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雅克比法求矩阵特征值特征向量

雅克比法求矩阵特征值特征向量
雅克比法求矩阵特征值特征向量

C语言课程设计报告

课程名称:计算机综合课程设计

学院:土木工程学院

设计题目:矩阵特征值分解

级别: B

学生姓名:

学号:

同组学生:无

学号:无

指导教师:

2012年 9 月 5 日

C语言课程设计任务书

(以下要求需写入设计报告书)

学生选题说明:

以所发课程设计要求为准,请同学们仔细阅读;

本任务书提供的设计案例仅供选题参考;也可自选,但难易程度需难度相当;

鼓励结合本专业(土木工程、力学)知识进行选题,编制程序解决专业实际问题。

限2人选的题目可由1-2人完成(A级);限1人选的题目只能由1人单独完成(B级);设计总体要求:

采用模块化程序设计;

鼓励可视化编程;

源程序中应有足够的注释;

学生可自行增加新功能模块(视情况可另外加分);

必须上机调试通过;

注重算法运用,优化存储效率与运算效率;

需提交源程序(含有注释)及相关文件(数据或数据库文件);

(cpp文件、txt或dat文件等) 提交设计报告书,具体要求见以下说明。

设计报告格式:

目录

1.课程设计任务书(功能简介、课程设计要求);

2.系统设计(包括总体结构、模块、功能等,辅以程序设计组成框图、流程图解释);

3.模块设计(主要模块功能、源代码、注释(如函数功能、入口及出口参数说明,函数调用关系描述等);

4.调试及测试:(调试方法,测试结果的分析与讨论,截屏、正确性分析);

5.设计总结:(编程中遇到的问题及解决方法);

6.心得体会及致谢;

参考文献

1.课程设计任务书

功能简介:

a)输入一个对称正方矩阵A,从文本文件读入;

b)对矩阵A进行特征值分解,将分解结果:即U矩阵、S矩阵输出至文本文件;

c)将最小特征值及对应的特征向量输出至文本文件;

d)验证其分解结果是否正确。

提示:A=USU T,具体算法可参考相关文献。

功能说明:

矩阵特征值分解被广泛运用于土木工程问题的数值计算中,如可用于计算结构自振频率与自振周期、结构特征屈曲问题等。

注:以三阶对称矩阵为例

2.系统设计

3.模块设计

#include

#include

#include

int main()

{

FILE *fp;

int tezheng(double *a,int n,double *s,double *u,double eps,int itmax); //函数调用声明

int i,j,p,itmax=1000; //itmax为最大循环次数

double eps=1e-7,s[3][3],u[3][3]; //eps为元素精度,s为对角矩阵S,u为矩阵U double a[9];//a为待分解矩阵A

i=tezheng(a,3,s,u,eps,1000);

if(i>0) //i对应函数中的返回值it

{

if((fp=fopen("juzhen.txt","w"))==NULL) //打开待输入txt文件

{

printf("无法打开文件.\n");

return;

}

printf("U矩阵为:\n"); //下几句分别向屏幕和txt文件输入矩阵U

fprintf(fp,"U矩阵为:\n");

for(i=0;i<3;i++)

{

for(j=0;j<3;j++)

{

printf("%10.6f",u[i][j]);

fprintf(fp,"%10.6f",u[i][j]);

}

printf("\n");

fprintf(fp,"\n");

}

printf("S对角矩阵为:\n"); //下几句分别向屏幕和txt文件输入矩阵S

fprintf(fp,"S对角矩阵为:\n");

for(i=0;i<3;i++)

{

for(j=0;j<3;j++)

{

printf("%10.6f",s[i][j]);

fprintf(fp,"%10.6f",s[i][j]);

}

printf("\n");

fprintf(fp,"\n");

}

p=0;

for(i=0;i<3;i++)//下面几句为求最小特征值及其对应特征向量,并输出到屏幕和txt文件中if(s[i][i]

p=i;

printf("最小特征值为:%10.6f\n",s[p][p]);

fprintf(fp,"最小特征值为:%10.6f\n",s[p][p]);

printf("对应特征向量为:\n");

fprintf(fp,"对应特征向量为:\n");

for(i=0;i<3;i++)

{

printf("%10.6f\n",u[i][p]);

fprintf(fp,"%10.6f\n",u[i][p]);

}

}

}

int tezheng(double *a,int n,double s[3][3],double u[3][3],double eps,int itmax)

{

FILE *A;

char line[1000]; //存放从文件juzhen A.txt读入的数据

char *k=" ";

int i,j,p,q,it;

double sint,cost,sin2t,cos2t,d,tmp,t1,t2,t3,fm;

it=0;

if((A=fopen("juzhen A.txt","r"))==NULL)

{

printf("无法打开文件\n");

return;

}

fgets(line,1000,A); //从文件指针A指向的文件,即juzhen A.txt中读入字符数据到数组line中

strtok(line,k); //原型char *strtok(char *s, const char *delim);说明:strtok()用来将字符串分割成一个个片段。参数s指向欲分割的字符串,参数delim则为分割字符串,当strtok()在参数s的字符串中发现到参数delim的分割字符时则会将该字符改为\0 字符。在第一次调用时,strtok()必需给予参数s字符串,往后的调用则将参数s设置成NULL。每次调用成功则返回被分割出片段的指针。

for(i=0;i

a[i] = atof(strtok(NULL,k)); //atof函数功能: 把字符串转换成浮点数fclose(A); //释放A指针

for(i=0;i

{

u[i][i]=1.0;

for(j=0;j

if(i!=j)

u[i][j]=0.0;

}

while(it

{

it++;

d=0.0;

for(i=1;i

for(j=0;j

{

tmp=fabs(a[i*n+j]);

if(tmp>d)

{

d=tmp;

p=i;q=j;

}

}

if(d

{

for(i=0;i

for(j=0;j

s[i][j]=a[i*n+j];

return (it);

}

sint=2*a[p*n+q]; //以下几句为递推公式,求S矩阵主对角元素

sin2t=2*a[p*n+q]/(sqrt(4*a[p*n+q]*a[p*n+q]+(a[q*n+q]-a[p*n+p])*(a[q*n+q]-a[p*n+p])));

if(a[q*n+q]-a[p*n+p]<0.0)

sin2t=-sin2t;

cos2t=sqrt(1.0-sin2t*sin2t);

sint=sin2t/(sqrt(2.0*(1.0+cos2t)));

cost=sqrt(1.0-sint*sint);

tmp=a[p*n+p];

t1=tmp*cost*cost;

t2=a[q*n+q]*cost*cost;

t3=a[p*n+q]*sin2t;

a[p*n+p]=t1+a[q*n+q]-t2-t3;

a[q*n+q]=tmp-t1+t2+t3;

a[p*n+q]=0.0; //置该非对角元素为0.0,下次循环最大便不是它了

a[q*n+p]=0.0; //同上

for(j=0;j

if((j!=p)&&(j!=q))

{

tmp=a[p*n+j];

a[p*n+j]=tmp*cost-a[q*n+j]*sint;

a[q*n+j]=tmp*sint+a[q*n+j]*cost;

}

for(i=0;i

if((i!=p)&&(i!=q))

{

a[i*n+p]=a[p*n+i];

a[i*n+q]=a[q*n+i];

}

for(i=0;i

{

fm=u[i][p];

u[i][p]=fm*cost-u[i][q]*sint;

u[i][q]=fm*sint+u[i][q]*cost;

}

}

return (0);

}

4.调试及测试

1.0

2.0

3.0

矩阵A= 2.0 2.0 5.0

3.0 5.0 1.0

1.屏幕输出如下:

2.文本文件输出见文件“juzhen.txt”。

3.结果正确性分析

利用数学软件Mathematica 8.0计算特征值(即矩阵S主对角线元素)及对应特征向量组U如下截图。(Eigenvalues[ ]为计算矩阵特征值函数,Eigenvectors[ ]为计算矩阵特征向量函数)

5.设计总结

拿到这个题目,我首先想到用解方程组的方法来求解矩阵U和S,但是后来发现:假如这是一个三阶矩阵,那么通过A=USU T可以得到含9个方程的方程组,而矩阵U和S中共12个未知数,故通过这种方法建模被否定了。

后查阅资料,理解了这是一个矩阵特征分解的问题,故转化为两部分求解:特征值和特征向量。可以通过雅克比变换来求解。

从txt文本文件中读入数据又是一大障碍,本以为存在文本文件中的浮点数据只需通过浮点格式字符串就能将其读出,结果运行后屏幕显示一团乱。后查阅资料得知,文本文件中的数据都是字符数据。故先是将其中的字符数据读出,然后用字符与浮点之间的转换函数还原浮点数据。

最后碰到的一个问题是主函数与被调用函数之间的衔接问题,就是一个指针所指的实参和形参,要么都是一维数组,要么都是二维数组,否则就会出错。

6.心得体会及致谢

起先听说我们这是编程课,感觉很激动,心想上学期所学内容终于有用武之地。但拿到题目后,我像立刻被泼了一盆冷水似的,感觉这个题目无从下手。咬着牙挣扎了两天仍然是毫无头绪,于是乎我想到了放弃,找到老师表达想换题目的想法。起初对老师的拒绝感到很不爽,可老师建议我去查阅资料,先把矩阵论中没学过的只是给搞懂然后再去编程。我先查阅了一些关于算法的书籍,结果其中的程序看不懂,故又借了关于矩阵的书一起研究。经过一个多星期的努力,终于懂了,编出来了。在此,谢谢老师的建议。我想这对我以后自学任何东西都是有帮助的。

参考文献:

一、《基于MATLAB的实用数值计算》石辛民郝整清编著清华大学出版社·北京交通大学出版社

2006年2月第1版

二、《C语言算法速查手册》程晓旭耿鲁静张海王勇编著人民邮电出版社 2009年10月第1版

三、《Mathematica 4 教程》丁大正编著电子工业出版社 2002年3月第1版

四、百度百科

附:所用原理

所用函数:

用QR算法求矩阵的特征值

一、实验名称:用QR 算法求矩阵的特征值 二、实验目的:1、通过实验进一步熟悉掌握求矩阵特征值的QR 方法及原理。 2、理解QR 方法的计算流程。 3、能够编程实现QR 方法。 三、实验内容:给定矩阵 ??? ? ? ??=111132126A , ?? ??? ?? ? ? ?=0100098 20 087630 7654465432H ,采用QR 方法计算A 和H 矩阵的全部特征值。 四、实验要求: (1) 根据QR 算法原理编写程序求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值(要求误差<10 5 -)。 (2) 直接用MATLAB 的内部函数eig 求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值,并与(1)的结果比较。 五、QR 方法计算矩阵特征值的程序: function [namda,time,data_na]=qr_tz(A,tol) if nargin==1; tol=1e-5; end wucha=1; time=0; while (wucha>tol)&(time<500) [q,r]=qr(A); A1=r*q; tz0=diag(A1); tz1=diag(A); wucha=norm(tz0-tz1); A=A1; time=time+1; data_na(time,:)=tz1; end namda=tz1; disp(‘特征值为’) namda disp(‘第一个特征在值’) time n1=length(data_na); n2=(1:n1)’; temp1=[n2,data_na]; subplot(2,2,1:2)

plot(date_na(:,1)) title(‘迭代次数为’) grid subplot(2,2,3) plot(data-na(:,2)) title(‘第二个特征值’)grid subplot(2,2,4) plot(data-na(:,3)) title(‘第三个特征值’) grid 六、实验结果: >> A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1];[namda,time,data_na]=qr_tz(A,1e-5);特征值为 namda = 迭代次数为 time = 6 图 1

关于特征值与特征向量的求解方法与技巧

关于特征值与特征向量的求解方法与技巧 摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具,对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳,得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。 关键词: 特征值,特征向量; 互逆变换; 初等变换。 1 引言 物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题,直接由特征方程求特征值是比较困难的,而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式,且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法,但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对此问题进行 了系统的归纳,给出了两种简易方法。 一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ,而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系,两者的计算是分离的,一个是计算行列式,另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐,计算量都较大。

本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法, 只用一种运算 ——矩阵运算, 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法, 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法, 在求出特征值的同时, 已经进行了大部分求相应特征向量的运算, 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少, 且运算规范,不易出错。 2 方法之一: 列行互逆变换法 定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ?,同时互换j 、i 两行()j i r r ? ; 2. 第i 列乘以非零数()i k kc , 同时第i 行乘11i c k k ?? ?? ? ; 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +, 同时第j 行- k 倍加到第i 行 ()i j r kr -。 定理1 复数域C 上任一n 阶矩阵A 都与一个Jordan 标准形矩阵 1212,,....r k k kr J diag J J J λλλ? ? ???????? ??? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?=相似, 其中 111110...0001...00..................000...1000...0ki ki J λλλλ?? ?? ?? ??=????????称为Jordan 块, 12r k k k n ++ +=并且 这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定, J 称为A 的Jordan 标准形。 定理2 A 为任意n 阶方阵, 若T A J I P ?? ????????→ ? ????? 一系列列行互逆变换其中

第五章 矩阵的特征值与特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量α,使得:λαα=A (0≠α)成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得:0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值,然后对每一个特征值i λ,分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系,进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解:根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ,可得71=λ,22-=λ. 当7=λ时,??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E , 所以()07=-x A E 的一个基础解系为:()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α,则相应的特征向量为2211ααk k +,其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时,???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ,所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α,则相应的特征向量为33αk ,其中3k 是任意常数且

一些特殊矩阵特征值得求法与应用 (2)

本科毕业设计题目:一些特殊矩阵特征值的求法与应用 作者:高英 学号: 2010012491 所属学院:金融与数学书院 专业班级:应数1002班 指导教师:赵建中职称:院长 完成时间: 2014 年 4月 10日 皖西学院教务处制

独创性声明 本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 学生签名:日期:年月日 论文版权使用授权书 本人完全了解皖西学院有关保留、使用学位论文的规定,即:学校有权保留送交论文的复印件和磁盘,允许论文被查阅和借阅,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意皖西学院可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 (保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 学生签名:日期:年月日 导师签名:日期:年月

目录 摘要 .......................................................... 错误!未定义书签。Abstract ...................................................... 错误!未定义书签。第1章绪论 .................................................. 错误!未定义书签。 1.1 课题研究背景及目的................................... 错误!未定义书签。 1.2 研究现状 (1) 1.3研究方法 (2) 1.4研究内容 (2) 第2章几类特殊矩阵的概念及主要性质............................ 错误!未定义书签。 2.1 正交矩阵............................................. 错误!未定义书签。 2.2 幂零矩阵 (2) 2.3 对称矩阵 (3) 2.4 三对角矩阵 (4) 第3章矩阵特征值的求法与应用 (4) 3.1 一般矩阵的求法与应用 (4) 3.2 特殊矩阵的求法与应用 (7) 结语 (20) 致谢 (20) 参考文献 (21)

矩阵的特征值和特征向量

第五章矩阵的特征值和特征向量 来源:线性代数精品课程组作者:线性代数精品课程组 1.教学目的和要求: (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2.教学重点: (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3.教学难点:将矩阵化为相似对角矩阵. 4.教学内容: 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念,在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵,是一个数,如果方程 (1) 存在非零解向量,则称为的一个特征值,相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量. (1)式也可写成, (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程,称为方阵的特征方程.其左端是的 次多项式,记作,称为方阵的特征多项式.

== = 显然,的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此,阶矩阵有个特征值. 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 (ⅰ) (ⅱ) 若为的一个特征值,则一定是方程的根, 因此又称特征根,若为 方程的重根,则称为的重特征根.方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量,于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下: 第一步:计算的特征多项式; 第二步:求出特征方程的全部根,即为的全部特征值; 第三步:对于的每一个特征值,求出齐次线性方程组: 的一个基础解系,则的属于特征值的全部特征向量是 (其中是不全为零的任意实数). 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =

雅克比过关法求特征值和特征向量

1.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2.// 求实对称矩阵特征值与特征向量的雅可比法 3.// 4.// 参数: 5.// 1. double dblEigenValue[] - 一维数组,长度为矩阵的阶数,返回时存放特征值 6.// 2. CMatrix& mtxEigenVector - 返回时存放特征向量矩阵,其中第i列为与 7.// 数组dblEigenValue中第j个特征值对应的特征向量 8.// 3. int nMaxIt - 迭代次数,默认值为60 9.// 4. double eps - 计算精度,默认值为0.000001 10.// 11.// 返回值:BOOL型,求解是否成功 12.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 13.BOOL CMatrix::JacobiEigenv(double dblEigenValue[], CMatrix& mtxEigenVector, int nMaxIt /*= 60*/, double eps /*= 0.000001*/) 14.{ 15.int i,j,p,q,u,w,t,s,l; 16.double fm,cn,sn,omega,x,y,d; 17. 18.if (! mtxEigenVector.Init(m_nNumColumns, m_nNumColumns)) 19.return FALSE; 20. 21.l=1; 22.for (i=0; i<=m_nNumColumns-1; i++) 23.{ 24.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+i]=1.0; 25.for (j=0; j<=m_nNumColumns-1; j++) 26.if (i!=j) 27.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+j]=0.0;//单位矩阵 28.} 29. 30.while (TRUE) 31.{ 32.fm=0.0; 33.for (i=1; i<=m_nNumColumns-1; i++) 34.{ 35.for (j=0; j<=i-1; j++) 36.{ 37.d=fabs(m_pData[i*m_nNumColumns+j]); 38.if ((i!=j)&&(d>fm)) 39.{ 40.fm=d; 41.p=i; 42.q=j; }//取绝对值最大的非对角线元素,并记住位置

幂法求矩阵最大特征值

幂法求矩阵最大特征值 摘要 在物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵特征值的问题,而在某些工程、物理问题中,通常只需要求出矩阵的最大的特征值(即主特征值)和相应的特征向量,对于解这种特征值问题,运用幂法则可以有效的解决这个问题。 幂法是一种计算实矩阵A的最大特征值的一种迭代法,它最大的优点是方法简单。对于稀疏矩阵较合适,但有时收敛速度很慢。 用java来编写算法。这个程序主要分成了三个大部分:第一部分为将矩阵转化为线性方程组;第二部分为求特征向量的极大值;第三部分为求幂法函数块。其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法,再经过一系列的验证和迭代得到结果。 关键词:幂法;矩阵最大特征值;j ava;迭代

POWER METHOD TO CALCULATE THE MAXIMUM EIGENV ALUE MATRIX ABSTRACT In physics, mechanics and engineering technology of a lot of problems in math boil down to matrix eigenvalue problem, and in some engineering, physical problems, usually only the largest eigenvalue of the matrix (i.e., the main characteristics of the value) and the corresponding eigenvectors, the eigenvalue problem for solution, using the power law can effectively solve the problem. Power method is A kind of computing the largest eigenvalue of real matrix A of an iterative method, its biggest advantage is simple.For sparse matrix is right, but sometimes very slow convergence speed. Using Java to write algorithms.This program is mainly divided into three most: the first part for matrix can be converted to linear equations;The second part is the eigenvector of the maximum;The third part is the exponentiation method of function block.Its basic process as a power law function block by calling the method of matrix can be converted to linear equations, then after a series of validation and iteration to get the results. Key words: Power method; Matrix eigenvalue; Java; The iteration

解方程、求表示法、求特征向量

一、计算 1.求齐次线性方程组 x x x x x x x x x x x x --+= ? ? --+= ? ?--+= ? 1234 1234 1234 42420 33320 75740 的一个基础解系 2.求齐次线性方程组 --+= ? ? --+= ? ?--+= ? 1234 1234 1234 44420 34320 78740 x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系 3.求4元齐次线性方程组 1245 1245 1245 32420 3390 2570 x x x x x x x x x x x x +-+= ? ? --+= ? ?+--= ? 的一个基础解系 4.求4元齐次线性方程组 1245 1245 1245 42430 4330 42470 x x x x x x x x x x x x ---= ? ? +-+= ? ?+--= ? 的一个基础解系 5.解齐次线性方程组 12345 1345 12345 220 320 220 x x x x x x x x x x x x x x ++-+=? ? ++-=? ?--+++=? 6.解齐次线性方程组 12345 1345 12345 20 30 20 x x x x x x x x x x x x x x ++-+=? ? ++-=? ?--+-+=? 7.已知实对称矩阵 141 411 114 A ?? ? = ? ? ?? ,计算A的全部特征值,并求最大特征值相应 的一个特征向量。 8.已知实对称 453 543 332 A - ?? ? =- ? ? ?? ,计算A的全部特征值,并求最大特征值相应的 一个特征向量。 9.已知实对称 331 151 117 ?? ? = ? ? ?? A,计算A的特征值,并求最大特征值相应的全体特 征向量。

矩阵的特征值与特征向量习题

第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)?? ? ? ? ??=931421111) , ,(321a a a (2)???? ?? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交 阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)??? ?? ??----20133 521 2; (2)??? ? ? ??633312321. 4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 5 设 0是m 阶矩阵A m n B n m 的特征值 证明 也是n 阶矩阵BA 的特 征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 2 7A | 7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A * 3A 2E | 8 设矩阵??? ? ? ??=50413102x A 可相似对角化 求x

9 已知p (1 1 1)T 是矩阵???? ? ??---=2135212b a A 的一个特征向量 (1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 (2)问A 能不能相似对角化?并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵??? ? ? ??----020212022化为对角 阵. 11 设矩阵????? ??------=12422421x A 与??? ? ? ? ?-=Λy 45 相似 求x y 并 求一个正交阵P 使P 1AP 12 设3阶方阵A 的特征值为1 2 2 2 3 1 对应的特征 向量依次为p 1 (0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 13 设3阶对称矩阵A 的特征值 1 6 2 3 3 3 与特征值 1 6对应的特征向量为p 1 (1 1 1)T 求A . 14 设?? ? ? ? ??-=340430241A 求A 100

特征值和特征向量的性质与求法

特征值和特征向量的性质与求法 方磊 (陕理工理工学院(数学系)数学与应用数学专业071班级,陕西汉中 723000)” 指导老师:周亚兰 [摘要] :本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。 [关键词]:矩阵线性变换特征值特征向量

1 特征值与特征向量的定义及性质 定义1:(ⅰ)设A 是数域p 上的n 阶矩阵,则多项式|λE-A|称A 的特征多项式,则它在 c 上的根称为A 的特征值。 (ⅱ)若λ是A 的特征值,则齐次线性方程组(λE-A) X =0的非零解,称为A 的属于特征值λ的特征向量。 定义2:设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换,如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ,使得a ξ=0λξ,那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。 性质1: 若λ为A 的特征值,且A 可逆,则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。 证明: 设n λλλ 21为A 的特征值,则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n) 设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =?A 则λ1 -A ξ=ξ即有 1 -A ξ=1 -λ ξ ∴1 -λ 为1 -A 的特征值,由于A 最多只有n 个特征值 ∴1 -λ 为1 -A ξ的特征值 性质2:若λ为A 的特征值,则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =n n a χ +1 0111 1x a x a x a n n +++-- 证明:设ξ为A 的属于λ的特征向量,则A ξ=λξ ∴ ()A f ξ=(n n A a +E a A a A a n n 011 1+++-- )ξ = n n A a ξ+ 1 1--n n A a ξ+… +E a 0 ξ =n n a λξ+1 1--n n a λ+…+E 0a ξ =()λf ξ 又ξ≠0 ∴ ()λf 是()A f 的特征值 性质3:n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ,则a 一定是A 的特征值

乘幂法求特征值及特征向量

#include #include #define NUMBER 20 #define epsilon 0.001 main() { double A[NUMBER][NUMBER],X[NUMBER],G[NUMBER]; int n; int i,r,j,k; double XK[NUMBER],Y[NUMBER]; double m; double h; printf("\n gui fan hua cheng mi fa qiu ju zhen zhu te zheng zhi ji te zhen xiang liang:"); printf("\n shu ru ju zhen de wei shu n="); scanf("%d",&n); printf("\n xian zai shu ru ju zhen A:"); for(i=1;i<=n;i++) { printf("\n qing shu ru a%dl--a%d%d xi shu:",i,i,n); for(j=1;j<=n;j++) scanf("%lf",&A[i][j]); } for(i=1;i<=n;i++) X[i]=1; for(;;) { m=0; h=0; for(i=1;i<=n;i++) if(m

矩阵的特征值与特征向量的求法

摘要:首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题. 关键词:矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵

Abstract:Firstly,it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving. Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix

目录 1 前言 (4) 2 矩阵的特征值和特征向量的求法 (4) 2.1 矩阵的初等变换法 (4) 2.2 矩阵的行列互逆变换法 (6) 3 矩阵特征值的一些性质及应用 (7) 3.1 矩阵之间的关系 (7) 3.1.1 矩阵的相似 (7) 3.1.2 矩阵的合同 (7) 3.2 逆矩阵的求解 (8) 3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 (8) 3.4 矩阵的求解 (9) 3.5 矩阵特征值的简单应用 (10) 结论 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)

第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法

第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法 某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发,先求出特征多项式,再求特征多项式的根,在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法,因为了这种算法往往不稳定.常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。 §1 乘幂法 乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法,它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。 定理8·1 设矩阵An ×n 有n 个线性无关的特征向量X i(i=1,2,…,n),其对应的特征值λi (i =1,2,…,n)满足 |λ1|>|λ2|≧…≧|λn | 则对任何n维非零初始向量Z 0,构造Zk = AZ k-1 11()lim ()k j k k j Z Z λ→∞ -= (8·1) 其中(Zk )j表示向量Z k 的第j个分量。 证明 : 只就λi是实数的情况证明如下。 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ,(i = 1,2,…,n)用X i(i = 1,2,…,n)线性表示,即Z 0=α1X 1 + α2X2 +用A 构造向量序列{Z k }其中 ? 21021010, ,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====, (8.2) 由矩阵特征值定义知AXi =λi X i (i=1,2, …,n),故 ? 0112211122211121k k k k k n n k k k n n n k n k i i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===++ +=+++???? ??=+ ?????? ? ∑ (8.3) 同理有 1 1 11 1121k n k i k i i i Z X X λλααλ---=? ? ????=+ ????? ? ? ∑ (8.4) 将(8.3)与(8.4)所得Zk 及Z k-1的第j 个分量相除,设α1≠0,并且注意到 |λi |<|λ1|(i=1,2,…,n )得

矩阵特征值和特征向量解法的研究

矩阵特征值和特征向量解法的研究 周雪娇 (德州学院数学系,山东德州 253023) 摘 要:对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够 更容易发现最好的方法,并提高问题的解题效率. 关键词: 矩阵; 特征值; 特征向量; 解法 引言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中,常常会遇到特征值和特征向量的计算问题,如:机械、结构或电磁振动中的固有值问题;物理学中的各种临界值等,这些特征值的计算往往意义重大.很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题,在这里主要研究矩阵计算中三大问题之——特征值问题. 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵,如果存在数λ和n 维非零向量x ,使得x Ax λ=成立,则称 λ为A 的特征值,x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括: (1)若i i r A 的是λ重特征值,则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量,其中i i r s ≤. (2)若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量,则当21,k k 不全为零时,2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. (3)若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值,其对应的特征向量分别是 n x x x ,,,21 ,则这组特征向量线性无关.

(4)若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ,则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ,A n =λλλ 21. (5)实对称矩阵A 的特征值都是实数,且对应不同特征值的特征向量正交. (6)若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值,则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量. (7)设λ为矩阵A 的特征值,()x P 为多项式函数,则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值.[]1 2 普通矩阵特征值与特征向量的求法 2.1 传统方法 确定矩阵A 的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步: (1)求出矩阵A 特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根; (2)把所求得的特征根()n i i ,,2,1 =λ逐个代入线性方程组()0=-X A E i λ, 对于每一个特征值,解方程组()0=-X A E i λ,求出一组基础解系,这样,我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量.[]2 例1 已知矩阵 ???? ? ?????-=11 111 110 A 求矩阵A 的特征值和特征向量. 解 A E -λ = 1 1 1 1 1 11 ------λλλ = ()21-λλ 所以,由()012=-λλ知A 的特征根1,0321===λλλ.

用列初等变换求矩阵的特征向量

求矩阵特征向量的三种方法 文爱民 (湘南学院数学系2000级1班中国郴州 423000) 摘要:突破了只用行初等变换求矩阵特征向量的思维模式,本文引用了“特征根与特征向量的同步求解”的方法,并导出了“用列初等变换求矩阵的特征向量”的方法,理论上都给出了它们的证明.在求矩阵特征向量时,如果选择的方法 得当,将大大提高计算速度. 关键词:行初等变换列初等变换矩阵特征向量 Three methods of requesting matrix eigenvector Aimin-W en (Class 1,Grade 2000,Department of Mathematics XiangNan University ,Chenzhou 423000 ,China) Abstract: D ifferent from the thought of only considering to use row elementary Counterchange to request the eigenvector of matrix,this paper quotethe method of using “characteristic root and eigevector synchronously request solution”,and deduce the method ofusing “ier elementary counterchange to request the eigenvector”.They are deduced theoretically in the text.if the method of choice Properly when request the eigenvector of matrix will increases consumedly the calculation. Key words:row elementary counterchange;tier elementary counterchange; matrix;eigenvector. §1、定义 定义1 所谓数域P上矩阵的初等变换是指下列三种变换:1)以P中一个非零的数乘矩阵的某一行(列). 2)把矩阵的某一行(列)的c倍加到另一行(列)

求矩阵特征值算法及程序

求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 (1)输入矩阵A 、初始向量)0(μ ,误差eps ; (2)1?k ; (3)计算)1()(-?k k A V μ; (4))max (,) max ()1(1)(--??k k k k V m V m ; (5)k k k m V /)()(?μ; (6)如果eps m m k k <--1,则显示特征值1λ和对应的特征向量)1(x ),终止; (7)1+?k k ,转(3) 注:如上算法中的符号)max(V 表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input["系数矩阵A="]; u=Input["初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input["误差精度eps ="]; nmax=Input["迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k

m0=m1; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; Print["k=",k," 特征值=",N[m1,10]," 误差=",N[t,10]]; Print[" 特征向量=",N[u,10]]]; If[k ≥nmax,Print["迭代超限"]] 说明:本程序用于求矩阵A 按模最大的特征值及其相应特征向量。程序执行后,先通过键盘输入矩阵A 、迭代初值向量)0(μ、精度控制eps 和迭代允许最大次数max n ,程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征值、特征向量及误差序列,它们都按10位有效数输出。其中最后输出的结果即为所求的特征值和特征向量序列。如果迭代超出max n 次还没有求出满足精度的根则输出迭代超限提示,此时可以根据输出序列判别收敛情况。 程序中变量说明 a:存放矩阵A ; u:初始向量)0(μ和迭代过程中的向量)(k μ及所求特征向量; v:存放迭代过程中的向量)(k V ; m1:存放所求特征值和迭代过程中的近似特征值; nmax:存放迭代允许的最大次数; eps:存放误差精度; fmax[x]: 给出向量x 中绝对值最大的分量; k:记录迭代次数; t1:临时变量; 注:迭代最大次数可以修改为其他数字。 3、例题与实验 例1. 用幂法求矩阵???? ? ??---=9068846544 1356133A 的按模最大的特征值及其相应特征向量,要求误差410-

第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数

习题 1. (1) 若A 2 = E ,证明A 的特征值为1或-1; (2) 若A 2 = A ,证明A 的特征值为0或1. 证明(1)2 2A E A =±所以的特征值为1,故A 的特征值为1 (2) 2222 2 ,,()0,001 A A A X A X AX X X X λλλλλλλ===-=-==所以两边同乘的特征向量得即由于特征向量非零,故即或 2. 若正交矩阵有实特征值,证明它的实特征值为1或 -1. 证明 1,1 T T T A A A E A A A A A λλλλ -=∴==±设是正交阵,故有与有相同的特征值, 1 故设的特征值是,有=,即 3.求数量矩阵A=aE 的特征值与特征向量. 解 A 设是数量阵,则 000000000000a a A aE a a a E A a λλλλ?? ? ?== ? ??? ---= -L L L L L L L L L L L L 所以:特征值为a (n 重), A 属于a 的特征向量为 k 1(1,0,…,0)T + k 2(0,1,…,0)T + k n (0,0,…,1)T ,(k 1, k 2, …, k n 不全为0)

4.求下列矩阵的特征值与特征向量. (1)113012002-?? ? ? ??? (2)324202423?? ? ? ??? (3)??? ?? ??---122212 221 (4)212533102-?? ?- ? ?--?? ()1112221211(5) , , (0,0)0.T T n n n n a a b a a b A b b b a b a a b αβαβαβ?? ???? ? ? ? ? ? ?====≠≠= ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? L M M M 其中,且 解(1) 11 3 0120,1,2,00 2A E AX λλλ λλλλ ---=-====-0,123求得特征值为:分别代入=求得 A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ,(k ≠0) A 属于特征值2的全部特征向量为k(1,2,1)T ,(k ≠0) 解(2)

矩阵的特征值与特征向量专题讲解

矩阵的特征值与特征向量专题讲解 一、内容提要 一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念 设A 为n 阶方阵,若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=,则称λ是A 的特征值,a 是属于λ的特征向量;矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵;E A λ-是 λ的n 次多项式,称为A 的特征多项式;E A λ-=0称为A 的特征方程; 2、特征值、特征向量的求法 (1)计算A 的特征值,即解特征方程E A λ-=0; (2)对每一个特征值0λ,求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ,,...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++,其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数; 3、特征值、特征向量的性质 (1)A 与T A 的特征值相同(但特征向量一般不同); (2)属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量; (3)属于不同特征值的特征向量线性无关; (4)设()0A a a a λ=≠,则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ,其中 ()P x 为任一多项式,而a 仍为相应的特征向量; (5)若A 可逆,()0Aa a a λ=≠,则 1 λ 是1 A -的特征值; A λ 是*A 的特征值, a 仍为相应的特征向量; (6)设12n λλλ,,...是n 阶方阵的特征值,则有()1 1 n n i ii i i a tr A λ====∑∑(迹);

1 n i i A λ ==∏;推论:A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零; (7)若A 为实对称阵,则A 的所有特征值均为实数,且属于不同特征值的特征向量彼此正交。 二、相似矩阵 1、定义 设,A B 为n 阶方阵,若存在n 阶可逆阵P ,使1P AP B -=,称A 与B 相似,记为A ~B ; 2、A ~B 的性质 T T A B ,,,M M kA kB A B ~~~ ()(),P A P B ~其中P 为任一多项式;()(),,,r A r B A B E A E B λλ==-=- ?特征值相同,()()tr A tr B =;若A 可逆,则B 也可逆,且11A B --~。 三、矩阵对角化的条件及方法 1、若矩阵A 与对角阵相似,则称A 可对角化, (1)n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量; (2)若A 的特征值两两不同,则必可对角化。 2、实对称阵A 必可对角化,且存在正交阵P ,使1P AP -=Λ 实对称矩阵正交对角化具体计算步骤如下: (1)求出实对称矩阵A 的全部特征值; (2)若特征值是单根,则求出一个线性无关的特征向量,并加以单位化; 若特征值是重根,则求出重数个线性无关的特征向量,然后用施密特正交化方法化为正交组,再单位化;

矩阵特征值和特征向量的求法与应用(参考模板)

毕业论文(设计)题目:矩阵特征值和特征向量的求法与应用

毕业设计(论文)原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重承诺:所呈交的毕业设计(论文),是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知,除文中特别加以标注和致谢的地方外,不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果,也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体,均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名:日期: 指导教师签名:日期: 使用授权说明 本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计(论文)的规定,即:按照学校要求提交毕业设计(论文)的印刷本和电子版本;学校有权保存毕业设计(论文)的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务;学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文;在不以赢利为目的前提下,学校可以公布论文的部分或全部内容。 作者签名:日期:

学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名:日期:年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅。本人授权大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名:日期:年月日 导师签名:日期:年月日

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