初等数论中的几个重要定理
基础知识
定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。并定义中和互质的数的个数，
称为欧拉（Euler）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，
中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。
引理：；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。
分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而
也是与互质的个数，且两两余数不一样，故
（），而（）＝1，故。
证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由
于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系
是一一的，从而，。
，，故。证毕。
这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。
定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。
设为质数，若是的倍数，则。若不是的倍数，则
由引理及欧拉定理得，，由此即得。
定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。
定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。
分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。
证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为
则好是的一个剩余系去0。
从而对，使得；
若，，则，，故
对于，有。即对于不同的对应于不同的，即
中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或，
或。
除外，别的数可两两配对，积除以余1。故。
定义：设为整系数多项式（），我们把含有的一组同余式
（）称为同余方组程。特别地，，当均为的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足：
，则剩余类（其中）称为同余方程组的一个解，写作
定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数
，一次同余方程组，必有解，且解可以写为：
这里，，以及满足，
（即为对模的逆）。
中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解，而对于解的形式并不重要。
（拉格郎日定理）设是质数，是非负整数，多项式
定理5：
是一个模为次的整系数多项式（即），则同余方程至多有个解（在模有意义的情况下）。
定理6：若为对模的阶，为某一正整数，满足，则必为的倍数。
以上介绍的只是一些系统的知识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用，有时也会起到
意想不到的作用，如：，。这里我们只介绍几个较为直接的应用这些定理的例子。
典例分析
例1.设，求证：。
证明：因为，故由知，从而，但是
，故由欧拉定理得：，，从而；同理，。
于是，，即。
注明：现考虑整数的幂所成的数列：若有正整数使，则有，其中；
因而关于，数列的项依次同余于这个数列相继的项成一段，各段是完全相同的，因而是周期数列。如下例：
例2．试求不大于100，且使成立的自然数的和。
解：通过逐次计算，可求出关于的最小非负剩余（即为被11除所得的余数）为：
因而通项为的数列的项的最小非负剩余构成周期为5的周期数列：
3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，………
类似地，经过计算可得的数列的项的最小非负剩余构成周期为10的周期数列：
7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，………
于是由上两式可知通项为的数列的项的最小非负剩余，构成周期为10（即上两式周期的最小公倍数）的周期数列：
3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，………
这就表明，当时，当且仅当时，，即；又由于数列的周期性，故当时，满足要求的只有三个，即
从而当时，满足要求的的和为：
.
下面我们着重对Fetmat小定理及其应用来举例：
例3．求证：对于任意整数，是一个整数。
证明：令，则只需证是15的倍数即可。由3，5是素数及Fetmat小定理得，，则
；
而（3，5）=1，故，即是15的倍数。所以是整数。例4．求证：（为任意整数）。
证明：令，则；
所以含有因式
由Fetmat小定理，知13|7|
又13，7，5，3，2两两互素，所以2730=能整除。
例5．设是直角三角形的三边长。如果是整数，求证：可以被30整除。
证明：不妨设是直角三角形的斜边长，则。
若2 ，2 ，2 c，则，又因为
矛盾！
所以2|.
若3 ，3 ，3 c，因为，则
，又，矛盾！从而3|.
若 5 ，5 ，5 c，因为，，所以或0(mod5)与矛盾！
从而5|.
又(2,3,5)=1，所以30|.
下面讲述中国剩余定理的应用
例6．证明：对于任意给定的正整数，均有连续个正整数，其中每一个都有大于1的平方因子。
证明：由于素数有无穷多个，故我们可以取个互不相同的素数，而考虑同余组①
因为显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。于是，连续个数分别被平方数整除。
注：（1）本题的解法体现了中国剩余定理的一个基本功效，它常常能将“找连续个正整数具有某种性质”的问题转化为“找个两两互素的数具有某种性质”，而后者往往是比较容易解决的。
（2）本题若不直接使用素数，也中以采用下面的变异方法：由费尔马数
两两互素，故将①中的转化为后，相应的同余式也有解，同样可以导出证明。
例7．证明：对于任意给定的正整数，均有连续个正整数，其中每一个都不是幂数。
分析：我们来证明，存在连续个正整数，其中每一个数都至少有一个素因子，在这个数的标准分解中仅出现一次，从而这个数不是幂数。
证明：取个互不相同的素数，考虑同余组
因为显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。
对于因为，故，但由①式可知，即
在的标准分解中恰好出现一次，故都不是幂数。
例8．设是给定的偶数，且是偶数。
证明：存在整数使得，且。
证明：我们先证明，当为素数幂时结论成立。实际上，能够证明，存在使
且：
若，则条件表明为偶数，此时可取；
若，则与中有一对满足要求。
一般情形下，设是的一个标准分解，上面已经证明，对每
个存在整数使得且，而由中国剩余定理，
同余式①有解，
同余式②有解。
现不难验证解符合问题中的要求：因，故，
于是，又由①②知，
故。
注：此题的论证表现了中国剩余定理最为基本的作用：将一个关于任意正整数的问题，化为为素数幂的问题，而后者往往是比较好处理的。
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
一、 ③AE=BE ①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥ AB ②⌒AD = ⌒BD ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） 证明：∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径） 连接OA ，OB ∵⌒AD = ⌒BD ∴∠AOD=∠BOD 在△AOE 和△BOE 中 OA=OB ∠AOE=∠BOE OE=OE ∴△AOE ≌△BOE （SAS ） ∴AE=BE ，∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB 二、 ②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥AB ③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） 证明：连接OA ，OB 在△AOE 和△BOE 中 OA=OB AE=BE OE=OE ∴△AOE ≌△BOE （SSS ） ∴∠AOE=∠BOE ，∠AEO=∠BEO=90° ∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD ∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径） ∵∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB 21 21
三、①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD ④CD⊥AB ③AE=BE ⑤CD过圆心（即CD是直径）证明过程同上 四、 ②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ④CD⊥AB⑤CD过圆心（即CD是直径） 证明：连接OA，OB ∵CD⊥AB ∴∠AEO=∠BEO=90° 在Rt△AOE和Rt△BOE中 OA=OB OE=OE ∴Rt△AOE≌Rt△BOE（HL） ∴∠AOE=∠BOE，AE=∠BE ∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD ∵⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD ∴⌒ CAD= ⌒ CBD = 圆周 ∴CD过圆心（即CD是直径） 五、①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD③AE=BE ④CD⊥AB⑤CD过圆心（即CD是直径）证明过程同上 六、②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ⑤CD过圆心（即CD是直径）④CD⊥AB 2 1
初等数论 初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。 第一部分：整除 初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。整除理论首先涉及整除。现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。 Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件： （ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）； （ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继； （ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b; (ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N. 这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。 其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。如果 （1）当n=1时，P(1)不成立； （2）设n>1,若对所有的自然数m 2 1 垂径定理 一、 圆的对称性 圆是轴对称图形，对称轴是 二、 如图是一个圆形纸片把该纸片沿直径AB 折叠，其中点A 和点是一组对称点 （1）思考∵OC=OD, ∴Δ OCE ≌ΔODE, ∠OEC= ∠OED= ∴AB 与CD 的位置关系是 （2）又∵点C 和点D 是一组对称点 ∴CE= 即点E 是CD 的中点 （3）根据折叠可得，弧AC=弧AD, 弧BC=弧BD, 结论：垂径定理及其推论 1、垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两段弧 2、推论：平分弦（不是直径）的直径 并且 弦所对的两条弧 三、规律总结;垂径定理及其推论与“知二得三” 对于一个圆和一条直线，若具备： （1） 过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个 条件中的任何两个条件都可以退出其他三个结论 四、 垂径定理基本图形的四变量、两关系 四变量：弦长a,圆心到弦的距离d,半径r ，弓形高h ，这四个量知道任意两个可求其他两个。 五、垂径定理及其推论的应用 （一）、选择题： 1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1CM 和5CM 两部分，则这条弦的弦心距是： A 、 B 、1 C 、2 D 、25 2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为： A 、3 B 、3 C 、3 D 、2 3、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A B C ． D ．4、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ． 375 D ．377 6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米 7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30° 初等数论 1. 整除性质 a) 若a|b，a|c，则a|(b±c)。 b) 若a|b，则对任意c，a|bc。 c) 对任意非零整数a，±1|a，±a|a。 d) 若a|b，b|a，则|a|=|b|。 e) 如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。 f) 如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反 过来也成立。 g) 如果a∣b且b∣c，则a∣c。 h) 如果c∣a且c∣b，则c∣ua+vb，其中u，v是整数。 i) 对任意整数a，b，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r 通海路中学九年级数学教案课题：圆周角及其推论（1） 教学目标1、掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算； 2、培养观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力； 3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性 教学重点：圆周角定理及其推论的应用. 教学难点：熟练应用圆周角定理及其推论以及辅助线的添加. 个性设计一、自主学习 1、学习内容:教材p49--52页. 2、自学时间:5--10分钟. 3、自学检测:自学中遇到的问题做标记,完成教材p52页练习. 二、合作交流 1、知识点一：圆周角的定义 定义：顶点在______,并且两边都和圆______的角叫圆周角. 2、知识点二：圆周角定理 圆周角定理: 几何语言: 练习： 1.如图，已知A,B,C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，则∠ACB=_______. 2.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠ABO的值是_______. 3.如图，A,B,C是半径为6的⊙O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC=_______. 3、知识点三：圆周角定理的推论（1） 在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角____,相等的圆周角所对的弧也____练习： 4.如图，A、B、C三点在⊙O上,且△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于（） A、30° B、60° C、90° D、45° 5.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B=____． 6.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD,若∠BAC=25°,则∠ADC=______. 初等数论中的几个重要定理(竞赛必备) 初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的， 且对于任意的，若＝1，则有且仅 有一个是对模的剩余，即。并定义 中和互质的数的个数，称为欧 拉（Euler）函数。 这是数论中的非常重要的一个函数，显然， 而对于，就是1,2，…，中与互素的 数的个数，比如说是素数，则有。 引理：；可用容斥定理来证（证明略）。 定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1， 则。 分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与 互质的的个数：，由于＝1，从而 也是与互质的个数，且两两余数 不一样，故 （），而（）＝1，故。 证明：取模的一个既约剩余系 ，考虑，由于与互质， 故仍与互质，且有 ，于 是对每个都能找到唯一的一个，使 得，这种对应关系是一一的，从而 ，。 ，，故。证毕。 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。 设为质数，若是的倍数，则。 若不是的倍数，则由引理及欧拉定理得 ，，由此即得。 定理推论：设为质数，是与互质的任 一整数，则。 定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。 分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。 证明：对于，在中，必然有 一个数除以余1，这是因为则好是的 一个剩余系去0。 从而对，使得 ； 若，，则， ，故对于，有 。 即对于不同的对应于不同的，即中数可 两两配对，其积除以余1，然后有，使 ，即与它自己配对，这时， ，或，或。 除外，别的数可两两配对，积除以 余1。故。 定义：设为整系数多项式（），我们把 含有的一组同余式（）称为同 余方组程。特别地，，当均为的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足： ，则剩余类（其中 ）称为同余方程组的一个解，写作 定理4：（中国剩余定理）设是两两 互素的正整数，那么对于任意整数，一次 一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙Ｏ中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。 以下分五种情况证明 【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时： 图1 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D 解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和） ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时： 图2 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D，连接OB、OC。解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和） ∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： 图3 ∵OA、OC是半径 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠OCA（） ∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。） 【证明】情况4：圆心角等于180°： 圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC= 2 1∠BOC（BC弧） ∠OCB=∠OBC= 2 1 ∠AOC（AC弧） ∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ＡOC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB 【证明】情况5：圆心角大于180°： 图5 圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E， ∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°） ∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB ∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB 二、圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。其他推论? ①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半?。 E 第五节 初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义（欧拉(Euler)函数）一组数s x x x ,,,21 称为是模m 的既约剩余系，如果对任意的s j ≤≤1，1),(=m x j 且对于任意的Z a ∈，若),(m a ＝1，则有且仅有一个j x 是a 对模m 的剩余，即)(mod m x a j ≡。并定义},,2,1{)(m s m ==?中和m 互质的数的个数，)(m ?称为欧拉（Euler ）函数。 这是数论中的非常重要的一个函数，显然1)1(=?，而对于1>m ，)(m ?就是1,2，…，1-m 中与m 互素的数的个数，比如说p 是素数，则有1)(-=p p ?。 引理：∏? =为质数）－（P |P 11)(m P m m ?；可用容斥定理来证（证明略）。 定理1：（欧拉（Euler ）定理）设),(m a ＝1，则)(mod 1)(m a m ≡?。 证明：取模m 的一个既约剩余系))((,,,,21m s b b b s ?= ，考虑s ab ab ab ,,,21 ，由于a 与m 互质，故)1(s j ab j ≤≤仍与m 互质，且有i ab )1(s j i ab j ≤<≤?，于是对每个 s j ≤≤1都能找到唯一的一个s j ≤≤)(1σ， 使得)(mod )(m b ab j j σ≡，这种对应关系σ是一一的，从而)(mod )(mod )(11)(1m b m b ab s j j s j j s j j ∏∏∏===≡≡σ，∴))(mod ()(11m b b a s j j s j j s ∏∏==≡。 1),(1=∏=s j j b m ，)(mod 1m a s ≡∴，故)(mod 1)(m a m ≡?。证毕。 分析与解答：要证)(mod 1)(m a m ≡?，我们得设法找出)(m ?个n 相乘，由)(m ?个数我们想到m ,,2,1 中与m 互质的)(m ?的个数：)(21,,,m a a a ? ，由于),(m a ＝1，从而)(21,,,m aa aa aa ? 也是与m 互质的)(m ?个数，且两两余数不一样，故)(21m a a a ???? ≡)(21,,,m aa aa aa ? ≡)(m a ?)(21m a a a ???? （m mod ），而 （)(21m a a a ???? m ）＝1，故)(mod 1)(m a m ≡?。 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模 的剩余，即。并定义中和互质的数的个数， 称为欧拉（Euler）函数。 这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。 引理：；可用容斥定理来证（证明略）。 定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。 分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而 也是与互质的个数，且两两余数不一样，故 （），而（）＝1，故。 证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系 是一一的，从而，。 ，，故。证毕。 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。 设为质数，若是的倍数，则。若不是的倍数，则 由引理及欧拉定理得，，由此即得。 定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。 定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。 分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。 证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为则好是的一个剩余系去0。 从而对，使得； 若，，则，，故对于，有。即对于不同的对应于不同的，即中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或，或。 除外，别的数可两两配对，积除以余1。故。 定义：设为整系数多项式（），我们把含有的一组同余式 （）称为同余方组程。特别地，，当均为的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足： ，则剩余类（其中）称为同余方程组的一个解，写作 定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数，一次同余方程组，必有解，且解可以写为： 这里，，以及满足，（即为对模的逆）。 中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解，而对于解的形式并不重要。 定理5：（拉格郎日定理）设是质数，是非负整数，多项式 是一个模为次的整系数多项式（即），则同余方程至多有个解（在模有意义的情况下）。 定理6：若为对模的阶，为某一正整数，满足，则必为的倍数。 以上介绍的只是一些系统的知识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用，有时也会起到 垂径定理及其推论 一、 复习旧知 复习前面学习的圆的基本元素，重点复习圆心角、弧、弦之间的关系；强调圆是旋转对称图形、轴对称图形和中心对称图形。 二、 情境导入（出示赵州桥图片） 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？现在同学们不会求，但是学了这节课你们就能把主桥拱的半径求出来了。 三、 出示学习目标 1、 利用圆的轴对称性探究垂径定理 2、 理清垂径定理及其推论的题设和结论。 3、 运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。 4、 学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法 四、 自学探究 1、如图,在纸上画⊙O ，AB 是⊙O 的一条弦, 作直径CD ⊥AB, 垂足为E.沿CD 折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧? 你能发现什么结论? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD 2、得出猜想 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 D 即如果CD⊥AB，那么AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD 3、请根据猜想写出命题的已知、求证，并写出证明过程 4、得出结论经过证明，以上命题是真命题。即垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧是成立的，我们把这个真命题叫做垂径定理 四、检测 1、（出示图形）检查下列图形是否具备应用垂径定理的条件？ 五、例题讲解 已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙半径 技巧总结：从例题看出圆的半径OA，弦心距OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决问题。 六、练习 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。 七、思考 将垂径定理的题设和结论调换，命题还成立吗？ 1、如果圆的一条直径平分弦（不是直径），那么它垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧 写出此命题的已知求证，并进行证明。 2、经验证，命题是正确的，由此得出垂径定理的推论1：平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 1 / 6 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证 明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键 2 / 6 1．重点： 圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点： 运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键： 探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评： （1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知 问题： 如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的 3 / 6 A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠ EAF、∠ EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示 垂径定理一知识讲解(提高) 【学习目标】 1. 理解圆的对称性； 2 .掌握垂径定理及其推论； 3 ?学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题. 【要点梳理】知识点一、垂径定理 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧? 2. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 要点诠释： (1) 垂径定理是由两个条件推岀两个结论，即 直径1 J平分弦 垂直于弦j n j平分弦所对的弧 (2) 这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： (1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 (4)圆的两条平行弦所夹的弧相等? 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论?(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分 的弦不能是直径) 【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明 的半径是______________________ O=如图，。O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为 E，且AB=CD ,已知CE=1，ED=3 ,则Θ O 【答案】 【解析】 【点评】 举一反三: .5. 作OM 丄AB 于M 、ON 丄CD 于N ,连结 OA , T AB=CD , CE=1 , ED=3, ??? OM=EN=I , AM=2 , ? OA= . 22+12=,5. Y B 对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算 题? （配合勾股定理）问 【变式1】如图所示，Θ O 两弦AB CD 垂直相交于 H AH= 4, BH= 6, 【答案】如图所示，过点 MO=HN O 分别作OML AB 于M ONL CD 于 N,则四边形 1 =CN -CH CD -CH 2 1 1 (CH DH ) -CH (3 8) -3 = 2.5 , 2 2 1 1 1 BM AB (BH AH ) (4 6) =5 , 2 2 2 在 Rt △ BOM 中 OB =? BM 2 OM 2 = 55 . 2 【高清ID 号： 356965 关联的位置名称(播放点名称) 【变式2】如图，AB 为Θ O 的弦，M 是AB 上一点， C :例2-例3】 OM= 10Cm 求Θ O 的半径. 圆的垂径定理及其推论知识点与练习 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。若直径AB ⊥弦CD 于点E ，则CE=DE ，⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 若CE=DE ，AB 是直径，则⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 若AB ⊥CD ，CE=DE ，则CD 是直径，⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 若⌒ AC =⌒ AD ，AB 是直径，则AB ⊥CD ，CE=DE ，⌒ BC =⌒ BD ④圆的两条平行弦所夹的弧相等。 若CD ∥FG ，CD 、FG 为弦，则⌒ FC =⌒ GD 特别提示：①垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 ②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”． （3）垂径定理及推论的应用： 它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。 ①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”； ②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题； 例：如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31， 圆的半径为2cm ，求AB 的长。 解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C ，由 题意得，∵⌒ AB = 3 1×360o=120o ∴∠AOB=120o，∴∠AOC=60o,在Rt △AOC 中，∵∠AOC=60o，OA=2，∴OC = 21OA=1，∴AB=2AC=222OC AO =23 故AB 的长为23 练习 一、选择题 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ） A 、CM=DM B 、∠ACB=∠ADB C 、AD=2B D D 、∠BCD=∠BDC G A A 课题：圆周角及推论 【学习目标】 1．学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论． 2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理． 3．会用圆周角定理及推论进行证明和计算． 【学习重点】 圆周角的定理及应用． 【学习难点】 运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理． 情景导入 生成问题 旧知回顾： (1)圆心角指顶点在圆心的角． (2)如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦： ①如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； ②如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； ③如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵． 自学互研 生成能力 知识模块一 圆周角的定义 【自主探究】 阅读教材P 85探究上面内容，重点理解圆周角定义，回答下列问题： 1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角． 2．如图，下列图形中是圆周角的是( C ) 3．如图，AD ︵所对的圆心角是∠AOD ，所对的圆周角有∠B 和∠C ． 结论：一条弧对着一个圆心角，对着无数个圆周角． 知识模块二 圆周角定理 【自主探究】 认真看P 85“探究”～P 86推论上面内容，根据课本回答下列问题： 1．圆周角定理的证明共分了哪几种情况？ 图1 图2 图3 答：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部． 2．如图1，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ．理由如下： ? ????OA ＝OC ?∠A ＝∠ACO ∠BOC ＝∠A ＋∠ACO ?∠A ＝12∠BOC 3.如图2，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 4．如图3，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 范例：如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10cm ，∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ，求AC 、BC 的长． 解：∵∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ， ∴∠ADC ＝12 ∠ADE ＝30°. ∴∠ABC ＝∠ADC ＝30°. 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴AC ＝12 AB ＝5cm ， BC ＝AB 2－AC 2＝102－52＝53(cm )． 交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 理解圆周角的概念，能够在图形中正确识别圆周角 知识模块二 掌握圆周角定理，并会运用定理进行简单的计算与证明 当堂检测 达成目标 【当堂检测】 垂径定理及其推论练习题 1．下面四个命题中正确的一个是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（）． A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧3、⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长 的取值范围是（）（A）5 OM 3≤ ≤（B）5 OM 4≤ ≤ （C）5 OM 3< <（D）5 OM 4< < 4、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8m，OC=5m， 则DC的长为（）A、3cm B、2.5cm C、2cm D、1cm 5过⊙O内一点P的最长弦为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长为 . 6、如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为__________ . 7、如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是_________ cm． 8、如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O 作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为_____________ ． 9、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为____________． 10、如图所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离5cm，则弦AB的长为______________ ． 11、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。 12、在弓形ABC中，弦AB=24，弓形高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。 13、在半径为5cm的⊙O中，有一点P满足OP＝3 cm，则过P的整数弦有条。 14、如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE＝2，EB＝6，ED＝3，则⊙O的半径为。 15．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B的坐标是 16．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm 17．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那? E O D C B A 25.2圆的对称性 -----垂径定理及其推论 一、教学目标： 知识目标：1．理解圆的轴对称性和垂径定理及其推论； 2．使学生掌握垂径定理，并能应用垂径定理及其推论进行有关计算和证明。 技能目标：通过“垂径定理及其推论”的教学，培养学生的抽象概括能力；识图、绘图能力；运算以及推理论证能力；发散思维 能力。 情感目标：创造生动、愉悦的课堂气氛，勾通师生间情感，渗透特殊与一般的辩证思想，努力培养学生积极参与课堂教学的意识。 二、重难点：重点：“垂径定理”及其推论 难点：垂径定理及其推论的证明。 三、教学过程： （一）、复习与提问： ⒈叙述：前面学习了圆，你会画圆吗？什么叫圆？（请同学从圆的描 述性、集合性定义叙述） ⒉教师问：连结圆上任意两点的线段叫圆的弦，圆上两点间的部分叫 做弧，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，弦和它所对的 弧组成的图形叫做弓形。 3.课本P15页有关“赵州桥”问题。 （二）、动手实践，发现新知 ⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手 试一试，有方法的同学请举手。 ⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠 时，两个半圆 完全重合。 ②刚才的实验说明圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的每一条直线。 （三）、创设情境，探索垂径定理及其推论 ⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系 ⒉若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下， 还有与刚才相类似的结论吗？ ⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。 ⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知，求证。 然后让学生阅读课本P87证明，并回答下列问题： ①书中证明利用了圆的什么性质？ ②若只证AE=BE ，还有什么方法？ ⒌垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言： D E 初等数论学习总结 本课程只介绍初等数论的的基本内容。由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系， 因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此，许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。 最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。 数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。 初等数论自学安排 第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时 整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法 整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理 [x]和{x}的性质及其在数论中的应用 习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。 第二章：不定方程（4学时）自学12学时 二元一次不定方程c by ax =+ 多元一次不定方程c x a x a x a n n =++ 2211 勾股数 费尔马大定理。 习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。 第三章：同余（4学时）自学12学时 同余的定义、性质 剩余类和完全剩余系 欧拉函数、简化剩余系 欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用 习题要求43p ：2，6；46p ：1；49p ：2，3；53p 1，2。 第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时 同余方程概念 孙子定理 高次同余方程的解数和解法 素数模的同余方程 威尔逊定理。 习题要求60p ：1；64p ：1，2；69p ：1，2。 第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时 二次同余式 单素数的平方剩余与平方非剩余 勒让德符号 二次互反律 雅可比符号、 素数模同余方程的解法 习题要求78p ：2； 81p ：1，2，3；85p ：1，2；89p ：2；93p ：1。 第一章：原根与指标（2学时）自学8学时 指数的定义及基本性质 原根存在的条件 指标及n 次乘余 模2 及合数模指标组、 圆部分知识点总结 垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （ 2 ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （ 3 ）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论 2 ：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90 °的圆周角所对的弦是直径。 推论 3 ：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d垂径定理
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