LC
R
RLC 串联谐振电路一、知识要求：
理解 RLC 串联电路谐振的含义；理解谐振的条件、谐振角频率、频率；理解谐振电路的特点，会画矢量图。
二、知识提要：
在 RLC 串联电路中，当总电压与总电流同相位时，电路呈阻性的状态称为串联谐振。
（1）
、串联谐振的条件：U L = U C 即X L = X C
（2）
、谐振角频率与频率：
由
L = 1
C 得： = 1
（3）
、谐振时的相量图：
谐振频率f 0 =
?
Uc
（4）
、串联谐振电路的特点： ①.电路阻抗最小：Z=R
②、电路中电流电大：I 0=U/R
③、总电压与总电流同相位，电路呈阻性
④、电阻两端电压等于总电压，电感与电容两端电压相等，相位相反，且为总电压的 Q 倍，。
U X L 即 ：U =U =I X =I X = X =
U =QU
L
C 0 L 0 C
L
R
式中：Q 叫做电路的品质因数，其值为：
Q = X L
R = X C R = 2f 0 L = R 1 2f 0CR
＞＞1(由于一般串联谐振电路中的 R 很小，所以 Q 值
总大于 1，其数值约为几十，有的可达几百。所以串联谐振时，电感和电容元件两端可能会
产生比总电压高出 Q 倍的高电压，又因为 U L =U C ，所以串联谐振又叫电压谐振。) （5）
、串联谐振电路的应用：
适用于信号源内阻较低的交流电路。常被用来做选频电路。三、例题解析：
1、在 RLC 串联回路中，电源电压为 5mV ，试求回路谐振时的频率、谐振时元件 L 和 C 上的电压以及回路的品质因数。
解：RLC 串联回路的谐振频率为
2
LC
U L
?
U R = U
?
1
f 0 =
谐振回路的品质因数为
Q = 2f 0
L R 谐振时元件 L 和 C 上的电压为
U L = U C
= 5Q mV = 5 R L
mV C
2、 在 RLC 串联电路中，已知 L ＝100mH ，R ＝3.4Ω，电路在输入信号频率为 400Hz 时发生谐振，求电容 C 的电容量和回路的品质因数。
解：电容 C 的电容量为
C = 1
(2 f 0
) 2 L = 1 631014.4 ≈ 1.58 F
回路的品质因数为
Q = 2 f 0 L = 6.28 ? 400 ? 0.1 ≈ 74
R 3.4
3、已知某收音机输入回路的电感 L=260μH,当电容调到 100PF 时发生串联谐振，求电路的谐振频率，若要收听频率为 640KHz 的电台广播，电容 C 应为多大。（设 L 不变） 1 1
解： f 0 =
= ≈KHZ 2 LC 2 X 3.14 X 260 X 10-6 X 10 X 10-12
C = 1 (2 f )2 L = 1
(2 X 3.14 X 640 X 103 )2 X 260 X 10-6
≈238PF
四、练习题： （一）、填空题
1、串联正弦交流电路发生谐振的条件是
， 谐振时的谐振频率品质因数
Q= ，串联谐振又称为 。
2、在发生串联谐振时，电路中的感抗与容抗 ；此时电路中的阻抗最 ，电流最 ，总阻抗 Z= 。
3、在一 RLC 串联正弦交流电路中，用电压表测得电阻、电感、电容上电压均为 10V ，用电流表测得电流为 10A ，此电路中 R= ，P= ，Q= ，S= 。
4、在含有 L 、C 的电路中，出现总电压、电流同相位，这种现象称为 。这种现象
若发生在串联电路中，则电路中阻抗 ，电压一定时电流 ，且在电感和电容
两端将出现
。
5、谐振发生时，电路中的角频率0
=
， f 0 =
。
（二）、判断题
2
LC
1
HL L C
u
S C2
R L C1
~ u
1、串联谐振电路不仅广泛应用于电子技术中，也广泛应用于电力系统中。（）
2、串联谐振在L 和C 两端将出现过电压现象，因此也把串谐称为电压谐振。（）（三）、选择题
1、RLC 并联电路在f0时发生谐振，当频率增加到2f0时，电路性质呈（）
A、电阻性
B、电感性
C、电容性
2、处于谐振状态的RLC 串联电路，当电源频率升高时，电路将呈现出（）
A、电阻性
B、电感性
C、电容性
3、下列说法中，（）是正确的。
A、串谐时阻抗最小
B、并谐时阻抗最小
C、电路谐振时阻抗最小
4、发生串联谐振的电路条件是（）
A、0
L
R
B 、f0 = C、0 =
5、在RLC 串联正弦交流电路，已知XL=XC=20 欧，R=20 欧，总电压有效值为220V，电
感上的电压为（）V。
A、0
B、220
C、73.3
6、正弦交流电路如图所示，已知电源电压为220V，频率f=50HZ 时，电路发生谐振。现将
电源的频率增加，电压有效值不变，这时灯泡的亮度（）。
A、比原来亮
B、比原来暗
C、和原来一样亮
7、正弦交流电路如图所示，已知开关S 打开时，电路发生谐振。当把开关合上时，电路呈
现（）。
A、阻性
B、感性
C、容性
（三）、计算题
1、在RLC 串联电路中,已知L=100mH,R=3.4Ω,电路在输入信号频率为400Hz 时发生谐振,求
电容C 的电容量和回路的品质因数.
2、一个串联谐振电路的特性阻抗为100Ω,品质因数为100,谐振时的角频率为1000rad/s,试
求R,L 和C 的值.
3、一个线圈与电容串联后加1V 的正弦交流电压,当电容为100pF 时,电容两端的电压为100V 且最大,此时信号源的频率为100kHz,求线圈的品质因数和电感量.
LC LC
1 1
LC
＋ 1 0 4、已知一串联谐振电路的参数 R = 10Ω ， L = 0.13mH ， C = 558pF ，外加电压U = 5
mV 。
试求电路在谐振时的电流、品质因数及电感和电容上的电压。
5、已知串谐电路的线圈参数为“ R = 1Ω，L = 2mH ”，接在角频率= 2500rad/s 的 10V 电压源上，求电容 C 为何值时电路发生谐振？求谐振电流 I 0、电容两端电压 U C 、线圈两端电压 U RL 及品质因数 Q 。
6、如右图所示电路，其中u = 100 cos 314t V ，调节电容 i
R L C 使电流i 与电压u 同相，此时测得电感两端电压为200V ，电 C
流I ＝2A 。求电路中参数R 、L 、C ，当频率下调为 f 0/2 时，电路呈 u 何种性质？ －
答案：一、填空
1、U L = U C 即X L = X C ，X L /R ，电压谐振
2、相等，最小，最大，R 。
3、1 欧，100W ，Q=0var ，S=100VA
4、串联谐振，最小，最大，过电压；
=
1 5、
f 0 =
二、判断 1、对，2 错三、选择题：
1、B
2、B
3、A
4、C
5、B
6、B
7、B 四、计算题：
1、解： C = 1
2f 0 X C = 2 f X = 1 (2f 0 )2 L = 1 (2 X 3.14 X 400)2 X 100 X 10-3
≈ 1.58 F
Q =
X L
=
2f 0 L = 2 X 3.14 X 400 X 0.1 ≈ 74
R
R 3.4
2、R=100 欧，L=10H ，C=0.1μF
3、C 两端产生过电压，说明发生了串联谐振，U L = U C 即X L = X C
2 2
LC
1 L
I = U
c X c = 2f 0CU c
≈ 6.28mA
R = U
I ≈ 160Ω
Q = X
C R L = X L 2f 0
≈ 100
≈ 250mH
解：
4、
f 0 =
≈ 600KHZ
Q = 2f 0 L
=49 I=U/R=0.5mA
Uc=QU=245mV
R
C =
1
(2f 0
)2
L
= 1 2 L
= 80 F
I = U
R = 10 A 5、Q = X L
/ R =
L / R = 5
U C = U L = QU = 50V U RL =
= 51V
6、R=50 欧，L=0.42H ，C=0.0076F
1 2
LC
U R + U L
2
2
U S
RLC 串联电路谐振特性的研究
目的
1. 研究 LRC 串联电路的幅频特性;
2. 通过实验认识 LRC 串联电路的谐振特性.
仪器及用具
音频信号发生器、交流毫伏表、电阻箱、电容箱、电感箱及开关等. 实验原理
LRC 串联电路如图 3.12-1 所示.若交流电源 U S 的电压为 U ,角频 R
C
L
率为ω,各元件的阻抗分别为
Z R = R
Z L = j L Z C =
1 j C
则串联电路的总阻抗为
Z = R + j (L - 1
)
C
串联电路的电流为
图 3.12-1
(3.12 - 1)
?
I = U ?
=
U
= Ie j
(3.12 - 2)
Z
R + j (L - 1
)
C
U Z
R 2 + (L -
C
1 )2
R 2 + (L - C 1 )2
R 2
+
(L -
C
1 )2
1
C R 2 + (L -
C
1 )
2 1 1 - 1 2Q 2
1 - 1 2Q 2
1 式中电流有效值为
I = =
U
(3.12 - 3)
电流与电压间的位相差为
L - 1
= arctan
C R
它们都是频率的函数,随频率的变化关系如图 3.12-2 所示.
(3.12 - 4)
I
π / 2
I m
(a)
- π /2
图 3.12-2
电路中各元件电压有效值分别为
U R = RI =
U L = LI =
R
L
U
(3.12 - 5)
(3.12 - 6)
U C =
C
I = U (3.12 - 7)
比较(3.12-3)和(3.12-5)式可知,U R 随频率变化曲线的形状与图 3.12-2(a )的 I ~ω曲线相似, 而 U L 和 U C 随频率变化关系如图 3.12-3 所示.
(3.12-5),(3.12-6)和(3.12-7)式反映元件 R 、L 和 C 的幅频特性,当
1
= L
C
(3.12 - 8)
时,=0,即电流与电压同位相,这种情况称为串联谐振,此时的角频率称为谐振角频率,并以 0
表示,则有 0 =
(3.12 - 9)
从图 3.12-2 和图 3.12-3 可见,当发生谐振时,U R 和 I 有极大值,而 U L 和 U C 的极大值都不出现在谐振点,它们极大值 U LM 和 U CM 对应的角频率分别为
L =
=
(3.12 - 10)
C = = ?0
(3.12 - 11)
LC
2
2LC - R 2C 2
2 LC 2L 2 1 - R
1
2
R 2 + ( X - X L C )2 1 - 1
4Q 2
0 L U
C
Q =
L
= R
1 = 0CR
R (3.12 -12)
式中 Q 为谐振回路的品质因数,为电路特性阻抗,是一个仅与电路参数有关而与频率无关
1
的量.如果满足Q >
,可得相应的极大值分别为
2Q 2U QL U LM = =
(3.12 -13)
U CM =
4Q 2 -1 QU 1- 1 4Q 2
(3.12 - 14)
图3.12-3
图 3.12-4 串联谐振向量图
综上所述,有以下结论
1. 谐振时=0,电流与电源电压同位相,此时电路阻抗
Z = = R
其中 LC 串联部分相当于短路.故谐振时电路呈电阻性,阻抗最小.因此,电源电压一定时,谐振电流最大
I = I 0 = R
(3.12 - 15)
2. 谐振时电感上电压（感抗电压） U 0
=
0 LI 0 与电容上的电压（容抗电压）
U = I
0 ,大小相等,方向相反(如图 3.12-4 所示),二者互相抵消,这时电源上的全部电压 C 0
C 都降落在电阻上,即
U = U R = I 0 R
而感抗电压及容抗电压均为电源电压的 Q 倍,即
均略小于 U LM 和 U CM .
U = U 0 O
= QU
(3.12 - 16)
3. 电流随频率变化的曲线即电流频率响应曲线（如图 3.12-5 所示）也称谐振曲线.为了分析电路的频率特性.将(3.12-3)式作如下变换
U
电容性 V C
电感性
V L
U L
U R
I
U C
L
1 2 R 2 + (L -
C
1 )
2 R 2 + 0
L (
-
C
)2
0 R 2 + 2 (
- 0 )2
R 1 + Q 2 (
- 0 )2
I 0
1 + Q
2 (
- 0 )2
1
1 + Q
2 (
- 0 )2
I () =
U
=
U
=
U
=
U
=
从而得到
I =
I 0
此式表明,电流比 I /I 0 由频率比/0 及品质因数 Q 决定.谐振时/0,I /I 0=1,而在失谐时/0 ≠1, I /I 0<1.由图 3.12-5(b )可见,在 L 、C 一定的情况下,R 越小,串联电路的 Q 值越大,谐振曲线就越尖锐.Q 值较高时, 稍偏离0.电抗就有很大增加,阻抗也随之很快增加,因而使电流从谐振时的最大值急剧地下降,所以 Q 值越高,曲线越尖锐,称电路的选择性越好.
I
I 0
带宽
I 0
2
1
0 2
I
Q 1
Q 〈1 Q 〈2 Q 5 Q 5 Q 2
(a)
（b ）
为了定量地衡量电路的选择性,通常取图曲
3线.12上-5 两半功率点(即在 I
= I 0
处)间的频率 宽度为“通频带宽度”,简称带宽如图 3.12-5 所示,用来表明电路的频率选择性的优劣.
由(3.12-17)式可知,当
I = 时, - 0 = ± 1
,若令 I 0 1 -
0 0 1
Q = - 1 Q
(3.12 -18) 2
- 0 =
1 (3.1
2 -19)
0 2
Q 1
2
1 + ( 1
)2
2Q
1 + ( 1 )
2 2Q
解(3.12-18)和(3.12-19)式,得
= -
(3.12 - 20) 1
2Q
= + 0
(3.12 - 21)
所以带宽为
2 0
2Q ?= - =
(3.12 - 22)
2
1
Q
可见,Q 值越大,带宽?越小,谐振曲线越尖锐,电路的频率选择性就好.
实验内容
1. 计算电路参数
(1)根据自己选定的电感 L 值,用(3.12-9)式计算谐振频率 f 0=2kHz 时,RLC 串联电路的电容 C 的值,然后根据(3.12-12)式计算品质因数 Q =2 和 Q =5 时电阻 R 的值.
(2)根据(3.12-10)、(3.12-11)及(3.12-20)、(3.12-21)式,分别计算 Q =2 和 Q =5 时,在上 述 R 、L 、C 取值情况下的特定频率 f L 、f C 、f 1 和 f 2 的值.
2. 测定串联谐振曲线
实验电路如图 3.12-6 所示, r 为电感线圈的直流电阻,C 为电容箱,R 为电阻箱,U S 为音频信号发生器.
分别取 Q =5 和 Q =2,根据表1 测量各种频率下(保持信 U S
号源输出电压恒定)U R 值的大小.
3. 在同一坐标纸上画出两条谐振曲线.
图 3.12-6
4. 根据 Q =2 的曲线找出测量的 f 0 和 Q 值与理论值比较计算误差,分析产生误差的原因.
注意的问题
1. 由于信号发生器的输出电压随频率而变化，所以在测量时每改变一次频率，均要调节输出电压,本实验要求在整个测量过程中输出电压保持 1.0 伏.
2. 测量时,在谐振点附近频率要密一些,以保证曲线的光滑.
思考题
1. RLC 串联电路的 Q 值与哪些量有关？
2. 在 RLC 串联电路中,当电源频率 f
表 1
Q =5
f (kHz ) 0.1 0.5 0.8 1.2 1.5 1.8 1.95 2.0
V R (V)
I (mA )
f (kHz ) 2.05
2.1
2.3
2.5
?.0
?.5
4.0
5.0
V R (V) I (mA )
Q=2
f (kHz ) 0.1
0.5
0.8
1.2
1.5
1.8
1.95
2.0
V R (V)
I (mA )
f (kHz ) 2.05
2.1
2.3
2.5
?3.0
3.5
4.0
5.0
V R (V)
C L r
K R mV