高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三第一次模拟试题高三数学理科

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三第一次模拟试题高三数学(理科)

考

生

须

知

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟。

2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。 第I 卷 选择题（共40分）

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接

涂在答题卡上。

1.已知集合{}{}

2

,0,250,,,M a N x x x x M

N a ==-<∈≠?Z 如果则等于（）

（A ）1 （B ）2 （C ）12或

（D ）

2

5 2.如果(1,)a k =，(,4),b k =那么“∥b ”是“2k =-”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

3.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==，则ABC ∠=( ) （A ）70?

（B ）60? （C ）45? （D ）30?

4.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3)-.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 （ ） （A ）(2,)3π

-

（B ）4(2,

)3

π

（C ）(1,)3

π

-

（D ）4(2,)3

π-

5.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 （ ）

（A ）5 （B ）6 （C ）7是

（D ）8 否

6.已知函数?????≥-+<--=0

,120

,12)(22x x x x x x x f ，则对任意R ∈21,x x ，若120x x <<，下列不等式成立的是( )

（A ）12()()0f x f x +< （B ）12()()0f x f x +> （C ）12()()0f x f x -> （D ）12()()0f x f x -<

7.直线3y kx =+与圆()()4212

2

=++-y x 相交于N M ,两点，若23MN ≥k 的取值范围是( )

（A ）12(,)5

-∞- （B ）12(,]5

-∞-

（C ）12(,

)5

-∞ （D ）12(,

]5

-∞

8.如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则OC OB ?的最大 值是（ ） （A ）2 （B ）12+（C ）π （D ）4

第II 卷 非选择题(共110分）

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在答题卡上的指定位置。 9.i 是虚数单位，则1i

i

=+__.

10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.

11．已知函数()()?ω+=x x f sin （ω>0, π?<<0）的图象如图所示，则ω=__，?=__.

12.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有种.

13.设)(x f 是定义在R 上不为零的函数，对任意R y x ∈,，都有)()()(y x f y f x f +=?，若

))((,2

1

1*N ∈==

n n f a a n ，则数列}{n a 的前n 项和的取值范围是. 14.F 是抛物线2

2y px

=()0>p 的焦点，过焦点F

且倾斜角为θ的直线交抛物线于,A B 两点，设

,AF a BF b ==，则：①若 60=θ且b a >，则b

a

的值为______；②=+b a ______（用p 和θ表示）.

三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）

已知ABC ?的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ，c ，

tan tan 33tan A B A B +=,,2=a

19c =

（Ⅰ）求tan()A B +的值； （Ⅱ）求ABC ?的面积.

16.（本小题共13分）

今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：

高一年级 高二年级 高三年级 10人

6人

4人

（I ）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率； （II ）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.

17.（本小题共14分）

在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC AB ===2 ,BC AB ⊥.点N M ,分别是1CC ,C B 1的中点，G 是棱

AB 上的动点.

（I ）求证：⊥C B 1平面BNG ；

(II)若CG //平面M AB 1，试确定G 点的位置，并给出证明； (III)求二面角1M AB B --的余弦值.

18．（本小题共13分）

已知函数mx x x f -+=)1ln()(．

（I ）当1m =时，求函数)(x f 的单调递减区间； （II ）求函数)(x f 的极值；

（III ）若函数()f x 在区间2

0,1e ??-??上恰有两个零点，求m 的取值范围．

19.（本小题共14分）

已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1A -，离心率为3

6

． （I ）求椭圆G 的方程；

（II ）设直线m kx y +=与椭圆相交于不同的两点,M N ．当AN AM =时，求m 的取值范围．

20．（本小题共13分）

在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数

4133+

=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25

-为首项，1-为公差的等差数列{}n x ． （I ）求点n P 的坐标；

（II ）设抛物线列 ,,,,,321n c c c c ,中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，

且过点)1,0(2

+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：n n k k k k k k 13221111-+++ ； （III ）设{}{}

*

*N N ∈==∈==n y y y T n x x x S n n ,4|,,2|，等差数列{}n a 的任一项n a S

T ∈，其中

1a 是S T 中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式．

北京市房山区高三第一次模拟试题参考答案

高三数学(理科)

一、选择题（每题5分，共40分）

二、填空题（每题5分，共30分） 9．

i 2121+; 10.32; 11.58,910π; 12. 120；13.??

????1,21; 14.①3 ；②θ

2

sin 2p AB =或()θθ22tan 1tan 2+p 三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。共80分） 15．（本小题共13分）

解：（I

）解

tan tan tan A B A B +=

tan tan )A B =-

tan tan tan()1tan tan A B

A B A B

+∴+=

-=分

（II ）由（I ）知 60A B +=?，120C ∴=?……………………7分

C ab b a c cos 2222-+=

∴??

?

??-

??-+=21224192

b b ∴3=b ……………………10分 ∴2

3

3221sin 21???==

?C ab S ABC 2

3

3=

……………………13分 16．（本小题共13分）

解：（I ）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A ，则

()3815

3

20

210110==C C C A P 答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为

38

15

. ………………………4分 （II ）解法1：ξ的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为3

1.所以 ………………………6分

()8116323104

004=??? ????? ??==C P ξ; ()8132323113

114

=??? ????? ??==C P ξ; ()2788124323122

2

24

==??? ????? ??==C P ξ;()818323131

3

34=??

? ????? ??==C P ξ;

()811323140

44

4

=??

?

????? ??==C P ξ. ………………………11分

随机变量ξ的分布列为：

ξ 0 1 2 3 4

P

8116 8132 27

8 81

8 81

1 ………………………12分 所以3

481148183812428132181160=?+?+?+?+?=ξE ……………………13分

解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为

3

1

. …………………5分 则随机变量ξ服从参数为4，31的二项分布，即ξ～)3

1

,4(B .……………7分

随机变量ξ的分布列为：

ξ 0 1 2 3 4

P

8116

8132 27

8 81

8 81

1 所以3

34=?

==np E ξ…………………13分

17．（本小题共14分）

(I)证明：∵在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC BC =，点N 是C B 1的中点，

∴C B BN 1⊥…………………………1分

BC AB ⊥,1BB AB ⊥,B BC BB = 1

∴AB ⊥平面11BCC B ………………………2分

?C B 1平面11BCC B

∴AB C B ⊥1，即GB C B ⊥1…………………3分 又B BG BN =

∴⊥C B 1平面BNG …………………………………4分

（II ）当G 是棱AB 的中点时，CG //平面M AB 1.……………………………5分 证明如下:

连结1AB ,取1AB 的中点H ，连接GC HM HG ,,, 则HG 为B AB 1?的中位线 ∴GH ∥1BB ，12

1

BB GH =

…………………6分 ∵由已知条件，11BCC B 为正方形 ∴1CC ∥1BB ，11BB CC = ∵M 为1CC 的中点，

∴12

1

CC CM =

……………………7分 ∴MC ∥GH ，且GH MC = ∴四边形HGCM 为平行四边形 ∴GC ∥HM

又 ∵M AB HM M AB GC 11,平面平面??……………………8分 ∴CG //平面M AB 1……………………9分

(III)∵直三棱柱111ABC A B C -且BC AB ⊥

依题意，如图：以1B 为原点建立空间直角坐标系1B xyz -，……………………10分

∴1(0,0,0)B ,(0,2,0)B ,)0,1,2(M ,(0,2,2)A ,1(2,0,0)C

则1(0,2,2)B A =，)0,1,2(1=M B 设平面1B AM 的法向量(,,)n x y z =，

则1100n B A n B M ?=???=???,即00222x y z y ??+=+=?

，

令1=x ，有)2,2,1(-=n ……………………12分 又

平面1B AB 的法向量为11(2,0,0)BC =，

∴11cos ,BC n <>=

1111B C n B C n

??=

3

1

， ……………………13分 设二面角1M AB B --的平面角为θ，且θ为锐角

∴111

cos cos ,3

B C n θ=-=．……………………14分

18．（本小题共13分）

解：（I ）依题意，函数()f x 的定义域为()+∞-,1， 当1m =时，()ln(1)f x x x =+-，

∴1

()11f x x

'=

-+……………………2分 由()0f x '<得1101x -<+，即01x

x

-<+

解得0x >或1x <-， 又1x >-，0x ∴>

∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞．……………………4分

（II ）m x

x f -+=

'11

)(，)1(->x （1）0≤m 时，0)(≥'x f 恒成立

)(x f 在),1(∞+-上单调递增，无极值. ……………………6分

（2）0>m 时，由于111

->-m

所以)(x f 在??? ??--11,

1m 上单调递增，在??

?

???∞+-,11m 上单调递减， 从而1ln )11

(

)(--=-=m m m

f x f 极大值．……………………9分 （III ）由（II ）问显然可知，

当0≤m 时，()f x 在区间2

0,1e ??-??上为增函数，

∴在区间20,1e ??-??不可能恰有两个零点．……………………10分

当0>m 时，由（II ）问知()=f x 极大值1

(

1)f m

-， 又(0)0f =，0∴为()f x 的一个零点．……………………11分

∴若()f x 在2

0,1e ??-??恰有两个零点，只需22

(1)01011

f e e m ?-≤??<-<-?? 即22

2(1)0

11m e m e ?--≤?

?<

?2

211m e ∴≤<-……………………13分 （注明：如有其它解法，酌情给分）

19．（本小题共14分）

解：（I ）依题意可设椭圆方程为 12

22=+y a x ，则离心率为==a

c e 36

故3222=a

c ，而12=b ，解得32

=a ， ……………………4分

故所求椭圆的方程为13

22

=+y x .……………………5分 （II ）设()()()P P M M N N P x y M x y N x y ，、，、，，P 为弦MN 的中点，

由?????=++=13

2

2y x m

kx y 得 0)1(36)13(2

22=-+++m mkx x k ， 直线与椭圆相交，

()()()2

226431310mk k m ∴?=-+?->?1322+

2

3231M N P x x mk x k +∴=

=-+，从而231

P P m

y kx m k =+=+， （1）当0≠k 时

2131

3P AP P y m k k x mk

+++∴==-

(0=m 不满足题目条件) ∵,AM AN AP MN =∴⊥，则

k

mk k m 1

3132-=++-，即 1322+=k m ，②…………………………9分

把②代入①得 2

2m m <，解得 20<

由②得03122

>-=m k ，解得21>m ．故22

1<

（2）当0=k 时

∵直线m y =是平行于x 轴的一条直线， ∴11<<-m …………………………13分

综上，求得m 的取值范围是21<<-m ．…………………………14分

20．（本小题共13分）

解：（I ）23

)1()1(25--=-?-+-

=n n x n …………………………2分 13535

33,(,3)4424

n n n y x n P n n ∴=?+=--∴----…………………………3分

（II ）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：

,45

12)232(2+-++=n n x a y …………………………5分

把)1,0(2

+n D n 代入上式，得1=a ，

n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y .…………………………7分 322++='n x y

当0=x 时，32+=n k n

)3

21121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k n n

n n k k k k k k 13221111-+++∴

)]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =6

41101)32151(21+-

=+-n n …………………………9分 （III ）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，

}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y ,S T T ∴=T 中最大数171-=a .…………………………10分 设}{n a 公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得 ).(247,24),

(12,129

248

**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<-

又

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

4. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A

B =

（A ）{1}（B ）{1

2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是

（A ）(31)

-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，

（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8

（4）圆

22

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-

（B ）3

4-

（C ）3（D ）2

（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π

（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π

12个单位长度，则评议后图象的对称轴为

（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π

12 (k ∈Z)

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，

若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3

5，则sin 2α=

（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–7

25

（10）从区间[]

0,1随机抽取2n 个数

1x ,

2

x ，…，

n

x ，

1

y ，

2

y ，…，

n

y ，构成n 个数对()11,x y ，

()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有

m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率

π的近似值为

（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n

（11）已知F1，F2是双曲线E 22

221x y a b

-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，

sin 211

3

MF F ∠=

,则E 的离心率为

（A

B ）

3

2

（C

D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x

+=与()

y f x =图像的交点为

1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则1

()m

i i i x y =+=∑

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=

45，cos C=5

13

，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.

（3）如果α∥β，m ?α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如

[][]0.9=0lg99=1，.

（I ）求111101b b b ，，；

（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.

18.（本题满分12分）

某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数

1 2 3 4 ≥5 保费

0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数

1 2 3 4 ≥5

概率

0.30 0.15 0.20 0.20 0.10

0. 05

（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=5

4，

EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=

（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆E:22

13

x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.

（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.

（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x

x 2f (x)x 2

-=

+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2

x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲

如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.

(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；

(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.

（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。 （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集. （I ）求M ；

（II ）证明：当a,b ∈M 时，∣a+b ∣＜∣1+ab ∣。