[全]中考数学与圆的切线相关的证明与计算

中考数学与圆的切线相关的证明与计算

圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

一、圆的切线的判定及相关计算

1.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O，与BC 交于点D，点E 是弧BD 的中点，

连接AE 交BC 于点F，∠ACB＝2∠BAE .

求证：AC 是⊙O 的切线．

例题1图

【分析】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE 可得到∠BAD ＝∠BCA，

再结合直径所对圆周角为直角即可得证．

证明：如解图，连接AD.

例题1解图

∵点E 是弧BD 的中点，

∴弧BE ＝弧DE，

∴∠1＝∠2 .

∵∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，

∴∠ACB＝∠BAD.

∵ AB为⊙O 直径，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

∴∠DAC＋∠C＝90°.

∵∠C＝∠BAD，

∴∠DAC＋∠BAD＝90°.

∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.

又∵ AB 是⊙O 的直径，

∴ AC 是⊙O 的切线．

证明切线的常用方法：

1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”．

(1) 图中有90°角时，证垂直的方法如下：

① 利用等角代换：

通过互余的两个角之间的等量代换得证；

② 利用平行线性质证明垂直：

如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；

③ 利用三角形全等或相似：

通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证．

(2)图中无90°角时：

利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线，

再根据“ 三线合一” 的性质得证．

2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”．

2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，且弧AD＝弧CD ,

过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线相交于点E，并与AB 的延长线相交于点F .

(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；

(2) 若⊙O 的半径R＝5，AC＝8，求DF 的长．

例题2图

【解析】

(1) 证明：如解图，连接DO 并延长，与AC 相交于点P.

例题2解图

∵弧AD = 弧CD，

∴ DP⊥AC.

∴∠DPC＝90°.

∵ DE⊥BC，

∴∠CED＝90°.

∵∠C＝90°.

∴∠ODF＝90°，而点D 在⊙O 上，

∴ DF 是⊙O 的切线；

(2) 解：

例题2解图∵∠C＝90°，R＝5，

∴ AB＝2R＝10.

在Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，BC＝6 . ∵∠DPC＋∠C＝180°，

∴ PD∥CE.

∴∠CBA＝∠DOF.

∵∠C＝∠ODF，

∴△ABC ∽△FOD.

∴ CA / DF = BC / OD , 即8 / DF = 6 / 5 ,

∴ DF = 20 / 3 .

类型二、切线性质的相关证明与计算

3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线DE，与AC 的延长线交于点D，作AE⊥AC 交DE 于点 E .

(1) 求证：∠BAD＝∠E；

(2) 若⊙O 的半径为5，AC＝8，求BE 的长．

例题3图

【解析】

(1) 证明：

∵⊙O 与DE 相切于点B，AB 为⊙O 的直径，

∴∠ABE＝90°.

∴∠BAE＋∠E＝90°.

又∵∠DAE＝90°，

∴∠BAD＋∠BAE＝90°.

∴∠BAD＝∠E；

(2) 解：如解图，连接BC.

例题3解图

∵ AB 为⊙O 的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵ AC＝8，AB＝2 × 5＝10 .

∴在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得BC = 6 .

又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，

∴△ABC ∽△EAB .

∴ AC / EB = BC / AB , 即8 / EB = 6 / 10 ,

∴ BE＝40 / 3 .

4.如图，⊙O 的半径OA＝6，过点A 作⊙O 的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，

与⊙O交于点B、D，过点 B 作BC∥OA，并与⊙O 交于点C，连接AC、CD.

(1) 求证：DC∥AP；

(2) 求AC 的长．

例题4图

【解析】

(1) 证明：

∵ AP 是⊙O 的切线，

∴∠OAP＝90°.

∵ BD 是⊙O 的直径，

∴∠BCD＝90°.

∵ OA∥CB，

∴∠AOP＝∠DBC，

∴∠BDC＝∠APO.

∴ DC∥AP；

(2) 解：

∵ AO∥BC，OD＝OB，

例题4解图

∴如解图，延长AO 交DC 于点E，则AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝1/2 CD. 在Rt△AOP 中，根据勾股定理可得：OP＝10.

由(1) 知，△AOP∽△CBD，

∴ BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即12/10 = BC/6 = DC/8 ,

∴ BC = 36/5 , DC = 48/5 .

∴ OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA + DE = 6 + 18/5 = 48/5 ,

在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .

5.如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线．

作BM＝AB，并与AP 交于点M，延长MB 交AC 于点E，交⊙O 于点D，连接AD.

(1) 求证：AB＝BE；

(2) 若⊙O 的半径R＝5，AB＝6，求AD 的长．

例题5图

【解析】

(1) 证明：

∵ AP 是⊙O 的切线，

∴∠EAM＝90°，

∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°.

又∵ AB＝BM，

∴∠MAB＝∠AMB，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴ AB＝BE；

(2) 解：如解图，连接BC.

例题5解图

∵ AC 是⊙O 的直径，

∴∠ABC＝∠EAM＝90°，

在Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根据勾股定理可得：BC = 8 . 由(1) 知，∠BAE＝∠AEB，

∴△ABC∽△EAM，

∴∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即10/2 = 8/AM , ∴ AM = 48/5 .

又∵∠D＝∠C，

∴∠D＝∠AMD.

∴ AD＝AM＝48/5 .