高三数学培优资料用泰勒公式和拉格朗日中值定理来处理高中函数不等式问题

2012级高三数学培优资料（教师版）

泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用

泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数

]

31[-.所以泰勒

公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟

在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 泰勒公式知识：设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得：

()f x =()0f x +()0'f x 0(x -x )+

()0f''x 2!02(x -x )+???+ ()()0

n f x n!

0n (x -x )+()n R x ，

其中()n R x =

()(1)(1)!

n f n ξ++10)(+-n x x 称为余项，上式称为n 阶泰勒公式； 若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，

即()f x = ()0f +()0'

f x +()02!f''2x +???+()()0!

n

f n n

x +0()n x . 利用泰勒公式证明不等式：若函数)(x f 在含有0x 的某区间有定义,并且有

直到)1(-n 阶的各阶导数,又在点0x 处有n 阶的导数)(0)

(x f

n ,则有公式

)()(!

)()(!2)()(!1)()()()(00)(2

00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=Λ

在上述公式中若0)(≤x R n (或0)(≥x R n ),则可得

)(00)(2

00000)(!)()(!2)()(!1)()()(n n x x n x f x x x f x x x f x f x f -++-''+-'+≥Λ

或)(00)(2

00000)(!

)()(!2)()(!1)()()(n n x x n x f x x x f x x x f x f x f -++-''+-'+≤Λ

1、 证明: ).11(,3

2)1ln(3

2<<-+-≤+x x x x x 证明 设)11)1ln()(<<-+=x x x f （ 则)(x f 在0=x 处有带有拉格朗日

余项三阶泰勒公式 )11()

1(432)1ln(4

4

32<<-+-+-=+ξξ x x x x x 0)

1(44

4

≤+-ξx Θ 32)1ln(32x x x x +-≤+∴ 由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点0x 在0x 处展开,然后判断余项)(x R n 的正负,从而证明不等式.

对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题，

要充分利用泰勒公式在00x =时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式，对题目进行分析、取材、构造利用. 2、 证明不等式：3

16

x x -

≤sin x . 2、不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系 。这时我们可用sin x 在00x =的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系。 证明

31()sin 6f x x x x =-+,(0)0f =,21

'()cos 12f x x x =-+,'(0)0f =,

''()sin f x x x =-+,''(0)0f =,'''()cos 1f x x =-+,'''()cos 1f ξξ=-+ 当

3n =时，()f x 的泰勒展式为：331

()000(1cos )()3!

f x x x o x θ=+++

-?+ ?()f x =

331

(1cos )()6

x x o x θ-+≥0 (x ≥0, ξ≤x θ,0＜?＜1)所以x ≥0,，有 3

16

x x -

≤sin x . 在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系。如果用常规方法（放缩法、比较法，代换法等），我们很难比较它们之间的大小关系，但这时用泰勒公式却能轻易解答.

3、 证明不等式：2

128

x x +

-（x ＞0）. 对于此题，若我们对不等式两边同时平方，虽可以去掉根号，但x 的次数却提高

了2次，这还是难以比较他们之间的大小关系，但若用泰勒公式却可以轻易解答.

证明 设()f x =(0)1f =,121'()(1)2f x x -=+,1

'(0)2

f =,

32

1''()(1)4f x x -=-+,1''(0)4

f =-,5

23'''()(1)8f x x -=+

代入0x =02

x - 28x +5

3

31(1)16x x θ-+ (0＜θ＜1)

∵ x ＞0, ∴ 531(1)16

x θ-+3x ＞0 所以 2

128x x +-x ＞0）.

在不等式的证明问题中，若题目中出现了一阶导数、二阶导数、初等函数、三角函数或超越函数等与幂函数结合时，可优先考虑泰勒公式在0x =0时的麦克劳林表达式。当然能做好此类题的前提条件是要对一些基本函数的麦克劳林表达式熟悉.

微分)(Lagrange 中值定理: 若

)(x f 满足以下条件:

(1) )(x f 在闭区间],[b a 内连续 (2) )(x f 在开区间),(b a 上可导 则 a

b a f b f f b a --='?∈?)

()()(),(ξξ

4、 若)()(1,011y x py y x y x py p x y p p p p -<-<-><<

--则　

分析 因为

,0x y <<则原不等式等价于11

--<--

x y x py

)1(>p .令

p t x f =)(,则我们容易联想到Lagrange 中值定理y

x y f x f y x f --=-)()())(('ξ.

证明 设

p t t f =)(,显然],[)(x y t f 在满足Lagrange 中值定理的条件

则 ,)()()(),(y x y f x f f x y --=

'?∈?ξξ 即y

x y x p p p p ---＝

1ξ

111,),(---<<∴<<∴∈p p p px p py x y x y ξξξ Θ )()(11y x py y x y x py p p p p -<-<-∴--　

5、已知函数x

x

x x f +-

+=1)1ln()(， 的极小值求)()1(x f ； a

b

b a b a -≥->1ln ln ,0,2求证：）若（

2

)1()(),1)()1(5x x

x f x f +=

'∞+-，的定义域为（函数、

.0)0()(0==f x f x 取得极小值时，函数易得当

(2))0(1ln ,1)1ln(11>-≥+≥

+->x x

x x x x x x 可得时，）知，当由（ )0(11ln >-≥x x x 即,因为b a

b a b a ln ln ln ,0,=->

所以a

b

b a -≥1ln 。故得证 （也可用Lagrange 中值定理来证）

6、已知函数的最大值；求函数x x f x g x x f -+==)1()()1(,ln )(

2

2)

(2)()(02b

a a

b a a f b f b a +->

-<<时，求证：）当（ 解：x x x x f x g -+=-+=)1ln()1()(),1((+∞-∈x

x

x

x x g +-=

-+=

'1111)( 0)(,0,0)(,01<'>>'<<-x g x x g x 时当当 0.)(0为取得最大值，且最大值时，故当x g x =

)0(1ln ),0(1ln ),1()1ln(12>-≥->-≤->≤+x x x x x x x x x 得）知）由（（

b

a

b b a b a b a x -=

-≥-=

1ln ,得令 0)

())(()()(2))(()(2222222222>+--=+--+-=+---b a b b a a b b a b a b ab b a a b b a a b a b a b 2222)

(2)()(.)(2b

a a

b a a f b f b a a b a b a b +->-+->-故所以

评注：本题得到不等式)1()1ln(->≤+x x x 与不等式)1)(1ln(1

->+≤+x x x x

构成经典不等式，即

)1()1ln(1

->≤+≤+x x x x x

.

7、已知2ln )()2

(

2)()(0,0,ln )(a b b

a g

b g a g b a x x x g -<+-+<<<=求证：设 解析：)2

ln(22ln ln )2(2)()(b

a b a b b a a b a g b g a g ++?-+=+-+

b

a b

b b a a a +++=2ln

2ln

由经典不等式),01()1ln(≠->≤+x x x x 且 及021,02,0<-<->-<

b

a a a

b b a 得

因此,2)21ln(2ln 2ln a a

b a a b a b a b a a -->-+-=+-=+

,2)21ln(2ln 2ln a a b b b a b b a b a b -->-+-=+-=+ 故02

2)2()2(2ln 2ln

=-+-=--?+--?>+++a

b b a b b a b a a b a b a b b b a a a 又2ln 2ln )(2ln 2ln 2ln 2ln ,22a b b a b a b b a b b b b a a b a b b b a a a b b a b a a -<+-=+++<++++<+ 综上所述，得2ln )()2

(

2)()(0a b b

a g

b g a g -<+-+< .)()1.(1ln )(8的最大值求、已知x f x x x f +-=

()),2()

1(2)

12)(1(ln 33ln 22ln 2*222222N n n n n n n n ∈≥++-<+++Λ求证：

(1)略（2）)0(1

1ln )0(01ln 1>-≤>≤+-x x

x x x x x ，

）知由（ 所以22222322211311211ln 33ln 22ln n

n n -++-+-<+++ΛΛ

))

1(1

431321()1()13121(

)1(222+++?+?--<+++--=n n n n n ΛΛ )

1(2)12)(1()1121()1(++-=

+---n n n n n ),2(*N n n ∈≥

9、求证：)()2

11()811)(411)(211(*

2222N n e n ∈<++++

Λ要证明原不等式，就要证明1)]211()411)(211ln[(222<+++n

Λ 即1)21

1ln()411ln()211ln(222<+++++n Λ

构造函数[])0()()(,1,0,)1ln()(2

f x f x f x x x x f <∈-+=递减，故易得

则有x x <+)1ln(2。故有n

n 21814121)211ln()411ln()211ln(222+

+++<++++++ΛΛ 得证,12

11)

21

1(2

1<--=n 。 10、)1ln()(2+-=x x x f . 3

)(0)1(x x f x <>时，求证：当;

)1(21

45131211)1()2(331

3*

+-≤++++<∈∑=n n n k f N n n

k Λ时，求证：当 解：)

1()1(3)(,)1ln()()()1(2

33

2

3

+-+-='-+-=-=x x x x h x x x x x f x h 则令

易得3

)(,0)0()(),0()(x x f h x h x h <=<+∞所以上单调递减，在 （2）3*1)1(1,1],1,0(1,k

k f k x k N k <=

∈∈）得由（取所以设 故3

331

131211)1(n

k f n

k ++++<∑=Λ，不等式成立右时，左当对于右半边证明如下：11===n ])

1(1

)1(1[21)1(1112223+--=-

当 所以])

1(1

)1(14

313213

212

11[21113

12

113

33+--+

+?-?+?-?+<++++n n n n n

ΛΛ )

1(2145+-

=

n n

高级中学数学公式定理汇总

高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是 。

(3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有，成立 存在某，不成立 或 且 对任何，不成立 存在某，成立 且 或 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假

中值定理证明

中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理

若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：

高中数学课本中的定理公式结论的证明

数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合（无） 第二章 函数（无） 第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质： 如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a a a M M N N =； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +， 即证得log log log a a a MN M N =+． 证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴ q p q p a a a N M -==， ∴q p N M a -=log ， 即证得log log -log a a a M M N N =． 证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =， ∴n np M a =， ∴log n a M np =， 即证得log log n a a M n M =．

第四章函数应用（无） 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明． 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行． 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

高等数学-中值定理证明

第三章中值定理证明

1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义

1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.

5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数

我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.

高中数学公式及定理

高中数学公式及定理Newly compiled on November 23, 2020

1.乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a- b(a^2+ab+b^2) 2.三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 3.一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 4.根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 5.三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6.倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 7.半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 8.和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB; 9.某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n- 1)=n2 _ 2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 5 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+n^3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 10.正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 11.余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x- a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标 _ 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0 12.抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 13.直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h'

高中数学公式定理大集中

高中的数学公式定理大集中 三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα 2cotα＝1 sinα 2cscα＝1 cosα 2secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”） 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα

sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα 2tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα 2tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)

构造函数法在高等数学中的应用

构造辅助函数在高等数学中的应用 摘要：证明等式和不等式是高等数学中的常见问题，证明方法也多种多样。论文通过几个例子，从研究题目的条件和结论人手，巧妙构造适当的辅助函数进行解题，既能简化证明，又能培养学生的创新思维能力。 构造辅助函数是数学解题的一个很好的工具，辅助函数是使问题转化的桥梁，通过恰当的构造辅助函数可以帮助我们解决很多数学问题，使问题简单化，构造辅助函数的方法是多种多样的，有时需要巧妙的灵活运用，构造辅助函数法还需要进一步探索和总结 如何构造辅助函数是高等数学解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律 文章通过详尽的实例讲明了辅助函数在中值问题不等式恒等式函数求极限讨论方程的根及计算积分求函数值中的运用 关键词：构造辅助函数；中值定理；恒等式与不等式； 在解题过程中，如果用思维定势来探求解题途径比较困难时，我们不妨换一下思维角度，从问题的结构和特点出发，构造一个与问题相关的辅助函数，实现问题的转化，从而使问题得到证明。本文通过对高等数学中中值问题、不等式的证明、恒等式的证明、函数求极限问题、讨论方程的根及计算积分求函数值这几类问题，应用构造辅助函数进行求解，从不同题型总结归纳了辅助函数的思想和具体的方法 一、有关中值定理命题的证明的应用 1.1构造辅助函数证明中值存在性问题 设()x f ，()x g 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。()()0==b f a f 而[]b a x ,∈?，()0≠x g 证明至少存在一点∈ξ()b a ,使()()()()ξξξξf g g f ''= 分析：由于所证命题含有导数形式，我们大胆猜想它积分后的形式。为此我们分下面几步走： (一) 将结论化为()()()()x f x g x g x f ''= (二) 移项并同时除以()x g 2得：()() ()()() 0''2=-x g x f x g x g x f (三) 求积分，并令之为()x F ()()()()()() ()()()()()()x g x f a g a f x g x f dt t g t f t g t g t f x F x =-=-=?02'' 则()x F 就是我们要找的辅助函数。 证明 由于()x f ，()x g 在[]b a ,连续，在()b a ,可导且()()0==b f a f 则()x F 在[]b a ,满足罗尔中值定理，存在∈ξ()b a ,，使得()0'=ξF 即()()()()() 0''2=-ξξξξξg f g g f 也即

高中数学公式及定理

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1.乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a- b(a^2+ab+b^2) 2.三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 3.一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 4.根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 5.三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6.倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 7.半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 8.和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB; 9.某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n- 1)=n2 _ 2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 5 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+n^3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 10.正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 11.余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x- a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标 _ 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0 12.抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 13.直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 14.锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L

中值定理构造辅助函数

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论 ()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得 ()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有() ()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,可导；（3） ()()b f a f =,则在()b a ,至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0' =ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理 若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,可导；则在 ()b a ,至少存在一点ζ ，使()()()a b a f b f f --=ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧

高中数学定理公式大全

抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota

关于高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

拉格朗日中值定理1

一拉格朗日中值定理 1．定理内容 拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。 拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。 用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即 f(x+1)?f(x) ≈0 1 这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f′x=0。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。 在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点x0和x1，并且函数f x在此闭区间内是连续的，f′(x)的最大值为A，f′x最小值为B，则f(x1)?f(x0) 的值必须是A和B之间的一个 x1?x0 值。 下述就是拉格朗日中值定理: 如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得f′ξ=f(b)?f(a) . b?a

高中数学常用公式及定理

高中数学常用公式及定理 1．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数 学成绩将会起到很大的作用。 2．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。 1.元素与集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ()U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n －1个；非空子集有2n －1个；非 空的真子集有2n －2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式：()N f x M <

七大中值定理的理解与运用

七大中值定理的理解与运用 在高等数学内容中，七大中值定理（零点定理、介值定理、三大微分中值定理、泰勒定理与积分中值定理）是学生在学习过程中认为最难的部分。七大定理的难主要在于难理解、难应用。在历次考试，包括研究生入学考试中，与中值有关的问题一直是考试中得分最少的题，因此如何让学生更好的理解与掌握定理，灵活有效的使用定理，一直是我在授课过程中觉得比较难把握的。在授课和答疑过程中也曾经积累了一些想法，但是这些想法都比较零碎。乐老师在培训过程中对中值定理证明问题中辅助函数构造的讲解，对我帮助最大。借这次机会将我对七大定理教学过程中的体会总结如下。 第一，七大定理的归属。 零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。 第二，对使用每个定理的体会。 学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。

1．使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b 之间有一个（或者只有一个）根”。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。 2．介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数 f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。 3．用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数（甚至是高阶导数）、含有中值（也可能有多个中值）。正如乐老师在培训过程中所说，应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。曾经在以往授课过程中总结了一点构造函数的方法，这次经过培训，我对构造函数的方法有了进一步的掌握，感觉乐老师讲述的方法便于记忆，更便于学生理解。在微分中值定理证明问题时，我的体会有下面几点：（1）当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理；（2）当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的；（3）当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明；（4）当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两

拉格朗日中值定理讲课稿

尊敬的评委老师： 大家下午好！ 我们知道，导数是研究函数以及曲线的某些形态的重要工具，而微分中值定理则是导数应用的理论基础，因此对微分中值定理的理解和掌握是非常必要的。 下面请同学们回忆一下我们上一节课所学的罗尔定理的基本内容和数学意义，罗尔定理有三个条件分别是在闭区间上连续、在开区间内可导和区间端点的函数值相等，结论是至少存在一点属于开区间，使得函数在这个点的导数值等于零，它的代数意义是方程函数的导数等于零在开区间内至少有一个实根；几何意义是，在曲线段AB上有平行于弦AB的切线存在，那么请大家思考这样一个问题：如果罗尔定理中第三个条件（也就是函数在区间端点的函数值不相等）不成立的话，在曲线段AB上还会有平行于弦AB的切线存在吗？带着这个问题，让我们走进今天的新课：拉格朗日中值定理及其应用。 首先我们来认识一下数学家拉格朗日，拉格朗日是一位法国数学家，他在方程论、解析函数论以及数论等方面做出了重要贡献，是对分析数学产生全面影响的数学家之一。拉格朗日中值定理就是他的诸多成果中的一个。 下面我们来看一下拉格朗日中值定理的条件和结论，定理的条件是函数满足在闭区间上连续、在开区间内可导，结论是在开区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数值等于……，该式也称为拉格朗日中值公式或微分中值公式。 我们来分析一下拉格朗日中值定理的数学意义，首先来看几何意义，通过图示可以看到弦AB的斜率为……，设曲线上两个点……处的切线分别为……，对应的横坐标为……，那么对应切线的斜率分别为……，如果满足……，可以直观的看到两条切线是和弦AB平行的，也就是说拉格朗日中值定理的几何意义是在曲线弧AB上有平行于弦AB的切线存在，这就回答了我们最初提出的问题，很容易知道，罗尔定理就是拉格朗日中值定理在区间的两个端点的函数值相等时的特殊情形。 这个定理的代数意义是方程在开区间内至少有一个实根。 下面我们来证明一下这个定理，首先来看一下该定理的证明思路，我们可以从它的代数意义出发，假设存在一个函数……，那么要证明的结论就化为证明方程……在开区间内至少有一个实根，而这恰恰与罗尔定理的结论不谋而合，因此