附：板书设计
勾股定理考点及答案 1701 勾股定理 一．选择题（共4 小题） 〖案例分析〗如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°．ED 是BC 的垂直平分线，BD 平分∠ABC，AD＝〖课后巩固〗则CD 的长为（） A．6 B．5 C．4 D．3 〖课堂练习〗如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D，若AC＝2，BC＝，则CD 为（） A．B．2 C．D．3 〖课后巩固〗如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AE 为△ABC 的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD 的长（） A．2 B．3 C．4 D．5 〖考前再练〗在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，则AC 的长是（）A．3 B．4 C．3 或D．
一．解答题（共 4 小题） 1702 勾股定理的证明 〖案例分析〗如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形 IECF 中，IE ＝EC ＝CF ＝FI ＝ x （1） 小明发明了求正方形边长的方法： 由题意可得 BD ＝BE ＝a ﹣x ，AD ＝AF ＝b ﹣x 因为 AB ＝BD +AD ，所以 a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得 x ＝ （2） 小亮也发现了另一种求正方形边长的方法： 利用 S △ABC ＝S △AIB +S △AIC +S △BIC 可以得到 x 与 a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程： （3） 请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理． 〖课堂练习〗阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积＝小正方形的面积+4 个直角三角形的面积 从而得数学等式： ；（用含字母 a 、b 、c 的式子表示） 化简证得勾股定理：a 2+b 2＝c 2 【初步运用】 （1） 如图 1，若 b ＝2a ，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
3.1 勾股定理 教学目标： 1．知识目标： （1）能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单问题； （2）学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，发展合情合理的推理能力，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。 2．能力目标 在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳”的数学思想，并体会数形结合的 数学思想方法，培养学生的观察能力、抽象概况能力、创造想象能力的能力。 3．情感目标： （1）通过实践、猜想、画图等操作使学生深刻感受数学知识的发生发展过程； （2）通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学、爱数学、做数学的情感。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。 教学重点：掌用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理的内容及其简单应用。 教学难点：体验勾股定理的探索过程。 教学方法：选择引导探索法。采用“问题情境——建立模型——解释——应用”的模式进行教学。 教学准备：多媒体课件，若干张方格纸。 教学过程 一、创设情境导入新课 1955年希腊发行了一枚纪念邮票，邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的。请观察这 枚邮票上的图案和图案中各正方形内小方格的个数，你有什么发现？ 二、师生互动探索新知 活动1：观察图形，计算正方形P 、Q 、R 的面积. 如图，小方格的面积看做1，以AC 为一边的正方形的面积是____，以BC 为一边的正方形的面 积是____，以AB 为一边的正方形的面积是_____。 这三个正方形的面积之间有着什么关系？ A C B 活动2：在方格纸上,任意画一个顶点都在格点上的直角三角形；并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形,仿照上面的方法计算以直角边、斜边为一边的正方形的面积。你又有什么发现？ 活动3：通过上面三个小正方形面积的探究，你对直角三角形三边之间的数量关系有什么猜想？ P Q R
勾股定理（1） 知识与技能：掌握勾股定理和他的简单的应用，理解定理的一般探究方法。 过程与方法：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数与形结合的数学思 想。 情感态度与价值观：在数学活动中发现探索意识和合作交流的良好学习习惯。 教学重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边的长。 教学难点：拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角形另一边的长。 教具准备：方格纸、4个全等的三角形，小黑板等。 教与学互动设计： 一、创设情境导入新课 引导学生观察课本第64页的地面图形，说说你发现了什么？ 提问：①图中有些什么形状？ ②三个正方形之间有什么关系？ ③通过②的结论你能有什么猜想？说说看。 二、实验操作探求新知 1.数格子 （1）要求学生在准备好的方格纸中作一个任意的等腰直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 （2）要求学生在方格纸中作一个任意的直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 （3）要求学生在方格纸中作一个任意的非直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 讨论、得出结论：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.证明猜想。 要求用四个全等到的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形，推理得出 a2+b2=c2
10c 20cm 3.得出结论 定理：经过证明被确认的命题叫做定理。 勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 三、应用迁移 例1.求下图中的字母A ，B 所代表的正方形的面积。 例2.一个文具盒的尺如 图，一根长30cm 的细 木棒能否放进这个文具 盒，为什么？ 练习：填空 （1）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，a=5,b=12,则c = (2) 在Rt ?ABC 中，∠B=90°，a=3,b=4, 则c = (3) 在等腰Rt ?ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AC ：BC ：AB= （4）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC ：AC ：AB= 探究2.
18.1.2 勾股定理的应用（2） 课 型：新 授 主 备：张永辉 审 核：八年级数学备课组 时 间:13年4月 班 级： 姓 名： 【学教目标】 1、利用勾股定理，能在数轴上表示无理数的点 2、利用数形结合的思想进行相关作图。 【学习重点】在数轴上表示无理数的点和勾股定理的应用。 【学习难点】勾股定理的灵活运用。 一、学前准备： 1、勾股定理的内容 2、13＝9＋4，即()213＝()29＋﹝ ﹞2；若以 和 为直角三角形的两直角边长，则斜边长为13。同理以 和 （均填正整数）为直角三角形的两直角边长，则斜边长为17。 二、师生探究： 探究一：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？ 分析：(1)如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示13的点。 (2)由勾股定理知，长为2的线段是两条直角边都为______的直角三角形的斜边。长为13的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？ 由勾股定理，可以发现，长为13的线段是直角边为正整数_____、 ______的直角三角形的斜边。 作法：在数轴上找到点A ，使OA=_____，作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使AB=_____，以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 即为表示13的点。 2.在数轴上画出表示17的点？（尺规作图） 探究二：1.如图：螺旋状图形是由若干个直角三角形所 组成的，其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。 那么OA 1＝ ,OA 2＝ ,OA 3＝ ,OA 4＝ , OA 5＝ ,OA 6＝ ,OA 7＝ ,…,OA 14＝ , …,OA n ＝ . 思考：利用课本上的方法能找出表示6和280的点吗？ 我的回答是： ， 原因是 。 三、当堂练习 1.在数轴上找出表示10和280的点. 2．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好． 3．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 4．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？ 四、拓展提高 1．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米， 又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离． 2．如下图，要在河边修建一个水泵，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村 A 、李庄B 到河边的距离分别为2千米和7千米，且张、李二村相距13千米。 （1）、水站应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出 水泵的位置； （2）、如果铺设水管的工程费用为每千米1500米，为使铺设水管费用 最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少？ 学教反思 5 ● ● ● ● ● ● O 1 2 3 4 5 ● ● ● ● ● ● O 1 2 3 4 A D E B C
勾股定理与平方根复习（2）教学重点与难点：运用本章知识解决问题
16、三角形三边满足，则这个三角形是（ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 17、的平方根是（ ） A B 36 C ±6 D 18、下列命题正确的个数有：（3）无限小数都是无理数 （4）有限小数都是有理数（5）实数分为正实数和负实数两类（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 19、是的平方根，是64的立方根，则（ ） A 3 B 7 C 3，7 D 1，7 20、直角三角形边长度为5，12，则斜边上的高（ ） A 6 B 8 C D 21、直角三角形边长为，斜边上高为，则下列各式总能成立的是（ ） A B C D 22、如图一直角三角形纸片，两直角边 ，现将直角边AC 沿 直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD c b a ,,ab c b a 2)(2 2+=+2 )6(-6-6± a a a a ==2 33 )2(,)1(x 2 )9(-y = +y x 13 1813 60b a ,h 2 h ab =2 222h b a =+h b a 111=+2 221 11h b a =+cm BC cm AC 8,6==A E B D C 第22题图
等于（ ） A B C D 三、计算题 23、求下列各式中的值 24、已知，求的平方根和算术平方根． 作图题 25、在数轴上画出的点。 26、下图的正方形网格，每个正方形顶点叫格点，请在图中画 一个面积为10的正方形． 五、解答题 27、如图：一块草坪的形状为四边形ABCD ，其中∠B=90°,AB=3m,BC=4m,CD=12m, 求这块草坪的面积. 28、如图所示，在边长为的正方形中，有四个斜边为，直角边为的全等 直角三角形，你能利用这个图说明勾股定理吗？写出理由． 29、如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为）堆在一起，要给它 盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果保留一位小数） cm 2cm 3cm 4cm 5x 04916)1(2=-x 25)1)(2(2=-x 27)3()4(3=--x 549)52(2-=-549-8-c c b a ,cm 60D A C B -3 -2 -1 0 1 2 4 3 - 4 第25题图 第26题图 第28题图 第29题图
第十七章 勾股定理 教学目标： 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理 教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。 教学过程： 一、出示目标 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 二、知识结构图 三、知识点回顾 1.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 （4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形： 22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理． 2.如何判定一个三角形是直角三角形 （1） 先确定最大边（如c ） （2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系 （3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若 2c ≠22b a +， 则△ABC 不是直角三角形。 3、三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若2 22c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2 <+c b a 22，则三 角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边 4、勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 四、典型例题分析 例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少? 分析： 这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______，因此要分两种情况讨论． 例2： 如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?
第十七章 勾股定理单元测试 （题数： 20 道 测试时间： 45 分钟 总分： 100 分） 班级： _______ 姓名： ________ 得分： ________ 、单选题（每小题 3分，共 24 分） 1．在△ ABC 中， AB= 2 ，BC= 5，AC= 3，则（ ） A. ∠ A=90 B. ∠ B=90 C. ∠ C=90 D. ∠ A=∠B 5．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 13cm ，则图中所有的正方形的面积之和为（ ） A. 169 cm 2 B. 196 cm 2 C. 338cm 2 D. 507 cm 2 6．如图，一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点，那么它所爬行的 最短路线的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 7 ．在直角三角形中，有两边分别为 3 和 4 ，则第三边是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 5 或 7 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以 该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S 2， ? ，按照此规律继续 下去，则 S 9 的值为（ ） 2．如图，在 Rt △ABC 中，∠ B ＝ 90°， BC ＝15， AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．已知 VABC 中， A 1 B 1 C ，则它的三条边之比为（ 23 A. 1:1: 2 C. 1: 2: 3 D. 1:4:1
第17章 勾股定理 教学目标 1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边. 2.勾股定理的应用. 3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 教学过程 一.复习回顾 在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下： 1.勾股定理： (1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理． (2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据． 22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=． 2.勾股定理逆定理 “若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三
边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立. 3.勾股定理的作用： (1）已知直角三角形的两边，求第三边； (2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点． 勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想． (3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是 直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角 形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边． 二.课堂展示 例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少? 例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ． 三.随堂练习 1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A ．7，24，25 B ．321，421，521 C ．3，4，5 D ．4，721，82 1 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍
17.1 勾股定理（3） 一、教学目标 知识与技能 1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点． 2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，?并能用勾股定理解决简单的实际问题． 过程与方法 1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，?发展学生灵活勾股定理解决问题的能力． 2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，?发展学生的动手操作能力和创新精神． 3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，?并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识． 情感、态度与价值观 1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，?体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，?形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯． 二、教学重、难点 重点：……这样的表示无理数的点． 难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段． 三、教学准备 多媒体课件 四、教学方法 分组讨论，讲练结合 五、教学过程 (一)复习回顾，引入新课 复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。
思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 先画出图形，再写出已知、求证. 探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在 设计意图： 上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们 ……这样的无理 ……可以当直角三 用． 师生行为： 学生小组交流讨论 ……这样的包含在直角三角形中的线段． 此活动，教师应重点关注： ②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志； ③学生能否积极主动地交流合作． 师：所以只需画出长 1的直角三角形的斜边． 生：设两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．若
第3课时 18.2 勾股定理的逆定理（1） 学习目标1、掌握勾股定理的逆定理，能应用勾股定理逆定理判定某个三角形是直角三角形。 2、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 重点难点重点：掌握勾股定理的逆定理，能应用勾股定理逆定理判定某个三角形是直角三角形。 难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 新知导学（一）复习巩固： 1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，三边长为a，b，c (1)两锐角关系∠____+∠____=90o (2)三边之间的关系(勾股定理)：_ ___2+__ __2=__ _2 2、求出下列直角三角形的未知边。 AC=______ BC=______ BC=_______ （二）探究新知： 1、已知：在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2+b2=c2。 求证：∠C=90o。 分析：①思考：证明一个角是90o有何方法？ ____________________________ ②按要求画出图形作△A/B/C/，使B/C/=a，A/C/=b，∠C/=90o 。 ③在Rt△A/B/C/中，A/B/=_____________。 ④A/B/____AB，（填“=”或“≠”）作图： ⑤△_____≌△_____ （） ⑥∠C____∠C/（填“=”或“≠”） 证明： 2、小结：如果三角形的三边长a，b，c满足， 那么这个三角形是三角形。 3、定理的应用： 例：判断下列线段a、b、c组成的三角形是否为直角三角形？若是，指出哪一条边所对的角是直角。 （1）a=15，b=20，c=25 解：∵2 2b a = = 2c= = ∴a2+b2 ____ c2（填“=”或“≠”） ∴线段a=15，b=20，c=25 构成直角三角形（“能”或“不能”） A B C
第十七章《勾股定理》教材分析及教学建议 本章主要内容是勾股定理及其逆定理。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。 本章教学时间约需8课时，具体安排如下： 18．1 勾股定理 4 课时 18．2 勾股定理的逆定理 3课时 数学活动 小结 1课时一、教科书内容和课程学习目标 本章知识结构框图： 直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。
勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。 在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。 勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。在教科书中，图－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图－3（3）中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。 由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。 在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。 勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。从
§ 17. 1勾股定理 一、教学目标 1?了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2 .培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3 ?介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1?重点：勾股定理的内容及证明。 2?难点：勾股定理的证明。 三、过程 探究活动一： 画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC ,用刻度尺量出AB的长。你发现了什么？ 你是否发现32+42与52的关系？ 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？探究活动二： 探究等腰直角三角形的情况 观察下图并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积） 思考：（1）你发现了三个正方形I、u、川的面积之间有什么关系吗? （2）你发现了等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?
正方形I 的面积 （单位面积） 正方形U 的面积 （单位面积） 正方形川的面积 （单位面积） 较大的图 较小的图 证一证 命题1的证明方法有多种 方法一：我国古人赵爽的证法，利用“赵爽弦图”证明 .（图一） 大正方形的面积可以表示为 __________________ 还可以表示为 __________________ 结论： ______________________ 方法二： 大正方形的面积可以表示为 _______________ 还可以表示为 __________________ 结论： ______________________ 探究活动三： 由上面你得到的结论，我们自然联想到：一般的直角三角形是否也具有该性 质呢？观察下图并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你发现了一般直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 由上面的例子，我们猜想： 命题1 : 如果直角三角形的两直角边长分别为 a ，b ，斜边长为C ，那么 a 2+b 2=c 2
八年级下册数学第十七章勾股定理集体备课（教案） 17．1 勾股定理（一） 一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、教学重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ， 那么 。 四、合作探究： 方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 A B
17.1勾股定理 第1课时勾股定理 【学习目标】 1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想． 2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题； 3．了解利用拼图验证勾股定理的方法． 【学习重点】 探索和验证勾股定理． 【学习难点】 在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理． 情景导入生成问题 旧知回顾： 如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧，你能说说其中的奥秘吗？ 自学互研生成能力
知识模块一发现勾股定理 【自主探究】 阅读教材P22，完成下面的内容： 图17.1－2 思考：图17.1－2中三个正方形的面积有什么关系？ 等腰直角三角形的三边之间有什么关系？ 解：可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积．即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和．【合作探究】 阅读教材P23探究，完成下面的内容： 思考：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？ 归纳：命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 知识模块二证明勾股定理 【自主探究】 阅读教材P23～24，完成下面的内容： 理清证明命题1的基本思路：用面积法，拼图证明它们的面积相等，从而得到a2＋b2＝c2. 【合作探究】 如图：
解：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ， 即b 2＝12c 2＋12 (b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2， ∴a 2＋b 2＝c 2； 知识模块三 勾股定理的简单应用 【自主探究】 如图所示，△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15.求BC 边上的高AD 的长． 解：设BD ＝x ，则DC ＝14－x ， 由勾股定理得AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即132－x 2＝152－(14－x )2，解得x ＝5， ∴AD ＝132－52＝12. 【合作探究】 如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD ′，AD ′与BC 交于E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE .
第十七章勾股定理教案 课题：17.1勾股定理（1） 课型：新授课 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股 定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 【学习重点】：勾股定理的内容及证明。 【学习难点】：勾股定理的证明。 【学习过程】 一、课前预习 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2 ）若D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、（1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用 刻度尺量出AB 的长。 （2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长 问题：你是否发现2 3+2 4与25，2 5+2 12和213的关系，即2 3+2 4 25，2 5+2 12 2 13， 二、自主学习 思考： （图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ （3）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？ （4）你能发现课本图1－3中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？ （5）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。 A B
第3课时勾股定理作图与计算 知识点 1 勾股定理与实数 1.小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后,又进一步进行练习:如图,首先画出数轴,设原点为点O,在数轴上距原点2个单位长度的位置确定一点A,然后过点A作AB⊥OA,且AB=3.以点O为圆心,OB长为半径作弧,与数轴右侧的交点记为点P,则点P表示的实数在() A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 2.如图所示,在正方形ODBC中,OC=2,OA=OB,则数轴上点A表示的数是. 知识点 2 勾股定理与网格 3.如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,每个小正方形的边长均为1,则网格上的△ABC的三边中,长度为无理数的边有() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 4.如图,网格中每个小正方形的边长都为1,则△ABC的周长为() A.16 B.12+4√2 C.7+7√2 D.5+11√2 5.如图,在6×6的正方形网格(每个小正方形的边长均为1 cm)中,网格线的交点称为格点,△ABC的顶点都在格点
处,则AC边上的高为cm. 6.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,任意连接这些小正方形的顶点,可得到一些线段.请在图中画出线段AB=√2,CD=√5,EF=√13. 知识点 3 勾股定理与图形折叠 7.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC上,将△ABC沿AE折叠,使点B落在AC边上的点B'处,则BE的长为. 8.如图,折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求CE的长. 9.为了比较√5+1与√10的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,点D在BC上,且BD=AC=1,通过计算可得√5+1√10.(填“>”“<”或“=”)
勾股定理 教学目标 (1)知识目标：①知道勾股定理是怎样验证出来的． ②了解勾股定理的历史背景． (2)能力目标：①经历探索勾股定理的过程，发展合情推理能力，培养学生主动探索的学习热情． ②理解并掌握勾股定理，用它解决简单的问题． (3)情感目标：①发展学生的个性，培养他们学习的养成教育，善于独立思考，敢于克服困难和创新精神． ②培养学生的民族自豪感，激励学生的爱国热情． 教学重点掌握勾股定理，并能利用它解决有关数学问题． 教学难点利用勾股定理解决实际问题 教学过程 （一）知识点回顾 （二）基础知识 例1．小明家要建房子，已知房屋的俯视图为一个三角形，如图所示，经测量∠A＝90°，AB＝24米，AC ＝7米，为了进行成本预算，需要计算三角形的周长，如果不利用测量的方法，同学们能求出BC边的长吗？ 例2．五年后，小明家经济富裕起来了，决定以旧屋的三边为长分别规划三个正方形地块，用作车库、花园、新屋的建设用地，如图所示，请问三块建设用地的总面积是多少？ 例3．小明周末到小张家玩，发现两家的房屋设计相同，如图所示，小张告诉小明，住房、花园、车库都是正方形形状，其中住房面积为225平方米，花园面积为144平方米，车库面积为81平方米，请问：你能判断△ABC的形状吗？ 例4．小张的爸爸在一旁听着两个小孩的讨论，不禁插上一句:如果不知道车库、花园、住房的面积，只知道△ABC三边a、b、c满足条件，你们能判断△ABC的形状吗？
（三）综合应用 例5．有一天，小明的爸爸告诉小明，我们家打算把旧屋拆掉，做重新的设计，需要了解墙角A处到围墙BC处的最短距离AD．你有什么好的方法来解决吗？ 思考：如图所示，在△ABC中，已知AB＝10，AC＝17，BC＝21，求BC边上的高AD． 知识延伸：在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，求BC的长． （四）走进生活 例6．据气象台预报，台风“桑美”即将登陆小明家所在的城市，经测得台风中心在小明家的正西方向40千米处，现正以30千米/小时的速度向东北方向移动，距台风中心30千米的范围内将受到影响，问小明家是否受到台风影响？如果会受影响，那么受影响的时间有多长？ （五）课堂练习 例7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，将△ABC沿直线AD折叠，使点C恰好落在AB边上的C'处，求CD的长． 【课堂小结】本节课以小明家的房屋设计为线索，利用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题．
勾股定理复习小结 一、 二. 1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 （1） 先确定最大边（如c ） （2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系 （3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 二、 练习题 1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ） A. 第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10 2．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6, b=8, c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．310 C.25 D ．5 12 5．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2
17.1勾股定理（1） 一、教学目标： 1．体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。 2．在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力。 3．通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。 二、教学重点、难点： 重点：探索和验证勾股定理过程； 难点：通过面积计算探索勾股定理。 三、教学方法及教学手段： 采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。 四、教学过程： 1．创设情境，导入课题 多媒体演示勾股树图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题。 2．自主探索，合作交流 活动一：动脑想一想 小明用一边长为cm 1的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？①这个问题你是怎样想的？请说出你的想法。②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为cm 1），你能知道斜边的长吗？ ③观察图形，并填空： ⑴正方形P 的面积为 2 cm ， 正方形Q 的面积为 2cm ， 正方形R 的面积为 2 cm 。 ⑵你能发现图中正方形P 、Q 、R 的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？ 活动二：动手做一做 其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？ （你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向） （图中每一小方格表示2 1cm ）