2016_2017年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asinωx+φ的图象课件
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1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时 余弦函数的图象与性质1.余弦函数的图象(1)把正弦曲线向左平移π2个单位就可以得到余弦函数的图象.余弦函数y =cos x 的图象叫做余弦曲线.(2)余弦曲线.除了上述的平移法得到余弦曲线,还可以用:①描点法:按照列表,描点,连线顺序可作出余弦函数图象的方法.②五点法:观察余弦函数的图象可以看出,(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,0,(π,-1),⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,0,(2π,1)这五点描出后,余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了.【自主测试1】画出函数y =-cos x ,x ∈[0,2π]的简图.分析:运用五点作图法,首先要找出起关键作用的五个点,然后描点连线. 解:列表:ω>0)的周期为T =2πω.今后,可以使用这个公式直接求这类函数的周期.【自主测试2-1】函数y =2cos x +1的最大值和最小值分别是( ) A .2,-2 B .3,-1 C .1,-1 D .2,-1 答案:B【自主测试2-2】已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π2(x ∈R ),下列结论错误的是( )A .函数f (x )的最小正周期为2πB .函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上是增函数C .函数f (x )的图象关于直线x =0对称D .函数f (x )是奇函数解析:∵f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π2=-cos x (x ∈R ),f (-x )=f (x ),∴函数f (x )是偶函数. 答案:D正弦函数与余弦函数的图象和性质的区别与联系(4)sin x +cos x =1题型一 用“五点法”作函数y =A cos(ωx +φ)的图象 【例题1】用“五点法”画出函数y =2cos 2x 的简图.分析:先找出此函数图象上的五个关键点,画出其在一个周期上的函数图象,再进行扩展得到在整个定义域内的简图.解:因为y =2cos 2x 的周期T =2π2=π,所以先在区间[0,π]上按五个关键点列表如下.然后把y =2cos 2x 在[0,π]上的图象向左、右平移,每次平移π个单位长度,则得到y =2cos 2x 在R 上的简图如下.反思在用“五点法”画出函数y =A cos(ωx +φ)的图象时,所取的五点应由ωx +φ=0,π2,π,3π2,2π来确定,而不是令x =0,π2,π,3π2,2π.题型二 三角函数的图象变换【例题2】函数y =sin 2x 的图象可由y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4的图象平移得到,若使平移的距离最短,则应( )A .向左平移π8个单位长度B .向右平移7π8个单位长度C .向左平移π4个单位长度D .向右平移π8个单位长度解析:y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4 =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4-2x =-sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -3π4 =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -3π4+π=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4 =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x +π8,故函数y =sin 2x 的图象可由y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4的图象向右平移π8个单位长度得到.故选D .答案:D反思一定要注意看清变换的顺序,即看清是以哪个函数图象作为基准. 题型三 函数的定义域问题【例题3】求函数y =36-x 2+lg cos x 的定义域.分析:首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组,然后分别求解,最后求交集即可.解:要使函数有意义,只需⎩⎪⎨⎪⎧36-x 2≥0,cos x >0,即⎩⎪⎨⎪⎧-6≤x ≤6,2k π-π2<x <2k π+π2k ∈Z .利用数轴求解,如图所示:所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-6,-3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2,6. 反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰,但要注意区间的开闭情况.题型四 余弦函数的最值或值域【例题4】(1)求函数y =cos x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3的值域;(2)求函数y =2+cos x2-cos x的最值;(3)求函数y =3cos 2x -4cos x +1,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,2π3的值域.分析:(1)结合y =cos x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3上先增后减即可求解;(2)利用|cos x |≤1这一性质;(3)利用配方法,结合二次函数的性质求解.解:(1)∵y =cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,0上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,2π3上单调递减,∴y ma x =cos 0=1,y min =cos 2π3=-12,∴y =cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1. (2)由y =2+cos x 2-cos x ,求得cos x =2y -1y +1.∵|cos x |≤1,∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y -1y +1≤1,∴[2(y -1)]2≤(y +1)2.解得13≤y ≤3,∴y ma x =3,y min =13.(3)y =3cos 2x -4cos x +1=3⎝⎛⎭⎪⎫cos x -232-13,∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,2π3,∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,12, 从而当cos x =-12,即x =2π3时,y ma x =154.当cos x =12,即x =π3时,y min =-14.∴函数y =3cos 2x -4cos x +1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-14,154.反思求函数的最值的方法有以下几种:(1)直接法.根据函数值域的定义,由自变量的取值范围求出函数值的取值范围. (2)利用函数的单调性.(3)利用函数的图象,转化为求函数图象上最高点和最低点的纵坐标的问题.(4)利用换元法,转化为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数问题.题型五 余弦函数图象的应用【例题5】求函数y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4的对称中心、对称轴方程、单调递减区间和最小正周期.分析:利用整体换元,设t =2x +π4,则问题转化为考查函数y =cos t 的相关性质.解:设t =2x +π4,则函数y =cos t 的图象如图所示.令t =k π(k ∈Z ),则2x +π4=k π(k ∈Z ).故x =k ·π2-π8(k ∈Z )即为所求的对称轴方程.令t =k π+π2(k ∈Z ),则2x +π4=k π+π2(k ∈Z ),则x =k ·π2+π8(k ∈Z ).故⎝ ⎛⎭⎪⎫k ·π2+π8,0(k ∈Z )即为所求的对称中心.当t ∈[2k π,2k π+π](k ∈Z )时,2x +π4∈[2k π,2k π+π](k ∈Z ),则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π8,k π+3π8(k ∈Z ). 故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π8,k π+3π8(k ∈Z ). ∵cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+2π=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x +π+π4, ∴最小正周期T =π.反思整体换元思想是解决较复杂三角函数问题常用的一种方法,它能将问题化归为对基本三角函数的考查.〖互动探究〗若将本例中的函数改为“y =⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4”呢? 解:设t =2x +π4,则问题转化为考查函数y =|cos t |,如图所示:解答过程同例题,可得无对称中心.令t =k ·π2(k ∈Z ),则2x +π4=k ·π2(k ∈Z ),∴对称轴为x =k ·π4-π8(k ∈Z );令t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π,k π+π2(k ∈Z ), ∴2x +π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π,k π+π2(k ∈Z ),则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2-π8,k ·π2+π8故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2-π8,k ·π2+π8(k ∈Z ).最小正周期T =π2.反思(1)若三角函数式子中带绝对值号,则通常通过观察图象得到周期和单调区间. (2)正弦函数y =sin x 和余弦函数y =cos x 取绝对值后,周期缩为原来的一半,即 ①y =|sin x |的周期为π; ②y =|cos x |的周期为π.1.下列说法不正确的是( )A .正弦函数、余弦函数的定义域是R ,值域是[-1,1]B .余弦函数当且仅当x =2k π(k ∈Z )时取得最大值1,当且仅当x =(2k +1)π(k ∈Z )时取得最小值-1C .正弦函数在每个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2+2k π,3π2+2k π(k ∈Z )上都是减函数 D .余弦函数在每个区间[2k π-π,2k π](k ∈Z )上都是减函数 答案:D2.下列函数中,周期为π,且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2上为减函数的是( ) A .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2 B .y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2 C .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2 D .y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π2答案:A3.(2012·重庆期末)把函数y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变),得到图象的解析式为( )A .y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6B .y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3C .y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +2π3D .y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x +π3 答案:D4.若函数y =a cos x +b 的最小值为-12,最大值为32,则a =__________,b =__________.解析:由于y ma x =32,y min =-12,且-1≤cos x ≤1,则当a >0时,有⎩⎪⎨⎪⎧a +b =32,-a +b =-12,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =12.当a <0时,有⎩⎪⎨⎪⎧-a +b =32,a +b =-12,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =12.综上,a =±1,b =12.答案:±1 125.函数y =|cos x |的单调增区间为________,单调减区间为________,最小正周期为________.解析:函数y =|cos x |的图象,如图所示.由图可知它的最小正周期为π.又因为在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2上,函数的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,0,减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2.而函数的周期是k π(k ∈Z ),因此函数y =|cos x |的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π2,k π(k ∈Z ),减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π,k π+π2(k ∈Z ). 答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π2,k π(k ∈Z ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π,k π+π2(k ∈Z ) π 6.函数f (x )的定义域为[0,1],则f (cos x )的定义域是__________.解析:由已知0≤cos x ≤1,得2k π-π2≤x ≤2k π+π2(k ∈Z ).答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z ) 7.已知函数f (x )=3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4,x ∈R . (1)用“五点法”画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)求函数f (x )的最大值,并求出取得最大值时自变量x 的取值集合; (3)求函数f (x )的单调增区间. 解:(1)列表:(2)当2x -π4=2k π(k ∈Z ),即x =k π+π8(k ∈Z )时,y ma x =3,此时x 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =k π+π8,k ∈Z. (3)当2k π-π≤2x -π4≤2k π(k ∈Z )时,k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z ,故函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8(k ∈Z ).。
1.3.3 函数y =Asin(ωx+φ)的图象(二)[学习目标] 1.会用“五点法”画函数y =A sin(ωx +φ)的图象.2.能根据y =A sin(ωx +φ)的部分图象,确定其解析式.[知识链接]由函数y =sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y =sin(ωx +φ)(ω>0)的图象? 答 y =sin x 的图象变换成y =sin(ωx +φ)(ω>0)的图象一般有两个途径: 途径一:先相位变换,再周期变换先将y =sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变),得y =sin(ωx +φ)的图象.途径二:先周期变换,再相位变换先将y =sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度,得y =sin(ωx +φ)的图象.[预习导引]函数y =A sin(ωx +φ) (A >0,ω>0)的性质如下:定义域 R 值域 [-A ,A ]周期性T =2πω奇偶性φ=k π (k ∈Z )时是奇函数;φ=π2+k π (k ∈Z )时是偶函数;当φ≠k π2(k ∈Z )时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由2k π-π2≤ωx +φ≤2k π+π2(k ∈Z )得到,单调减区间可由2k π+π2≤ωx +φ≤2k π+3π2(k ∈Z )得到要点一 “五点法”作y =A sin(ωx +φ)的简图例1 用“五点法”作出函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的简图,并指出该函数的单调区间. 解 (1)列表如下:2x +π30 π2 π 3π2 2π x -π6π12 π3 7π12 5π6 y2-2(2)描点、连线,如图由图象知,在一个周期内,函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,7π12上单调递减,函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-512π,π12上单调递增.又因为函数的周期为π,所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12+k π,7π12+k π(k ∈Z );单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π12+k π,π12+k π(k ∈Z ).规律方法 用“五点法”画函数y =A sin (ωx +φ)(x ∈R )的简图,先作变量代换,令X =ωx +φ,再用方程思想由X 取0,π2,π,32π,2π来确定对应的x 值,最后根据x ,y 的值描点、连线画出函数的图象.跟踪演练1 作出函数y =32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x -π3在长度为一个周期的闭区间上的图象.解 列表:X =13x -π3π2 π3π2 2πxπ 5π24π 11π27πy =32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x -π332-32描点画图(如图所示):要点二 求函数y =A sin(ωx +φ)的解析式例2 函数y =A sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的图象的一部分如图所示,求此函数的解析式.解 方法一 (逐一定参法)由图象知A =3,T =5π6-⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6=π,∴ω=2πT=2,∴y =3sin(2x +φ).∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,0在函数图象上,且为第一个特值点, ∴0=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6×2+φ.∴-π6×2+φ=k π,得φ=π3+k π(k ∈Z ).∵|φ|<π2,∴φ=π3.∴y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3.方法二 (待定系数法)由图象知A =3.∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6,0,∴⎩⎪⎨⎪⎧πω3+φ=π,5πω6+φ=2π,解得⎩⎪⎨⎪⎧ω=2,φ=π3.∴y =3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3.方法三 (图象变换法)由A =3,T =π,点⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,0在图象上,可知函数图象由y =3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得,所以y =3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6,即y =3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3.规律方法 给出y =A sin(ωx +φ)的图象的一部分,确定A ,ω,φ的方法:(1)第一零点法:如果从图象可直接确定A 和ω,则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx +φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A ,ω,φ.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式.(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y =A sin ωx ,再根据图象平移规律确定相关的参数.跟踪演练2 如图,函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的图象,根据图中条件,写出该函数解析式.解 由图象知A =5.由T 2=5π2-π=3π2,得T =3π, ∴ω=2πT =23.∴y =5sin(23x +φ).下面用两种方法求φ: 方法一 (单调性法)∵点(π,0)在递减的那段曲线上, ∴2π3+φ∈[π2+2k π,32π+2k π](k ∈Z ).由sin(2π3+φ)=0,得2π3+φ=2k π+π(k ∈Z ),∴φ=2k π+π3(k ∈Z ).∵|φ|<π,∴φ=π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4,5)代入y =5sin(23x +φ),得5sin(π6+φ)=5,∴π6+φ=2k π+π2(k ∈Z ),∴φ=2k π+π3(k ∈Z ). ∵|φ|<π,∴φ=π3.所以该函数式为y =5sin(23x +π3).1.若函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)为偶函数,则φ满足的条件是________. 答案 φ=k π+π2(k ∈Z )2.函数y =sin(ωx +φ)(x ∈R ,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图,则ω=________,φ=________.答案π4 π4解析 由所给图象可知,T4=2,∴T =8.又∵T =2πω,∴ω=π4.∵图象在x =1处取得最高点,∴π4+φ=π2+2k π(k ∈Z ), ∴φ=2k π+π4(k ∈Z ),∵0≤φ<2π,,∴φ=π4.3.已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π3(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象说法正确的有________.①关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0对称;②关于直线x =π4对称;③关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,0对称; ④关于直线x =π12对称.答案 ①④4.作出y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -π4在一个周期上的图象.解 (1)列表:12x -π40 π2 π 32π 2π xπ2 32π 52π 72π 92π 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -π43-3描点、连线,如图所示:1.由函数y =A sin(ωx +φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ,ω,φ的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T =2π|ω|,所以往往通过求周期T 来确定ω,可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ,即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝ ⎛⎭⎪⎫-φω,0(也叫初始点)作为突破口.以y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)为例,位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.2.在研究y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的性质时,注意采用整体代换的思想.例如,它在ωx +φ=π2+2k π (k ∈Z )时取得最大值,在ωx +φ=3π2+2k π (k ∈Z )时取得最小值.一、基础达标1.已知简谐运动f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x +φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为T =________,φ=________. 答案 6π6解析 T =2πω=2ππ3=6,代入(0,1)点得sin φ=12.∵-π2<φ<π2,∴φ=π6.2.函数图象的一部分如下图所示,则符合题意的解析式是__________________.①y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6;②y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6;③y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x -π3;④y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6. 答案 ④解析 由图知T =4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12+π6=π,∴ω=2πT =2. 又x =π12时,y =1,经验证只有④符合.3.若函数y =sin(ωx +φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω=________.答案 4解析 设函数的最小正周期为T , 由函数图象可知T 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+π4-x 0=π4,所以T =π2.又因为T =2πω,可解得ω=4.4.已知a 是实数,则函数f (x )=1+a sin ax 的图象可能是________.答案 ①②③解析 当a =0时f (x )=1,③符合,当0<|a |<1时T >2π,且最小值为正数,①符合, 当|a |>1时T <2π,②符合.5.函数y =12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6与y 轴最近的对称轴方程是__________. 答案 x =-π6解析 令2x -π6=k π+π2(k ∈Z ),∴x =k π2+π3(k ∈Z ). 由k =0,得x =π3;由k =-1,得x =-π6.6.函数y =cos(2x +φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象重合,则φ=________. 答案5π6解析 函数y =cos(2x +φ)向右平移π2个单位,得到y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3,即y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3向左平移π2个单位得到函数y =cos(2x +φ),y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3向左平移π2个单位,得y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2+π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π+π3=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2x +π3=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +5π6,即φ=5π6.7.已知曲线y =A sin(ωx +φ) (A >0,ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π8,2,此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π,0,若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2.(1)试求这条曲线的函数表达式;(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象. 解 (1)由题意知A =2,T =4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π-π8=π,ω=2πT=2,∴y =2sin(2x +φ).又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2+φ=1,∴π4+φ=2k π+π2,k ∈Z , ∴φ=2k π+π4,k ∈Z ,又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,∴φ=π4,∴y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4.(2)列出x 、y 的对应值表:x-π8 π8 38π 58π 78π 2x +π40 π2 π 32π 2π y2-2描点、连线,如图所示:二、能力提升8.如果函数y =sin 2x +a cos 2x 的图象关于直线x =-π8对称,那么a =________.答案 -1解析 方法一 ∵函数y =sin 2x +a cos 2x 的图象关于x =-π8对称,设f (x )=sin 2x +a cos 2x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4=f (0), ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2+a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2=sin 0+a cos 0. ∴a =-1.方法二 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π8-x =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π8+x ,令x =π8,有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4=f (0),即a =-1.9.函数f (x )=2sin(ωx +φ),⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是________.答案 2,-π3解析 由图象知34T =5π12-⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3=3π4,解得T =π. 由T =2πω=π,解得ω=2, 得函数表达式为f (x )=2sin(2x +φ)又因为当x =5π12时取得最大值2, 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12+φ=2, 可得5π6+φ=π2+2k π(k ∈Z ) 因为-π2<φ<π2,所以取k =0,得φ=-π3. 10.关于f (x )=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3 (x ∈R ),有下列命题: ①由f (x 1)=f (x 2)=0可得x 1-x 2是π的整数倍;②y =f (x )的表达式可改写成y =4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6; ③y =f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,0对称; ④y =f (x )图象关于x =-π6对称. 其中正确命题的序号为________.答案 ②③解析 对于①,由f (x )=0,可得2x +π3=k π (k ∈Z ). ∴x =k 2π-π6,∴x 1-x 2是π2的整数倍,∴①错;对于②,f (x )=4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3利用公式得: f (x )=4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3=4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6. ∴②对;对于③,f (x )=4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3的对称中心满足2x +π3=k π,k ∈Z ,∴x =k 2π-π6,k ∈Z . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,0是函数y =f (x )的一个对称中心,∴③对; 对于④,函数y =f (x )的对称轴满足2x +π3=π2+k π,k ∈Z .∴x =π12+k π2,k ∈Z ,∴④错. 11.函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的最小值为-2,其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π,又图象过点(0,1),求函数的解析式.解 由于最小值为-2,所以A =2.又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T =2×3π=6π,从而ω=2πT =2π6π=13, y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x +φ. 又图象过点(0,1),所以sin φ=12, 因为|φ|<π2,所以φ=π6. 故所求解析式为y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x +π6. 12.已知函数y =A sin(ωx +φ),(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点P (π12,0),图象与P 点最近的一个最高点坐标为(π3,5). (1)求函数解析式;(2)指出函数的增区间;(3)求使y ≤0的x 的取值范围.解 (1)∵图象最高点坐标为(π3,5),∴A =5.∵T 4=π3-π12=π4,∴T =π. ∴ω=2πT=2. ∴y =5sin(2x +φ).代入点(π3,5), 得sin(23π+φ)=1. ∴23π+φ=2k π+π2(k ∈Z ). 由|φ|<π2,得φ=-π6, ∴y =5sin(2x -π6). (2)∵函数的增区间满足2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2(k ∈Z ),∴2k π-π3≤2x ≤2k π+2π3(k ∈Z ).∴k π-π6≤x ≤k π+π3(k ∈Z ). ∴增区间为[k π-π6,k π+π3](k ∈Z ). (3)∵5sin(2x -π6)≤0, ∴2k π-π≤2x -π6≤2k π(k ∈Z ), ∴k π-512π≤x ≤k π+π12(k ∈Z ). 三、探究与创新13.已知函数f (x )=sin(ωx +φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4,0对称,且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上是单调函数,求φ和ω的值. 解 ∵f (x )在R 上是偶函数,∴当x =0时,f (x )取得最大值或最小值.即sin φ=±1,得φ=k π+π2,k ∈Z ,又0≤φ≤π,∴φ=π2. 由图象关于M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4,0对称可知, sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω+π2=0,解得ω=43k -23,k ∈Z . 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上是单调函数, ∴T ≥π,即2πω≥π,∴ω≤2,又ω>0,∴当k =1时,ω=23;当k =2时,ω=2. 综上,φ=π2,ω=23或2.。
三角函数的图象与性质教学目标:1、掌握正、余弦函数的定义域和值域;2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念,会求它们的周期,会判断它们的奇偶性;3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点:正、余弦函数的性质教学难点:正、余弦函数的单调性知识要点:1、定义域:函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞,即实数集R2、值域:函数sin y x =,x R ∈及cos y x =,x R ∈的值域都是[]1,1-理解:(1)在单位圆中,正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的,所以sin 1x ≤,cos 1x ≤,即1sin 1x -≤≤,1cos 1-≤≤。
(2)函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时,y 取最大值1,当22x k ππ=-,()k Z ∈时,y 取最小值-1;函数cos y x =在2x k π=,()k Z ∈时,y 取最大值1,当2x k ππ=+,()k Z ∈时,y 取最小值-1。
正弦函数s i n y x =,x R ∈和余弦函数cos y x =,x R ∈是周期函数,2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期,最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =,x R ∈是奇函数,余弦函数cos y x =,x R ∈是偶函数。
理解:(1)由诱导公式()sin sin x x -=-,cos()cos x x -=可知以上结论成立;(2)反映在图象上,正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性(1)由正弦曲线可以看出:当x 由2π-增大到2π时,曲线逐渐上升,sin x 由-1增大到1;当x 由2π增大到32π时,曲线逐渐下降,sin x 由1减至-1,由正弦函数的周期性知道:①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上,都从-1增大到1,是增函数; ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上,都从1减小到-1,是减函数。
三角函数的图象和性质(1)一、知识梳理1二、例题讲解 1、函数的定义域例1、求下列函数的定义域 (1)xxx x f cos 1tan cos )(+⋅=(2)29)3sin 2lg()(x x x f -++=2、函数的值域例2、求下列函数的值域(1)x x x y cos sin 42cos 31++= ()22(cos 3sin ππ≤≤-+=x x x y )(2))3sin(sin π-=x x y (()()1cos 1sin ++=x x y )(3) 1sin 23sin 4-+=x x y (2cos 1sin 2+-=x x y )例3、(1)若ππ2<<x ,kk x --=432sin 有意义,求实数k 的取值范围; (2)问a 为何值时,函数()1sin 2cos 3log )(221++=x a x x f 的定义域为R ?例4、已知函数b a x x a x a x f ++-=cos sin 32sin 2)(2的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π,值域为[]1,5-,求常熟b a ,的值。
作业:1、 1. 求函数x x y tan log 221++=的定义域;2. 已知函数)0)(63sin(>+-=b x b a y π的最大值为23,最小值为21-,分别求出b a ,的值。
3. 若x x f ωsin 2)(=(10<<ω)在区间]3,0[π上的最大值是2,求ω的值。
4. 求函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--的值域 5. 若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(xx a x x x f --++=ππ的最大值为2,试确定常数a 的值。
6. 求函数xx xx y cos sin 1cos sin ++⋅=的最大值和最小值。
7. 已知函数a x x x f ++-=sin sin )(2。
第一章三角函数本章综述本章内容可分为三部分:第一部分主要包括任意角的概念和弧度制.教材首先说明了角概念推广的必要性,引进了任意角的概念;然后介绍了弧度制,通过弧度制对角的度量,使得角和实数建立起一一对应关系。
第二部分主要包括三角函数的有关概念、同角三角函数的基本关系式、诱导公式。
由于弧度制的引入建立起了角与实数间的一一对应关系,三角函数就可以看成以实数为自变量的函数了,使得三角函数具有了更广泛的意义和应用。
为了求任意角的三角函数值,又根据三角函数的定义导出同角三角函数间的关系式和诱导公式。
第三部分主要包括三角函数的图象和性质.教材利用三角函数为工具,作出了正弦曲线和余弦曲线,并根据这两种曲线形状的特点介绍了五点法作图。
接下来研究的是函数y=Asin(ωx+φ)的图象和函数y=sinx的图象的关系.最后介绍了正切函数的图象和性质.本章的重点是:任意角三角函数的概念,同角三角函数间的关系式、诱导公式及其运用,正弦函数图象的画法,正余弦函数、正切函数的性质及应用。
本章的难点是:弧度制的概念,综合运用三角公式进行三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明,周期函数的概念等.学习本章应做到以下几点:(1)了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化;(2)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;(3)借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2π±α,π±α的正弦、余弦、正切),能画出y=sinx,y=cosx ,y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;(4)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在(—2π,2π)上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等);(5)理解同角三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,x x cos sin =tanx ;(6)结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;(7)能借助计算器或计算机画出y=Asin (ωx+φ)的图象,观察参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响;(8)会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.本章的三角公式众多,对学过的公式应做到真正的理解、记准、记熟、用活.掌握知识体系,对三角函数式的恒等变形要牢记公式及其相互关系,在应用公式时要特别注意逆用公式或变形使用,训练逆向思维能力.对三角函数的图象及其性质要充分利用图象的特征帮助记忆,以便灵活应用。
1.3.3 已知三角函数值求角一、教材地位分析本节课的教学内容是人教B版必修四1.3.3已知三角函数值求角。
本节内容是三角函数图象和性质的延续,本节内容在实际问题中经常用到。
在后续数学学习中也会用到,比如平面向量部分、空间向量与立体几何学习中表示线线角、线面角、二面角等等。
二、内容的整体把握本节是介绍如何根据角的正弦、余弦或正切值求出这个角,并引入了arcsin x、arccos x、arctan x等数学符号,要求学生会用这些符号表示角。
已知角x的一个三角函数值求角x,所得的角不一定只有一个,角的个数要根据角的取值范围来确定。
具体表示角时还要结合三角函数的正负号法则和诱导公式,利用数形结合的办法更容易理解。
三、学情分析从学生的现有知识水平看,在学习本节前,学生已经学习了三角函数的图象和性质及诱导公式,绝大多数同学对于三角函数的图象和性质掌握的比较好。
因此,本节课教学要借助这些已有知识,通过观察、分析、类比、归纳,帮助学生理解已知三角函数值求角的方法。
四、设计思想采用问题引领式的教学方法。
层层设问,步步紧追,让学生在逐个问题的解决中积极思考,找到问题之间的联系,破解问题的复杂性,做好新旧知识的衔接。
让学生们会思考,会提问,懂类比,从而提高数学学科素养。
五、教学方法与教学手段1、教学方法:教学始终采用问题引领式的教学方法。
通过逐一解决问题,让学生接受新知识,运用新符号。
引导学生掌握由特殊到一般,再由一般到特殊的归纳推理与类比推理的研究方法。
2、教学手段:利用多媒体课件展示,创设问题情境,激发学习兴趣,提高课堂效率。
六、学法指导教会学生类比分析问题,解决问题。
学会归纳提炼一类问题的解题方法,积极接受新符号,解决新问题。
七、教学目标1、知识与技能:了解arcsin x、arccos x、arctan x等数学符号,会用这些符号表示角。
2、过程与方法:通过问题引领使学生积极接受新符号,解决新问题。
经历已知三角函数值求角由特殊到一般的过程,使知识体系更完整。
(2) /(航+如型三角函数的奇偶性(i ) g (x ) = /沏(颜+如(x€ R)(x)为偶函数匕鼠U 力(而+ 出=j4sin (-<at + 炉)(x W 氏)0 sin 曲匚*0=。
(工 W R )7Tcos 卯=。
=上7T+一1左 e Z )由此得 2 ,同理,式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)(ii )飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t");就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何;(一)三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数:y = sinx y= tanx ; 偶函数:y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为;丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ;y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.(2)认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭(枷+或)| j = A 匚。
5(西+励|(ii )若函数为,(收斗劭 型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”. (iii )探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验一一猜想一一证明.(3)特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T(ii ) y=卜由H+|M 幻的最小正周期为,;7T(iii ) y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为,. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象 .4、单调性(1)基本三角函数的单调区间(族)依从三角函数图象识证“三部曲”:①选周期:在原点附近选取那个包含全部锐角,单调区间完整,并且最好关于原点对称的 一个周期;②写特解:在所选周期内写出函数的增区问(或减区问);③获通解:在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函数 的增区间族(或减区间族)循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示:上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域(2) y=/(而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = (助+切1_r= |达匚祖(姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血(为工卜8]妣+3)+甘¥ = |例如(而+5+上] J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠;,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同,即对 数的周期不变.注意这一点与(i )的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后,该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解:令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层:y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式:根据对复合函数单调性的认知,确定出 f (u)的单调性,而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式;③还原、结论:将u =^+W 代入②中u 的不等式,解出x 的取值范围,并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数; [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数;2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意:①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反;y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地,若y f(x)在[a,b ]上递增(减),则y f (x)在[a,b ]上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2,如图,翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数,而y ( x )是偶函数,则2 1 、,、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳[只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数,同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域 关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:f( x) f(x),奇函数:f( x) f(x)) 奇偶性的单调性:奇同偶反.例如:y tanx 是奇函数,y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质:若0 x 的定义域,则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域,则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数;y sinx 为周期函数(T ); y cosx 是周期函数(如图);y cosx 为周期函数(T );y cos2x1的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量:A 一振幅;f 1—频率(周期的倒数);x 一相包; 一初相;2、函数y Asin( x )表达式的确定:A 由最值确定; 由周期确定; 由图象上的特殊点确定,如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是;其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小,则f (x)(答:f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法:类比于研究y sin x 的性质,只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时,要特别注意 A 和 的 符号,通过诱导公式先将 化正。