结合解析法提高叠加法求弯曲变形的教学效果
一、引言在材料力学的弯曲变形一章中，根据线性叠加原理，采用叠加法求解，生动形象且计算量小。
传统的叠
加法，在讲述完叠加原理后，根据总结的基本变形问题，演变成了图解法的方式。但是，这种教学方式存在着一些问题。如，在求外伸梁的弯曲变形时，教学效果就不是很好。目前的各种高校教材，都是直接给出了叠加法求外伸梁变形的使用步骤，却没有作进一步的推导演绎。学生对此往往产生困惑，如，关于梁中间的铰支座处的转角计算，需要把外伸段的载荷平移到铰支座位置求解；而在材料力学中，一开始就明确指出力的平移定理对弹性体模型是不成立的，两种说法明显相互矛盾。究其原因，不同于其它形式的梁，叠加法求解外伸梁弯曲变形的处理过程全部是在外伸段进行。此时单纯使用叠加原理，并不能清楚地解释每个处理步骤的物理意义。虽然有“逐段分析求和法”作为补充，但其类比过程和纯文字的叙述方式解释得仍不清楚。如果只用解析法，从求解方程的角度来考虑，它和叠加法的处理步骤也不能一一对应。
本文尝试从解析法入手，
通过适当的推导和分析，明确给出了叠加法每个步骤的物理意义，让学生“知其然，又知其所以然”，指出对于外伸梁的图解法处理，并不是简单的线性叠加，还需结合等效变换的概念，获得了很好的教学效果。
除了外
伸梁的弯曲变形，使用叠加法和解析法相结合的方式，还可以分析更多的弯曲变形问题。通过一题多解的形式，使学生对材料力学知识点的理解、课程结构的整体把握都更加透彻。
二、外伸梁问题
图1 外伸梁下面结合叠加法求外伸梁弯曲变形的处理过程，给出相应的公式推导和分析。以外伸梁在自由端作用集中力F为例，分析端面B的挠度（图1）。由于AC和BC段的弯矩方程不同，因此挠曲线方程表示为：AC段：w= 乙乙MACEId乙乙x dx+C1x+D1（1）BC段：w= 乙乙MBCEId乙乙x
dx+C2x+D2（2）首先，对梁的外伸段BC，采用截面法分析梁右段。
若以C为原点，水平向右为x轴正方向，则弯矩MBC=F（a-x），代入（2）式有w=1EI16Fx3+12Fx乙乙2+C2x+D2（3）如果得到C2、D2，则可以求出外伸段BC任一截面的挠度和转角。积分常数通过C点边界条件给出。如果wc=0，θc=0，即相当于C点为固定端，BC段为悬臂梁，则C2=D2=0。但实际上，C点约束为铰支座约束，即wc=0，θc≠0，代入（3）式，得到C2=θc，D2=0。根据线性叠加原理，外伸梁问题可以等效为悬臂梁BC的弯曲变形和转角θc对外伸段的影响两者之和。
然后，关于转角θc的求解，由
于挠曲线光滑连续，根据连续性条件，C截面的转角θc可以用AC段的挠曲线方程计算得到。对AC段的弯矩，用截面法分析梁左段的物理意义更明显。此时若以A为原点，水平向右为x轴正方向，则AC段的弯矩方程为
MAC=FAx=Falx （4）代入边界条件wA=0，wc=0，则转角可求。
图2 在C点施加力偶m
若令力偶矩m=Fa，则（4）式变为MAC=mx/l。可以看到，对于简支梁AC段，如果问题变换为在C截面施加力偶m，大小等于Fa，如图2所示，则AC 段的弯矩方程、挠曲线方程和原问题是相同的。
同时，变换前后的边界条
件没有变化，因此变换前后的弯曲变形也应该相同。
变
换后的问题，即相当于把外伸段的载荷平移到铰支座C后的简支梁问题。至此，图解法解外伸梁弯曲变形的每一步都有了明确的物理解释。关于力的等效平移，对于弹性体模型，需要保证平移前后的变形一致。对于用AC段求转角θc，由于边界条件不变，因此只需要保证平移前后的AC段弯矩方程不变即可。如果把外伸段的载荷F平移到AC段中间的某个位置D，虽然AD段的弯矩方程没变，但CD段的弯矩和平移前的弯矩方程（4）并不一致，因此这种力的平移就是不等效的。
三、悬臂梁问题
叠加法结合解析法，还可以分析更多的梁弯曲变结合解析法提高叠加法求弯曲变形的教学效果杜新（长春理工大学机电工程学院，吉林长春130022）
摘要：对于叠加法求外伸梁的弯曲变形问题，传统的图解法由于部分求解步骤的物理意义不清楚，教学效果不够理想。运用叠加原理和解析法相结合的办法，通过必要的推导和分析，明确了图解法每个步骤的物理意义。运用这种方法，还分析了悬臂梁作用分布载荷的情况，通过一题多解的形式，增强学生对材料力学课程的整体认识。
关键词：外伸梁；弯曲变形；叠加法；解析法
中图分类号：
G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674- 9324（2012）03- 0044- 02【高教研究】- 44-形问题。如，对于均布载荷作用在部分梁上（图3）。传统的叠加法求解是：首先，在悬臂梁左段没有载荷的部分施加一对大小都等于载荷集度q、方向相反的均布载荷；然后，再把问题分解为两种可以用图解法查表计算的简单情况：一种是均布载荷作用在梁整个跨度l上；另一种是反向的均布载荷只作用在梁左段l/2上。
图3 作用部分均布载荷的悬臂梁
对于该问题，还可以这样考虑。把原来的均布载荷看作是施加在不同位置的集中力的叠加（图4）。对于作用在位置a上的集中力dF，有dF=qds，产生的弯曲变形可以直接查表得到v=-dFx26EI（3a-x）（0≤x≤a）v=-dFa26EI （3a-x）（0≤x≤l）（5）令a=s，则总的弯曲变形的叠加就可写成（5）式对dF的积分，有：v=1l/2∫-qx26EI（3s-x）ds （0≤x≤l/2）（6）
v=xl/2∫-qs26EI（3s-s）ds+1x∫-qs26EI（3s-s）ds（l/2≤x≤l/2）（6）图4 作用集中力的悬臂梁上述方法也适用于非均布载荷情况，只需要把q相应的表达式代入到上式即可。传统的图解法无法在非均布载荷情况下使用；解析法则需要计算相应的弯矩方程。比较而言，叠加法和解析法相结合的方式更加灵活。如果分布载荷是线性分布，还可以结合摩尔积分的概念，把（6）式从∫q（s）（fs）ds的形式写成qc（s）ω的形式，其中ω是（fs）图的面积，qc（s）是q（s）图中与（fs）图的形心c对应的纵坐标。
这种叠加法和解析法相结合的方式，虽然计算量大于图解法，但其对分布载荷的处理和材料力学中的经常使用的微元方法是一致的，从教学效果看，学生对微元方法很熟悉，因此这种解法是很容易接受的。
同
时，一题多解的方式，在有限的教学时间里增加教学的信息量，对于学生而言，既巩固了对以前所学知识的理解，又拓展了学生的思维，做到对所学知识的融会贯通，对课程结构的整体把握都更加透彻。
四、结论
用叠加法求解梁的弯曲变形，传统的图解法虽然方便，但在分析外伸梁时，存在着物理意义不清的问题。叠加法结合解析法，通过简练的公式推导和分析，明确了图解法每一步的物理意义，克服了单纯应用解析法和图解法的不足之处，提高了教学效果。运用这种方法，还可以分析其他类型的弯曲变形问题，通过和其他知识点的有效结合，使学生对材料力学的认识更加透彻，是现有教学方法的一个有益补充。
参考文献：
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单辉祖.
材料力学教程
[M].
北京：高等教育出版社，
2004.
作者简介：杜新，讲师，主要从事工程力学的教学科研活动。
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫现在，我国初步实现了高等教育大众化，社会发展对工科人才需要正逐渐增加，面对渴望求知、求职的众多大学生，高校人才培养的任务与就业的压力较大。教育部在2004年要求：高等学校应着眼于国家发展和人的全面发展需要，坚持知识、能力、素质协调发展，注重能力培养，着力提高大学生的学习能力、实践能力和创新能力。
要坚持以社会需求为导向，深化教学改革，构建主动适应经济社会发展需要人才培养体系。为了能使学生经过四年的学习，掌握一定的理论知识与实践能力，能更好适应社会的需要，学校积极开设各种热门专业，应运而生的应用型的工科专业得到了快速地发展。近十年来学院理工科大力培养复合型、宽口径人才，取得了显著的成绩，缓解社会对化工人才需求的压力，也成就了我院每年就业率一直处于领先地位。学校工科人才培养数量增加人才培养质量提高显得尤为重要，培养企业界得心应手高素质的技术人员、工程师是工科实践教学与创新人才培养的初步探索宋根萍，郑珍珍（扬州大学化学化工学院，江苏扬州225000）
摘要：实践教学对工科人才培养的重要性，工科实践教学面临的困难，学院在工科实践教学与人才培养中采取的对策和举措及取得的进展。
关键词：实践教学；人才培养；工科；探索；创新
中图分类号：
G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674- 9324（2012）03- 0045- 02【高教研究】- 45-
第七章弯曲变形 一、是非题 1 梁内弯矩为零的横截面其挠度也为零。 （ ） 2 梁的最大挠度处横截面转角一定等于零。 （ ） 3梁的最大挠度必然发生在梁的最大弯矩处。（ ） 4若两梁的抗弯刚度相同，弯矩方程也相同，则两梁的挠曲线形状完全相同。（ ） 5 绘制挠曲线的大致形状，既要根据梁的弯矩图，也要考虑梁的支承条件。（ ） 6 静不定梁的基本静定系必须是静定的和几何不变的。 （ ） 二、选择或填空 1 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率最大发生在（ ）处。 A. 挠度最大 B. 转角最大 C. 剪力最大 D. 弯矩最大 2 将桥式起重机的主钢梁设计成两端外伸的外伸梁较简支梁有利，其理由是（ ）。 A. 减小了梁的最大弯矩值 B. 减小了梁的最大剪力值 C. 减小了梁的最大挠度值 D. 增加了梁的抗弯刚度值 3 图示两梁的抗弯刚度EI相同，载荷q相同， 则下列结论中正确的是（ ）。 A. 两梁对应点的内力和位移相同 B. 两梁对应点的内力和位移不相同 C. 内力相同，位移不同 D. 内力不同，位移相同 4 为提高梁的抗弯刚度，可通过（ ）来实现。 A. 选择优质材料 B. 合理安排梁的支座，减小梁的跨长 C. 减少梁上作用的载荷 D. 选择合理截面形状 三计算题 1 图示梁，弯曲刚度EI为常数。试绘制挠曲轴的大致形状，并用积分法计算截面C的转角。
2 图示简支梁，左右端各作用一个力偶矩分别为M1和M2的力偶，欲使挠曲轴拐点位于离左端l/3处，则M1和M2应保持何种关系。 3图示梁，弯曲刚度EI为常数。试用叠加法计算截面B的转角和截面C的挠度。
4 图示电磁开关，由铜片AB与电磁铁S组成。为使端点A与触点C接触，试求磁铁S所需吸力的最小值F以及间距a的尺寸。铜片横截面的惯性矩I z=0.18×10-12m4，弹性模量E=101GPa。
弯曲变形 1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为： (A) M e1/M e2=2； (B) M e1/M e2=3； (C) M e1/M e2=1/2； (D) M e1/M e2=1/3。 答：(C) 2. 外伸梁受载荷如 致形状有下列(A)(B)、(C)，(D)四种： 答：(B) 3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： (A)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2S S ===； (B)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2 S S =-=-=； (C)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -==-=； (D)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -=-==。 答：(B) 4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图 示，自由端的挠度EI l M EI Fl w B 232 e 3+=（↓） 则截面C 处挠度为：
(A)2 e 3 322323??? ??+??? ??l EI M l EI F （↓）； (B)2 3 3223/323?? ? ??+??? ??l EI Fl l EI F （↓）； (C)2 e 3 322)3/(323? ? ? ??++??? ??l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2 e 3 322)3/(323? ? ? ??-+??? ??l EI Fl M l EI F （↓）。 答：(C) 5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答： 6. 7. (a)、(b)刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。 答：(C) 8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。 答：x =0, w 1=0, 1 w '=0；x =2a ，w 2 w 2；x =2a ，32 w w '='。 9. 试画出图示静定组合梁在集中力F 作用下挠曲线的大致形状。 (a) (b) (c) w ===θw w
第8章 弯曲变形 本章要点 【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。 剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。 【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：y ερ = 物理关系：E y σρ = 静力关系：0N A F dA σ==?，0y A M z dA σ==?，2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率： 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力：，M y I σ= ，max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件：[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力：d I S F y z z S ??=* )(τ，A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max
3. 梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程：() ''EIw M x =- 梁的转角方程：1()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题 一. 单选题 1、 建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有（ ）。查看答案 A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系 B 、变形几何关系，物理关系，静力关系； C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系 D 、平衡关系, 物理关系，静力关系； 2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（ ）来确定积分常 数。查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（ ）。 A ．剪力相同，弯矩不同 B ．剪力不同，弯矩相同 C ．剪力和弯矩均相同 D ．剪力和弯矩均不同 图1 图2 4、 图2悬臂梁受力，其中（ ）。
第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点 薄板的基本概念 薄板的位移与应变分量 薄板广义力 薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化 薄板的莱维解 矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设 薄板应力 广义位移与薄板的平衡 薄板的典型边界条件 薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解 一、内容介绍 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。 根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。 对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。 二、重点 1、基尔霍夫假设； 2、薄板的应力、广义力和广义位移； 3、薄板小 挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。 §12.1 薄板的基本概念和基本假设
学习要点: 本节讨论薄板的基本概念和基本假设。 薄板主要几何特征是板的中面和厚度。首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。 薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。 根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。 学习思路： 1、薄板基本概念； 2、基尔霍夫假设 1、薄板基本概念 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板 薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。两个平行面之间的距离称为板厚，用δ 表示。平分板厚的平面称为板的中面。 设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果δ/b≥1/5，称为厚板；
第六章弯曲变形 一、是非判断题 1．梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。（√）2．梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。（×）3．两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是 否相同无关。（×）4．等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。（×）5．若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。（√）6．简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。（×）7．当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。（√）8．弯矩突变的截面转角也有突变。（×） 二、选择题 1. 梁的挠度是（D） A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移 B 横截面形心沿梁轴方向的位移 C横截面形心沿梁轴方向的线位移
D 横截面形心的位移 2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。 A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关 B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关 C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关 D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关 3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。 A 梁的变形属于小变形 B 材料服从胡克定律 C 挠曲线在xoy平面内 D 同时满足A、B、C 4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。 A 挠度最大 B 转角最大 C 剪力最大 D 弯矩最大 5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。跨中作用有相同的力F，二者的（B）不同。 A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（B） A 梁长改为l /2，惯性矩改为I/8 B 梁长改为3 l /4，惯性矩改为I/2 C 梁长改为5 l /4，惯性矩改为3I/2 D 梁长改为3 l /2，惯性矩改为I/4 7. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为： y(x)=Ax2(4lx - 6l2-x2)，则该段梁上（B）
第三章弯曲工艺及弯曲模具设计复习题答案 一、填空题 1 、将板料、型材、管材或棒料等弯成一定角度、一定曲率，形成一定形状的零件的冲压方法称为弯曲。 2 、弯曲变形区内应变等于零的金属层称为应变中性层。 3 、窄板弯曲后起横截面呈扇形状。窄板弯曲时的应变状态是立体的，而应力状态是平面。 4 、弯曲终了时，变形区内圆弧部分所对的圆心角称为弯曲中心角。 5 、弯曲时，板料的最外层纤维濒于拉裂时的弯曲半径称为最小弯曲半径。 6 、弯曲时，用相对弯曲半径表示板料弯曲变形程度，不致使材料破坏的弯曲极限半径称最小弯曲半径。 7、最小弯曲半径的影响因素有材料的力学性能、弯曲线方向、材料的热处理状况、弯曲中心角。 8 、材料的塑性越好，塑性变形的稳定性越强，许可的最小弯曲半径就越小。 9 、板料表面和侧面的质量差时，容易造成应力集中并降低塑性变形的稳定性，使材料过早破坏。对于冲裁或剪切坯料，若未经退火，由于切断面存在冷变形硬化层，就会使材料塑性降低，在上述情况下均应选用较大的弯曲半径。轧制钢板具有纤维组织，顺纤维方向的塑性指标高于垂直于纤维方向的塑性指标。 10 、为了提高弯曲极限变形程度，对于经冷变形硬化的材料，可采用热处理以恢复塑性。 11 、为了提高弯曲极限变形程度，对于侧面毛刺大的工件，应先去毛刺；当毛刺较小时，也可以使有毛刺的一面处于弯曲受压的内缘（或朝向弯曲凸模），以免产生应力集中而开裂。 12 、为了提高弯曲极限变形程度，对于厚料，如果结构允许，可以采用先在弯角内侧开槽后，再弯曲的工艺，如果结构不允许，则采用加热弯曲或拉弯的工艺。 13 、在弯曲变形区内，内层纤维切向受压而缩短应变，外层纤维切向受受拉而伸长应变，而中性层则保持不变。 14 、板料塑性弯曲的变形特点是：（ 1 ）中性层内移（ 2 ）变形区板料的厚度变薄（ 3 ）变形区板料长
组合变形 一、判断题 1.斜弯曲区别与平面弯曲的基本特征是斜弯曲问题中荷载是沿斜向作用的。( ) 2.斜弯曲时，横截面的中性轴是通过截面形心的一条直线。( ) 3.梁发生斜弯曲变形时，挠曲线不在外力作用面内。( ) 4.正方形杆受力如图1所示，A点的正应力为拉应力。( ) 图 1 5. 上图中，梁的最大拉应力发生在B点。( ) 6. 图2所示简支斜梁，在C处承受铅垂力F的作用，该梁的AC段发生压弯组合变形，CB段发生弯曲变形。( ) 图 2 7.拉（压）与弯曲组合变形中，若不计横截面上的剪力则各点的应力状态为单轴应力。( ) 8.工字形截面梁在图3所示荷载作用下，截面m--m上的正应力如图3（C）所示。( )
图 3 9. 矩形截面的截面核心形状是矩形。( ) 10.截面核心与截面的形状与尺寸及外力的大小有关。( ) 11.杆件受偏心压缩时，外力作用点离横截面的形心越近，其中性轴离横截面的形心越远。( ) 12.计算组合变形的基本原理是叠加原理。（） 二、选择题 1.截面核心的形状与（）有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 2.圆截面梁受力如图4所示，此梁发生弯曲是（） 图 4 A、斜弯曲 B、纯弯曲 C、弯扭组合 D、平面弯曲 三、计算题 1.矩形截面悬臂梁受力F1=F，F2=2F，截面宽为b，高h=2b，试计算梁内的最大拉应力，并在图中指明它的位置。
图 5 2.图6所示简支梁AB上受力F=20KN，跨度L=2.5m，横截面为矩形，其高h=100mm,宽b=60mm，若已知α=30°，材料的许用应力[σ]=80Mpa,试校核梁的强度。 3.如图7所示挡土墙，承受土压力F=30KN，墙高H=3m，厚0.75m，许用压应力[σ]ˉ=1 Mpa，许用拉应力[σ]﹢=0.1 Mpa，墙的单位体积重量为 ，试校核挡土墙的强度。 图 6 图 7 4.一圆直杆受偏心压力作用，其偏心矩e=20mm,杆的直径d=70mm,许用应力[σ]=120Mpa,试求此杆容许承受的偏心压力F之值。 5.如图8所示,短柱横截面为2a×2a的正方形,若在短柱中间开一槽,槽深为a,问最大应力将比不开槽时增大几倍?
弯曲变形 1、 已知梁得弯曲刚度EI 为常数,今欲使梁得挠曲线在x =l /3处出现一拐点,则比值M e1/M e2为: (A) M e1/M e2=2; (B) M e1/M e2=3; (C) M e1/M e2=1/2; (D) M e1/M e2=1/3。 答:(C) 2、 外伸梁受载荷如图示, 致形状有下列(A)(B)、(C),(D)四种: 答:(B) 3、 简支梁受载荷并取坐标系如图示,则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间得关系以及挠曲线近似微分方程为: (A); (B); (C); (D)。 答:(B) 4、 弯曲刚度为EI 得悬臂梁受载荷如图示,自由端得挠度( ↓) 则截面C 处挠度为: (A)(↓); (B)(↓); (C)(↓);(D)(↓)。 答:(C) 5、 画出(a)、(b)、(c)三种梁得挠曲线大致形状。
答: 6、 7、正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放置,则两者间得弯曲刚度关系为下列中得哪一种: (A) (a)＞(b); (B) (a)＜(b); (C) (a)=(b); (D) 不一定。 答:(C) 8、试写出图示等截面梁得位移边界条件,并定性地画出梁得挠曲线大致形状。 答:x=0, w1=0, =0;x=2a,w2=0,w3=0;x=a,w1=w2;x=2a,。 9、试画出图示静定组合梁在集中力F作用下挠曲线得大致形状。 答: (a)(b)(c)
10、 画出图示各梁得挠曲线大致形状。 答: 11、 12、 支座间得距离应为l -2a =0、577l 。 证: 2b ,,因对称性,由题意有: 得 即13、 等截面悬臂梁弯曲刚度EI 为已知,梁下有一曲面,方程为w = -Ax 3。欲使梁变形后与该曲面密合(曲面不受力),试求梁得自由端处应施加得载荷。 解: F S (x ) = -6EIA x=l , M = -6EIAl F =6EIA (↑),M e =6EIAl () 14、 变截面悬臂梁受均布载荷q 作用,已知q 、梁长l 及弹性模量E 。试求截面A 得挠度w A 与截面C 得转角θC 。 解:
1.板料拉伸变形过程及特点； 在拉深过程中，毛坯受凸模拉深力的作用，在凸缘毛坯的径向产生拉伸应力，切向产生压缩应力。在它们的共同作用下，凸缘变形区材料发生了塑性变形，并不断被拉入凹模内形成筒形拉深件。拉深后工件底部的网格变化很小，而侧壁上的网格变化很大，以前的扇形毛坯网格变成了拉深后的矩形网格。 2.拉伸过程中各部分的应力与应变状态及分析 1.平面凸缘部分主要变形区 2.凹模圆角区过渡区 3.筒壁部分传力区 4.凸模圆角部分过渡区 5.圆筒底部分小变形区 3.拉伸成形的障碍及防止措施； 一、起皱，影响起皱的因素：1.凸缘部分材料的相对厚度2.切向压应力的大小3.材料的力学性能4.凹模工作部分的几何形状。 防止措施：采用压边圈。 二、拉裂 防止拉裂：可根据板材的成形性能，采用适当的拉深比和压边力，增加凸模的表面粗糙度，改善凸缘部分变形材料的润滑条件，合理设计模具工作部分的形状，选用拉深性能好的材料。 三、硬化 加工硬化的好处是使工件的强度和刚度高于毛坯材料，但塑性降低又使材料进一步拉深时变形困难。 4.筒形零件拉伸工艺（毛坯尺寸计算原则、计算公式、拉伸系数及影响因素、首次与后续拉伸的异同、拉伸次数与拉伸系数的确定）； 一、圆筒件拉深零件毛坯尺寸的计算 二、拉深系数的计算和拉深次数的确定 三、拉深压力机的选择 5.阶梯形零件的拉伸顺序安排； 1.拉深次数的确定 2.拉深方法的确定 6.（曲面、球面、抛物面及锥形）拉伸方法； 1.球面零件拉深方法：球面零件可分为半球形件和非半球形件两大类。 2.抛物面零件拉深方法：(1)浅抛物面形件，因其高径比接近球形，因此拉深方法同球形件。 (2)深抛物面形件，其拉深难度有所提高。这时为了使毛坯中间部分紧密贴模而
第三章 1 、将板料、型材、管材或棒料等弯成一定角度、一定曲率，形成一定形状的零件的冲压方法称为弯曲。 2 、弯曲变形区内应变等于零的金属层称为应变中性层。 3 、窄板弯曲后起横截面呈扇形状。窄板弯曲时的应变状态是立体的，而应力状态是平面。 4 、弯曲终了时，变形区内圆弧部分所对的圆心角称为弯曲中心角。 5 、弯曲时，板料的最外层纤维濒于拉裂时的弯曲半径称为最小弯曲半径。 6 、弯曲时，用相对弯曲半径表示板料弯曲变形程度，不致使材料破坏的弯曲极限半径称最小弯曲半径。 7、最小弯曲半径的影响因素有材料的力学性能、弯曲线方向、材料的热处理状况、弯曲中心角。 8 、材料的塑性越好，塑性变形的稳定性越强，许可的最小弯曲半径就越小。 9 、板料表面和侧面的质量差时，容易造成应力集中并降低塑性变形的稳定性，使材料过早破坏。对于冲裁或剪 切坯料，未经退火，由于切断面存在冷变形硬化层，就会使材料塑性降低，上述情况下均应选用较大的弯曲半径。轧制钢板具有纤维组织，顺纤维方向的塑性指标高于垂直于纤维方向的塑性指标。 10 、为了提高弯曲极限变形程度，对于经冷变形硬化的材料，可采用热处理以恢复塑性。 11 、为了提高弯曲极限变形程度，对于侧面毛刺大的工件，应先去毛刺；当毛刺较小时，也可以使有毛刺的一 面处于弯曲受压的内缘（或朝向弯曲凸模），以免产生应力集中而开裂。 12 、为了提高弯曲极限变形程度，对于厚料，如果结构允许，可以采用先在弯角内侧开槽后，再弯曲的工艺， 如果结构不允许，则采用加热弯曲或拉弯的工艺。 13 、弯曲变形区内，内层纤维切向受压而缩短应变，外层纤维切向受受拉而伸长应变，而中性层保持不变 14 、板料塑性弯曲的变形特点是：（ 1 ）中性层内移（ 2 ）变形区板料的厚度变薄（ 3 ）变形区板料长 度增加（ 4 ）对于细长的板料，纵向产生翘曲，对于窄板，剖面产生畸变。 15 、弯曲时，当外载荷去除后，塑性变形保留下来，而弹性变形会完全消失，使弯曲件的形状和尺寸发生变 化而与模具尺才不一致，这种现象叫回弹。其表现形式有 _ 曲率减小、弯曲中心角减小两个方面。 16 、相对弯曲半径r ╱ t 越大，则回弹量越大。 17 、影响回弹的因素有：（ 1）材料的力学性能（ 2）变形程度（ 3）弯曲中心角（ 4）弯曲方式及弯曲 模（ 5）冲件的形状。 18 、弯曲变形程度用 r ／ t来表示。弯曲变形程度越大，回弹愈小，弯曲变形程度越小，回弹愈大。 19 、在实际生产中，要完全消除弯曲件的回弹是不可能的，常采取改进弯曲件的设计，采取适当的弯曲工艺
弯曲变形 基本概念题 一、选择题 1.梁的受力情况如图所示，该梁变形后的 挠曲线如图（）所示(图中挠曲线的虚线部 分表示直线，实线部分表示曲线)。 2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标 系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为 （）。 题2图题1图 A．两组结果的正负号完全一致 B．两组结果的正负号完全相反 C．挠度的正负号相反，转角正负号一致 D．挠度正负号一致，转角的正负号相反 3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（）。 题3图 4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（ ）是错误的。 A．该梁应分为AB、BC两段进行积分 B．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数 -26-
题4图 题5图 C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定 D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( ) A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y = D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左 y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如 下结论，正确的是（ ）。 A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的 41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2 1 倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍 题6图 题7图 7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。 A ． EI Pa 323 B ． EI Pa 33 C ．EI Pa 3 D ．EI Pa 233 8. 已知简支梁，跨度为l ，EI 为常数，挠曲线方程为)24)2(323EI x lx l qx y +-=， -27-
第8 章弯曲变形 8.1 挠度与转角梁的刚度条件 8.1.1 工程实例 工程上，对于某些弯曲构件，除强度要求外，往往还有刚度要求，根据工作的需要，对其变形加以必要的限制。例如，机床的主轴(图8-1)，若变形过大，将会影响齿轮间的正常啮合、轴与轴承的配合，从而加速齿轮和轴承的磨损，使机床产生噪声，影响其加工精度。因此，在设计主轴时，必须充分考虑刚度要求。 工程中虽然经常限制弯曲变形，但在某些情况下，常常又利用弯曲变形来满足工作的要求，例如，叠板弹簧(图8-2)应有较大的变形，才可以更好地起缓冲作用。弹簧扳手(图8-3)要有明显的弯曲变形，才可以使测得的力矩更为准确。 为了限制或利用构件的弯曲变形，就需要掌握计算弯曲变形的方法。本章主要讨论梁在平面弯曲时的变形计算。 8.1.2挠度和转角 讨论弯曲变形时，以变形前的梁轴线为x轴，垂直向上的轴为y轴(图8-4)。在平 面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xy平 面内的一条曲线，称为挠曲线。挠曲线上横坐标 为x的任意点的纵坐标，用v来表示，它代表坐 标为x的横截面的形心沿y方向的位移，称为挠 度。工程问题中，梁的挠度v一般远小于跨度， 挠曲线是一条非常平坦的曲线，所以任一截面的 形心在x方向的位移都可略去不计。在弯曲变形 过程中，梁的横截面对其原来的位置所转过的角度θ，称为该截面的转角。挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。在图8-4所示坐标系中，规定向上的挠度为正，向下的挠度为负。逆时针的转角为正，顺时针的转角为负。 在一般情况下，梁的挠度和转角随截面位置的不同而改变，是坐标x的函数，即 f v=(8-1) (x ) θ=(8-2) θ ) (x
1. 梁的受力情况如图所示，该梁变形后的 挠曲线如图（ ）所示（图中挠曲线的虚线部 分表示直线，实线部分表示曲线 ）。 2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标 系， 则由积分法求得的挠度和转角的正负号为 ）° 弯曲变形 基本概念题 一、选择题 题2图 题1图 A. 两组结果的正负号完全一致 B. 两组结果的正负号完全相反 C. 挠度的正负号相反，转角正负号一致 D. 挠度正负号一致，转角的正负号相反 3 2 3 3. 已知挠曲线方程 y = q o x （l - 3lx +2 x ）/（48EI ），如图所示，则两端点的约束可能为 F 列约束中的（ ）° 题3图 4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（ ）是错误的。 A. 该梁应分为 AB 、BC 两段进行积分 B. 挠度积分表达式中，会出现 4个积分常数 5
题4图 题5图 C. 积分常数由边界条件和连续条件来确定 D. 边界条件和连续条件表达式为 x = 0，y = 0 ； x = l ， y 左=y 右二0，y'O 5.用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为 （ ） A. x = =0, y = 0 );x = :a + l ,y = 0 ； x = a, y 左二 y 右，y 左 二y 右 B. x = =0, y = 0 );x = :a + l ,y = 0 ; x = a, y 左二y 右， y 左二y 右 C. x = =0, y =( );x = =a + l ,y = 0, y =0; x = a, y 左= y 右 D. x : =0, y = < 0; x = =a + l, y = 0, y "= 0; x = a, y 左二 :y 右 6. 材料相同的悬臂梁I 、n,所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如 下结论，正确的是（ ）。 1 A . I 梁最大挠度是n 梁的 倍
第十二章 组合变形 习 题 12.1 矩形截面杆受力如图所示。已知kN 8.01=F ，kN 65.12=F ，mm 90=b ， mm 180=h ，材料的许用应力[]MPa 10=σ，试校核此梁的强度。 题12.1图 解：危险点在固定端 max y z z y M M W W σ= + max 6.69[]10MPa MPa σσ=<= 12.2 受集度为q 的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与梁的纵向对称面间的夹角为0 30=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量GPa 10=E ；梁的尺寸为 m 4=l ， mm 160=h ，mm 120=b ；许用应力[]M Pa 12=σ；许可挠度[]150 l w = 。试校核梁的强度和刚度。 题12.2图 22zmax 11 cos3088y M q l q l ==?解： 22ymax 11 sin 3088 z M q l q l ==?
22 ymax zmax 2 211 cos30sin 308866 z y q l q l M M bh bh W W σ??= +=+ 26cos30sin 30 ()8ql bh h b =+ 3 2 616210422 ( )8120160100.1600.120 -???=+??? []6 11.971012.0,Pa MPa σ=?==强度安全 44 z 3 5512sin 30384384z y q l q l W EI Ehb ?== 4 4 3 5512cos30384384y y z q l q l W EI Ehb ?== max W == = []4 0.0202150 m w m =<=刚度安全。 12.3 简支于屋架上的檩条承受均布载荷kN/m 14=q ， 30=?，如图所示。檩条跨长 m 4=l ，采用工字钢制造，其许用应力[]M Pa 160=σ，试选择工字钢型号。 14 kN/m q = 题12.3图 解： cos ,sin y z q q q q ??== 22 max max ,8 8 y z z y q l q l M M = = max max max []y z z y M M W W σσ=+≤
班级：学号：姓名： 《工程力学》弯曲变形测试题 一、判断题（每小题2分，共20分） 1、梁弯曲变形后，最大转角和最大挠度是同一截面。（×） 2、不同材料制成的梁，若截面尺寸和形状完全相同，长度及受力情况也相同，那么这两 根梁弯曲变形时，最大挠度值相同。（×） 3、EI是梁的抗弯刚度，提高它的最有效、最合理的方法是改用更好的材料。（×） 4、梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，则梁的挠曲线仍然 是一条光滑、连续的曲线。（√） 5、梁弯曲后，梁某点的曲率半径和该点所在横截面位置无关。（×） 6、梁上有两个载荷，梁的变形与两个载荷加载次序无关。（√ ） 7、一般情况下，梁的挠度和转角都要求不超过许用值。（√ ） 8、在铰支座处，挠度和转角均等于零。（×） 9、绘制挠曲线的大致形状，既要根据梁的弯矩图，也要考虑梁的支撑条件。（√ ） 10、弯矩突变的截面转角也有突变。（×） 二、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、梁的挠度是（B ）。 A. 横截面上任一点沿梁轴方向的位移 B. 横截面形心沿垂直梁轴方向的位移 C. 横截面形心沿梁轴方向的线位移 D. 横截面形心的位移 2、在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（C）是正确的。 A. 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关 B. 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关 C. 转角和挠度的正负号均与坐标系有关 D. 转角和挠度的正负号均与坐标系无关 3、挠曲线近似微分方程在（D ）条件下成立。 A. 梁的变形属于小变形 B .材料服从胡克定律 C. 挠曲线在xoy平面内 D. 同时满足A、B、C 4、等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D ）处。 A. 挠度最大 B. 转角最大 C. 剪力最大 D. 弯矩最大 5、应用叠加原理求梁横截面的挠度、转角时，需要满足的条件有（C ） A. 梁必须是等截面的 B. 梁必须是静定的 C. 变形必须是小变形； D. 梁的弯曲必须是平面弯曲 6、两简支梁，一根为钢、一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。跨中作用有相同的力F， 二者的（B ）不同。 A. 支反力 B. 最大正应力 C. 最大挠度 D. 最大转角 7、已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为：错误!未找到引用源。，则该段梁上（B ）。 A. 无分布载荷作用 B. 有均匀载荷作用 C. 分布载荷是x的一次函数 D. 分布载荷是x的二次函数 8、在下列关于梁转角的说法中，( D )是错误的。 A. 转角是横截面绕中性轴转过的角位移 B. 转角是变形前后同一截面间的夹角 C. 转角是挠曲线的切线与轴向坐标轴间的夹角
弯 曲 变 形 基 本 概 念 题 一、选择题 1. 梁的受力情况如图所示，该梁变形后的挠曲线如图（ ）所示(图中挠曲线的虚线部分表示直线，实线部分表示曲线)。 2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为（ ）。 题2图 题1图 A ．两组结果的正负号完全一致 B ．两组结果的正负号完全相反 C ．挠度的正负号相反，转角正负号一致 D ．挠度正负号一致，转角的正负号相反 3. 已知挠曲线方程y = q 0x (l 3 - 3lx 2 +2 x 3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（ ）。 题3图 4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（ ）是错误的。 A ．该梁应分为AB 、BC 两段进行积分 B ．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数 -26- 题4图 题5图 C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定 D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( ) A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y = D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如下结论，正确的是（ ）。 A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的21倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍 题6图 题7图 7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。
弯曲变形、剪切变形：这两个是材料力学和结构力学中的概念，分别指构件中的某一个截面的弯矩、剪力产生的变形，可以由弯矩和抗弯刚度EI、剪力和抗剪刚度GA计算得到。 框架结构,剪力墙结构和框剪结构在侧向力作用下的水平位移曲线的特点： 1、框:抗侧刚度较小，其位移由两部分组成：梁和柱的弯曲变形产生的位移,侧移曲线呈剪切型,自下而上层间位移减小;柱的轴向变形产生的侧移,侧移曲线呈弯曲型,自下而上层间位移增大.第一部分是主要的,第二部分很小可以忽略，所以框架结构在侧向力作用下的侧移曲线以剪切型为主，故称为剪切型变形. 2、剪:抗侧刚度较大，剪力墙的剪切变形产生位移，侧向位移呈弯曲型,即层间位移由下至上逐渐增大，相当于一个悬臂梁; 3、框剪:位移曲线包括剪切型和弯曲型,由于楼板的作用,框架和墙的侧向位移必须协调.在结构的底部,框架的侧移减小;在结构的上部,剪力墙的侧移减小,侧移曲线呈弯剪型,层间位移沿建筑物的高度比较均匀,改善了框架结构及剪力墙结构的抗震性能,也有利于减少小震作用下非结构构件的破坏. 剪切滞后 在受剪力作用的薄壁梁中，距剪力作用点较远的突缘上的正应力（见应力）小于按平截面假设求得值的现象。剪切滞后取决于结构中力的扩散（传播）。力的扩散是指作用在结构某一部分上的非自身平衡的力系，向结构其他部分传递，直至与外力或约束反力相平衡的过程。 图1为一宽突缘工字形悬臂梁,它由上下各五根细长突缘杆、上下各四块突缘板和中间一块薄腹板组成。在剪力Q的作用下，梁中出现剪切滞后现象，这可由下面的力的扩散过程来说明。在杆仅受正应力而板仅受剪应力的简化假设下,当剪力Q作用于腹板的自由端时，整个腹板具有剪应力τ。此剪应力直接作用于与腹板相连的中心杆A1B1上，所以在自由端附近的截面上仅A1B1杆中有正应力和正应变。而A2B2杆和A3B3杆均无正应力和正应变。但A1B1杆的正应变引起突缘板A1B1B2A2的剪应变和剪应力,此剪应力又使突缘杆 A2B2产生正应力。在A2B2杆受力变形的基础上,通过同样方式又使A3B3杆受力。图1中在工字梁的左侧用阴影线表示突缘杆中的正应力，右侧绘出突缘板中的剪应力。由于内力是由受剪腹板经与其相连的突缘杆逐步向远处承力突缘杆传播的，所以在力的扩散过程结束后，远离受剪腹板的杆所受的力在空间上有一定落后，而且受力的值小于按平截面假设求得的值，这就是剪切滞后。而根据平截面假设，各杆的受力情况没有差别，这与实际情况相差较远。因此，在计算薄壁梁的应力时，一般不能采用平截面假设。 剪切滞后造成结构内部受力不均匀，影响结构材料的利用率。例如，由于剪力Q的作用，在图2所示的箱形薄壁结构的上下盖板中就出现剪切滞后现象 (正应力在腹板附近大,中间部分小)。甚至当腹板附近的盖板接近破坏时,盖板的中间部分还处于低应力状态。为了估计剪切滞后对盖板利用率的影响程度，可采用折合宽度概念。即假定宽为 W0的一块板的承载能力恰好相当于一块宽仅为Wb 而充分发挥了承载能力的板，Wb称为折合宽度，而比值嗞＝Wb/W0称为减缩系数。嗞值小说明材料的利用率低。通常盖板越宽嗞值越小。在工程设计中,应考虑减少腹板的间距，以提高材料的利用率。 很常见的四个概念，弯曲变形、剪切变形，弯曲型变形、剪切型变形。注意，一个字之差，意思却大不相同。弯曲变形、剪切变形：这两个是材料力学和结构力学中的概念，分别指构件中的某一个截面的弯矩、剪力产生的变形，可以由
弯曲变形 1 试问用积分法求图示梁的变形时有几个积分常数？试列出相应的边界条件和连续性条件。 (a ) 四个 当0=x 时， 0=A y ，0=A θ； 当a x =时， 21C C y y =，21C C θθ=。 (b ) 六个 当a x =时， 021==A A y y ，21A A θθ=； 当b a x +=时， 032==B B y y ， 32B B θθ=。 (c ) 六个 当0=x 时， 0=A y ，0=A θ； 当a x =时， 21B B y y =； 当b a x +=时， 032==C C y y ， 32C C θθ=。 (d ) 二个 当0=x 时，0=A y ， 当l x =时，1 11 12A E qll l y B - =?-= （注：1E 和1A 分别为拉杆的弹性模量和横截面面积） 2 试用积分法求图示外伸梁的A θ、B θ及A y 、D y 。 解： AB 段(2 0l x ≤ ≤)： ()q l x x M y EI 2 1 1-=='' 12 141C q l x y EI +-=' 113112 1 D x C qlx EIy ++-= BC 段(2 32l x l ≤≤)： ()??? ??-+??? ??--==''x l ql x l q x M y EI 234123212 2 22 3 2 23812361C x l ql x l q y EI +?? ? ??--??? ??-=' 223 42232324123241D x l C x l ql x l q EIy +?? ? ??--??? ??-+ ??? ??--= 边界条件： 2 l x =，01=y ：022121 113 =++??? ??-D l C l ql ①
第七章 弯曲变形
7-2 图示外伸梁 AC，承受均布载荷 q 作用。已知弯曲刚度 EI 为常数，试计算横截面
C 的挠度与转角，。
题 7-2 图 解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 支座 A 与 B 的支反力分别为
AB 段（0≤x1≤a）：
FAy
?
qa 2
,
FBy
?
3qa 2
d 2 w1 dx12
?
?
qa 2EI
x1
dw1 dx1
?
?
qa 4EI
x12
? C1
(a)
w1
?
? qa 12EI
x13
? C1x1
?
D1
(b)
BC 段（0≤x2≤a）：
d 2 w2 dx22
?
?q 2EI
x22
dw2 dx2
?? q 6EI
x23 ? C2
(c)
w2
?
?
q 24EI
x24
? C2x2
?
D2
(d)
2. 确定积分常数
梁的位移边界条件为
在 x1 ? 0 处，w1 ? 0
(1)
在 x1 ? a 处，w1 ? 0
(2)
连续条件为
在 x1 ? x2 ? a 处，w1 ? w2
(3)
1
在
x1
?
x2
?
a
处，dw1 dx1
?
?
dw2 dx2
(4)
由式（b）、条件（1）与（2），得
由条件（4）、式（a）与（c），得
D1 ? 0 ，
C1
?
qa 3 12EI
由条件（3）、式（b）与（d），得
C2
?
qa 3 3EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角
D2
?
?
7qa 4 24EI
将所得积分常数值代入式（c）与（d），得 CB 段的转角与挠度方程分别为
??
?
?
q 6EI
x23
?
qa 3 3EI
w2
?
?
q 24EI
x24
?
qa 3 3EI
x2
?
7 qa 4 24EI
将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
?C
?
qa 3 3EI
?? ?
? ? wC
?
?
7qa 4 24EI
?
7-3 图示各梁，弯曲刚度 EI 均为常数。试根据梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的
大致形状。
题 7-3 图 解：各梁的弯矩图及挠曲轴的大致形状示如图 7-3。
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