第八章
量子力学中的近似方法
第八章 目 录
§8.2 变分法 2
(1) 定理 3
(2) Ritz 变分法 (3)
§8.3 量子跃迁 (5)
(1) 含时间的间的微扰论 ............................ 6 (2) 跃迁几率 8
(3) 微扰引起的跃迁 (11)
(4) 磁共振 16
§8.4 散射 22
(1) 一般描述 ................................ 22 (2) 玻恩近似；Rutherford 散射 ................ 25 (3) 有心势中的分波法和相移 ................... 28 (4) 全同粒子的散射 .. (33)
§8.2 变分法
定态微扰论有效，是必须找到10H ?H ?H ?+=，0
H ?有解析解，且逼近H ?。但这并不是容易做到的。另一种求法是用变分法求定态解。
(1) 定理
体系的哈密顿量在某一试探波函数的平均值必大于等于体系基态能量
证： ψ
ψψψH ?H =
设： 20,??是H
?的本征态，本征值为 210E E E ≤≤
k
k k E H ???= 显然，k ?形成－正交完备组，于是
k k
k a ?ψ∑=
k k
*k k
'k k '
kk *'k a a H ?a a H ∑∑=
??0k
2
k
k
2
k 0k
2
k
k
k
2
k E a a E a E a =≥
?=
∑∑∑∑
当0?ψ=时，等号成立。
因此，当我们用一试探波函数去找能量平均值时，一般总比基态能量大，再通过求变分，以得尽可能小的平均值及相应波函数。当然，这平均值仍大于等于基态能量，即由变分给出的平均值是基态能量的上限。
（2）Ritz 变分法
现可利用变分原理到具体问题上，以求体系的近似本征能量和本征函数。
基本思想：根据物理上的考虑给出含一组参量的试探波函),,,r (21 ααψ，求出能量平均值，以 ,,21αα表示
ψ
ψψψααH ?),,(H 21=
对 ,,21αα，求极值，从而确定),,(0201 αα 显然，00201E ),,(H ≥ αα（基态能量）
当然，如果要求第m 条能级的近似本征值和本征函数，则要求知道第一条（基态） (1)
-条能级的波函数，1m 21,,-??? （设已归一化）。取试探波函数m ψ'，然后处
理一下，给出新的波函数
m 22m 11m 21m ),,(ψ??ψ??ψααψ'-'-'=
m 1m 1m ψ??'---
再求
m
m m m H ?ψψψψ的极值，定出 ,,21αα，从而给出第m 条能级的近似本征值（即
上限）及近似波函数
m i 1
m i
i m i i
i 21m ')
,,(ψ??ψ??ααψ'-=∑∑-
m i m
i i ψ??'=∑=
∴ ∑∑==''==
m
i 2
m i m
i 2m
i i m
m E H ?H ψ?ψ?ψ
ψψψ∑∑==''≥
m
i 2
m
i m i 2
m i m E ψ?ψ?m E =
∴ 是第m 条能级的上限。
例：氦原子基态能量(即外有两个电子)
我们知道，氦原子的哈密顿量为（忽略s l ? ）
2
122212222212r r e r e z r e z 22H ?-'+
'-'-?-+?-=μμ 0
2
2
4e e πε=
' 从物理上考虑，当二个电子在原子中运动，它们互相屏蔽，使每个电子感受到原子核的作用不是两个单位的正电荷，而是比它小。究竟是多少？很自然可把它当作待定参量，利用Ritz 变分法来求基态能量的近似值。
用类氢离子的基态波函数
a zr 2
130
3a
r 3
e
)
a z (
e
a
1-
-
=ππ 2
2
e z a '
=μ 若类氢离子的波函数),r (n λ?，则),r (n λ?满足
),r (n
a 2e ),r ()r e 2(n 202
2n 222λ?λλ?λμ'-='-?-
∴ 取试探波函数为
21a )
r r (30
3e a )(+-=
λπλλψ
显然，)(a 2e )()r e 2(02
2i 22i 2λψλλψλμ'-='-?- 220e
a μ =
于是
212
12
2212222212*
r d r d )()r r e r e z r e z 22()()(H λψμμλψλ-'+'-'-?-?-=?
（这里)(λψ是已归一化的）
212
2
22212212*
r d r d )()r e 2r e 2()(λψλμλμλψ'-?-'-?-=?
212
12
2212*
r d r d )(r r e )r e (z )r e (z [)(λψλλλλλλλψ-'+'--+'--+?
2
022022a 8e 5)]a 2e (2[z 2a 2e 2'+
'--+'-=λλλλλ )85z 22(a e 2202λ
λλλ+-+-'=
)]16
5
z (2[(a e 202--'=λλ
∴ 0)]16
5z (22[(a e H 02=--'=??λλ
?
16
5
z -
=λ ∴ 0
2
20a e )165z ()165z (H E '--=-==λ
eV 46.77-= )eV 86.78(-实验值为
§8.3 量子跃迁
前二节，我们解决的是H ?与t 无关，但不能直接求解，而利用02
V m
2P H ?+=有解析解，并且0
1V V H ?-=较小，通过微扰法求解)r (E )r ()p ?,r (H ?ψψ=的近似结果。
有时也能用试探波函数，通过变分来获得。
现在要处理的问题是：体系原处于0
H ?的本征态（或叠加），而有一与t 有关的微扰)t (H ?1
附加到该体系。 显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使1H ?在一段时间中不变），在0H ?的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。而且无法获得解析结果。有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于0
H ?的本征态的几率又不随时间变化。当然，这与作用前的几率已有所不同。也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。这就需要利用含时间的微扰论。
总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。 (1) 含时间的间的微扰论
H ?与t 有关，体系原处于)P ?,r (H ?0
，随t 加一微动)t (V ψψH ?t
i =??
)t (V H ?)t (H ?0
+= 因0
H ?不显含t ，而有 )r (E )r (H ?n
0n n 0??= 则 ψψ0H ?
t
i =?? 的通解为
∑-=ψn
t iE n n 0
n e a )t ,r (? 0H 的定态
∑=n
n )t ,r (a ψ t iE n n e )r ()t ,r (?ψ=
而 n a 是常数
))0,r (),r (())t ,r (),t ,r ((a n n n ψ=ψ=?ψ 不随t 变 当nk n a δ=时，即0t =，处于)r (k ?时
)t ,r (e )r ()t ,r (k t iE k k ψ?==ψ-
即微扰不存在时，体系处于定态)t ,r (k ψ上。
当微扰存在时，特别是与t 有关时，则体系处于0
H ?的各本征态（或定态） 的几率将可能随时间发生变化。
设： V H ?H ?0
+= ψ=?ψ?H ?
t
i
当然，ψ仍可按0
H ?的定态n ψ展开，但由于n ψ不是H ?的定态，所以展开系数是与t 有关。
∑=ψ'
n 'n 'n )t ,r ()t (a )t (ψ
∑-='
n t iE 'n 'n 0
'n e )r ()t (a ?
代人S.eq.，并与)t ,r (n ψ标积，得 )t (a e V )t (a E )t (a E )t (a dt d i 'n '
n t )E E (i 'nn n
0n n 0n n 0'n 0n ∑-+=+ 得方程
)t (a e V )t (a dt d
i 'n 'n t )E E (i 'nn n 0'n 0n ∑-=
)t (a e V 'n '
n t i 'nn 'nn ∑=ω )E E (0
'n 0n 'nn -=ω
?=r d )r ()t ,r (V )r (V 'n *n 'nn ?? （n ?为0H ?的本征态）
)t (a n 是t 时刻，以H ?描述的体系，处于0
H ?的本征态n ?中的几率振幅。实际上，上式是S.eq.在0
H ?表象中的矩阵表示，这方程的解依赖初态和V 。 假设V 很小，可看作一微扰，则可通过逐级近似求解。
令 +++=)
2(n )1(n )0(n n a a a a
则有 0)t (a dt d i )
0(n =
)t (a e V )t (a dt d i )0('n 'n t i 'nn )1(n 'nn ∑=ω )t (a e V )t (a dt d i )1('n '
n t i 'nn )2(n 'nn ∑=ω 于是有解 n )
0(n A )t (a = 与t 无关
由初条件0t t
=时，体系处于
00k t iE k 0k e
)r ()t ,r (-=?ψ，即得
nk n A δ=
即 nk )
0(k n )t (a δ=
于是有 t i nk k 'n '
n t i 'nn )
1(n nk 'nn e V e V a dt d i ωωδ==∑
∴ ?=t t
1t i 1nk )
1(k n
1nk dt e )t (V i 1)t (a ω
又由 )t (a e V )t (a dt d i )1(k 'n '
n t i 'nn )2(k n 'nn ∑=ω
1k 1n 12021nn 110
t i 1k n t
t t i 2nn 1n t t 22)
2(k n
e )t (V e )t (V dt dt )i 1()t (a ωω?∑?=
由此类推
??∑?--=20m 01
m 210t
t 1t t 1m m m m t t m m )
m (k n
dt dt dt )i 1()t (a 1
m 2m n 1m n 2m 1m m
1m nn 1m t i 1m n n t i m nn e
)t (V e )t (V --------??ωω
1
k 1n 1t i 1k n e
)t (V ω
而 ∑==0
i )
i (k n k n )t (a )t (a
(2) 跃迁几率
若nk V 很小，即跃迁几率很少，我们只要取一级近似即可，则
1t
i 1t t nk )1(k n dt e )t (V i 1)t (a 1nk 0ω?=
这表明，体系在0t 时刻处于0H ?态)t ,r (0k ψ，在t 时刻，体系可处于0
H ?的定态)t ,r (n ψ，而其几率振幅为)t (a )
1(k n （k n ≠）
。 因此，我们在t 时刻，测量发现体系处于这一态的几率为
21t i 1
t t nk 22)
1(k n n k dt e )t (V 1)t (a P 1nk 0ω?==→
例：一线性谐振子，被时间相关的位势所扰动
x )t (P )t ,x (V =
而 2)t (0e P
)t (P τπ
-=
-∞→t （即-∞=0t ），体系处于基态。
① 求+∞→t ，振子处于第n 个激发态的几率？
2
)1(0n n 0)t
(a P +∞==
→ 2
1t in )t (02dt e
0x n P 11
21?∞
+∞
-+-=
ωπ
2
4
n
02
2
22
e 0x n P 1τωπτπ
-=
2
n 222
20222e 0
x n P τωτ-=
② 当τ很大 0P n 0→→
我们看到，微扰是渐渐加上，体系经微扰后仍处于基态（没有简并），称Adiabatic
Approximation （当有简并时，并不如此，而是连续地过渡到)(H τ时的本征态上）。
③ 当τ很小，即微扰在很短时间加上，即在非常快的过程（微
扰施加），则体系状保持不变，这称为Sudden approximation 。
因τ很小。
00
x n P P 2
22
20n 0≈=
→τ
∴ 末态≈初态。
0t t < 0H 0t t > 'H 0 i ? i Φ 当突然加一外场00H H '→，波函数不变
??
?
??>Φ
<=ψ∑j 0j j 0
i
t t b t t ?
∴ 在'H 0的能级s Φ几率为
2
2
s i
s b =?Φ
④ 求∞→t 体系处于第10个激发态的几率。 由于 1n 21
10x n δα=
ω
αm =
∴ 一级微扰为0，一级跃迁几率为0
以此类推，仅当)
10(010
a 时才不为0
（最低级近似为第十级近似 2
1
n 1
m x 1m +=
+α） 即最低要到第十级近似下才不为0
??∑?=20100a
210t t 1t t 9n n n t t 1010)
10(010
dt dt dt )i 1(a 100t i 10n t i 9n n t i 10n 10P r
)t (V r )t (V r
)t (V 1
01n 19
8n 9n 8910
9n 109∝ωωω
∴ 20
0100P P ∝→
例2：处于基态（-∞→t ）的氢原子，受位势t
0e E x e )t (V γ-??=（0>γ）（为实
参数）扰动
① 求+∞→t 时，处于nlm 态的几率
2
t )E E (i t 0
2nlm 1n e
e
100x nlm eE 1P ?∞
+∞
---=
γ
dt e dt e
100
x nlm E e 0t )i (0t
)i (22
20
21n 1n ??∞
--∞-++=
ωγωγ
2
1
n 1n 2
2
20
2i 1
i 1100
x nlm E e ωγωγ-+
+?=
()
2
21
n 2
2
2
2
20
24100
x nlm E e ωγ
γ+=
② 求 max )nlm (P
321n 2
3
221n 2)
(16)(80P ωγγωγγγ+-+==?? ∴ 21n 2ωγ=
2
21
n 22
02max )
nlm (100x nlm 1
e P ωε =
③ 选择定则：由 )Y Y (3
2r
x 1111-=-π
∴ 211112
00Y Y lm 3210
r nl 100x nlm -?
=-π
2
1m 1l 1.m 1l 2413210r nl δδδδπ
π-?=-
∴ 对r 选择定则为： 1l ±=?
0,1m ±=?
2
221n 22
220211n 10r 1n )
(32e P ωγγε+=±
当→γ很大（即微扰时间很短），0P 11n ≈±，所以氢原子受扰动后仍处于基态（Sudden
近似）
当→γ很小（微扰缓慢加上），0P 11n ≈±，所以氢原子扰动仍处于基态（非简并态）
（3）微扰引起的跃迁
A. 常微扰下的跃迁率：在某些实验中，微扰常常是不依赖于t 的（在作用时间内）
?=
t 01t
i nk )
1(k n dt e V i 1)t (a 1nk ω
r d )r ()r (V )r (V k *n nk ???=
（即从0t =开始加上一个与t 无关的外作用)r (V ）
nk
t i nk nk e 1V 1ωω-= （0)0(a )
1(k n =，k n ≠）
∴ 0t =时，体系处于0
H ?本征态k ，而在t 时刻，体系处于0
H ?本征态n 的几率为
2nk nk 22
nk n k t
cos 1V 2P ωω-?
=
→ （当
1V nk
nk
<<ω时，一级近似就满足了） 2nk
nk
2
2
2
nk t
2sin V 4ωω?
= (跃迁几率) 而我们知 )(t
t
2sin 2lim
22
t ωδπωω=→∞
即T 很大时，
)(T 2T
2sin nk 2nk
nk
2
ωδπωω≈ 由此可见，0k 0n E E ≈时，n k P →最大，而0
k 0n E E ≠时，n k P →小
（T
m 2nk π
ω=
时，n k P →为0， ,2,1m =） 0nk =ω时，最大
这表明，当T 大时，0T nk >>ω，保持0T =时的0k E 变化不大的跃迁几率较大。而
这范围很小（ T
2π
≈
） 总跃迁几率为
n 0n f n k dE )E (P P ρ?→=
n 0n f
2nk
nk 2nk
2
dE )E (t
cos 1V 2ρωω-=
?
( )E (0n f ρ是末态能量为0n E 的态密度，要注意的是0H ?的能级密度，而不是H ?的。)
而单位时间跃迁几率（称为跃迁速率或跃迁率） nk 0n f nk
nk 2nk d )E (t
sin V 2dt dP w ωρωω?∞+∞-==
我们也知 )(t
sin lim t ωδπω
ω=∞→
所以，当t 足够大，则有
nk nk 0
k f 2nk d )()E (V 2w ωωδρπ?=
)E (V 20k f 2nk ρπ = （0k 0n E E ≈）
它表明：
① 单位时间跃迁几率与时间无关。通常称为Fermi 黄金定则。 ② 当t 一定大后，跃迁贡献是来自同初态能量相同的末态。
应该强调，使公式成立的条件：t 足够大，（εε-,）虽然很小，但主要贡献都包括；但t 不能太大，以保证1wt <<，所以要求2
nk V 要小，使一级近似满足要求。
B ．周期性微扰下的跃迁率 设：微扰随时间作周期性变化
)e e (2
V t cos V V t i t
i 00ωωω-+=
= （0V 与t 无关） 在一级近似下
11nk t 0t i )
1(k n
dt )t (V e
i 1a 1
nk ?=ω
)e 1e 1()2V (1nk t
)(i nk t )(i nk 0nk nk ω
ωωωωωωω--++-=-+
根据前面分析，当t 足够大时，引起体系从0H ?的)r (k ?态发生跃迁的总跃迁率到0
H ?的0n ?态，是0nk ≈±ωω，即ω ±≈0
k 0n E E 。
一般而言，对原子来说，其跃迁的能量单位为eV
∴ 秒/105.1eV 115nk ?==
ω
而可见光 5000≈λ? ∴ 秒/104c
215?≈=
λ
πω 因此 ，当 0nk ≈+ωω， 则 ωω-nk 很大 0nk ≈-ωω， 则 ωω+nk 很大 所以仅一项起作用
当t 足够大时，总跃迁率（从k 态出发）
)E E ()2
V (2w 0k 0n f 2
nk 0ωρπ ±≈=
例：设有均匀的周期性电场作用在一个氢原子上，该氢原子在0t =时处于基态，试用微扰论求氢原子电离的跃迁率。 t cos )r (e V 0ωε?=
解：由于讨论的是电离，即氢原子中电子被电离而具有确定动量的自由电子，为简
单起见，设末态是具有确定动量的平面波。
如末态为平面波：
r k i 2
3e )
2(1?π
∴
)'k k ('k k -=δ
1k k d k =?
由这可见，在k 空间中态密度为1。
???
?
? ??∴=-=??3
333r k i )2(1
1k )2(k d k 'k k ()2('k k e ππδπ，则）则，但如末态为 因此，末态在k d 3中的态数为
k k 2
k 23k k dE kd M dkd k k d dE )E (Ω=
Ω== ρ
所以跃迁到k d Ω立体角中的跃迁率为
k 2
2
02
k f i kd M i
r f 4
e 2d w Ω?=Ω→
επ
∴ ??=→k M i r f 4
e 2w 2
2
02f
i
επ
注意：这时 r k i 2
3e )2(1f r ?=
π 0
a r
2
30e
)a (1
i r -
=
π
由 )kr (j )(cos P )i )(1l 2(e l 0
l r k l l r k i ∑∞
=∧?--+=θ
)kr (j )(Y )(Y )i (l k k lm m
,l r r *
lm l ?θ?θ-π=
∑4
)](Y )(Y )(Y [r 34r r r 1l *
0r r 1l *0r r 10z 00?θε?θε?θεπε--+++=
? )i (2
1y 0x 0*0εεε-+=
+， )i (2
1y 0x 0*0εεε+-=
-
∴ 620
22
1003032
2k 2
0)a k 1(k a 6434)a ()2()4(d i r f +=Ω??πππεπε ∴ 03
10002022f
i )a k 1(k a 64m 34)
a ()2()4(4e 2w +=→ πππεππ 2
30
0602030)()(a 3256ωωωωωε-=
??????
? ??=+∴-==
-=-=+=02200202020002i i 22a k 1,a k a 2e ,a 2e E ,E k m 2ωωωωωωωω 注意： 可以看到，在03
4
ωω=
处几率达到极大。 C ．辐射场下原子的跃迁率
当微扰影响较小时，一级近似很好
21t 0t i nk 1n
k dt e )t (V 1P 1
nk ?=→ω
现考虑原子被置于一个纯辐射场中
2V )A ?e P ?(m
21H
?++= 在原子区域中，无外电场 0=?，∴ 0A =??
则A 满足 0t
A c
1A 2
22
2
=??-
?
令 ωωωd e )(A A )
c r
n t (i ?--+∞
∞-?=
则有 )(A )(A *ωω-= （由于A 为实）
0)(A n =?ω （0A =??）
∴ P A m
e V m 2P H ?02?++= （电磁场弱，忽略2A 项） 在电磁波很弱条件下，一级微扰很小，则
2
0122
211k
P
?e )(A d e dt m
e P t )c r n (i t t )(i n
k nk ?ω∞+∞
-ω-ω→?ωω=
??
可以证明：
n k k n P P →→= 即受激辐射和退激发跃迁率相等
同样可以证明在
① 弱辐射场 ② 长波近似
③ 辐射是非极化的（极化各向同性，某几率条件下）。
单位时间跃迁几率，即跃迁率
2nk nk 2
202n
k r )(u 344e w ωππε =→ （2
00c 1=
εμ， A 1
H 0
??=
μ） 其中)(u nk ω为能量密度分布，即光强度分布。)(cu nk ω为单位时间通过单位面积的能量分布。
（4）磁共振
均匀磁场 0B
（在Z 方向 ），将使电子的简并态（自旋 ↓↑, ）发生分裂，其能量差
002B E E E B μ=ω=-=?-+
其中 m e B
2 =μ
当电子吸收一光子 ω ，则将电子激发到较高能级，即自旋向上的态。
A. 跃迁几率和跃迁率
设：有一垂直于静场 0B
的磁场。于是，总磁场为
B B t sin b B t cos b B z y x =ω=ω=
若振荡场比静场小 0B b <<
电子的总哈密顿量在 0H ? 表象，即在 z
S ? 表象，中 ()()()H ?H ?H ?'+=0
???
?
??μ-μ=00
00
0B B )H ?(B B ()
???
? ??μμ='ωω-00t
i B t i B be be H ?
设 0=t
时刻，电子自旋态的本征值为 2 -。在一级近似下，从本征值为
2 - 的自旋态跃迁到本征值为 2 的自旋态的几率
2
0220100
0011
?'???
? ??????
??μμ????
??='μ'
ω'ω-+
+
→-t t B i t i B
t i B t d e be be
P B
()2
22
01?'μ=
'
ω-ω-t
t )(i B t d e b
()2
022121?
?
??
?
?????ω-ωω-ω??? ??μ=t )(t sin bt B
若 )(I ω 为单位频率中的态密度，则总的跃迁几率为
()?ωω=∞
+→-+→-0
d P I Q
()()ω??
??
??????ω-ωω-ω??? ??μ?ω=∞d t )(t sin bt I B 2
020
2121 ()()t I b B
022ωμπ
=
( 若 t 足够大或 ()ωI
在共振区变化很缓慢 )
所以，单位时间的跃迁几率（ 跃迁率）为
()()
022ωμπ=
+
→-I b W B ()
02
2ωχ'χπ=-
+I H B. 两能级间的震荡
电子的总哈密顿量在 0H ? 表象，即在 z
S ? 表象中为 ()
???
? ??μ-μμμ=ωω-00
B be be B H ?B t
i B t i B B 设 t 时刻，电子状态或称自旋态的表示为
()()????
??=ψ21c c t
?
??
? ?????? ??μ-μμμ=???? ??ωω-2100
21c c B be be B c c dt
d i B t i B t i B B
于是有
2101c be c B c
i t i B B ω-μ+μ= 2012c B c be c
i B t i B μ-μ=ω 1012c e b
B c
e b i c t i B B t
i B ωωμμ-μ=
12
02010012=μ-μ-ωμ+μ+μ-ω-+-c ])B ()b (B [c )B B (i c B B B B B
令 t i e c λ=1
02020222=μ+ωμ-μ-λω+λ])b (B )B [(B B B
()
2]
)b (B )B [(42B 0B 20B 2μ+ωμ-μ+ωω-=
λ
242220)b ()B (B B μ+ω-μω-=
所以，-λ=λ
时，有解
()????
?
??μμ+ω-μ+ω+μ-=???? ??=
ψ--λωλ---t i t i B 2B 20B 0B t i 2
1e e b 2)b (4)B 2(B 2e c c +λ=λ时，有解
()????
?
??μμ+ω-μ-ω+μ-=????? ??''=ψ++λωλ+++t i t i B 2
B 20B 0B t i 21e e b 2)b (4)B 2(B 2e c c
于是有
()????
? ??μ+ω-μ-ω+μ-μ=?
???
??=
ψ++λωλ+++t
i t i t i 2B 20B 0B B 2
1
e e e )b (4)B 2(B 2b 2c c 普遍解为
()()???? ??++=ψ+-+-22
1
1t Bc Ac Bc Ac ?
?????
? ??+αα+--α+--α+=ωλλλλ+-+-t i t i t i 2
2t i 2
2t
i e ]Be e 24K K A [e 4K K 2B
Ae 其中 ,/B 2K 00B ω-ω=ω-μ= /b B μ=α
若 0=t ，电子处于 0H ? 本征值为 0B B μ- 的本征态，其表示即为 ???
? ??10 ，则
要求
04K K 2B
A 2
2
=α
+--α+
1B 24K K A 2
2=+α
α+--
所以，
1B B 24K K 4K K 22
222=+αα+-α
++α-
14K K 4K 2B
2
2
22=α
++α+
2
2
224K 24K K B α+α++=
2
22
22
2
4K 24K K 4K K 2A α
+α++α
++α
=
2
2
4K α
+α=
最后有解
()()???
?
??++=ψ+-+-2211Bc Ac Bc Ac t ??
???
?
?
??α+α+++αα+-α+α-α+α-α+α=ωλλλλ+-+-t i t i 222
2t i 2222t i 2
2t i 22e ]e 4K 24K K e 24K K 4K [e 4K e 4K ??????
? ??α+α++α+α+α+α+α-=ωω-)]t 24K cos(4K )t 24K sin(iK [4K e )
t 24K sin(e 4K i 22
22
222222/t i 222/t i 22
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
量子物理课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：量子物理 所属专业：材料物理 课程性质：专业基础课 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 课程简介： 量子理论和相对论是20世纪物理学取得的两个最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观 世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。 本课程着重介绍非相对论量子力学的基本概念、基本原理和基本方法。 首先从量子力学发展简史、黑体辐射实验等出发，讲述量子力学Schrodinger 方程和一维定态问题，着重讲述周期场和Bloch定理、能带结构。在此基础 上讲述量子力学的基本原理，包括波函数统计解释、线性厄米算符、本征值 问题、测不准关系、力学量完全集、Heisenberg方程等。中心力场部分主 要讲电磁场相互作用下氢原子的能级结构。矩阵力学主要讲力学量算符的矩 阵表示和本征值问题。定态微扰论和量子跃迁主要讲原子的几个效应和量子 系统在外场微扰情况下的光的吸收和辐射。最后讲多粒子全同性问题。 课程目标与任务： 1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方 法。 2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。 3．掌握电子在周期势场情况下的运动规律，为学习固体物理打好基础。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一了 光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19世纪 末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及紫外 灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与半经典 理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。《数学物 理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中有广泛的 应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特空间的理论 基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。 （四）教材与主要参考书。 [1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材） [2] 曾谨言,《量子力学》I,第四版,科学出版社, 2006年 [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum Mechanics; [4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958; 二、课程内容与安排 第一章绪论 第一节量子论发展简史 第二节黑体辐射实验与Plank常数的量纲分析，原子物理中的量纲结构（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；4学时 （二）内容及基本要求 主要内容：主要介绍量子力学的发展简史、研究对象和微观粒子的基本特性及其量纲分析。 【重点掌握】： 1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射 实验;
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
量子力学的数学准备(暑期读物) 写在前面的话 06光信、电科的同学们： 暑假开学后我将和你们一起学习量子力学这门课程。由于教学计划调整，量子力学的学时由周五学时缩减为周四学时，加之学期缩短(由18-19周缩短为16-17周)，实际教学时间缩减近三分之一。无论是从学校的要求还是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来看，都不允许减少教学内容。为此我编写了一个暑期读物，以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理和有关概念的前提下，能够对量子力学课程中用到的一些数学知识做一个复习和预习，以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。我知道大家暑假都很忙，要回家与亲人团聚尽享天伦之乐，要孝敬父母帮着做一些事情，要游览大好河山感受大自然的美，要准备考托考吉考这考那，要准备科技创新、电子大赛，等等等等。但我还是希望大家能拨冗看一下这个读物，此处所说的看决不是指“Look ”，而是指“Read, Deduce and Consider ”，即阅读、推导、思考。为此，带上数学物理方法和线性代数的课本回家是有必要的。 有人说19世纪是机器的世纪，20世纪是信息的世纪，而21世纪将是量子的世纪。让我们为迎接量子世纪的到来做好准备吧！ 刘骥 谨此 I. 一个积分的计算 计算积分?+∞ ∞ --≡ dx e I x 2 ??+-+∞ ∞ --+∞ ∞--=≡ e dy e dx e I x y x (2 22 2 θπ = +∞-? ? 020 2 r dr rd e π=∴I 由此我们可以得到积分公式： πn x n n dx e x 2 ! )!12(2 2-=?+∞ ∞ -- 02 21221222! )!12(2)32)(12(212212212 22 I n I n n I n dx e x n de x dx e x I n n n x n x n x n n -==--=-= -=-=≡ --∞ ∞ ---∞ ∞---+∞ ∞ --???Λ 问题：对于积分?--≡1 1 2 dx e J x 可以仿照上述方法计算吗？为什么？如果不能，该如何计算其近似值？
1. 粒子的双缝实验的结论是什么？ 答：粒子具有波动性 2. 在量子力学中，波函数的波动方程是什么？它是定态薛定谔方程吗？ 答：量子力学中波函数的波动方程是),()](2[), (2 2t r r V m t r t i →→→+?- =??ψψηη，它不是定态薛定谔方程，定态薛定谔方程是假设势能V 不显含时间t ，其形式是： )()](2[)(2 2→→→ +?-=r r V m r E ψψη 3. 波函数除了归一化要求之外的三个标准条件是什么？ 答：单值、连续、有限。 4. 写出一维无限深方势阱的能量本征函数及能量本征值。 答： 5. 答： 6. 什么叫做粒子的共振穿透？请举例说明。 答：当粒子射入势阱时，将发生反射和折射，当粒子的能量满足一定的条件时会使透 2222 2 0, 0(), ?,()()2()sin(),1,2,3,,1,2,3?(2,2?)n n n n n x x a U x x others H x E x n x x n a a n E n P U x a H ψψπψπμμ<
射系数T=1，这种现象就叫做共振穿透。如上图所示，粒子在有限深势阱中，我们设 22222 1 ) (2,2ηηo V E k E k -==μμ则透射系数l k k k k k k k T 22 2222122212 221sin )(44-+= 当πn L k =2即02 2)(2V L n E n += πμη时，1=T ，产生共振穿透。 7. 什么叫做粒子的遂穿效应？请举例说明。 答：粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。金属电子冷发射和ɑ衰变等现象等都是隧道效应产生的，还有基于两字隧道效应的扫描隧道显微镜。 8. 粒子的共振穿透与粒子的遂穿效应有何区别？ 答：共振穿透的物理意义是，入射粒子进入势阱后，碰到两侧阱壁时将发生反射和透 射，如粒子能量合适，使它在阱内波长' λ满足a n 2' =λ（a 为阱的宽度），则经过各次反射而透射出去的波的相位相同，因而彼此相干叠加，使透射波波幅大增，从而出现共振透射。而遂穿效应其实是粒子具有波动性的表现。 9. 什么叫做厄米算符？它有什么性质？ 答：如果算符∧F 满足??()F dv F dv ψ?ψ?* *=??，则称算符∧ F 为厄米算符。厄米算符 有三点性质，一是体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数；二是厄米算符 的本征值必为实数；三是厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。 10. 量子力学中两个基本力学量是什么？在坐标表象中，用什么算符表示？ 答： 量子力学中两个基本力学量是坐标→r 和动量→p ，在坐标表象中，坐标→r 用坐标算符∧ r 表示，动量用动量算符?-=∧ 2 ηp 表示。 11. 动量算符的本征函数和本征值是什么？其本征函数如何归一？ 答：动量算符的本征函数是：)ex p( ) 2(1)(2 3r p i r p ?=η ηπψ ，其本征值为p 。其只能归以为函数δ函数，即 )()()('*' p p d r r p p -=?∞ δτ??。 12. 在三维直角坐标系中，角动量算符的表示式是什么？动量（矢量）算符的本征函数和 本征值是什么？ 答：???????????????x z y y x z z y x L yp zp i y z z y L zp xp i z x x z L xp yp i x y y x ????=-=-- ? ????????=-=-- ?????????=-=-- ? ???? h h h
《量子力学》课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：量子力学 所属专业：物理学专业 课程性质：专业基础课 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 课程简介： 量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人 类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。 本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公 设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构， 如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结 构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中 的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原 理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基 本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。 本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态 问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。 课程目标与任务： 1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方 法。 2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。 3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一 了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19 世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及 紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与 半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。 《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中 有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特 空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。 （四）教材与主要参考书。 [1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材） [2] 苏汝铿, 《量子力学》, 高等教育出版社; [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum Mechanics; [4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958; 二、课程内容与安排 第一章微观粒子状态的描述 第一节光的波粒二象性 第二节原子结构的玻尔理论 第三节微观粒子的波粒二象性 第四节量子力学的第一公设：波函数 （一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时 （二）内容及基本要求 主要内容：主要介绍量子力学的实验基础、研究对象和微观粒子的基本特性及其状态描述。 【重点掌握】： 1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射
量子力学复习提纲及考试试卷、答案 1、德布罗意的物质波理论认为粒子的能量E 、动量P 与物质波的频率v 和波长λ的关系为 ( νh E = )、( n h p λ=或λ h p = ) 。 2、量子力学中用（波函数）描写微观体系的状态。 3、()2,t r Ψ 是粒子t 时刻（在r 处的概率密度），()2,t p c 是粒子t 时刻（具有动量p 的概率密度）。（注：照最后一道大题写是概率分布函数的也算对了，但是只写是概率就不对） 4、扫描隧道显微镜是利用（隧道效应）制成的。 5、氢原子电子的第n 个能级是（2 n ）度简并的。 6、F ?的本征值λ组成连续谱，则本征函数λφ的正交归一性表达式（ 书P70 ()λλτφφλλ'-='?δd * ） 。 7、坐标和动量的不确定关系式（()()4 222 ≥??x p x 或()()2 ≥??x p x ）。 8、如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的（共同本征函数）。 二、求角动量算符的对易关系[] y x L L ?,?（5分） 证明：书P77 三、证明当氢原子处于基态时，电子在与核的距离为0a r =(玻尔半径)处出现的概率最大（10分）书P67 四、证明厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。（10分） 证明：书P69 五、一粒子在一维势场,()0,,x a U x a x a x a ∞<-??=-≤≤??∞>? 中运动，求粒子的能级和对应的波函数（20 分） 解：书P26例题
六、设t=0 时，粒子的状态为?? ????+ =kx kx A x cos 21sin )(2ψ 求此时粒子的动量期望值和动能期望值。（20分） 解：书P92习题3.6 七、（1）写出动量算符x p ?的本征函数()x x p ψ，本征方程。求粒子处于()x x p ψ态时的坐标概率分布函数()2 x x p ψ。 （2）求处于坐标算符x ?的本征态()()x x x x '-='δψ态中粒子的动量概率分布函数()2 x x p c '。 （3）并通过两个结果文字解释坐标和动量的不确定关系。（15分） 第一章 绪论 1、了解黑体辐射、光电效应和康普顿效应。 2、掌握玻尔—索末菲的量子化条件公式。 3、掌握并会应用德布罗意公式。 期中考） 4、了解戴维逊-革末的电子衍射实验。 第二章 波函数和薛定谔方程 1、掌握、区别及计算概率密度和概率 2、掌握可积波函数归一化的方法 期中考） 3、理解态叠加原理是波函数的线性叠加 4、掌握 概率流密度矢量* 5、理解定态的概念和特点 6、掌握并会应用薛定谔方程求解一维无限深方势阱中粒子的波函数
北京大学物理学院量子力学系列教学大纲 课程号： 00432214 新课号： PHY-1-044 课程名称：量子力学 开课学期：春、秋季 学分： 3 先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、理论力学（PHY-1-051）、电动力学（PHY-1-043）基本目的：使得同学掌握量子力学的基本原理和初步的计算方法，适合于非物理类专业的同学选修。 内容提要： 1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律 2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、三维方势阱、三维谐振子、氢原子 4. 量子力学中的近似方法：定态微扰论、跃迁、散射。 5．全同粒子与自旋：全同性原理、自旋的表述、自旋与统计的关系、两个自旋的耦合、磁场与自旋的相互作用 教学方式：课堂讲授 教材与参考书： 曾谨言，《量子力学教程》，北京大学出版社, 1999. 学生成绩评定方法：作业10％、笔试90％ 课程号： 00432214 新课号： PHY-1-054 课程名称：量子力学I 开课学期：春、秋季 学分： 4 先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、高等数学、数学物理方法（PHY-1-011或以上）基本目的： 使得同学掌握量子力学的基本理论框架和计算方法。适合物理学院各类型同学以及非物理类的相关专业同学选修。 内容提要： 1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律 2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、
量子力学复习提纲 第一章绪论 1.德布罗意关系, (1) (2) 2.微观粒子的波粒二象性. 3. 电子被伏电压加速,则电子的德布罗意波长为 (3) 第二章波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释: 波函数在空间某一点的强度和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 其中代表几率密度. 2.态叠加原理: 如果和是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 ,也是体系的一个可能状态. 3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程 薛定谔方程 (4) 定态薛定谔方程 (5) 其中 (6) 为哈密顿算符,又称为能量算符, 4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性. 5. 波函数的归一化, (9) 6.求解一维薛定谔方程的几个例子. 一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子;
势垒贯穿. 第三章量子力学中的力学量 1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法 则; 2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念 (10) 3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系. (11) 实数性: 厄密算符的本征值是实数. 正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交. 完全性:厄密算符的本征函数和组成完全系, 即任一函数可以按和展开为级数: (12) 展开系数: , (13) . (14) 是在态中测量力学量得到的几率, 是在态中测量力学量,得到测量结果在到范围内的几率. 4. 和算符的本征值方程,本征值和本征函数. , 本征函数 . 5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数的数学结构, (15) 主量子数n,角量子数l和磁量子数m的取值范围,简并态的概念. 6. 氢原子的能级公式和能级的简并度. (16) 不考虑电子的自旋是度简并的; 考虑电子的自旋是度简并的. 7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在点周围的
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε
量子力学讲义
一、量子力学是什么？ 量子力学是反映微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的理论。 研究对象：微观粒子，大致分子数量级，如分子、原子、原子核、基本粒子等。 二、量子力学的基础与逻辑框架 1.实验基础 ——微观粒子的波粒二象性： 光原本是波 ——现在发现它有粒子性； 电子等等原本是粒子 ——现在发现它有波动性。 2.（由实验得出的）基本图象 —— de Broglie 关系与波粒二象性 Einstein 关系（对波动）：E h ν=，h p λ = de Broglie 关系（对粒子）： E =ω， p k = 总之，),(),(k p E ω? 3.（派生出的）三大基本特征： 几率幅描述 ——(,)r t ψ 量子化现象 —— ,,,321E E E E = 不确定性关系 ——2 ≥ ???p x 4.（归纳为）逻辑结构 ——五大公设 (1)、第一公设 ——波函数公设：状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设 (3)、第三公设 ——测量公设 ?=r d r A r A )(?)(* ψψ (4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方程公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设 三、作用 四、课程教学的基本要求 教 材：《量子力学教程》周世勋， 高等教育出版社 参考书：1. 《量子力学》，曾谨言，2. 《量子力学》苏汝铿， 复旦大学出版社 3. 《量子力学习题精选与剖析》钱伯初，曾谨言， 科学出版社
第一章 绪论 §1.1 辐射的微粒性 1.黑体辐射 所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明，对任何一个物体，辐射本领)T ,(E ν与吸收率)T ,(A ν之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数，即 )T ,(f )T ,(A )T ,(E ν=νν （f 与物质无关）。 辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，以)T ,(E ν表示。在t ?时间，从s ?面积上发射出频率在 ν?+ν-ν 范围内的能量为： ν???νs t )T ,(E )T ,(E ν的单位为2 /米焦耳；可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系为 )T ,(u 4 c )T ,(E ν=ν （)T ,(u ν单位为秒米 焦耳3 ） 吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额。由于黑体的吸收率为1，所以它的辐射本领 )T ,(f )T ,(E ν=ν 就等于普适函数（与物质无关）。所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。我们也可以以)T ,(E λ来描述。 ????λ λ ν=λλλν=λλ νν=ννd c )T ,(E d d c d ) T ,(E d d d ) T ,(E d )T ,(E 2 )T ,(E c )T ,(E 2 νν = λ (秒米焦耳?3 ) A. 黑体的辐射本领 实验测得黑体辐射本领 T ,(E λ与λ的变化关系在理论上， ① 维恩（Wein ）根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领 h 32 e c h 2)T ,(E ν-νπ= ν ?? ?=π=k h c c h 2c 22 1（k 为Boltzmann 常数：K 1038.123 焦耳-?）
量子力学教学大纲 教学基本内容及学时分配（72学时） 第一章绪论（4学时） 1、课程的发展和改革状况；教材评介 2、量子理论发展简史 3、黑体辐射定律与普朗克常数 4、光子 5、玻尔量子论 6、德布罗意“物质波”假设 7、原子物理中的特征量（结合量纲分析法） 第二章波函数和薛定谔方程（8学时） 1、薛定谔方程 2、波函数的统计诠释；连续性方程 3、定态；有关一维束缚态的若干定理 4、一维平底势阱中的粒子（包括无限深势阱，有限深势阱， 势阱） 5、一维谐振子（微分方程解法） 6、势垒贯穿 第三章量子力学基本原理（16学时） 1、波函数和算符 2、态叠加原理 3、线性算符；常用力学量的算符表示 4、波函数的普遍诠释（力学量的取值及概率假设）；平均值公式 5、动量（连续谱，箱归一化）；连续谱一般的理论 6、力学量算符的对易关系 7、两个力学量算符的共同本征态 8、不确定关系（测不准关系） 9、波函数随时间的变化；演化算符
10、力学量随时间的变化；薛定谔图象和海森伯图象；守恒量；宇称 11、对称性和守恒定律 12、海尔曼—费曼定理和位力定理 第四章表象理论（8学时） 1、狄拉克态矢量概念；矢量空间 2、量子力学公式的矩阵表示 3、坐标表象；波函数 4、动量表象 5、能量表象；求和规则 6、谐振子（升降算符解法）；相干态 7、角动量（升降算符解法） 第五章中心力场（7学时） 1、中心力场的一般概念 2、轨道角动量的本征函数 3、自由粒子波函数 4、球形势阱中的粒子；氘核 5、粒子在库仑场中的运动（束缚态）；类氢离子；氢原子；与玻尔量子 论的比较 6、三维各向同性谐振子 7、二维中心力场 第六章扰论与变分法（6学时） 1、非简并态微扰论；应用举例 2、简并态微扰论；一级近似 3、氢原子能级在电场中的分裂 4、变分法；应用举例 第七章自旋（9学时）
1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 2010级材料物理专业《量子力学》复习提纲 要点之一 1. 19世纪末到20世纪初，经典物理学在解释黑体辐射、光电效应、原子的光谱线系和固体的低温比热等实验结果时遇到了严重的困难，揭露经典物理学的局限性。 2. 普朗克提出“ 能量子 ”（内容是什么？？?）的假设，解决了黑体辐射问题；爱因斯坦在普朗克“ 能量子 ”假设的启发下，提出了“光量子” （内容是什么？？?）的假设，成功解释了光电效应现象。爱因斯坦的的光量子理论1924年被康普顿效应（内容是什么？？?）证实，被物理学界接受。 3. 德布罗意在光的波粒二象性的启示下，提出一切微观粒子（原子、电子、质子等）也具有波粒二象性的假说，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。德布罗意的假说的正确性，在1927年为戴维孙（Davission ）和革末（Germer ）所做的电子衍射实验所证实。 4. 描述光的粒子性的能量E 和动量P 与描述其波动性的频率ν（或角频率ω）和 波矢K 由 Planck- Einstein 方程联系起来，即：ων ==h E ； （其中的各物理量的意义？？？）。 5. 描述微观粒子（如原子、电子、质子等）粒子性的物理量为能量E 和动量P ， 描述其波动性的物理量为频率ν（或角频率ω）和波长λ， 它们间的关系可用德布罗意关系式表示，即：ων ==h E （其中的各物理量的意义？？？）； 。 6. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述，而是用波函数来描述。描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平 。 7. 波函数在空间某点的强度，即波函数模的平方，与在该点找到粒子的几率成正比例，即描写粒子的波可认为是几率波，反映了微观粒子运动的统计规律。 8. 波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。 8. 通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表示为 )(0* n m dx n m ≠=?ψψ。 9. 设G ??和F 的对易关系为k i G F ?]?,?[=，且G G G F F F -=?-=???,??，则G ??和F 的 如果k 不等于零，则的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着F ?和G ?不能同时测定。 10. 当体系处于定态时，则体系有：1）能量有确定值；2）粒子在空间几率密度与时间无关；3）几率流密度与时间无关。 11. 粒子在一维无限深势阱中的定态解可表示为： .......,3,2,1,)(2sin 1)(=+==ψ--n e a x a n a e x t E i t E i n n n n π ψ，当n 为奇数时， 波函数具有偶宇称，当n 为偶数时，波函数具有奇宇称。 12. 在点电荷的库仑场中运动的电子，其处于束缚态的波函数可表示成： ),()(),,(?θ?θψlm nl nlm Y r R r =，其中，主量子数n =1，2，3，…，角量子数l =0， 1，2，….，n -1，磁量子数m=0，±1，±2，….，±l 。),,(?θψr nlm 是算符H ?、2L ?和z L ?共同本征函数，当电子处于该波函数描述的状态时，力学量H 、2L 和z L 可 量子力学教案 主讲周宙安 《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材： 周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]https://www.doczj.com/doc/2d9740377.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980） 第一章绪论 量子力学的研究对象： 量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难 一、经典物理学是“最终理论”吗？ 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明： 机械运动（v< 2008级材料物理专业《量子力学》复习提纲 要点之一 1. 20世纪初，经典理论在解释黑体辐射、光电效应和原子光谱的线状结构等实验结果时遇到了严重的困难。 爱因斯坦在普朗克“ 能量子 ”假设的启发下，提出了“光量子”的概念，认为光是由一颗颗具有一定能量的粒子组成的粒子流。 2. 描述光的粒子性的能量E 和动量P 与描述其波动性的频率（或角频率） 和波矢K 由 Planck- Einstein 方程联系起来，即：ων ==h E ； K n h P ==λ 。 3. 德布罗意提出，一切物质粒子（原子、电子、质子等）都具有粒子、波动二重性，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。 4. 描述微观粒子（如原子、电子、质子等）粒子性的物理量为能量E 和动量P ， 描述其波动性的物理量为频率 （或角频率 ）和波长 ， 它们间的关系可用 德布罗意关系式表示，即：ων ==h E ； K n h P ==λ 。 5. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述，而是用波函数来描述。描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平 面波，即：)(),(Et r p i p Ae t r -?= ψ。 6. 波函数在空间某点的强度，即波函数模的平方，与在该点找到粒子的几率成正比例，即描写粒子的波可认为是几率波，反映了微观粒子运动的统计规律。 7. 波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函 数的标准条件。 8. 通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表示为 )(0* n m dx n m ≠=?ψψ。 9. 设G ??和F 的对易关系为k i G F ?]?,?[=，且G G G F F F -=?-=???,??，则G ??和F 的测不准关系式为：4 )?()?(2 22k G F ≥???；如果k 不等于零，则的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着F ?和G ?不能同时测定。 10. 当体系处于定态时，则体系有：1）能量有确定值；2）粒子在空间几率密度与时间无关；3）几率流密度与时间无关。 11. 粒子在一维无限深势阱中的定态解可表示为： .......,3,2,1,)(2sin 1)(=+==ψ--n e a x a n a e x t E i t E i n n n n π ψ，当n 为奇数时， 波函数具有偶宇称，当n 为偶数时，波函数具有奇宇称。 12. 在点电荷的库仑场中运动的电子，其处于束缚态的波函数可表示成： ),()(),,(?θ?θψlm nl nlm Y r R r =，其中，主量子数n =1，2，3，…，角量子数l =0， 1，2，….，n -1，磁量子数m=0，1，2，….，l 。),,(?θψr nlm 是算符H ?、2L ?和z L ?共同本征函数，当电子处于该波函数描述的状态时，力学量H 、2L 和z L 可以同时测得， 体系2 24 22 n e Z E s n μ- =， L 2=2)1( +l l ，L z = m 。 13. 角动量算符2L ?和z L ?对易，即0],?[2=z L L ，因此它们有共同的本征函数完 备系)},({?θlm Y 。在 ),(?θlm Y 描述的状态中，力学量2L 和z L 可以同时测得， L 2=2)1( +l l ，L z = m ，此时总磁矩（沿z 轴方向）M z =m c m e B μμ-=- 2 。 14. 电子在点电荷的库仑场中运动，其处于束缚态的第n 个能级 E n 只与n 有关，安徽工业大学量子力学复习提纲讲解
量子力学简明教程
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