a＋a＋a ＋)(1b523455552345) c＋c＋＋a)(1＋b)＋(1＋ccc(1b＋C．(1a)(1＋b＋＋b＋b＋b＋)(1c ) D．＋＋a＋a＋432aa＋1本题可分三步：第一步，可取0,1,2,3,4,5个红球，有＋解析：答案：A 种取法；第二步，取0或5个蓝球，有1＋b种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有55a种取法．所以共有(1＋a＋a＋a＋a＋a种取法．故选A. 5554253))c＋(1b)(1＋)(1＋c 6．(2014辽宁，理6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()．A．144 B．120 C．72 D．24 答案：D 解析：插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可．故3
排列、组合、二项式定理与概率测试题（理） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1、如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”的外边是由四个色块构成，可以 用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有 ( ) A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种 2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有（ ） A ．96种 B ．180种 C ．240种 D ．280种 3、五种不同的商品在货架上排成一排，其中a 、b 两种必须排在一起，而c 、d 两种不能排在一起，则 不同的选排方法共有（ ） A ．12种 B ．20种 C ．24种 D ．48种 4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种 5、设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a ≡b (mod m )。已知a =1+C 120+C 220·2+C 320·22+…+C 2020· 219，b ≡a (mod 10)，则b 的值可以是（ ） A.2015 B.2011 C.2008 D.2006 6、在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场)，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．积分多的前两名可出线(积分相等则要比净胜球数或进球总数)．赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为（ ） A ．22种 B ．23种 C ．24种 D ．25种 7、令1 ) 1(++n n x a 为的展开式中含1 -n x 项的系数，则数列}1 { n a 的前n 项和为 （ ） A ． 2) 3(+n n B ． 2) 1(+n n C ． 1+n n D ． 1 2+n n 8、若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则0a = （ ） A ．32 B ．1 C ．-1 D ．-32
高中数学重点-排列组合二项定理 学 科：数 学 任课教师： 授课时间： 年 月 日 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个 不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .
体育单招历年真题排列组合二项式定理概率 1、(2011年第10题） 将3名教练员与6名运动员分为3组，每组一名教练员与2名运动员，不同的分法有 （ ） A 90种 B 180种 C 270种 D 360种 2、(2011年第11题）261(2)x x +的展开式中常数项是 。 3、(2012年第5题）已知9()x a +的展开式中常数项是8-，则展开式中3x 的系数是（ ） A. 168 B. 168- C. 336 D. 336- 4、(2012年第8题）从10名教练员中选出主教练1人，分管教练2人，组成教练组，不同的选法有（ ） A.120种 B. 240种 C.360 种 D. 720种 5、(2012年第14题）某选拔测试包含三个不同项目，至少两个科目为优秀才能通过测试.设某学员三个科目优秀的概率分别为544,,,666则该学员通过测试的概率是 。 6、(2013年第8题） 把4个人平均分成2组，不同的分组方法共有（ ） （A ）5种 （B ）4种 （C ）3种 （D ）2种 7、(2013年第14题）有3男2女，随机挑选2人参加活动，其中恰好为1男1女的概率为 . 8、(2014年第5题）从5位男运动员和4位女运动员中任选3人接受记者采访，这3人中男、女运动员都有 的概率是（ ） A. 125 B. 85 C. 43 D. 6 5 9、(2014年第6题） 244)1(x x + 的展开式中，常数项为（ ） A. 1224C B. 1024C C. 824C D. 624C 10、(2014年第12题）一个小型运动会有5个不同的项目要依次比赛，其中项目A 不排在第三，则不同的排 法共有 种。（用数字作答） 11、(2015年第8题）从5名新队员中选出2人，6名老队员中选出1人，组成训练小组，则不同的组成方案 共有（ ） A.165种 B. 120种 C. 75种 D. 60种
排列组合及二项式定理 1、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 （A ）12种 （B ）24种 （C ）30种 （D ）36种 2、正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ） A ．20 B ．15 C ．12 D ．10 3、6(42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是 （A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 4、已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)4 5 (+x 的展开式中3x 的系数相等，则=θcos ． 5、已知26(1)k x +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ． 6、若1223211C 3C 3C 3C 385n n n n n n n ---+++++=，则 n 的值为 ． 7、已知，则= ． 8、对任意的实数，有，则的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．21 9、设是的一个排列，把排在的左边．．且比小．的数的个数称为的顺序数 （）．如：在排列6，4， 5， 3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足 8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( ) A ．48 B ．96 C ．144 D ．192 10、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 A.120个 B.80个 C.40个 D. 20个 11、现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A ．24种 B ．30种 C ．36种 D ．48种 443322104)21(x a x a x a x a a x ++++=+4 321432a a a a -+-x 3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-2a n a a a ,,,21 n ,,2,1 i a i a i a n i ,,2,1 =
排列组合、二项式定理 一、选择题： 1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120 B ．324 C ．720 D ．1280 2．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40 B ．74 C ．84 D ．200 3．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个 B ．15个 C ．12个 D ．9个 4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512 B ．968 C ．1013 D ．1024 5．如果(n x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是 A ．6 8 10C x B ．510 C x C ．46 8C x D ．611C x 6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36 B ．32 C ．24 D ．20 7．若n 是奇数，则11221 7777n n n n n n n C C C ---+++??+被9除的余数是 A ．0 B ．2 C ．7 D ．8 8．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．20个 B ．60个 C ．120个 D ．90个
年高考数学试题知识分类 大全排列组合二项式 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
2007年高考数学试题分类汇编 排列、组合、二项式 1．（全国Ⅰ卷理科第10题）21()n x x -的展开式中，常数项为15，则n = （ D ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．（全国Ⅰ卷文科第5题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ C ） A ．36种 B ．48种 C ．96种 D ．192种 3．（全国Ⅱ卷理科第10题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种 4．（全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ D ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种 5．（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 6．（北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ A ） Ａ．()2142610C A 个 Ｂ．242610A A 个 Ｃ．()2142610C 个 Ｄ．2426 10A 个 7．（重庆理科第4题）若n x x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ） A10
1.用 1，2，3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻 出现，这样的四位数有 ( ) 个 个 个 个 答案 B 2 1 3 2 1 3 2 解析 利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如： 1 ，共可 2 1 3 3 1 2 3 确定 8 个四位数，但其中不符合要求的有 2 个，所以所确定的四位数应有 18 个，故选 B. 2.某学习小组男女生共 8 人，现从男生中选 2 人，女生中选 1 人，分别去做 3 种不同的工作， 共有 90 种不同的选法，则男，女生人数为 () ，6 ，5 ，3 ，2 答案 B 解析 设男生人数为 n ，则女生人数为 8－ n ，由题意可知 2 1 3 2 1 C n 8－ n 3 n 8－ n C A ＝90 ，即 C C ＝15，解 得 n ＝ 3，所以男，女生人数为 3， 5，故选 B. 3.将甲，乙等 5 位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大 学至少保送一人的不同保送方法有 ( ) 种 种 种 种 答案 A 3 2 2 1C C 解析 先将 5 个人分成三组， (3， 1，1)或 (1，2， 2)，分组方法有 C 5 4 2 ＝25(种 )，再将 5 ＋ C 2 三组全排列有 A 33 ＝6(种 )，故总的方法数有 25×6＝ 150(种 ). 4.从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3 个班担任班主任 (每班 1 位班主任 )， 要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 ( ) 种 种 种 种 答案 B 解析 因为要求 3 位班主任中男、 女教师都要有， 所以共有两种情况， 1 男 2 女或 2 男 1 女 .
1.用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( ) 个 个 个 个 答案 B 解析 利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如： 1????? ???? 2??? 1 ????? 2 33????? 123??? 1????? 232? ???? 1 3 ，共可确定8个四位数，但其中不符合要求的有2 个，所以所确定的四位数应有18个，故选B. 2.某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男，女生人数为( ) ，6 ，5 ，3 ，2 答案 B 解析 设男生人数为n ，则女生人数为8－n ，由题意可知C 2n C 1 8－n A 3 3＝90，即C 2n C 1 8－n ＝15，解得 n ＝3，所以男，女生人数为3，5，故选B. 3.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有( ) 种 种 种 种 答案 A 解析 先将5个人分成三组，(3，1，1)或(1，2，2)，分组方法有C 3 5 ＋C 15 C 24C 222 ＝25(种)，再将三组全排列有A 3 3＝6(种)，故总的方法数有25×6＝150(种). 4.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( ) 种 种 种 种
答案 B 解析 因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女.若选出的3位教师是1男2女则共有C 15C 24A 3 3＝180(种)不同的选派方法，若选出的3位教师是2男1女则共有C 25C 14A 3 3＝240(种)不同的选派方法，所以共有180＋240＝420(种)不同的方案，故选B. 5.若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1 x 3的系数是84，则实数a 等于( ) 答案 C 解析 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T k ＋1＝C k 7(2x ) 7－k (a x )k ＝C k 72 7－k a k x 7－2k ，令7－2k ＝－3，得 k ＝5.故展开式中1 x 3的系数是C 5722a 5 ＝84，解得a ＝1. 6.(x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4 等于( ) A.－1 C.(2x －1)4 D.(1－2x )5 答案 B 解析 (x －1)4 －4x (x －1)3 ＋6x 2 (x －1)2 －4x 3 (x －1)＋x 4 ＝((x －1)－x )4 ＝1. 7.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙中两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( ) 种 种 种 种 答案 C 解析 A 4 7－A 45＝720(种). 8.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为( ) 答案 D 解析 若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A 5 5种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2，4两个花池栽同一种颜色的花，或3，5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A 4 5种；若5
专题十一 排列组合、二项式定理 1.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2 x 的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C 【解析】二项式()1n x +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2 x 的系数是2 C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即 2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为 n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理． 【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()n a b +的展开式的通项是 1C k n k k k n a b -+T =． 2.【2015高考新课标1，理10】2 5 ()x x y ++的展开式中，52 x y 的系数为( ) （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C 【解析】在25 ()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故5 2 x y 的系数为2 12 5 3 2C C C =30，故选 C. 【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结 合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 3.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个（B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排 4，则有342A ?个；若万位上排5，则有3 43A ?个.所以共有342A ?343524120A +?=?=个.选B. 【考点定位】排列组合. 【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确 进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类. 4.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A.122 B ．112 C ．102 D ．92 【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项 的二项式系数相等，所以7 3n n C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为 910 222 1=?. 【考点定位】二项式系数，二项式系数和. 【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和： n n n n n n C C C C 2210=+???+++，奇数项的二项式系 数和与偶数项的二项式系数和相等 =???++++420n n n C C C 1 5312-=???++++n n n n C C C
排列组合及二项式定理 1、4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有 （ A）12 种（B）24种（C）30种（D）36种 2、正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的 条数共有（） A． 20B．15C．12D． 10 3、(4x 2 x )6 (x R) 的展开式中的常数项是 （ A）20（B）15（C）15（D）20 5 )4的展开式中x3的系数相等，则4 、已知( x cos1) 5的展开式中x2的系数与 (x 4 cos． 5、已知(1kx2 )6（ k 是正整数）的展开式中，x8的系数小于120，则k． 6、若C1n3C2n32 C3n L 3n 2 C n n13n 185 ，则 n 的值为． 7、已知(12x) 4a0a1 x a2 x2a3 x3a4 x 4，则a12a23a34a4=． 8、对任意的实数x ，有x3a0a1 ( x 2) a2 ( x 2) 2a3 ( x 2) 3，则a2的值是（） A． 3B．6C． 9D． 21 9 、设a , a, , a 是1 , 2 ,, n 的一个排列，把排在a的左边且比a小的数的个数称为a的顺序数 12n i．．i．i （ i 1 , 2 , , n ）．如：在排列6，4， 5， 3，2，1 中， 5 的顺序数为1， 3 的顺序数为0．则在 1 至 8 这八个数字构成的全排列中，同时满足8 的顺序数为2， 7 的顺序数为3，5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为() A． 48B． 96C． 144D．192 10、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任 取 3 个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 个个个 D. 20 个 11、现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着